3.4 一元二次方程根与系数的关系-课件-2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过“解方程填表”活动引导学生观察根的和与积，关联求根公式与判别式推导韦达定理，辅以例题示范构建知识支架。 其亮点在于分层练习覆盖基础与应用，易错点总结强化符号与前提意识，结合数学思维（推理推导）与数学语言（符号表达），帮助学生提升变形应用能力，教师可直接用于课堂教学提升效率。

湘教版数学9年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月20日 3.4 一元二次方程根与系数的关系 第3章 一元二次方程 湘教版九年级上册数学3.4 一元二次方程根与系数的关系 练习题 一、核心知识点梳理 一元二次方程根与系数的关系也称为韦达定理，是本章重点拓展知识点，无需解方程即可利用系数关系求解根的代数式的值，是中考高频考点。1. 定理内容：对于一元二次方程$$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$，当$$\Delta\geq0$$，方程的两个实数根为$$x_1、x_2$$，则根与系数满足固定关系：$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$，$$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$$。2. 特殊情况：当二次项系数$$a=1$$时，方程$$x^2+bx+c=0$$，满足$$x_1+x_2=-b$$，$$x_1\cdot x_2=c$$。3. 常用变形公式：$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$$、$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$$。4. 核心前提：使用韦达定理必须保证方程有实数根，即$$\Delta\geq0$$且$$a eq0$$，含参数题型必须验证前提条件。 二、基础巩固练习题 选择题（每题5分，共30分） 1. 已知方程$$x^2-5x+6=0$$的两根为$$x_1、x_2$$，则$$x_1+x_2$$的值为（） A. 5 B. -5 C. 6 D. -6 2. 方程$$2x^2+3x-2=0$$的两根之积$$x_1x_2$$是（） A. 1 B. -1 C. $$\frac{3}{2}$$ D. $$-\frac{3}{2}$$ 3. 若方程$$x^2+mx+4=0$$的两根之和为-3，则$$m$$的值为（） A. -3 B. 3 C. -4 D. 4 4. 已知方程两根之和为2，两根之积为-3，则该方程是（） A. $$x^2+2x-3=0$$ B. $$x^2-2x-3=0$$ C.$$x^2+2x+3=0$$ D. $$x^2-2x+3=0$$ 5. 设$$x_1、x_2$$是方程$$x^2-4x+2=0$$的两根，则$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$$的值为（） A. 2 B. -2 C. $$\frac{1}{2}$$ D.$$-\frac{1}{2}$$ 6. 已知一元二次方程$$3x^2-2x+k=0$$有两个实数根，则两根之和为（） A. $$\frac{2}{3}$$ B. $$-\frac{2}{3}$$ C. $$\frac{k}{3}$$ D. $$-\frac{k}{3}$$ 填空题（每题6分，共30分） 1. 方程$$x^2-7x+10=0$$的两根之和为________，两根之积为________。 2. 已知$$x_1、x_2$$是方程$$2x^2-6x+3=0$$的两根，则$$x_1+x_2=$$________。 3. 若方程$$x^2+5x+m=0$$的一个根为1，则另一个根为________。 4. 设$$x_1、x_2$$是方程$$x^2-3x-1=0$$的两根，则$$x_1^2+x_2^2=$$________。 5. 已知方程$$ax^2-4x+1=0$$两根之积为$$\frac{1}{2}$$，则$$a=$$________。 解答题（共40分） 1.（12分）已知$$x_1、x_2$$是方程$$x^2-6x+5=0$$的两根，不解方程求下列代数式的值： （1）$$x_1+x_2$$ （2）$$x_1x_2$$ （3）$$x_1^2+x_2^2$$ 2.（14分）已知$$x_1、x_2$$是方程$$2x^2-4x-1=0$$的两根，求： （1）$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$$ （2）$$(x_1-x_2)^2$$ 3.（14分）已知关于$$x$$的方程$$x^2+(m-3)x-2m=0$$，若两根之和为1，求$$m$$的值及两根之积。 三、参考答案与详细解析 选择题解析 1. A 解析：$$a=1，b=-5$$，$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=5$$。 2. B 解析：$$a=2，c=-2$$，$$x_1x_2=\frac{c}{a}=-1$$。 3. B 解析：$$x_1+x_2=-m=-3$$，解得$$m=3$$。 4. B 解析：由$$x_1+x_2=2，x_1x_2=-3$$，得方程$$x^2-2x-3=0$$。 5. A 解析：$$x_1+x_2=4，x_1x_2=2$$，原式$$=\frac{4}{2}=2$$。 6. A 解析：直接代入公式$$x_1+x_2=\frac{2}{3}$$。 填空题答案 1. 7，10 2. 3 3. -6 4. 11 5. 2 解答题解析 1. 解析：由题意得$$x_1+x_2=6$$，$$x_1x_2=5$$。（1）值为6；（2）值为5；（3）原式$$=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=36-10=26$$。 2. 解析：由方程得$$x_1+x_2=2$$，$$x_1x_2=-\frac{1}{2}$$。（1）原式$$=\frac{2}{-\frac{1}{2}}=-4$$；（2）原式$$=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=4+2=6$$。 3. 解析：两根之和$$-(m-3)=1$$，解得$$m=2$$。两根之积$$=-2m=-4$$。 四、易错点总结 1. 符号易错：记错公式符号，两根之和是$$-\frac{b}{a}$$，极易遗漏负号；2. 忽略使用前提：不验证$$\Delta\geq0$$，直接套用韦达定理，出现无实数根却计算根的关系的错误；3. 公式混淆：混淆两根和、两根积的公式，记错$$a、c$$对应关系；4. 代数式变形失误：不会灵活运用平方和、倒数和等常用变形公式；5. 含参数题型：求出参数后，不代入验证方程是否有实数根，导致答案出错。韦达定理核心是“不解方程求值”，牢记公式符号、验证实数根前提、熟练代数式变形，可攻克所有基础及中档题型。 1、一元二次方程的一般形式是什么？求根公式是怎样的？ 2、不解方程，判别下列一元二次方程根的情况。 ，无实数根。 ，有两个不相等的实数根。 ，有两个相等的实数根。 ，有两个不相等的实数根。 2 0 -3 -4 5 -6 -4 1 6 -1 先解方程，再填表： 方 程 0 2 由上表猜测：若方程 的两个根为 ，则： 归纳 [做一做]已知一元二次方程 ，当 时，它的两个根为 ， ，求证： ， 。 一元二次方程的 根与系数的关系 16世纪法国最杰出的数学家韦达发现代数方程 的根与系数之间有这种关系，因此,人们把这个 关系称为韦达定理。数学原本只是韦达的业余 爱好，但就是这个业余爱好，使他取得了伟大的成就。韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进。是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用。因此，他获得了“代数学之父”之称。 两根之和、两根之积存在的前提是什么？ 想一想 例1 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根 ， 的和与积： 例2 已知关于x的方程x2+3x+q=0的一个根为-3，求它的另一个根及q的值。 知识点1 一元二次方程的根与系数的关系 1. [2026湖北中考] 一元二次方程 的两个实数根为 , ，下列结论正确的是( ) D A. B. C. D. 2. [2025株洲模拟] 方程 的两根互为相反数，则 的值为( ) D A. 1 B. C. D. 0 返回 中考考法 8 3. 关于的一元二次方程 有两根， 其中一根为 ,则这两根之积为_ ___. 【点拨】方法1：根据求出 ,再求两根之积；方 法2:利用根的定义求出，再根据 求解. 返回 中考考法 9 一元二次方程根与系数的关系 B A C 4 知识点2 一元二次方程的根与系数的关系的应用 4. 关于的方程为常数 的根的情 况，下列结论中正确的是( ) C A. 两个正根 B. 两个负根 C. 一个正根，一个负根 D. 无实数根 5. [河北中考] 若一元二次方程 的两根之和 与两根之积分别为，，则点 在平面直角坐标系中位 于( ) C A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 返回 中考考法 11 6. 若一元二次方程的两根为， ，则 的值为___. 6 利用根与系数的关系求代数式值的方法，一般先将代 数式转化为含, 的形式，再结合根与系数的关系求解. . . . . 返回 中考考法 12 7. [日照期中] 如果菱形两条对角线的长度是方程 的两根，那么该菱形的面积为__． 返回 中考考法 13 知识点3 用一元二次方程根与系数的关系求字母的值或 取值范围 8. [郴州期末] 已知关于 的一元二次方程 有两个大于2的实数根，则实数 的取值 范围是( ) D A. B. C. D. 返回 中考考法 14 9. 定义为方程 的特征 数.若特征数为 的方程的两实数根的平方和 为12，则 的值为( ) C A. 或4 B. 4 C. D. 或1 本题易忽视 而错选A. . . 返回 中考考法 15 10. 已知，是关于的方程 的两个实 数根，且，则 的值为___． 2 【点拨】因为,是关于的方程 的两 个实数根，所以， ， .所以 .因为 ，所以 . 中考考法 16 $