3.3 一元二次方程根的判别式 课件 2026-2027学年数学湘教版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根的判别式，从已学方程解法导入，通过定义Δ=b²-4ac及与根的三种关系讲解，构建“定义-关系-应用”知识支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于结合中考真题与分类讨论（如等腰三角形边长问题），通过推理意识引导学生分析根的情况，用模型意识总结解题策略。学生能提升数学思维，教师可高效覆盖考点与易错点。

3.3 一元二次方程根的判别式 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 一元二次方程根的判别式 知识点 一元二次方程根的判别式 知1－讲 1 1. 定义：我们把b2－4ac叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a ≠ 0)的根的判别式，记作“Δ”，即Δ＝b2－4ac. 感悟新知 知1－讲 2. 一元二次方程根的情况与根的判别式的关系： (1)Δ>0 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等的实数根. (2)Δ＝0 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实 数根. (3)Δ<0 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根. 感悟新知 知1－讲 特别提醒 确定根的判别式时，需先将方程化为一般形式，确定a，b，c后再计算；使用一元二次方程根的判别式的前提是二次项系数不为0. 感悟新知 知1－练 [母题 教材P115 例题]不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况： (1)x2-2 x+2=0；(2)3x2-2x=-9； (3)x2-2(k+1)x-k2+2k-1=0. 例1 解题秘方：先计算根的判别式的值，再根据正负性判断根的情况. 感悟新知 知1－练 解：(1)因为Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×2=0， 所以，原方程有两个相等的实数根. (2)将原方程化为一般形式，得3x2-2x+9=0. 因为Δ=b2-4ac=(-2)2-4×3×9=-104 < 0， 所以，原方程没有实数根. (3)因为Δ=b2-4ac=[-2(k+1)]2-4×1×(-k2+2k-1)=8+8k2≥8>0， 所以，原方程有两个不相等的实数根. 感悟新知 知1－练 感悟新知 1-1. [中考·安徽] 下列方程中，有两个不相等的实数根的是( ) A．x2+1=0 B．x2-2x+1=0 C．x2+x+1=0 D．x2+x-1=0 D 知1－练 感悟新知 1-2.关于x 的一元二次方程x2+2ax+a2-1=0 的根的情况是 (　　) A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D． 实数根的个数与实数a 的取值有关 C 知1－练 感悟新知 [中考·淮安]若关于 x的一元二次方程 x2-4x+k=0有两个不相等的实数根，则 k的取值范围是(　　) A．k ≥ 4 B．k>4 C．k ≤ 4 D．k<4 例2 知1－练 感悟新知 解：因为一元二次方程 x2-4x+k=0 有两个不相等的实数根，所以 Δ=(-4)2-4k>0，解得 k<4. 解题秘方：根据根的情况与根的判别式的关系，列不等式进行求解 . 答案：D 知1－练 感悟新知 2-1.[中考·上海] 已知关 于 x 的 一 元二次方程 2x2+x-m=0 没有实数根，则 m 的取值范围是__________. 2-2.[中考·常州] 若 关于 x 的一元二次方程 x2-2x+m=0 有两个相等的实 数 根，则实数 m 的值是______. m<- 1 一元二次方程根的判别式 根的判 别式 不解方程判 断根的情况 作用 已知根的情 况求参数值 b2－4ac 课堂小结 关于 x的一元二次方程(a-6)x2-8x+9=0 有实数根 . (1)求 a 的取值范围； (2)当 a 取最大整数值时，求出该方程的根． 例3 题型 利用根的情况求方程中待定字母的取值范围 1 解题秘方：紧扣根的判别式与根的情况的关系进行解答 . 综合应用创新 解：(1)因为关于 x 的一元二次方程(a-6)x2-8x+9=0 有实数根，所以 a-6 ≠ 0 且 Δ=(-8)2-4(a-6)×9 ≥ 0， 解得 a ≤ 7且 a ≠ 6． 所以 a 的取值范围为 a ≤ 7且 a ≠ 6. 综合应用创新 (2)因为 a ≤ 7且 a ≠ 6， 所以 a 的最大整数值为 7，所以原方程为 x2-8x+9=0， 代入求根公式得 x= =4± ， 所以 x1=4+ ，x2=4- ． 综合应用创新 特别提醒 方程有实数根与方程有两个实数根的根本区别: 方程有实数根，此方程也可能是一元一次方程 ;方程有两个实数根，则该方程一定是一元二次方程 ,即二次项系数不为 0. 综合应用创新 已知关于 x 的一元二次方程 mx2-(3m+2)x+2m+ = 0(m ≠0)，求证：方程总有两个不相等的实数根 . 例4 题型 一元二次方程根的情况的证明 2 思路导引： 综合应用创新 证明：Δ=b2-4ac=［-(3m+2)］2-4m(2m+)= m2+2m+4=(m+1)2+3. 因为(m+1)2 ≥ 0，所以(m+1)2+3 ≥ 3，即 Δ>0. 所以方程总有两个不相等的实数根 . 综合应用创新 方法点拨 证明一元二次方程根的情况，就是整理根的判别式 b2-4ac，将其整理成 n(m+h)2+k 的形式 .当n(m+h)2+k>0 时，方程有两个不相等的实数根；当n(m+h)2+k=0 时，方程有两个相等的实数根；当n(m+h)2+k<0 时，方程没有实数根 . 综合应用创新 [新考法 分类讨论法]等腰三角形的三边长分别为 a， b，2，且 a，b 是关于 x 的一元二次方程 x2-6x+n-1=0 的两根，求 n 的值 . 例5 题型 一元二次方程根的判别式与三角形的综合 3 解题秘方：先对三角形的边长分类讨论，再分析三边的数量关系以及根的判别式，求出字母 n 的值 . 综合应用创新 解：因为该三角形是等腰三角形， 所以分两种情况讨论： (1)当腰长为 2 时，a=2 或 b=2， 所以 x=2 是方程的一个根 . 把 x=2 代入方程得22-6×2+n-1=0，解得 n=9. 所以原方程为 x2-6x+8=0, 解得 x1=2，x2=4，而 三边长分别为 2，4，2 时不能组成三角形， 故 n=9 不合题意，舍去 . 综合应用创新 特别提醒 求出三角形三边的长度之后，必须检验所求结果是否满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 . 综合应用创新 (2)当底边长为 2 时，a=b， 所以方程有两个相等的实数根 . 所以 Δ=(-6)2-4(n-1)=0，解得 n=10. 所以原方程为 x2-6x+9=0， 解得 x1=x2=3，即 a=3，b=3. 因为三边长分别为 3，3，2时可以组成三角形， 所以 n=10 满足题意 .综上，n 的值为 10. 综合应用创新 解题策略 当已知等腰三角形中一边的长时，通常要分两种情况讨论： (1) 已知的边长为腰长； (2) 已知的边长为底边长. 综合应用创新 若一元二次方程mx2+2x+1=0有实数解，则m的取值范围是(　　) A. m≥ -1 B. m≤ 1 C. m≥ -1 且m≠ 0 D. m≤ 1 且m≠ 0 例6 易错点 利用根的判别式时，忽视一元二次方程中二次项系数不为0 的要求而致错 1 综合应用创新 错解：B 正解：因为一元二次方程mx2+2x+1=0 有实数解， 所以Δ=22-4m≥ 0，且m≠ 0，解得m≤ 1 且m≠ 0. 答案：D 综合应用创新 诊误区： 在利用根的判别式求一元二次方程中的待定字母的取值范围时，如果二次项系数中含有字母，要注意二次项系数不为零这个限制条件. 综合应用创新 [中考·广州]关于x的方程x2-x+k2+2=0 的根的情况为 ( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.只有一个实数根 例7 考法 利用根的判别式判断根的情况 1 中考风向标 试题评析：本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算根的判别式并分析其符号即可确定根的情况． 解：Δ=(-1)2-4×1×(k2+2)=1-4(k2+2)=1-4k2-8=-4k2-7. 因为k2 ≥ 0，所以-4k2 ≤ 0，所以-4k2-7 ≤ -7<0，即Δ<0. 所以方程无实数根. 答案：C 中考风向标 [中考·广元]若关于x的一元二次方程(a-1)x2+(a-1)x-=0 有两个相等的实数根，则a=_______. 例8 考法 根据根的情况求字母的值(取值范围) 2 试题评析：本题主要考查一元二次方程根的判别式，根据方程根的情况列方程求解即可． 中考风向标 解：因为关于x 的一元二次方程(a-1)x2+(a-1)x-=0 有两个相等的实数根，所以(a-1)2-4×(-)(a-1)=0，且a-1≠0.所以a=-1. 答案：-1 中考风向标 1. [母题 教材P116 习题T1]一元二次方程x2+6x+9=0的根的情况是(　　) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 A 综合素养训练 2. [中考·北京]若关于x 的一元二次方程x2-3x+m=0 有两个相等的实数根，则实数m的值为(　　) A. -9 B. - C. D. 9 C 综合素养训练 3.[中考·潍坊]已知关于x 的一元二次方程x2-mx-n2+mn+1= 0，其中m，n 满足m-2n=3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是( ) A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 C 综合素养训练 4. [中考·广州]已知关于x 的方程x2-(2k-2)x+k2-1=0有两个实数根，则-的化简结果是(　　) A. -1 B. 1 C. -1-2k D. 2k-3 A 综合素养训练 5. [中考·东营]若关于x的方程(k2-1)x2+(k+1)x+=0 无实根，则k 的取值范围是_________ . k≤-1 综合素养训练 6. [新视角 新定义题]定义：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)满足a-b+c=0，则我们称这个方程为“蝴蝶”方程．已知关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则a 与c 的数量关系是 _____． a=c 综合素养训练 7. [新考法 数形结合法]在△ABC中，BC=2，AB=2 ，AC=b，且关于x 的方程x2-4x+b=0 有两个相等的实数 根，则AC边上的中线长为_________ ． 2 综合素养训练 8.[期末·长沙望城区]已知关于x 的方程x2-kx+k-1=0. (1)求证：无论k 取何值，该方程总有两个实数根； 证明：因为x2-kx+k-1=0， 所以Δ=b2-4ac=(-k)2-4(k-1)=k2-4k+4=(k-2)2≥0. 所以无论k取何值，该方程总有两个实数根. 综合素养训练 (2)若方程的一个根小于1，求k的取值范围. 解：x==， 所以原方程的根为x1=1，x2=k-1. 因为方程的一个根小于1，所以k-1<1，解得k<2. 综合素养训练 9. 若关于x 的方程- = 只有一个实数解，求k 的值与方程的解. 综合素养训练 解：去分母，得2kx-x=(kx+1)(x-1)，整理，得kx2+(2-3k)x-1=0①.当k=0时，经检验知原方程有唯一的解x=；当k≠0 时，由于Δ=(2-3k)2+4k=5k2+4(k-1)2>0，所以方程①恒有两个不相等的实数根，要使原方程只有一解，则方程①必有一根为0或1.当x=0时，代入①，得-1=0，k无解.当x=1时，代入①，得k+(2-3k)-1=0，解得k=，这时另一根为x=-2，经检验，x=-2是原方程的解.综上，当k=0时，方程的解为x= ；当k=时，方程的解为x=-2. 综合素养训练 $