专题03 整式的运算（题型专练）数学新教材浙教版七年级上册

**基本信息** 以“题型突破+方法提炼”构建整式运算训练体系，覆盖10类核心题型，提炼“一相加二不变”等实用技巧，形成从基础到综合的知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |合并同类项|1典例+3变式|一相加二不变（系数相加，字母及指数不变）|从同类项概念到合并法则，夯实运算基础| |去括号|1典例+3变式|关注括号外系数与符号|法则应用，为整式加减作铺垫| |整式加减|1典例+4变式|防漏项、合并同类项、降幂排列|综合应用前两模块，提升运算能力| |化简求值等|6题型各1典例+3变式|整体代入、系数为0（无关/定值）、作差法（比较大小）|从基础运算到综合应用，发展推理意识|

专题03 整式的运算 （题型突破·举一反三） 题型01 合并同类项 题型02 去括号 题型03 整式加减的运算 题型04 整式加减中的化简求值问题 题型05 整式加减中的整除问题 题型06 整式加减中的无关型问题 题型07 整式加减中的定值问题 题型08 整式加减中的错解问题 题型09 整式加减中的污染问题 题型10 整式加减中的比较大小问题 ▌题型01 合并同类项 简称：一相加二不变，合并同类项. 即：“一相加”：系数相加作为结果的系数.“二不变”：字母连同字母指数不变. 【典例1】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项的法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，原计算错误； B、不是同类项，不能合并，原计算错误； C、，原计算正确； D、，原计算错误； 故选C 【变式1】（25-26七年级上·浙江台州·期末）若多项式合并同类项后的结果是3，则的值为（   ） A． B． C．10 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了合并同类项． 合并后结果为常数，说明含x、y的项的系数均为0，据此求出a、b的值，再计算即可． 【详解】解：， ∵合并同类项后的结果是3， ∴含x的项系数为0，含y的项系数为0， 即，， 解得，， ∴． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）若单项式与的和仍是单项式，则m的值为_____． 【答案】4 【分析】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 由单项式与的和仍是单项式，可知单项式与是同类项，根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【详解】解：∵单项式与的和仍是单项式， ∴单项式与是同类项， 由同类项的定义可知， 解得． 故答案为：4． 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列各组中的两项能合并的是（   ） A．与 B．与 C．4与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，掌握同类项的定义是解题关键．根据合并同类项法则计算即可． 【详解】解：A、与所含字母不同，不是同类项，不能合并，不符合题意； B、与所含字母相同，但相同字母的次数不同，不是同类项，不能合并，不符合题意； C、4与所含字母不同，不是同类项，不能合并，不符合题意； D、与是同类项，能合并，符合题意； 故选：D． ▌题型02 去括号 去括号时需注意括号外面的系数和符号 【典例2】（25-26七年级上·浙江台州·期末）将代数式去括号得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了去括号，根据去括号法则即可求解，当括号前是“+”号时，去掉括号和前面的“+”号，括号内各项的符号都不变号；当括号前是“－”号时，去掉括号和前面的“－”号，括号内各项的符号都要变号． 【详解】解：， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）下列各式去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查去括号，解题的关键是掌握去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同：如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来符号相反．据此解答即可． 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·浙江台州·期末）已知，，则__________． 【答案】2 【分析】本题考查了去括号和添括号法则，以及整体代入法求代数式的值． 将原式去括号并重新组合，利用已知条件代入求值即可． 【详解】解：， 当时， 原式． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）去括号： （1）___________； （2）___________； （3）___________； （4）___________； （5）___________． 【答案】 【分析】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号．根据去括号的方法进行解答即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）； 故答案为：； （4）； 故答案为：； （5） ． 故答案为：． ▌题型03 整式加减的运算 1）整式的加减运算过程中，切记不要漏项，交换项的位置时，要注意连同符号一起交换. 2）整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，要合并到不能再合并为止； ②不能出现带分数，带分数要化成假分数. 3）运算结果，常将多项式的某个字母（如x）按照降幂（升幂）排列. 【典例3】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减运算，核心知识点为同类项的概念、合并同类项法则及去括号法则． 【详解】解：与不是同类项，不能合并，选项A错误； 与所含字母不同，不是同类项，不能合并，选项B错误； ，选项C错误； ，选项D正确； 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知两数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简代数式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由数轴上点的位置确定式子符号、化简绝对值及整式加减运算等知识，由数轴上点的位置确定式子符号是解决问题的关键． 先由两数在数轴上对应的点的位置得到，进而得到，再由绝对值的代数意义去绝对值，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ， 则， ， 则 ， 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·浙江舟山·期中）的最小值是______． 【答案】16 【分析】本题考查了整式的加减运算，化简绝对值，解题的关键是熟练掌握分类讨论的思想． 通过分段讨论绝对值表达式，根据关键点，，将数轴分为四个区间，分别计算每个区间内表达式的值，并比较最小值． 【详解】解：当 时， 原式， ∴在时取最小值； 当 时， 原式，则该代数式的值大于； 当时， 原式，则该代数式的值大于； 当时， 原式，则该代数式的值大于； 综上，最小值为， 故答案为：16． 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知代数式，，（其中），满足，（为常数），则_______． 【答案】/ 【分析】此题考查了整式的加减运算．根据题意可得，即可得到，，即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 整理得，， ∴，， ∴， ∵（为常数）， ∴， 故答案为：． 【变式4】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的加减，掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键．先去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． ▌题型04 整式加减中的化简求值问题 【典例4】（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【答案】，3. 【分析】先去括号合并同类项得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： 当时， 原式 【变式1】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）已知，． (1)化简代数式； (2)若，满足，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用整式的加减即可解答； （2）根据绝对值和偶次方的非负性可得，，代入即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解：，，， ，， ，． 当，时，原式． 【变式2】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）“整体思想”是初中数学一种重要的思想方法，它在代数中应用较为广泛．如已知，求的值．根据已知条件我们虽无法直接求出与的值，但可以将看作一个整体，其值即为，而，将整体代入，即可求得． (1)已知，则__________； (2)若，求的值； (3)设多项式，若的结果与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了代数式求值、整式的化简求值等知识点，灵活运用整体思想是解题的关键； （1）将所求代数式变形后整体代入即可； （2）将代数式变形后整体代入即可； （3）将化简后，因结果与无关，得出的值，整体代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：， 将代入，原式 ； （3）解： ， ∵结果与的取值无关， ， ， ． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）（1）问题解决：当x取不同数值时，代数式和对应的值如下表，表中部分信息被墨水污染， x 1 2 2 ● ● 3 根据表中信息求：当时，代数式的值； （2）迁移拓展：，，求的值． 【答案】（1）15（2） 【分析】本题考查了已知整式的值，求另一个代数式的值，涉及到了整体代入的思想方法． （1）先利用表格得出，再将所求代数式变形，整体代入数值计算即可求解； （2）将所求代数式变形，并将已知整式的值代入即可求解． 【详解】（1）解：由表格数据可知，， 当时，； （2）解：， ∵，， ∴． ▌题型05 整式加减中的整除问题 判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多项式（多项式的值为整数）乘积的形式. 【典例5】（23-24七年级上·浙江台州·期末）【探究】（1）设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除． 证明： 显然 能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除． 【应用】（2）设是一个四位数，若可以被9整除，试说明这个数可以被9整除． 【答案】（1），， （2）证明： ， ∵能被整除， ∴若可以被9整除，则能被9整除． 【分析】本题主要考查了整式加减混合运算，熟练掌握整式加减混合运算是解题的关键． （1）根据整式加减法则，进行填空即可； （2）仿照（1）中的证明方法，进行作答即可． 【详解】解：（1）证明： ； 显然能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除． 故答案为：，，； （2）略 【变式1】（22-23七年级上·浙江衢州·期末）【原题重现】作业本“第4章代数式”中有这样一道题：一个两位数，它的十位数字是x，个位数字是y．若把十位数字与个位数字对调，请分别计算新数与原数的和与差，并回答 【方法回顾】解：因为（逆用分配律），所以能被11整除， 【解决问题】 （1）请解答：新数与原数的差能被11整除吗？ 【类比推理】 （2）对于一个三位数，对调百位与个位上的数字，得到一个新的三位数．请计算新数与原数的差被11和3整除吗？ 【答案】（1）新数与原数的差不能被11整除；（2）能被3和11这两个质数整除 【分析】此题考查了整式的加减，关键是根据题意正确列式计算． （1）根据题目中的解题方法，算出新数与原数的差，即可得到结论； （2）分别表示出新三位数和原三位数，利用整式的加减计算出结果，再根据因数来进行解答即可． 【详解】解：（1） ＝ ， 所以新数与原数的差不能被11整除． （2） ， ∵， ∴能被3和11这两个质数整除． 【变式2】（23-24七年级上·浙江台州·期末）对任意一个三位正整数，如果的百位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数为“神奇数”．例如：，因为，所以311是“神奇数”．例如：，因为，所以514不是“神奇数”． (1)判断917和642是不是“神奇数”，并说明理由； (2)若是“神奇数”，且与13的和能被11整除，求满足条件的所有“神奇数”． 【答案】(1) 解：917是“神奇数”，642不是“神奇数”； 理由：∵， ∴917是“神奇数”， ∵， ∴642不是“神奇数”； (2)“神奇数“m为或 【分析】本题考查了整式加减的应用； （1）根据“神奇数”的定义进行判断，满足条件的是神奇数； （2）设m的百位数字，十位数字，个位数字为b，c，d，则，求出，可得能被11整除，然后分和两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）略． （2）设m的百位数字，十位数字，个位数字为b，c，d，则， ∵m是“神奇数”， ∴， ∴ ， ∵m与13的和能被11整除． ∴能被11整除， ∴能被11整除， ∴当时，，则，或，则，； ∴或， 当时，不存在符合题意的b，c，d，， ∴“神奇数“m为或． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）综合与实践 【问题背景】小马同学探索被5整除的数的规律，她查到了如下材料． (1)材料1：一个两位数，若十位数字是a，个位数字是b，则它记为，． 材料2：设是一个三位数，．显然能被5整除，若_____（写出一个即可），b也能被5整除，则这个三位数能被5整除． (2)【实践应用】设是一个三位数，若能被3整除，则这个三位数能被3整除．理由如下：因为①_____， 因为（②_____），且②是整数，所以①能被3整除， 又因为能被3整除，所以这个三位数能被3整除． 请你写出①，②表示的代数式， (3)【拓展延伸】设是一个四位数，若能被9整除，则这个四位数能被9整除．请模仿（2）说明理由． 【答案】(1)0或5（填写一个即可） (2)①；② (3) 解： ． 显然能被9整除， 因此，如果可以被9整除，那么就能被9整除． 【分析】本题主要考查了整式加减混合运算，熟练掌握整式加减混合运算是解题的关键． （1）根据整除定义进行解答即可； （2）根据整式加减法则，进行填空即可； （3）仿照（2）中的证明方法，进行作答即可． 【详解】（1）解：∵，且b为整数， ∴当或5时，b能被5整除； （2）解： 显然能被3整除， 因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除． （3）略 ▌题型06 整式加减中的无关型问题 若整式加减运算结果“不含某项”或整体的值“与某个字母的值无关”，实质是去括号，合并同类项后，令该项的系数为0，从而求出待定字母的值. 【典例6】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）小嘉同学命制了一道数学练习题：“已知关于的多项式的值与的取值无关，求的值．”，则（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，代数式求值，把所给多项式合并同类项，再根据多项式的值与x的取值无关得到含x的项的系数为0，据此求出p、q的值即可得到答案． 【详解】解：． ∵关于的多项式的值与的取值无关 ，且， ∴，， ∴ ， 故选：B． 【变式1】（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）已知：，．若的取值与y无关，则的值为______． 【答案】3 【分析】本题考查了整式的加减； 先计算，化简得，根据取值与y无关，得y的系数为0，即，解得，代入计算即可． 【详解】解： ， ∵的取值与y无关， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【变式2】（21-22七年级上·浙江杭州·期中）已知，，若代数式的结果与b无关，则___． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键．将、代入，然后去括号、合并同类项，得，由此代数式与b的取值无关，说明b的系数为0，据此求出的值． 【详解】解：由，， 代数式的结果与b无关， ， 解得：， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·浙江金华·期中）【阅读理解】已知；若A值与字母x的取值无关，则，解得． ∴当时，A值与字母x的取值无关． 【知识应用】（1）已知，． ①用含m，x的式子表示；②若的值与字母m的取值无关，求x的值； 【知识拓展】（2）年末，商场计划购进甲、乙两种羽绒服共30件进行销售，甲种羽绒服每件进价700元，每件售价1020元；乙种羽绒服每件利润为300元．购进羽绒服后，商场决定：每售出一件甲种羽绒服，返还顾客现金a元，乙种羽绒服不变．设购进甲种羽绒服x件，当销售完这30件羽绒服的利润与x的取值无关时，求a的值． 【答案】（1）①；②10；（2）20 【分析】本题主要考查了代数式表示式，整式加减中的无关型问题等知识． （1）①把，代入，展开去括号合并合并同类项即可． ②根据的值与字母m的取值无关，结合①可知，进而可得出x的值． （2）设购进甲种羽绒服x件，则购进乙种羽绒服件，销售完这30件羽绒服的利润为：，展开得出，再根据销售完这30件羽绒服的利润与x的取值无关时，即可得出，进而可得出a的值． 【详解】解：（1）①，， ∴ ， ②若的值与字母m的取值无关， 则， ∴． （2）设购进甲种羽绒服x件，则购进乙种羽绒服件， 销售完这30件羽绒服的利润为：， 当销售完这30件羽绒服的利润与x的取值无关时， ∴ ∴ ▌题型07 整式加减中的定值问题 【典例7】（24-25七年级上·浙江金华·期末）已知，当为任意数值时，的值为定值，则的值为_____． 【答案】18 【分析】根据整式的加减运算法则计算出的值，由题意可知的值与a的值无关，则a的系数为零，由此即可求解． 本题主要考查整式的运算，掌握整式的混合运算方法，以及与某未知数无关则该未知数的系数为零的计算方法是解题的关键． 【详解】解： ， ∵当为任意数值时，的值为定值， ∴的值与a的值无关， ， ， ． 故答案为：18． 【变式1】（25-26七年级上·浙江衢州·期末）已知，． (1)当，时，计算的值； (2)若无论代入何值，的值始终为一个定值，请求出这个定值和的值． 【答案】(1) (2)定值为，的值为 【分析】本题考查整式加减运算与代数式的化简与求值，以及“定值问题”的处理思路． （1）先代入，分别计算和，再求的值． （2）先化简，使其成为关于的一次多项式，再根据“无论取何值，值为定值”的条件，令含的项的系数为，从而求出和定值． 【详解】（1）解：当，时， ， ， ； （2）解： ． 无论取何值，的值为定值， 含的项的系数为，即， 解得，此时． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知，，当取任意数值时，的值一定是定值，请求出这个定值. 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，代数式求值，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题； 本题先求出的代数式，然后根据取任意数值时，的值一定是定值，求得和的值，进而求解定值； 【详解】解： ， ∵当取任意数值时，的值一定是定值， ∴，， ∴，， 即当，时，取任意数值时，的值一定是定值，定值. 【变式3】（25-26七年级上·浙江台州·期中）如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4． (1)图中小长方形的较长边为_____；（用代数式表示） (2)求图中阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和；（用含x，y的式子表示） (3)若x为定值，判断阴影A和阴影B的周长值之和是否为定值，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，若x为定值，则和是否为定值． 【分析】本题主要考查了整式的加减混合运算，解题的关键是正确理解题意，根据图形写出正确的代数式进行计算． （1）根据图形可知，小长方形的较长边等于y减去三个较短边，即可进行解答； （2）根据图形可知，阴影B的较短边等于x减去小长方形的较长边，阴影A的一条较短边等于x减去2个较短边，即可进行解答； （3）分别将阴影A的长和宽与阴影B的长与宽表示出来，求出周长之和即可． 【详解】（1）解：根据图形可知，小长方形的较长边等于y减去三个较短边， ∵小长方形的较短边为4， ∴小长方形的较长边为：， 故答案为：． （2）根据图形可知，阴影B的较短边等于x减去小长方形的较长边， ∵小长方形的较长边为：， ∴阴影B的较短边为：， 阴影A的一条较短边等于x减去2个较短边，即， 阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为． （3）阴影的周长为：== 阴影的周长为：= ∴阴影的周长与阴影的周长之和为： = 故阴影的周长与阴影的周长之和与的值无关．若x为定值，阴影A和阴影B的周长值之和为定值． ▌题型08 整式加减中的错解问题 技巧1：我们一般按照“将错就错”的原则解题，先依照错误的解法得到正确的代数式，然后再将正确的代数式代入求解. 技巧2：若给定字母写错但得出正确答案，则该代数式的值与该字母无关． 【典例8】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）有这样一道计算题∶“计算的值，其中．小明同学把“”错看成“”，但计算结果仍正确；小颖同学把“”错看成“”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明． 【答案】 解： ； ∵化简结果中不含x项， ∴小明同学把“”错看成“”，但计算结果仍正确； 又∵化简结果中是“”，“1”、“”的平方是一样的， ∴小颖同学把“”错看成“”，计算结果也是正确的． 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，先把原式去括号，合并同类项得，根据结果进行说明即可． 【详解】略 【变式1】（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）在整式的加减练习课中，小嘉将“”错看成“”，得到的结果是，已知． (1)求整式； (2)求的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，熟练掌握去括号、合并同类项的法则是解题的关键． （1）根据错误的运算式，结合的表达式，反向计算求出； （2）将和求出的代入，进行整式的加减运算； 【详解】（1）解：∵小嘉将“”错看成“”，得到的结果是， ∴ ； （2）解： ． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）嘉嘉在计算两个多项式的差时，误将连接两个多项式之间的“”号抄错为“”号，结果求得的结果为，若． (1)先求出多项式，再求的结果； (2)淇淇想不求，利用已知条件直接求的结果，经过思考，她写出了如图不完整的解题过程： 因为， 所以， 所以__？___（用含的式子表示）． …… ①方框中“？”处的内容为_____； ②请将解题过程补充完整． 【答案】(1)； (2)①； ②， ． 【分析】本题考查了整式的加减，熟练计算是解题的关键． （1）根据题意可得，再求得的结果； （2）①根据代入消元法即可解答； ②根据整式的加减即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得， 则 ； （2）解：①根据题意可得； 故答案为：； ②略 【变式3】（24-25七年级上·浙江温州·期中）学习了整式的加减法之后，老师给出了一道课堂练习题：已知两个关于的多项式、，其中，求． 小强同学把“”错看成“”，求出的结果为． (1)填空：多项式的次数为 ，常数项为 ； (2)请帮小强同学求出的正确答案； (3)若当取任意数值时，的值都是一个常数，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了多项式的项和次数，整式的加减运算以及无关型问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理得，故多项式的次数为，常数项为，即可作答． （2）因为，且，故，再把，，分别代入，进行计算化简，即可作答． （3）先得出，结合当取任意数值时，的值都是一个常数，故，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 多项式的次数为，常数项为； 故答案为： （2）解：∵，且， ， ； （3）解： ． 当取任意数值时，的值都是一个常数， ， ． 【变式4】（21-22七年级上·浙江杭州·期末）在数学课上，老师给出了一道题目：“先化简再求值：，其中”，中的数据被污染，无法解答，只记得中是一个实数，于是老师即兴出题，请同学们回答． (1)化简后的代数式中常数项是多少？ (2)若点点同学把“”看成了“”，化简求值的结果仍不变，求此时中数的值； (3)若圆圆同学把“”看成了“”，化简求值的结果为-3，求当时，正确的代数式的值． 【答案】(1)－13 (2)－6 (3)－23 【分析】（1）设中的数据为a，然后进行计算即可解答； （2）根据化简求值的结果仍不变，可得a+6=0，然后进行计算即可解答； （3）先把x=1代入进行计算求出a的值，最后再把x=-1，a=4的值代入进行计算即可． 【详解】（1）设中的数据为a， ， ＝x2+ax-1-x2+6x-12， ＝（a+6)x-13， 化简后的代数式中常数项是：－13； （2）∵化简求值的结果不变， ∴整式的值与x的值无关， ∴a+6=0， ∴a=-6， ∴此时中数的值为：－6； （3）由题意得： 当x=1时，（a+6)x-13=-3， ∴a+6-13=-3， ∴a=4， ∴当x=-1时， （a+6)x-13， ＝－4-6-13 ＝－23， ∴当x=-1时，正确的代数式的值为：－23． 【点睛】本题考查了整式的加减一化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． ▌题型09 整式加减中的污染问题 【典例9】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知代数式：，化简的结果是单项式，题中“●”表示该处有一个数字被墨水污染了，则被污染的数字是___________． 【答案】2或3/3或2 【分析】本题考查整式的加减运算，设被污染的数字为k，化简，根据结果是单项式，分2种情况讨论求解即可． 【详解】解：设被污染的数字为k，则：， ∵化简的结果是单项式， ∴或， ∴或； 故被污染的数字是2或3； 故答案为：2或3． 【变式1】（2025七年级上·浙江·专题练习）（唐山期末）老师讲完整式的加减运算后，在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用书遮挡住了一部分算式（如图）． 原式= (1)求被书遮挡部分的整式； (2)当时，求被书遮挡部分的代数式的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算---化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． （1）利用整式的减法运算法则计算即可； （2）将代入（1）中化简后的代数式求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以被书遮挡部分的整式是； （2）解：当时，， 所以被书遮挡部分的代数式的值为． 【变式2】（21-22七年级上·浙江金华·期中）印卷时，工人不小心把一道化简题前面的一个数字遮住了，结果变成■. (1)某同学辨认后把“■”猜成10，请你算算他的结果是多少？ (2)老师说“你猜错了，我看到题目遮挡的数字是单项式的系数和次数之积”，那么被遮挡住的数字是几？ (3)若化简结果是一个常数，请你再算遮挡的数字又是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把“■”换成10，原式去括号合并即可得到结果； （2）求出单项式的系数和次数之积，确定出遮挡部分即可； （3）设遮挡部分为a，原式去括号合并后，根据化简结果为常数，确定出a的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：原式＝ ＝ ＝； （2）解：是单项式的系数和次数之积为：， 答：遮挡部分应是； （3）解：设遮挡部分为a， 原式＝ ＝ ＝； 因为结果为常数，所以 所以遮挡部分为． 【点睛】此题考查了整式的加减和代数式的值与字母无关问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键． ▌题型10 整式加减中的比较大小问题 多项式比较大小常用的方法为作差法.作差法实质上是把两个式子的大小比较转化为一个式子（或数）与0的大小比较. 【典例10】（20-21七年级上·浙江衢州·期末）要比较m，n的大小，可以先求出m与n的差，再看这个差是正数、负数还是零．若，则；若，则；若，则．由此可见，要判断两个式子值的大小，只要考虑它们的差就可以了． 已知，，． 请你按照上面文字提供的信息回答下列问题： (1)试比较A与的大小； (2)试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题整式的加减运算，掌握作差法是解题的关键： （1）求出的符号，即可得出结果； （2）求出的符号，即可得出结果． 【详解】（1）解： ∴ （2） ∴． 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）阅读以下信息，解决问题； 信息 1：“作差法”是比较两个数或两个代数式大小的常用方法．如比较a、b两数的大小，若，则；若，则；若，则． 信息2：类似于运算符号“、、、”，新定义一种运算符号“”，规定： (1)若，求x的值． (2)若，，比较m与n的大小，并说明理由． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了整式加减的应用，解一元一次方程，能灵活运用作差法进行计算是解此题的关键． （1）根据新定义，列式计算，得到结果； （2）先求出m、n的值，然后用作差法，再比较大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：∵，， ∴ ， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级上·浙江金华·期中）根据等式和不等式的性质，可以得到：若，则；若，则；若，则．这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小． （1）试比较代数式与的值之间的大小关系； 解：，因为 所以 所以_______．（用“＞”或“＜”填空） （2）已知，，请你运用前面介绍的方法比较代数式A与B的大小． （3）已知，比较A，B的大小． 【答案】（1）＞；（2）A＜B；（3）当m＞1时，A＞B；当m=1时，A=B；当m＜1时，A＜B 【分析】（1）根据之差大于0，即可做出判断； （2）利用作差法判断即可； （3）利用作差法计算，再根据m值判断即可． 【详解】解：（1）（5m2-4m+2）-（4m2-4m-7）=5m2-4m+2-4m2+4m+7=m2+9， ∵m2≥0， ∴m2+9＞0， ∴5m2-4m+2＞4m2-4m-7； 故答案为：＞； （2）∵，， ∴A-B= =5m2-7m+2-7m2+7m-3 =-2m2-1≤-1＜0， 则A＜B； （3）∵， ∴A-B= = = 当m＞1时，＞0，则A＞B； 当m=1时，=0，A=B； 当m＜1时，＜0，A＜B． 【点睛】此题考查了整式的加减，理解题干中的作差法是解本题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 整式的运算 （题型突破·举一反三） 题型01 合并同类项 题型02 去括号 题型03 整式加减的运算 题型04 整式加减中的化简求值问题 题型05 整式加减中的整除问题 题型06 整式加减中的无关型问题 题型07 整式加减中的定值问题 题型08 整式加减中的错解问题 题型09 整式加减中的污染问题 题型10 整式加减中的比较大小问题 ▌题型01 合并同类项 简称：一相加二不变，合并同类项. 即：“一相加”：系数相加作为结果的系数.“二不变”：字母连同字母指数不变. 【典例1】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·浙江台州·期末）若多项式合并同类项后的结果是3，则的值为（   ） A． B． C．10 D．6 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）若单项式与的和仍是单项式，则m的值为_____． 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列各组中的两项能合并的是（   ） A．与 B．与 C．4与 D．与 ▌题型02 去括号 去括号时需注意括号外面的系数和符号 【典例2】（25-26七年级上·浙江台州·期末）将代数式去括号得（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）下列各式去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·浙江台州·期末）已知，，则__________． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）去括号： （1）___________； （2）___________； （3）___________； （4）___________； （5）___________． ▌题型03 整式加减的运算 1）整式的加减运算过程中，切记不要漏项，交换项的位置时，要注意连同符号一起交换. 2）整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，要合并到不能再合并为止； ②不能出现带分数，带分数要化成假分数. 3）运算结果，常将多项式的某个字母（如x）按照降幂（升幂）排列. 【典例3】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知两数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简代数式的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·浙江舟山·期中）的最小值是______． 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知代数式，，（其中），满足，（为常数），则_______． 【变式4】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）计算： (1)． (2)． (3)． ▌题型04 整式加减中的化简求值问题 【典例4】（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【变式1】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）已知，． (1)化简代数式； (2)若，满足，求代数式的值． 【变式2】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）“整体思想”是初中数学一种重要的思想方法，它在代数中应用较为广泛．如已知，求的值．根据已知条件我们虽无法直接求出与的值，但可以将看作一个整体，其值即为，而，将整体代入，即可求得． (1)已知，则__________； (2)若，求的值； (3)设多项式，若的结果与的取值无关，求的值． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）（1）问题解决：当x取不同数值时，代数式和对应的值如下表，表中部分信息被墨水污染， x 1 2 2 ● ● 3 根据表中信息求：当时，代数式的值； （2）迁移拓展：，，求的值． ▌题型05 整式加减中的整除问题 判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多项式（多项式的值为整数）乘积的形式. 【典例5】（23-24七年级上·浙江台州·期末）【探究】（1）设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除． 证明： 显然 能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除． 【应用】（2）设是一个四位数，若可以被9整除，试说明这个数可以被9整除． 【变式1】（22-23七年级上·浙江衢州·期末）【原题重现】作业本“第4章代数式”中有这样一道题：一个两位数，它的十位数字是x，个位数字是y．若把十位数字与个位数字对调，请分别计算新数与原数的和与差，并回答 【方法回顾】解：因为（逆用分配律），所以能被11整除， 【解决问题】 （1）请解答：新数与原数的差能被11整除吗？ 【类比推理】 （2）对于一个三位数，对调百位与个位上的数字，得到一个新的三位数．请计算新数与原数的差被11和3整除吗？ 【变式2】（23-24七年级上·浙江台州·期末）对任意一个三位正整数，如果的百位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数为“神奇数”．例如：，因为，所以311是“神奇数”．例如：，因为，所以514不是“神奇数”． (1)判断917和642是不是“神奇数”，并说明理由； (2)若是“神奇数”，且与13的和能被11整除，求满足条件的所有“神奇数”． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）综合与实践 【问题背景】小马同学探索被5整除的数的规律，她查到了如下材料． (1)材料1：一个两位数，若十位数字是a，个位数字是b，则它记为，． 材料2：设是一个三位数，．显然能被5整除，若_____（写出一个即可），b也能被5整除，则这个三位数能被5整除． (2)【实践应用】设是一个三位数，若能被3整除，则这个三位数能被3整除．理由如下：因为①_____， 因为（②_____），且②是整数，所以①能被3整除， 又因为能被3整除，所以这个三位数能被3整除． 请你写出①，②表示的代数式， (3)【拓展延伸】设是一个四位数，若能被9整除，则这个四位数能被9整除．请模仿（2）说明理由． ▌题型06 整式加减中的无关型问题 若整式加减运算结果“不含某项”或整体的值“与某个字母的值无关”，实质是去括号，合并同类项后，令该项的系数为0，从而求出待定字母的值. 【典例6】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）小嘉同学命制了一道数学练习题：“已知关于的多项式的值与的取值无关，求的值．”，则（   ） A．1 B． C．0 D． 【变式1】（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）已知：，．若的取值与y无关，则的值为______． 【变式2】（21-22七年级上·浙江杭州·期中）已知，，若代数式的结果与b无关，则___． 【变式3】（24-25七年级上·浙江金华·期中）【阅读理解】已知；若A值与字母x的取值无关，则，解得． ∴当时，A值与字母x的取值无关． 【知识应用】（1）已知，． ①用含m，x的式子表示；②若的值与字母m的取值无关，求x的值； 【知识拓展】（2）年末，商场计划购进甲、乙两种羽绒服共30件进行销售，甲种羽绒服每件进价700元，每件售价1020元；乙种羽绒服每件利润为300元．购进羽绒服后，商场决定：每售出一件甲种羽绒服，返还顾客现金a元，乙种羽绒服不变．设购进甲种羽绒服x件，当销售完这30件羽绒服的利润与x的取值无关时，求a的值． ▌题型07 整式加减中的定值问题 【典例7】（24-25七年级上·浙江金华·期末）已知，当为任意数值时，的值为定值，则的值为_____． 【变式1】（25-26七年级上·浙江衢州·期末）已知，． (1)当，时，计算的值； (2)若无论代入何值，的值始终为一个定值，请求出这个定值和的值． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知，，当取任意数值时，的值一定是定值，请求出这个定值. 【变式3】（25-26七年级上·浙江台州·期中）如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4． (1)图中小长方形的较长边为_____；（用代数式表示） (2)求图中阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和；（用含x，y的式子表示） (3)若x为定值，判断阴影A和阴影B的周长值之和是否为定值，说明理由． ▌题型08 整式加减中的错解问题 技巧1：我们一般按照“将错就错”的原则解题，先依照错误的解法得到正确的代数式，然后再将正确的代数式代入求解. 技巧2：若给定字母写错但得出正确答案，则该代数式的值与该字母无关． 【典例8】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）有这样一道计算题∶“计算的值，其中．小明同学把“”错看成“”，但计算结果仍正确；小颖同学把“”错看成“”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明． 【变式1】（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）在整式的加减练习课中，小嘉将“”错看成“”，得到的结果是，已知． (1)求整式； (2)求的正确结果． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）嘉嘉在计算两个多项式的差时，误将连接两个多项式之间的“”号抄错为“”号，结果求得的结果为，若． (1)先求出多项式，再求的结果； (2)淇淇想不求，利用已知条件直接求的结果，经过思考，她写出了如图不完整的解题过程： 因为， 所以， 所以__？___（用含的式子表示）． …… ①方框中“？”处的内容为_____； ②请将解题过程补充完整． 【变式3】（24-25七年级上·浙江温州·期中）学习了整式的加减法之后，老师给出了一道课堂练习题：已知两个关于的多项式、，其中，求． 小强同学把“”错看成“”，求出的结果为． (1)填空：多项式的次数为 ，常数项为 ； (2)请帮小强同学求出的正确答案； (3)若当取任意数值时，的值都是一个常数，求的值． 【变式4】（21-22七年级上·浙江杭州·期末）在数学课上，老师给出了一道题目：“先化简再求值：，其中”，中的数据被污染，无法解答，只记得中是一个实数，于是老师即兴出题，请同学们回答． (1)化简后的代数式中常数项是多少？ (2)若点点同学把“”看成了“”，化简求值的结果仍不变，求此时中数的值； (3)若圆圆同学把“”看成了“”，化简求值的结果为-3，求当时，正确的代数式的值． ▌题型09 整式加减中的污染问题 【典例9】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知代数式：，化简的结果是单项式，题中“●”表示该处有一个数字被墨水污染了，则被污染的数字是___________． 【变式1】（2025七年级上·浙江·专题练习）（唐山期末）老师讲完整式的加减运算后，在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用书遮挡住了一部分算式（如图）． 原式= (1)求被书遮挡部分的整式； (2)当时，求被书遮挡部分的代数式的值． 【变式2】（21-22七年级上·浙江金华·期中）印卷时，工人不小心把一道化简题前面的一个数字遮住了，结果变成■. (1)某同学辨认后把“■”猜成10，请你算算他的结果是多少？ (2)老师说“你猜错了，我看到题目遮挡的数字是单项式的系数和次数之积”，那么被遮挡住的数字是几？ (3)若化简结果是一个常数，请你再算遮挡的数字又是多少？ ▌题型10 整式加减中的比较大小问题 多项式比较大小常用的方法为作差法.作差法实质上是把两个式子的大小比较转化为一个式子（或数）与0的大小比较. 【典例10】（20-21七年级上·浙江衢州·期末）要比较m，n的大小，可以先求出m与n的差，再看这个差是正数、负数还是零．若，则；若，则；若，则．由此可见，要判断两个式子值的大小，只要考虑它们的差就可以了． 已知，，． 请你按照上面文字提供的信息回答下列问题： (1)试比较A与的大小； (2)试比较与的大小． 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）阅读以下信息，解决问题； 信息 1：“作差法”是比较两个数或两个代数式大小的常用方法．如比较a、b两数的大小，若，则；若，则；若，则． 信息2：类似于运算符号“、、、”，新定义一种运算符号“”，规定： (1)若，求x的值． (2)若，，比较m与n的大小，并说明理由． 【变式2】（25-26七年级上·浙江金华·期中）根据等式和不等式的性质，可以得到：若，则；若，则；若，则．这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小． （1）试比较代数式与的值之间的大小关系； 解：，因为 所以 所以_______．（用“＞”或“＜”填空） （2）已知，，请你运用前面介绍的方法比较代数式A与B的大小． （3）已知，比较A，B的大小． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网 典例精析 【典例1】C 举一反三 【变式1】A 【变式2】 【答案】4 【变式3】D E 典例精析 【典例2】C 举一反三 【变式1】D 【变式2】 【答案】2 【变式3】 【答案】 -x+y m 典例精析 【典例3】D 举一反三 【变式1】A www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03 整式的运算 (题型突破举一反三) 题型01合并同类项 题型02去括号 n+p+g x-y-a-b -2a+3b a-b+c 题型03整式加减的运算 1/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式2】 【答案】16 【变式3】 2 【答案】 50.4 【变式4】 【答案】1)2x-3 (2)-9x2+3x 3)-2x2 题型04整式加减中的化简求值问题 典例精析 【典例4】 【答案】-x2+y2,3. E 举一反三 【变式1】 【答案】(1)-ab-2a+2 (2)0 【变式2】 【答案】(1)1 (2)-6 (3)a+b-c+d=-5 【变式3】 【答案】(1)15(2)-3 题型05整式加减冲的整除问题 典例精析 【典例5】 【答案】(1)99a+9b,33a+3b,3(33a+3b) 2/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)证明：abcd=1000a+100b+10c+d =(999a+99b+9c)+(a+b+c+d) =9(111a+11b+c)+(a+b+c+d). :9(111a+1b+c)能被9整除， ∴，若a+b+c+d可以被9整除，则abcd能被9整除. 三举一反目 【变式1】 【答案】(1)新数与原数的差不能被11整除；(2)能被3和11这两个质数整除 【变式2】 【答案】(1) 解：917是“神奇数”，642不是“神奇数”： 理由：，1×2+7=9 .917是“神奇数”， 4×2+2=10≠6. .642不是“神奇数”： (2)“神奇数“m为614或933 【变式3】 【答案】(1)0或5（填写一个即可） (2)①99a+9b:②33a+3b (3) 解：abcd=1000a+100b+10c+d =(999a+99b+9c)+(a+b+c+d) =9(111a+11b+c)+(a+b+c+d) 显然9(11la+11b+c)能被9整除， 因此，如果a+b+c+d可以被9整除，那么abcd就能被9整除. 题型06整式加减中的无送型问题 典例精析 3/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【典例6】b 举一反目 【变式1】 【答案】3 【变式2】 【答案】2 【变式3】 【答案】(1)①m(x-10)+3x:②10：(2)20 题型07整式加减中的定值问题 典例精析 【典例7】 【答案】18 举一反目 【变式1】 【答案】(1)4 2)定值为2，k的值为8 【变式2】 【答案】1 【变式3】 【答案】(1)y-12 (2)2x-y+4 (3)4x+8,若x为定值，则和是否为定值 题型08整式加减中的错解问题 典例精析 【典例8】 【答案】 4/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解：3x2y+[4xy-(7x2y2-y2)]-7(x2y+y2-xy2） =3x3y+(4x2y-7x2y2+y2）-7xy-7y2+7x2y =3x2y+4x2y-7x2y2+y2-7x2y-7y2+7x2y2 =-6y2: ,化简结果中不含x项， 1 1 ·小明同学把“x=2”错看成“x=一2”，但计算结果仍正确： 又化简结果中是“y”,“1”、“-1”的平方是一样的， ∴.小颖同学把“y=-”错看成“y=1”,计算结果也是正确的 举一反三 【变式1】 【答案】(1)B=2a2b-ab (2)2A+B=8a2b-5ab2 【变式2】 【答案】B=2+3x+1,A-B=-2x-2 (2)①2A-C: ②C=2+4x,4=x2+x-1, 48=24-c=2经r+-e+4刻 =x2+2x-2-x2-4x =-2x-2 【变式3】 【答案】(1)2，-3 (2)-2mx2+3mx-1 e时 【变式4】 【答案】(1)-13 5/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)-6 (3)-23 题型09整式加减中的污染问题 三典例精析 【典例9】 【答案】2或3/3或2 举一反三 【变式1】 【答案】(1)10a2-ab； 8 2 【变式2】 【答案】(1)13x2y (2)-4 (3)-3 题型10整式加减中的比较太小问题 E 典例精析 【典例10】 【答案】(1)A>2B (2)2B≤3C 举一反三 【变式1】 【答案】(1)2 (2)m>n 【变式2】 【答案】(1)>；(2)A<B;(3)当>1时，A>B;当=1时，A=B;当m<1时，A<B 6/6