专题06 整式加减运算有关的10种含参问题（题型专练）数学新教材浙教版七年级上册

**基本信息** 聚焦整式加减含参问题，通过10类题型系统覆盖概念应用、规律探究及综合创新，以典例引领变式训练，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念应用|题型1-3（3典例+14变式）|单项式/多项式概念、同类项参数求解|从基础概念到同类项性质应用，构建参数计算基础| |运算综合|题型4-7（4典例+11变式）|不含/无关型、幻方、定值问题|结合整式运算，深化参数对结果的影响分析| |创新拓展|题型8-10（3典例+16变式）|遮挡污染、新定义、规律探索|融合实际情境与创新题型，培养应用意识与探究能力|

专题06 整式加减运算有关的10种含参问题 （题型突破·举一反三） 题型01 根据单项式、多项式的相关概念求解 题型02 单项式、多项式规律探究 题型03 已知同类项求指数中字母或代数式的值 题型04 整式加减中的不含型问题 题型05 整式加减中的无关型问题 题型06 整式加减中的幻方问题 题型07 整式加减中的定值问题 题型08 整式加减中的遮挡/污染问题 题型09 整式加减中的新定义化简问题 题型10 规律探索问题 ▌题型01 根据单项式、多项式的相关概念求解 【典例1】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）单项式的系数为，次数为，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查单项式的系数与次数的定义，关键是准确理解并运用定义求出系数和次数． 【详解】解：∵单项式的系数，次数； ∴； 故答案为：． 【变式1】（22-23七年级上·浙江杭州·期中）已知是关于x，y的五次单项式，则m的值是____________． 【答案】3 【分析】本题考查了单项式的概念单项式中的数字因数叫做单项式的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和．根据次数等于5且系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 且， 解得． 故答案为：3． 【变式2】（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）多项式是关于x，y的四次二项式，则k的值为_________． 【答案】2 【分析】本题考查多项式的次数与项数的定义，利用多项式定义求参数的值，掌握多项式的相关定义是解题关键，根据四次二项式的定义，得到最高次项的次数为，且项的系数为，据此列方程求解即可． 【详解】解：多项式是关于，的四次二项式， 最高次项的次数为，可得： ， 解得，即或， 又多项式为二项式， 项的系数为，可得： ， 解得， 验证得符合四次二项式的要求． 【变式3】（25-26七年级上·浙江台州·期中）已知多项式的次数是，是二次项的系数，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的次数，掌握多项式中次数最高项的次数是多项式的次数是解题的关键． 根据多项式的次数和二次项的系数求出m，n的值，然后代入代数式求值即可． 【详解】解：∵多项式的次数是，是二次项的系数， ∴最高次项的次数为，二次项系数， ∴ ∴． 故答案为． 【变式4】（23-24七年级上·浙江金华·期末）若单项式与单项式的差仍是单项式，则多项式是___________次多项式． 【答案】四 【分析】本题考查整式的加减，根据差是单项式，可知单项式与单项式是同类项，从而可以求得m、n的值，然后代入所求多项式，进而得出答案． 【详解】解：∵单项式与单项式的差仍是单项式， ∴单项式与单项式是同类项， ∴，， ∴，， ∴多项式为， ∴多项式是四次多项式， 故答案为：四． 【变式5】（23-24七年级上·浙江·课堂例题）已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，则的值为__________________． 【答案】5 【分析】根据多项式的次数和单项式的次数得出，，求出m、n的值，然后求出代数式的值即可． 【详解】解：因为多项式是六次四项式， 所以， 解得：， 因为单项式的次数与这个多项式的次数相同， 所以， 所以， 解得：， 所以． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了多项式和单项式的次数，解题的关键是熟练掌握多项式和单项式的次数，得出，． ▌题型02 单项式、多项式规律探究 【典例2】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）按照一定规律排列的单项式：，，，…则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式的规律探究，熟练掌握通过分析系数和指数的变化规律推导通项公式是解题的关键． 观察单项式的系数和的指数规律，进而推导第个单项式的表达式． 【详解】解：∵第1个单项式：， 第2个单项式：， 第3个单项式：， 第4个单项式：， ……， ∴第个单项式为， 故选：B． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）一定规律排列的一列单项式如下：，，，，，第2025个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式的规律探究，解题的关键是分别分析单项式的系数符号、系数绝对值、字母及指数的规律． 先分别找出单项式的系数符号、系数绝对值、字母及指数的规律，再根据规律求出第2025个单项式． 【详解】解：由题可知， 奇数项为正，偶数项为负，第2025项是奇数项，所以系数符号为正． 第一个单项式：，系数分母； 第二个单项式：，系数分母； 第三个单项式：，系数分母； ．．．．．． 第个单项式的系数分母为， 所以第个单项式可表示为：； 所以第2025个单项式是，对应选项A． 故选：A． 【变式2】（22-23七年级上·浙江衢州·期中）观察下列各多项式：，，，，，根据你发现的规律，第6个多项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查多项式．观察每个多项式中各项的系数与次数，从而得出规律，进而解决此题． 【详解】解：每个多项式的第一项，底数为，指数为序号，系数为序号的2倍； 第二项，底数为，指数为序号的2倍减1，序号为奇数时，系数为1；序号为偶数时，系数为； 所以第六个多项式为． 故选：B． 【变式3】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）观察多项式的构成规律，则： （1）它的第5项是 ________； （2）当时，多项式前100项的和为 ________． 【答案】 【分析】本题考查多项式中的规律探究．解题的关键是得到多项式按照的升幂排列，第项为． （1）由多项式的构成，可知第项为，进而得到第5项即可； （2）当时，得到和为：，进行计算即可． 【详解】解：（1）由题意，可知：多项式按照的升幂排列，第项为， ∴它的第5项是； 故答案为：； （2）当时，多项式前100项的和为 ． 故答案为：． ▌题型03 已知同类项求指数中字母或代数式的值 【典例3】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）若与的和为0，则的值为________． 【答案】4 【分析】本题考查同类项、合并同类项、代数式求值，两个单项式的和为0，则它们是同类项且系数互为相反数，因此对应字母的指数相等，进而求得m、n值即可． 【详解】解：由题意，与是同类项，且系数互为相反数． 所以x的指数相等，即，解得；y的指数相等，即． 因此． 故答案为：4 【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）若单项式与的和仍是一个单项式，则________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了同类项定义，代数式求值，熟练掌握同类项定义，是解题的关键． 根据两个单项式的和仍是一个单项式，说明它们是同类项，因此相同字母的指数必须相等，从而求出，，最后代入求值即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，， 解得：， ∴． 故答案为：6． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知a，b为常数，且单项式与的和仍是单项式，则的平方根为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类项、平方根等知识点，掌握同类项的相同字母的指数必须相等是解题的关键． 根据两个单项式的和仍是单项式，可知它们为同类项，因此相同字母的指数必须相等，从而求出a和b的值，再计算的平方根． 【详解】解：∵单项式与的和仍是单项式， ∴与是同类项， ∴，， ∴， ∴的平方根为． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）已知为常数，若单项式与多项式相加得到的和是单项式，则=___________． 【答案】或 【分析】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的运算法则是解题的关键．根据题意，得到或，得到系数和指数的对应关系，求出，的值，得到结果． 【详解】解：单项式与多项式和是单项式， 当时， ，， ，， 当， ，， ∴，， ． 综上所述：或 故答案为：或． 【变式4】（24-25七年级上·浙江·期中）若与是同类项，则______． 【答案】4或 【分析】本题主要考查了同类项的定义、代数式求值等知识点，根据同类项的定义求出m、n的值是解题的关键． 先根据同类项的定义求得m、n的值，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：根据同类项的定义，得， ∴， ∴或． 故答案为：4或． 【变式5】（22-23七年级上·浙江金华·期末）单项式和是同类项，关于的多项式中项的系数是，则______． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的定义，合并同类项，多项式的定义，先根据同类项的定义得出，再由项的系数是得出，求出的值，然后代入求值即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵单项式和是同类项， ∴， ∵关于的多项式中项的系数是， ∴， 解得：，， ∴， 故答案为：． ▌题型04 整式加减中的不含型问题 【典例4】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）若多项式中不含的项，则的值为_________． 【答案】5 【分析】本题考查了整式加减的无关型问题． 先合并同类项，再求使项的系数为0时的值即可． 【详解】解：多项式中，项的系数为， 由于不含的项，因此， 解得． 故答案为：5． 【变式1】（25-26七年级上·浙江台州·期末）李宏在求关于x的代数式的值时，将不同的的值代入原式，所得的结果都是同一个不含字母的常数，则李宏算得的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减．代数式的值与无关，则的系数和的系数均为零，由此求出的值，再代入常数项计算，即可求解． 【详解】解： 令的系数为零：，解得 代入常数项： 故答案为：． 【变式2】（21-22七年级上·浙江杭州·期中）已知是一个有理数，若与的和不含的平方项，则的值为______． 【答案】 【分析】直接利用整式的加减运算合并同类项，进而利用多项式和中不含a的平方项，得出m的值，即可得出答案． 【详解】解： ， ∵与的和不含的平方项， ∴， 解得：， 故答案为： 【点睛】此题主要考查了整式的加减运算的结果中不含某项的含义，正确合并同类项是解题关键． 【变式3】（25-26七年级上·浙江金华·期中）已知，． (1)若无论x取何值时都不含x的一次项，求k的值； (2)当时，求（1）中的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了合并同类项，多项式，掌握相应的运算法则是关键． （1）本题需先对进行整式的化简运算，得到一个关于的多项式．由于要求无论取何值时该式都不含的一次项，所以一次项系数必须为0，据此建立方程求解的值； （2）在（1）中已求得的值，将其代入化简后的式子，得到一个关于的表达式．再将代入该表达式，通过计算得出的值． 【详解】（1）解： ，， ， 无论取何值时都不含的一次项， ， ； （2）解：当时， ， 当时， ． 【变式4】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）小仁同学有这样一道数学题：“已知两个多项式，，计算”时，小仁误将“”看成：“”，求得的结果为．已知． (1)求多项式？ (2)计算原题的正确结果，并求当时的值； (3)若的计算结果中不含关于的一次项，求的值． 【答案】(1) (2)，3 (3) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，整式的化简求值，整式加减中的无关项问题，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）根据题意可得，据此根据整式的加减计算法则求解即可； （2）根据（1）所求，结合整式的加减计算法则求出的结果，再把代入所求结果中计算求解即可； （3）计算出的结果，根据结果中不含关于的一次项，得到关于的一次项的系数为0，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴ ； （2）解： ， 当时，原式； （3）解： ， ∵的计算结果中不含关于的一次项， ∴， ∴． ▌题型05 整式加减中的无关型问题 【典例5】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）小嘉同学命制了一道数学练习题：“已知关于的多项式的值与的取值无关，求的值．”，则（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，代数式求值，把所给多项式合并同类项，再根据多项式的值与x的取值无关得到含x的项的系数为0，据此求出p、q的值即可得到答案． 【详解】解：． ∵关于的多项式的值与的取值无关 ，且， ∴，， ∴ ， 故选：B． 【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知代数式的值与x的取值无关，则___． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项，代数式求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．由于代数式的值与的取值无关，通过合并同类项后，所有含的项的系数必须为零，据此列方程计算即可． 【详解】解： ∵值与无关， ∴，， 解得，， ∴ 故答案为：． 【变式2】（22-23七年级上·浙江台州·期中）已知，若的值与b无关，则a的值为_________． 【答案】3 【分析】根据整式的加减计算法则求出，再根据的值与b无关，即含b的项的系数为0进行求解即可 【详解】解：∵， ∴ ， ∵的值与b无关， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，正确求出是解题的关键． 【变式3】（24-25七年级上·浙江金华·期中）【阅读理解】已知；若A值与字母x的取值无关，则，解得． ∴当时，A值与字母x的取值无关． 【知识应用】（1）已知，． ①用含m，x的式子表示；②若的值与字母m的取值无关，求x的值； 【知识拓展】（2）年末，商场计划购进甲、乙两种羽绒服共30件进行销售，甲种羽绒服每件进价700元，每件售价1020元；乙种羽绒服每件利润为300元．购进羽绒服后，商场决定：每售出一件甲种羽绒服，返还顾客现金a元，乙种羽绒服不变．设购进甲种羽绒服x件，当销售完这30件羽绒服的利润与x的取值无关时，求a的值． 【答案】（1）①；②10；（2）20 【分析】本题主要考查了代数式表示式，整式加减中的无关型问题等知识． （1）①把，代入，展开去括号合并合并同类项即可． ②根据的值与字母m的取值无关，结合①可知，进而可得出x的值． （2）设购进甲种羽绒服x件，则购进乙种羽绒服件，销售完这30件羽绒服的利润为：，展开得出，再根据销售完这30件羽绒服的利润与x的取值无关时，即可得出，进而可得出a的值． 【详解】解：（1）①，， ∴ ， ②若的值与字母m的取值无关， 则， ∴． （2）设购进甲种羽绒服x件，则购进乙种羽绒服件， 销售完这30件羽绒服的利润为：， 当销售完这30件羽绒服的利润与x的取值无关时， ∴ ∴ ▌题型06 整式加减中的幻方问题 【典例6】（22-23七年级上·浙江金华·期末）我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”（如图1），该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则的值是（    ） A．256 B． C．16 D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式求值问题，一元一次方程的整体解法问题，理解题意，准确求出各代数式的值以及掌握有理数乘方运算法则是解题关键．根据题意，分别列出方程，然后表示出代数式的值，整体代入计算即可． 【详解】解：∵每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴每个三角形各顶点上数字之和相等，如图1中，，则， 即：相邻两个三角形中非公共点的两个顶点数字之和相等， ∴在图2中，，解得：， ∴， 故选：A． 【变式1】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）洛书被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一．相传大禹治水时，洛阳西洛宁县洛河中浮出一只神龟，背上有图有字，这就是洛书（如图1）．洛书用今天的数学符号翻译出来是一个三阶幻方（如图2），就是将9个数填入3×3的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是不完整的幻方，△和◯各表示一个数，则◯—△的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字规律题，解决此题的关键是运用等式的性质；根据使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等得到等式即可解决问题； 【详解】解：∵根据使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等， ∴， ∴， 故选A． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）洛书（如图1）可以用三阶幻方表示（如图2），就是将已知9个数填入的方格中.在图3的幻方中也有与图2相同的数字规律，给定、、、中一个字母的值不能补全图3的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，利用方程分别求解图3中未知的数据（用的代数式表示）从而确定各未知数之间关系，从而可得答案． 【详解】解：如图，设空白处三个数分别为：、、， 依题意得：，即：， ∴， 又∵，即， ∴ ∴每一行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和为：， ∴， ∴， ， ， ∴给定的值能补全图3． 当给定值时，即可确定，也可补全图3， 当给定值时，即可确定，也可补全图3， 当给定时，不能满足每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和为，不能补全图3. 故选：B 【变式3】（24-25七年级上·浙江温州·期中）我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将这九个数字填入的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都是15，如图所示幻方中，所表示的数是（　　） 8 5 n m A．16 B．15 C．12 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据三行、三列、两对角线上的三个数之和都是15，可用含的代数式表示出第一行第三个方格及第三行第一个方格中的数，再结合对角线上的三个数之和是15，即可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵三行、三列、两对角线上的三个数之和都是15， ∴可补充部分数据，如表所示， 8 5 n m 2 根据题意得：， 解得：． 故选：A． 【变式4】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方－九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的3个数之和相等，如图是一个未完成的幻方． （1）若，则A的值为_____； （2）的值为_______． 【答案】 7 13 【分析】本题考查了一元一次方程组的应用及等式基本性质的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程组是解题的关键． （1）由第一列的和等于对角线的和相等列等式，代入求解即可， （2）由第三列的和等于对角线的和、第一列的和等于对角线的和相等列出方程，结合整式计算求解即可． 【详解】解：（1）由图可知，， 若，则，解得， 故答案为：7； （2），， 则 ，， 那么，， 故答案为：13． 【变式5】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．三阶幻方又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵，三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”之分．“和幻方”，指其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等；“积幻方”，指其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等． (1)如图1是一个“和幻方”，则______，_____； (2)如图2是一个“积幻方”，求的值． 【答案】(1)1；7. (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、代数式求值等知识点，根据题意正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据“和幻方”的定义可得方程，再解方程即可解答； （2）根据“积幻方”的定义可得方程，解方程求出m、n的值，再代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，解得：． 故答案为：1；7． （2）解：由题意可得： ， ． ▌题型07 整式加减中的定值问题 【典例7】（25-26七年级上·浙江金华·期中）若代数式的值恒为定值，则的值为（    ） A．0 B．3 C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，去括号，合并同类项后，根据代数式的值恒为定值，需使所有变量项的系数为零，仅保留常数项，进行求解即可． 【详解】解： ， ∵代数式的值恒为定值， ∴，， 解得，， ∴； 故选B． 【变式1】（21-22七年级上·浙江金华·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影，外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是________． ①小长方形的较长边为； ②阴影的较短边和阴影的较短边之和为； ③若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值； ④当时，阴影和阴影的面积和为定值． 【答案】①③④ 【分析】①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为（y﹣12）cm，说法①正确； ②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为（2x+4﹣y）cm，说法②错误； ③由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为2（2x+4），结合x为定值可得出说法③正确； ④由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为（xy﹣20y+240）cm2，代入x＝20可得出说法④正确． 【详解】解：①∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为4cm， ∴小长方形的长为y﹣3×4＝（y﹣12）cm，说法①正确； ②∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为（y﹣12）cm，小长方形的宽为4cm， ∴阴影A的较短边为x﹣2×4＝（x﹣8）cm，阴影B的较短边为x﹣（y﹣12）＝（x﹣y+12）cm， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x﹣8+x﹣y+12＝（2x+4﹣y）cm，说法②错误； ③∵阴影A的较长边为（y﹣12）cm，较短边为（x﹣8）cm，阴影B的较长边为3×4＝12cm，较短边为（x﹣y+12）cm， ∴阴影A的周长为2（y﹣12+x﹣8）＝2（x+y﹣20）cm，阴影B的周长为2（12+x﹣y+12）＝2（x﹣y+24）cm， ∴阴影A和阴影B的周长之和为2（x+y﹣20）+2（x﹣y+24）＝2（2x+4）， ∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③正确； ④∵阴影A的较长边为（y﹣12）cm，较短边为（x﹣8）cm，阴影B的较长边为3×4＝12cm，较短边为（x﹣y+12）cm， ∴阴影A的面积为（y﹣12）（x﹣8）＝（xy﹣12x﹣8y+96）cm2，阴影B的面积为12（x﹣y+12）＝（12x﹣12y+144）cm2， ∴阴影A和阴影B的面积之和为xy﹣12x﹣8y+96+12x﹣12y+144＝（xy﹣20y+240）cm2， 当x＝20时，xy﹣20y+240＝240cm2，说法④正确， 故答案为①③④ 【点睛】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，根据图形分别表示出相关边长并能熟练运用整式加减的运算法则是解题的关键． 【变式2】（25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，在数轴上点，表示的数分别为，，动点从点出发以每秒个单位的速度先沿正方向运动，到达原点后立即按原速返回，动点从点出发以每秒个单位的速度沿负方向运动，动点从原点出发以每秒个单位的速度沿负方向运动，三点同时出发，当点回到点时，三点停止运动．存在常数，当在某段时间内为定值时，的值是__________． 【答案】，， 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，关键是根据点的运动速度和方向，表示的长度，进而求得的值． 【详解】解：当时，， ∴， ∵上式为定值， ∴， 即：； 当时，，， ∴ ∵上式为定值， ∴； 当时，， ∴， ∵上式为定值， ∴； 故答案为： ． 【变式3】（21-22七年级上·浙江台州·期中）把正整数1，2，3，4，…，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、…，用图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为A，B，C，D，设． (1)在图1中，2021排在第 行第 列； (2)的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； (3)将图1中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变． ①设此时图1中排在第m行第n列的数（m，n都是正整数）为w，请用含m，n的代数式表示； ②此时的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； 【答案】(1)253，5 (2) 解：是定值，定值为0，理由如下： 设，方框框住16个数， 则， ∴； (3) 解：①当n是奇数时，； 当n是偶数时，； ②不是定值，理由吐下： 设，方框框住16个数， 当为奇数时，， 此时，； 当为偶数时，， 此时，； ∴的值不为定值． 【分析】本题考查规律型问题，需要用代数式表示出一般规律，并能构建等式通过解简易方程求值，解题的关键是理解题意，学会探究规律、利用规律解决问题，学会探究复杂问题中的等量关系． （1）探究规律，利用规律即可解决问题； （2）分别用含x的代数式表示出A、B、C、D，然后列出代数式，化简即可解决问题； （3）①分奇数、偶数两种情形讨论即可； ②分奇数、偶数两种情形讨论，分别构建简单的等量关系即可解决问题． 【详解】（1）解：， ∴2021排在第253行第5列， 故答案为：253，5； （2）略 （3）略 【变式4】（25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，线段，，在线段上运动，为的中点，为的中点． (1)若，求的长； (2)判断的长是否为定值，并说明理由； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2) 解：是定值，理由如下： 设， ∴，，， ∵为的中点，为的中点， ∴，， ∴； (3)或． 【分析】（1）先求得，和的长，再利用中点的意义，求得和的长，结合图形求解即可； （2）设，同（1）理求解即可； （3）设，则，，， 得到，，得到，，根据，得，得，分当时， 当时，分三种情况讨论，当时，结合，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，， ∵为的中点，为的中点， ∴，， ∴； （2）略 （3）解：设， 则，，， ∵为的中点，为的中点， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，，成立； 当时，，不成立； 当时，，成立． ∴或． ∵， ∴或． ∴的取值范围为或． 【点睛】本题考查了两点间距离，整式的加减的应用，求不等式的解集，熟练掌握线段上两点间距离的求法，灵活应用中点的性质，分类讨论，解题是关键． ▌题型08 整式加减中的遮挡/污染问题 【典例8】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知代数式：，化简的结果是单项式，题中“●”表示该处有一个数字被墨水污染了，则被污染的数字是___________． 【答案】2或3/3或2 【分析】本题考查整式的加减运算，设被污染的数字为k，化简，根据结果是单项式，分2种情况讨论求解即可． 【详解】解：设被污染的数字为k，则：， ∵化简的结果是单项式， ∴或， ∴或； 故被污染的数字是2或3； 故答案为：2或3． 【变式1】（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图1，某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”．其中校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以图为例，其算法为：    步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和a，即a=9＋1＋3=13； 步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和b，即b=6＋0＋2=8； 步骤3：计算3a与b的和c，即c=3×13＋8=47； 步骤4：取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即d=50； 步骤5：计算d与c的差就是校验码X，即X=50-47=3． 请解答下列问题： （1）若《数学故事》的图书码为978753Y，校验码Y的值为______； （2）如图2，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为m，则m的值为______． 【答案】 7 3 【分析】（1）根据题意分别求得，再根据校验码的定义即可解答，根据题意列式求得a、b、c、d的值是解答本题的关键； （2）根据已知、，列式解决即可解答，根据题意列出关于m的代数式是解答本题的关键． 【详解】解：（1）由题意可得：，，，， 所以校验码Y的值为． 故答案为7． （2）由题意可得：，，，， ∵d为10的整数倍， ∴的个位数字只能为9． ∴． 故答案为3． 【变式2】（21-22七年级上·浙江杭州·期末）在数学课上，老师给出了一道题目：“先化简再求值：，其中”，中的数据被污染，无法解答，只记得中是一个实数，于是老师即兴出题，请同学们回答． (1)化简后的代数式中常数项是多少？ (2)若点点同学把“”看成了“”，化简求值的结果仍不变，求此时中数的值； (3)若圆圆同学把“”看成了“”，化简求值的结果为-3，求当时，正确的代数式的值． 【答案】(1)－13 (2)－6 (3)－23 【分析】（1）设中的数据为a，然后进行计算即可解答； （2）根据化简求值的结果仍不变，可得a+6=0，然后进行计算即可解答； （3）先把x=1代入进行计算求出a的值，最后再把x=-1，a=4的值代入进行计算即可． 【详解】（1）设中的数据为a， ， ＝x2+ax-1-x2+6x-12， ＝（a+6)x-13， 化简后的代数式中常数项是：－13； （2）∵化简求值的结果不变， ∴整式的值与x的值无关， ∴a+6=0， ∴a=-6， ∴此时中数的值为：－6； （3）由题意得： 当x=1时，（a+6)x-13=-3， ∴a+6-13=-3， ∴a=4， ∴当x=-1时， （a+6)x-13， ＝－4-6-13 ＝－23， ∴当x=-1时，正确的代数式的值为：－23． 【点睛】本题考查了整式的加减一化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式3】（25-26七年级上·浙江台州·期末）老师在黑板上写下了关于的多项式混合运算，随后用一张纸板挡住了一个多项式，形式如下：． (1)求被遮挡的多项式； (2)当时，求被遮挡部分多项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键． （1）列式表示出被遮挡的多项式，化简即可； （2）把代入（1）中结果求值即可； 【详解】（1）解：被遮挡的多项式 ． （2）解：当时， ． 【变式4】（21-22七年级上浙江金华·期中）印卷时，工人不小心把一道化简题前面的一个数字遮住了，结果变成■. (1)某同学辨认后把“■”猜成10，请你算算他的结果是多少？ (2)老师说“你猜错了，我看到题目遮挡的数字是单项式的系数和次数之积”，那么被遮挡住的数字是几？ (3)若化简结果是一个常数，请你再算遮挡的数字又是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把“■”换成10，原式去括号合并即可得到结果； （2）求出单项式的系数和次数之积，确定出遮挡部分即可； （3）设遮挡部分为a，原式去括号合并后，根据化简结果为常数，确定出a的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：原式＝ ＝ ＝； （2）解：是单项式的系数和次数之积为：， 答：遮挡部分应是； （3）解：设遮挡部分为a， 原式＝ ＝ ＝； 因为结果为常数，所以 所以遮挡部分为． 【点睛】此题考查了整式的加减和代数式的值与字母无关问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键． ▌题型09 整式加减中的新定义化简问题 【典例9】（22-23七年级上·浙江温州·期中）如果一个两位数a的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位数为“英华数”，定义新运算：将一个“英华数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记，例如：a=13，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，，和与11的商，所以．根据以上定义，回答下列问题： （1）计算：________． （2）若m，n都是“英华数”，且，则_____． 【答案】 9 【分析】（1）根据的含义计算即可； （2）设m的十位数字、个位数字分别为b、c，n的十位数字、个位数字分别为d、e，则可分别表示出原两位数及两个数位交换后的新两位数，从而求得及；再由，可得这两个两位数的个位之和为，十位之和为，则可求得结果的值． 【详解】（1）对调个位与十位后得，则； 故答案为：9； （2）设m的十位数字、个位数字分别为b、c，n的十位数字、个位数字分别为d、e，则，，两个数位交换后的新两位数分别为，， ∴，同理； ∵， ∴这两个两位数的个位之和为，十位之和为，即，； ∴； 故答案为：． 【点睛】本题是新定义问题，考查了列代数式、求代数式的值，理解题中的概念、运用整体思想是解题的关键． 【变式1】（25-26七年级上·浙江温州·期末）定义一种运算：，例如：，若的值为5，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，求代数式的值，根据新运算的定义，将转化为代数式，得到，再整体代入计算即可得出结果，理解新定义是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵的值为5， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）定义一种关于整数n的“G”运算： （1）当n是奇数时，结果为； （2）当n是偶数时，结果是（其中m是使是奇数的正整数），并且运算重复进行． 例如：取，第一次经G运算是14，第二次经G运算是7，第三次经G运算是12，第四次经G运算是3……，则第2026次运算结果是_______． 【答案】1 【分析】本题考查了数字类规律探索，通过计算得出从第四次开始，运算结果以周期4循环，再结合，即可得出结果，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：取，第一次经G运算是14，第二次经G运算是7，第三次经G运算是12，第四次经G运算是3，第五次经G运算是8，第六次经G运算是1，第七次经G运算是6，第八次经G运算是3，…， 从第四次开始，运算结果以周期4循环， ∵， ∴第2026次运算结果是1， 故答案为：1． 【变式3】（23-24七年级上·浙江温州·阶段检测）定义新运算：对于任意有理数a，b，都有，例如．将1，2，3，4，…，50这50个自然数分成25组，每组2个数，进行运算，得到25个结果，则这25个结果的和的最大值是______． 【答案】950 【分析】本题考查定义新运算，有理数计算．不妨设各组中的数比大，然后去掉绝对值号化简为，所以当25组中的较大的数恰好是26到50时．这25个值的和最大，再根据求和公式列式计算即可得解． 【详解】解：设，则：， ∴当25组中的较大的数恰好是26到50时．这25个值的和最大， 最大值为：， 故答案为：950． ▌题型10 规律探索问题 【典例10】（24-25七年级上·浙江金华·期末）在教科书第二章《有理数及其运算》中，我们学习了有理数的五种运算，学会了研究运算的方法，现定义一种新运算：，定义的内容被遮盖住了，观察各式，并回答下列问题： ； ； ． (1)请你补全定义内容：______（用含，的代数式表示） (2)先计算和，再说明新定义的运算“”是否满足交换律，即是否成立． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)，， ∵， ， ∴， ∴新定义的运算“”满足交换律，即成立． (3) 【分析】本题主要考查了列代数式，解一元一次方程，求代数式的值，解题的关键是掌握新定义的运算法则； （1）根据给出的式子总结规律：，即可得到答案； （2）根据（1）中总结的规律进行计算和验证； （3）利用（1）中的规律列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 故答案为： （2） ， ∴； （3）∵ ∴， 解得 【变式1】（25-26七年级上·浙江舟山·期末）如图所示，将一组单项式按一定的规律进行排列，根据前5行的规律，第6行（从左至右）的第二个单项式与第四个单项式的和为________． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数总结出存在的规律． 根据图中单项式的特点可以第6行的第二个单项式和第四个单项式，再相加即可． 【详解】解；第一行为， 第二行为， 第三行为， 第四行为， 第五行为， 根据规律可得，第六行第一个单项式为，第二个单项式为，第三个单项式为，第四个单项式为，第五个单项式为，第六个单项式为， 第6行的第二个单项式和第四个单项式为和， ， 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）用小正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有16个正方形，…，按此规律排列下去，则第8个图案中正方形的个数为_________ ，第n个图案中正方形的个数为_________ ． 【答案】 81 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形得出正方形个数的变化规律是解题的关键． 根据所给图形，依次求出图形中正方形的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第①个图案中正方形的个数为：； 第②个图案中正方形的个数为：； 第③个图案中正方形的个数为：； …， 所以第n个图案中正方形的个数为个． 当时， 个， 即第⑧个图案中正方形的个数为81个． 故答案为：81， 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）观察下列等式规律： ①，②，③，……， （1）请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式________； （2）________． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，解题的关键是根据所给的等式总结出存在的规律并灵活运用． （）观察给定等式，左边分母为连续两个奇数的乘积或类似形式，右边为差的一半，推广到第个等式； （）利用第（）问的规律，将每一项裂项为差的形式，求和时通过裂项相消简化计算． 【详解】解：∵， ， ， ， 根据等式规律，第个等式为 ， 故答案为： ， （）原式    ， 故答案为：． 【变式4】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，用火柴棒按照一定规律摆出一组图形，照此规律摆下去，第个图形比第n个图形多出的火柴棒根数是__________（用含n的式子表示，n为正整数）．    【答案】 【分析】本题考查了图形类规律探索，由图形可得到第n个图形中火柴棒的根数为：，第个图中火柴棒的根数为：，进而即可求解． 【详解】解：第1个图形中火柴棒的根数为：， 第2个图形中火柴棒的根数为：， 第3个图形中火柴棒的根数为：， 第4个图形中火柴棒的根数为：， ， 第n个图中火柴棒的根数为：， 第个图中火柴棒的根数为：， 图比图n多出的火柴棒根数是：． 故答案为：． 【变式5】（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）中国工程师从蜂巢获得灵感，采用六边形布局建设基站，既能节省资源，又能实现信号无缝覆盖．这种布局中，基站数量随着层数增加呈现特定规律，如下所示： 序号 ① ② ③ …… 图形          …… 每层新增数 6 12 …… (1)根据信息中的规律，填空： 第一层总基站数：1个； 第二层总基站数：个； 第三层总基站数：个； 第四层新增基站数：______个，总基站数：______个； 第五层新增基站数：______个，总基站数：______个； 第n层新增基站数规律：______（用含n的式子表示）个； (2)如果第n层总基站数的规律符合关系式，那么该地区按照此规律建到第8层，总基站数是多少个？ 【答案】(1)18，37；24，61； (2)169个． 【分析】本题考查图形规律探究，通过分析研究总结出规律是解题的关键． （1）通过分析，总结出第n层新增基站数规律：个； （2）把代入，计算即可． 【详解】（1）解：第二层新增基站数：个，总基站数：个； 第三层新增基站数：个，总基站数：个； 第四层新增基站数：个，总基站数：个； 第五层新增基站数：个，总基站数：个； …… 第n层新增基站数规律：个． 故答案为：18；37；24；61；． （2）解：当时， ． 答：总基站数是169个． 【变式6】（23-24七年级上·浙江金华·阶段检测）研究下列算式，你会发现什么规律？ ，，，… (1)请你找出规律并计算__________； (2)请依据找到的规律写出第n个算式：__________ (3)用找到的规律解决下面的问题： 计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字类规律探究，有理数的混合运算． （1）仿照题干给定的等式，计算即可； （2）根据给出的等式，推出相应的规律即可； （3）结合规律，进行简算即可． 解题的关键是得到：． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）由题意，可知，第n个算式为：； 故答案为：； （3） ． 【变式7】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）我校七年级数学兴趣小组成员们自主开展数学微项目研究．结合本阶段学习内容的特点，他们决定研究数的一些“神秘”性质． 探索数的神秘性质 素材 尼科马库斯是古希腊数学家，他的著作《算术入门》中记载了各种数分门别类的整理成果，其中任何一个整数的立方都可以写成个连续奇数之和． 举例论证： ；；； 请你按规律写出：______． 规律总结 当是奇数7时，则等号右边式子中的中间数（即第4个数）为______； 当为偶数10时，则等号右边式子中的中间两个数（即第5和第6个数）为______． 综合应用 利用上面结论计算：． 拓展延伸 我们还发现以下规律：已知，，且，均为正整数，如果将进行如图所示的“分解”； 若（且，均为不大于7的正整数）的分解中有奇数17，则的值为______． 【答案】素材：；规律总结：49，99，101；综合应用：4356；拓展延伸：32或64． 【分析】本题考查了数字的变化规律，有理数的加法运算，指数方程，利用方程思想是解题的关键． 素材：设未知数，列方程求解即可； 规律总结：根据左边数与右边中间一个数或两个数的平均数的关系求解即可； 综合应用：找出规律，根据规律进行计算即可求解； 拓展延伸：根据题意，验证求解． 【详解】解：素材：设， 解得：， ， 故答案为：； 规律总结：设， 解得：， 当时，，， 故答案为：49，99，101； 综合应用：， ， ， ， … ， 拓展延伸：当时，， 解得：， 此时， ， 当时，， 解得， 此时， ， 故答案为：32或64． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 整式加减运算有关的10种含参问题 （题型突破·举一反三） 题型01 根据单项式、多项式的相关概念求解 题型02 单项式、多项式规律探究 题型03 已知同类项求指数中字母或代数式的值 题型04 整式加减中的不含型问题 题型05 整式加减中的无关型问题 题型06 整式加减中的幻方问题 题型07 整式加减中的定值问题 题型08 整式加减中的遮挡/污染问题 题型09 整式加减中的新定义化简问题 题型10 规律探索问题 ▌题型01 根据单项式、多项式的相关概念求解 【典例1】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）单项式的系数为，次数为，则的值是________． 【变式1】（22-23七年级上·浙江杭州·期中）已知是关于x，y的五次单项式，则m的值是____________． 【变式2】（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）多项式是关于x，y的四次二项式，则k的值为_________． 【变式3】（25-26七年级上·浙江台州·期中）已知多项式的次数是，是二次项的系数，则的值为_____． 【变式4】（23-24七年级上·浙江金华·期末）若单项式与单项式的差仍是单项式，则多项式是___________次多项式． 【变式5】（23-24七年级上·浙江·课堂例题）已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，则的值为__________________． ▌题型02 单项式、多项式规律探究 【典例2】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）按照一定规律排列的单项式：，，，…则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）一定规律排列的一列单项式如下：，，，，，第2025个单项式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级上·浙江衢州·期中）观察下列各多项式：，，，，，根据你发现的规律，第6个多项式为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）观察多项式的构成规律，则： （1）它的第5项是 ________； （2）当时，多项式前100项的和为 ________． ▌题型03 已知同类项求指数中字母或代数式的值 【典例3】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）若与的和为0，则的值为________． 【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）若单项式与的和仍是一个单项式，则________． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知a，b为常数，且单项式与的和仍是单项式，则的平方根为______． 【变式3】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）已知为常数，若单项式与多项式相加得到的和是单项式，则=___________． 【变式4】（24-25七年级上·浙江·期中）若与是同类项，则______． 【变式5】（22-23七年级上·浙江金华·期末）单项式和是同类项，关于的多项式中项的系数是，则______． ▌题型04 整式加减中的不含型问题 【典例4】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）若多项式中不含的项，则的值为_________． 【变式1】（25-26七年级上·浙江台州·期末）李宏在求关于x的代数式的值时，将不同的的值代入原式，所得的结果都是同一个不含字母的常数，则李宏算得的结果是______． 【变式2】（21-22七年级上·浙江杭州·期中）已知是一个有理数，若与的和不含的平方项，则的值为______． 【变式3】（25-26七年级上·浙江金华·期中）已知，． (1)若无论x取何值时都不含x的一次项，求k的值； (2)当时，求（1）中的值． 【变式4】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）小仁同学有这样一道数学题：“已知两个多项式，，计算”时，小仁误将“”看成：“”，求得的结果为．已知． (1)求多项式？ (2)计算原题的正确结果，并求当时的值； (3)若的计算结果中不含关于的一次项，求的值． ▌题型05 整式加减中的无关型问题 【典例5】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）小嘉同学命制了一道数学练习题：“已知关于的多项式的值与的取值无关，求的值．”，则（   ） A．1 B． C．0 D． 【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知代数式的值与x的取值无关，则___． 【变式2】（22-23七年级上·浙江台州·期中）已知，若的值与b无关，则a的值为_________． 【变式3】（24-25七年级上·浙江金华·期中）【阅读理解】已知；若A值与字母x的取值无关，则，解得． ∴当时，A值与字母x的取值无关． 【知识应用】（1）已知，． ①用含m，x的式子表示；②若的值与字母m的取值无关，求x的值； 【知识拓展】（2）年末，商场计划购进甲、乙两种羽绒服共30件进行销售，甲种羽绒服每件进价700元，每件售价1020元；乙种羽绒服每件利润为300元．购进羽绒服后，商场决定：每售出一件甲种羽绒服，返还顾客现金a元，乙种羽绒服不变．设购进甲种羽绒服x件，当销售完这30件羽绒服的利润与x的取值无关时，求a的值． ▌题型06 整式加减中的幻方问题 【典例6】（22-23七年级上·浙江金华·期末）我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”（如图1），该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则的值是（    ） A．256 B． C．16 D． 【变式1】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）洛书被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一．相传大禹治水时，洛阳西洛宁县洛河中浮出一只神龟，背上有图有字，这就是洛书（如图1）．洛书用今天的数学符号翻译出来是一个三阶幻方（如图2），就是将9个数填入3×3的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是不完整的幻方，△和◯各表示一个数，则◯—△的值为（    ） A． B． C．2 D． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）洛书（如图1）可以用三阶幻方表示（如图2），就是将已知9个数填入的方格中.在图3的幻方中也有与图2相同的数字规律，给定、、、中一个字母的值不能补全图3的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级上·浙江温州·期中）我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将这九个数字填入的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都是15，如图所示幻方中，所表示的数是（　　） 8 5 n m A．16 B．15 C．12 D．10 【变式4】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方－九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的3个数之和相等，如图是一个未完成的幻方． （1）若，则A的值为_____； （2）的值为_______． 【变式5】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．三阶幻方又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵，三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”之分．“和幻方”，指其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等；“积幻方”，指其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等． (1)如图1是一个“和幻方”，则______，_____； (2)如图2是一个“积幻方”，求的值． ▌题型07 整式加减中的定值问题 【典例7】（25-26七年级上·浙江金华·期中）若代数式的值恒为定值，则的值为（    ） A．0 B．3 C． D．5 【变式1】（21-22七年级上·浙江金华·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影，外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是________． ①小长方形的较长边为； ②阴影的较短边和阴影的较短边之和为； ③若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值； ④当时，阴影和阴影的面积和为定值． 【变式2】（25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，在数轴上点，表示的数分别为，，动点从点出发以每秒个单位的速度先沿正方向运动，到达原点后立即按原速返回，动点从点出发以每秒个单位的速度沿负方向运动，动点从原点出发以每秒个单位的速度沿负方向运动，三点同时出发，当点回到点时，三点停止运动．存在常数，当在某段时间内为定值时，的值是__________． 【变式3】（21-22七年级上·浙江台州·期中）把正整数1，2，3，4，…，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、…，用图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为A，B，C，D，设． (1)在图1中，2021排在第 行第 列； (2)的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； (3)将图1中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变． ①设此时图1中排在第m行第n列的数（m，n都是正整数）为w，请用含m，n的代数式表示； ②此时的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； 【变式4】（25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，线段，，在线段上运动，为的中点，为的中点． (1)若，求的长； (2)判断的长是否为定值，并说明理由； (3)当时，求的取值范围． ▌题型08 整式加减中的遮挡/污染问题 【典例8】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知代数式：，化简的结果是单项式，题中“●”表示该处有一个数字被墨水污染了，则被污染的数字是___________． 【变式1】（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图1，某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”．其中校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以图为例，其算法为：    步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和a，即a=9＋1＋3=13； 步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和b，即b=6＋0＋2=8； 步骤3：计算3a与b的和c，即c=3×13＋8=47； 步骤4：取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即d=50； 步骤5：计算d与c的差就是校验码X，即X=50-47=3． 请解答下列问题： （1）若《数学故事》的图书码为978753Y，校验码Y的值为______； （2）如图2，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为m，则m的值为______． 【变式2】（21-22七年级上·浙江杭州·期末）在数学课上，老师给出了一道题目：“先化简再求值：，其中”，中的数据被污染，无法解答，只记得中是一个实数，于是老师即兴出题，请同学们回答． (1)化简后的代数式中常数项是多少？ (2)若点点同学把“”看成了“”，化简求值的结果仍不变，求此时中数的值； (3)若圆圆同学把“”看成了“”，化简求值的结果为-3，求当时，正确的代数式的值． 【变式3】（25-26七年级上·浙江台州·期末）老师在黑板上写下了关于的多项式混合运算，随后用一张纸板挡住了一个多项式，形式如下：． (1)求被遮挡的多项式； (2)当时，求被遮挡部分多项式的值． 【变式4】（21-22七年级上浙江金华·期中）印卷时，工人不小心把一道化简题前面的一个数字遮住了，结果变成■. (1)某同学辨认后把“■”猜成10，请你算算他的结果是多少？ (2)老师说“你猜错了，我看到题目遮挡的数字是单项式的系数和次数之积”，那么被遮挡住的数字是几？ (3)若化简结果是一个常数，请你再算遮挡的数字又是多少？ ▌题型09 整式加减中的新定义化简问题 【典例9】（22-23七年级上·浙江温州·期中）如果一个两位数a的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位数为“英华数”，定义新运算：将一个“英华数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记，例如：a=13，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，，和与11的商，所以．根据以上定义，回答下列问题： （1）计算：________． （2）若m，n都是“英华数”，且，则_____． 【变式1】（25-26七年级上·浙江温州·期末）定义一种运算：，例如：，若的值为5，则的值为___________． 【变式2】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）定义一种关于整数n的“G”运算： （1）当n是奇数时，结果为； （2）当n是偶数时，结果是（其中m是使是奇数的正整数），并且运算重复进行． 例如：取，第一次经G运算是14，第二次经G运算是7，第三次经G运算是12，第四次经G运算是3……，则第2026次运算结果是_______． 【变式3】（23-24七年级上·浙江温州·阶段检测）定义新运算：对于任意有理数a，b，都有，例如．将1，2，3，4，…，50这50个自然数分成25组，每组2个数，进行运算，得到25个结果，则这25个结果的和的最大值是______． ▌题型10 规律探索问题 【典例10】（24-25七年级上·浙江金华·期末）在教科书第二章《有理数及其运算》中，我们学习了有理数的五种运算，学会了研究运算的方法，现定义一种新运算：，定义的内容被遮盖住了，观察各式，并回答下列问题： ； ； ． (1)请你补全定义内容：______（用含，的代数式表示） (2)先计算和，再说明新定义的运算“”是否满足交换律，即是否成立． (3)若，求的值． 【变式1】（25-26七年级上·浙江舟山·期末）如图所示，将一组单项式按一定的规律进行排列，根据前5行的规律，第6行（从左至右）的第二个单项式与第四个单项式的和为________． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）用小正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有16个正方形，…，按此规律排列下去，则第8个图案中正方形的个数为_________ ，第n个图案中正方形的个数为_________ ． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）观察下列等式规律： ①，②，③，……， （1）请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式________； （2）________． 【变式4】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，用火柴棒按照一定规律摆出一组图形，照此规律摆下去，第个图形比第n个图形多出的火柴棒根数是__________（用含n的式子表示，n为正整数）．    【变式5】（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）中国工程师从蜂巢获得灵感，采用六边形布局建设基站，既能节省资源，又能实现信号无缝覆盖．这种布局中，基站数量随着层数增加呈现特定规律，如下所示： 序号 ① ② ③ …… 图形          …… 每层新增数 6 12 …… (1)根据信息中的规律，填空： 第一层总基站数：1个； 第二层总基站数：个； 第三层总基站数：个； 第四层新增基站数：______个，总基站数：______个； 第五层新增基站数：______个，总基站数：______个； 第n层新增基站数规律：______（用含n的式子表示）个； (2)如果第n层总基站数的规律符合关系式，那么该地区按照此规律建到第8层，总基站数是多少个？ 【变式6】（23-24七年级上·浙江金华·阶段检测）研究下列算式，你会发现什么规律？ ，，，… (1)请你找出规律并计算__________； (2)请依据找到的规律写出第n个算式：__________ (3)用找到的规律解决下面的问题： 计算： 【变式7】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）我校七年级数学兴趣小组成员们自主开展数学微项目研究．结合本阶段学习内容的特点，他们决定研究数的一些“神秘”性质． 探索数的神秘性质 素材 尼科马库斯是古希腊数学家，他的著作《算术入门》中记载了各种数分门别类的整理成果，其中任何一个整数的立方都可以写成个连续奇数之和． 举例论证： ；；； 请你按规律写出：______． 规律总结 当是奇数7时，则等号右边式子中的中间数（即第4个数）为______； 当为偶数10时，则等号右边式子中的中间两个数（即第5和第6个数）为______． 综合应用 利用上面结论计算：． 拓展延伸 我们还发现以下规律：已知，，且，均为正整数，如果将进行如图所示的“分解”； 若（且，均为不大于7的正整数）的分解中有奇数17，则的值为______． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06整式加减运算有关的10种含参问题 (题型突破举一反三) 题型01根据单项式。多项式的相送概念求解 典例精析 【典例1】 5 【答案】 举一反 【变式1 【答案】3 【变式2】 【答案】2 【变式3】 【答案】-5 【变式4】 【答案】四 【变式5】 【答案】5 题型02单项式。多项式规律探究 典例精析 【典例2】 【答案】B E 举一反三 【变式1】A 【变式2】B 1/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式3】 【答案】 -100 题型03已知同类项求指数中字母或代数式的值 三典例精析 【典例3】 【答案】4 举一反三 【变式1】 【答案】6 【变式2】 【答案】±5 【变式3】 【答案】-3或-1 【变式4】 【答案】4或-2 【变式5】 【答案】7 题型04整式加减中的不含型问题 三 典例精析 【典例4】 【答案】5 举一反三 【变式1】 【答案】8 【变式2】 【答案】-3 【变式3】 2/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)k=-1 24 【变式4】 【答案】(1)x2+3x+4 (2)3x2+7x+7,3 (3)m=-3 题型05整式加减冲的无送型问题 典例精析 【典例5】B 举一反三 【变式1】 【答案】-12 【变式2】 【答案】3 【变式3】 【答案】(1)①m(x-10)+3x:②10：(2)20 题型06 整式加减中的幻方问题 典例精析 【典例6】A 三举一反目 【变式1】A 【变式2】B 【变式3】A 【变式4】 【答案】 7 13 【变式5】 3/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)1：7. .16 (29 题型07整式加减中的定值问题 典例精析 【典例7】B E 举一反三 【变式1】 【答案】①③④ 【变式2】 【答案】-9,9,3 【变式3】 【答案】(1)253,5 (2) 解：是定值，定值为0，理由如下： 设A=x,方框框住16个数， 则D=x+3,B=x+24,C=x+27, A-B+C-D=x-x-24+x+27-x-3=0: (3) 解：①当n是奇数时，w=-[8(m-l)+n]=-8m+8-n, 当n是偶数时，w=8(m-1)+n=8m-8+n: ②不是定值，理由吐下： 设A=x,方框框住16个数， 当C,D为奇数时，D=-x-3,B=x+24,C=-x-27, 此时，A+B-C-D=x+x+24+x+27+x+3=4x+54: 当C,D为偶数时，D=-x+3,B=x-24,C=-x+27, 此时，A+B-C-D=x+x-24+x-27+x-3=4x-54: A+B-C-D的值不为定值， 4/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式4】 【答案】(1)EF=3: (2) 解：EF=3是定值，理由如下： 设AC=x, .:.BD=AB-AC-CD=10-x-4=6-x,AD=AC+CD=x+4,BC=AB-AC=10-x, ,E为AD的中点，F为BC的中点， .AE=TAD-1x+2.BF=1BC=5-1x .EF=AB-AE-BF=10- 2*5-3。 (3)0≤AC≤2或4≤AC≤6 题型08整式加减中的遮挡/污染问题 典例精析 【典例8】 【答案】2或3/3或2 举一反王 【变式1】 【答案】 【变式2】 【答案】(1)-13 (2)-6 (3)-23 【变式3】 【答案】(1)x2-4x+4 5 2)4 【变式4】 【答案】(1)13x2y 5/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)-4 (3)-3 题型09 整式加减中的断定义化简问题 典例精析 【典例9】 【答案】 9 19 三 举一反三 【变式1】 【答案】-10 【变式2】 【答案】1 【变式3】 【答案】950 题型10 规律探索问题 典例精析 【典例10】 【答案】(1)ab-a-b (2)(-7)★2=-9,2★(-7)=-9」 a★b=ab-a-b,b★a=ab-b-a=ab-a-b, ∴.a★b=b★a, ,新定义的运算“★”满足交换律，即a★b=b★a成立. (3)m=1 举一反目 【变式1】 【答案】20 【变式2】 6/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】 81 (n+1)2 【变式3】 1x11 【答案】 53 n(n+2)2(nn+2 165 【变式4】 【答案】2” 【变式5】 【答案】(118,37：24,61：6(n-1) (2)169个. 【变式6】 【答案】(1)7×9+1=64=82 (2)n×(n+2)+1=(n+1)月 4044 (3)2013 【变式7】 【答案】素材：13+15+17+19，规律总结：49,99,101：综合应用：4356：拓展延伸：32或64 7/7