专题02 一元一次方程与实际问题（题型专练）数学新教材浙教版七年级上册

**基本信息** 以14类实际问题为载体，系统提炼方程建模方法，构建“情境-关系-模型”逻辑链条，强化模型意识与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |实际应用题型|14题型，每题型含典例+3变式|提炼配套比、利润公式等核心等量关系，强调设元技巧与区间判断|从生活情境抽象数量关系，通过方程建模解决问题，体现数学眼光观察与数学语言表达现实世界|

专题02 一元一次方程与实际问题 （题型突破·举一反三） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型01 配套问题 题型02 工程问题 题型03 营销问题 题型04 比赛积分 题型05 方案选择问题 题型06 数字问题 题型07 分段计费问题 题型08 行程问题 题型09 日历问题 题型10 和差倍分问题 题型11 年龄问题 题型12 古代问题 题型13 几何问题 题型14 动点问题 ▌题型01 配套问题 生活中常见的一些配套组合问题，如螺栓与螺母的配套，盒身与盒底的配套等.解决此类问题的方法是抓住配套比，设出未知数，然后根据配套比列出方程，通过解方程解决问题. 【典例1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）某节劳动课上刘老师组织学生们制作“便携式垃圾桶”．已知该班共有学生45名，每名学生一节课能做桶身11个或桶底23个，其中一个桶身配两个桶底．设安排名学生做桶身，若该班学生所做的桶身和桶底正好配套，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，根据题意可知：桶身的数量桶底的数量，然后列出相应的方程即可． 【详解】解：由题意可得，， 故选：C． 【变式1】（21-22七年级上·浙江台州·期末）某眼镜厂车间有28名工人，每人每天可生产镜架40个或者镜片60片，已知一个镜架配两片镜片，为使每天生产的镜架和镜片刚好配套，应安排生产镜架和镜片的工人各多少名？若安排名工人生产镜片，则可列方程：______． 【答案】60x=2×40（28-x） 【分析】设安排x名工人生产镜片，则（28-x）人生产镜架，根据2个镜片和1个镜架恰好配一套，列方程即可． 【详解】解：设安排名工人生产镜片，则安排（28-x）名工人生产镜架，根据题意得： 由题意得，60x=2×40（28-x）． 故答案为：60x=2×40（28-x） 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系列方程． 【变式2】（25-26七年级上·浙江衢州·期末）如图，将某种规格的长方形纸板按照图1、图2所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板．3块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒． 现有此种规格的长方形纸板共张．设按图1方法裁剪用了张长方形纸板，剩余的张纸板按图2方法裁剪．部分数量关系如下表：      裁剪方法 纸板数量 （张） 图1所示方法 图2所示方法 裁得的纸板数量 小长方形纸板数 正方形纸板数 (1)①若裁剪出的小长方形和小正方形纸板恰好全部用完，请分别写出与与之间的数量关系． ②当时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？列方程解决问题． (2)当时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？请直接写出答案． 【答案】(1)①；②个 (2)13个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用； （1）①根据裁剪出的小长方形和小正方形纸板恰好全部用完可得，且长方形和正方形的纸板比为，即可求解． ②将代入，结合长方形和正方形的纸板比为，列出一元一次方程，即可求解． （2）方法一：由（1）可知13张纸板恰好可以做出最多6个纸盒，则26张纸板可以恰好做12个纸盒，还剩3张纸板，再按照题意可得可以再做一个纸盒，即可求解； 方法二：不妨设按方案①裁剪张，则按方案②裁剪张，根据（1）②的方法列出方程，可得，则长方形有40张，正方形27张，即可求解． 【详解】（1）解：①依题意，． ②当时， 由题可列方程：， 解得：，即图1方法用9张纸板，图2方法用4张纸板． 此时最多可以做图3的无盖纸盒：（个）． （2）解：方法一：由（1）可知，13张纸板恰好可以做出最多6个纸盒，则26张纸板可以恰好做12个纸盒，还剩3张纸板，此时2张纸板按图1方法裁剪，1张纸板按图2方法裁剪，得4张长方形和3张正方形，可以再做一个纸盒，共最多做出13个纸盒； 方法二：不妨设按方案①裁剪张，则按方案②裁剪张， 由题可列方程：， 解之得：，为了保证最多，则按图1方法共20张，按图2方法共9张， 此时长方形有40张，正方形27张， 可以做：；即最多可以做13个纸盒． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）某班同学去慰问在节假日期间还工作在工作岗位上的某厂某车间职工，给工人叔叔们带去了一些礼品，如果每人2件，则剩下5件，如果每人3件，则还少件． (1)求某班同学一共带去了多少件礼品？ (2)该车间的工人每人每天可以生产个螺钉或个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ 【答案】(1)件 (2)生产螺钉的工人名，生产螺母的工人名 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，列方程解应用题的步骤及掌握解应用题的关键是建立等量关系． （1）工作岗位有名工人，根据如果每人2件，则剩下5件，如果每人3件，则还少件，列方程即可； （2）设生产螺钉的工人有人，则生产螺母的工人为人，根据题意列方程即可； 【详解】（1）解：设工作岗位有名工人， 根据题意列式，， 解得， 礼品（件， 某班同学一共带去了件礼品； （2）解：设生产螺钉的工人有人，则生产螺母的工人为人， 根据题意列式，， 解得， （人， 答：应安排生产螺钉的工人名，生产螺母的工人名． ▌题型02 工程问题 工作总量=工作时间×工作效率 工作时间=工作总量÷工作效率 工作效率=工作总量÷工作时间 总工作量=各单位工作量之和 甲乙合作效率=甲的工作效率+乙的工作效率 在工程问题中，一般将工作总量看作单位1. 【典例2】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成．甲先做2天后乙再加入，合作完成这项工程还需多少天？若设合作完成这项工程还需天，根据题意，得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，将总工作量看作单位“1”，先确定甲乙的工作效率，再根据“甲的总工作量乙的工作量总工作量”的等量关系列方程，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：把这项工程的总工作量看作单位1， 由甲单独做需12天完成，可得甲的工作效率为， 由乙单独做需8天完成，可得乙的工作效率为， 设合作完成这项工程还需天，则甲一共工作了天，乙工作了天， 根据总工作量的等量关系，可得， 故选：B． 【变式1】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个排水管丙，单独打开甲管6小时可注满水池；单独打开乙管8小时可注满水池；单独打开丙管12小时可将满池水排空．若先将甲、乙两管同时打开2小时，再打开丙管，则打开丙管______小时后水池被注满． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设打开丙管小时后，水池被注满，根据工作总量等于工作效率乘以工作时间，各劳动分量之和等于总量，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设打开丙管小时后，水池被注满，由题意，得： ， 解得：； 答：打开丙管小时后水池被注满． 故答案为: 【变式2】（21-22七年级上·浙江绍兴·开学考试）修一段公路，如果甲、乙两个工程队合修24天可以完成．如果甲队先工作9天，乙队再单独做18天，还剩下全长的没有完成，已知后来有一天因停电甲队少修100米，这一天甲修的米数只占乙一天修的米数的，问：这一段公路全长多少米？ 【答案】8400 【分析】设乙每天可修米，甲每天可修米，这一段公路全长为米，根据“甲队先工作9天，乙队再单独做18天，还剩下全长的没有完成”可列出方程，解方程即可得x，从而完成计算． 本题考查了用一元一次方程解应用题，合理的设未知数并找到等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设乙每天可修米，则甲每天可修米，这一段公路全长为米， 根据题意得， 解得， 则甲每天可修（米）， 这一段公路全长为米． 答：这一段公路全长为8400米． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）学校计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想参与，已知甲工厂每天能加工这种校服件，而乙工厂每天加工这种校服的件数比甲工厂多． (1)求乙工厂每天加工这种校服多少件． (2)若甲工厂单独加工这批校服比乙工厂单独加工多用天，求这批校服共有多少件． (3)在（）的条件下，甲、乙两厂按原生产速度先合作一段时间，然后甲工厂停工，乙工厂提高加工速度后继续完成剩余部分．已知乙工厂的全部工作时间是甲工厂全部工作时间的倍少天，若在加工过程中，甲工厂每天需费用元，乙工厂每天需费用元，学校共支付甲、乙两工厂元，求乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服多少件． 【答案】(1)件 (2)件 (3)件 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． ()已知乙的效率比甲多，即乙的效率=甲的效率，直接代入甲的效率件天计算即可 ()设这批校服共有件，根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案； ()首先设甲工厂全部工作时间是y天，则乙工厂的全部工作时间是天，根据题意，列方程并求解，即可确定甲工厂全部工作时间；再设乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服件，列方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意得，(件)， 答：乙工厂每天加工这种校服件． （2）解：设这批校服共有件， 根据题意，可得， 解得， 答：这批校服共有件； （3）解：设甲工厂全部工作时间是天，则乙工厂的全部工作时间是天， 根据题意，可得， 解得， ∴甲工厂全部工作时间是天； 设乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服件， 根据题意，可得， 解得 答：乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服件． ▌题型03 营销问题 利润=售价-进价（成本） 总利润=单件利润×销售量 利润率=（利润÷成本价）×100% 销售额=销售价×销售数量 销售利润=（销售价-成本价）×销售数量 商品打几折就是按照原价的百分之几十出售 【典例3】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）某商店销售一款无线耳机，按进价提高后标价，再优惠元销售，能获得的毛利率()，设一副该款耳机的进价为元，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用——销售问题，关键是严格依据题目给出的毛利率公式，理清进价、标价、售价之间的数量关系，建立方程． 【详解】解：已知一副耳机的进价为元， ∵按进价提高后标价， ∴标价为元； ∵再优惠元销售， ∴售价为元； 根据题意，得． 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）某潮玩店清仓热门动漫IP盲盒手办，推出两种促销方案：①直接按定价7折出售（无任何额外优惠），此时卖出每个盲盒会亏损元；②先按定价的9折结算，再叠加平台“满元减元”的优惠（9折后的金额满足“满就减”条件），此时卖出每个盲盒会盈利元．若设定价为x元，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程，熟读题意找到等量关系是解题的关键．根据题意，两种促销方案下盲盒的成本价相等，据此列出方程． 【详解】解：设定价为元， 方案①中，7折出售价为元，亏损40元， ∴成本价； 方案②中，9折出售价为元，叠加满100减10后实际售价为元，盈利50元， ∴成本价； ∵两种方案下成本价相同， ∴ 故选B． 【变式2】（25-26七年级上·浙江丽水·期末）某“新国标电动车”专卖店在“浙丽来消费”促销活动中推出以下方案：A类电动车九折优惠，B类一次性降价400元．年底在原促销基础上再增加以下优惠： 类型 A类 B类 新车原价 3000元～4000元（含3000元，不含4000元） 4000元及以上 减免 400元 500元 年底，小庆家与小龙家各自准备购置一辆新国标电动车，请完成下列问题： (1)若小庆家准备买原价为4100元的新国标电动车，求她的实付金额； (2)若小龙家用x元购买了一辆A类新国标电动车，求出这辆电动车的原价（用x的代数式表示）； (3)小庆和小龙各买了一辆新国标电动车．以下是小庆利用两人的购买信息与助手进行交流的部分内容： … 小庆（对助手）：“我买的是A类电动车，小龙买的是B类电动车．” 助手：“根据购车信息，你与小龙的电动车原价相差52元，但小龙的实付价反而比你少52元．” … 请根据以上信息，求出小庆和小龙的实付价分别是多少元． 【答案】(1)3200元 (2)元 (3)小庆的实付金额为3164元，小龙的实付金额为3112元 【分析】（1）先判断车型类别，再按“一次性降价减免”的顺序计算实付金额； （2）根据A类电动车的促销规则建立实付金额与原价的关系式，再通过代数变形求出原价的表达式； （3）设小庆的A类电动车原价为a元，则小龙的B类电动车原价为元，根据 “实付反少52元”列方程求解． 【详解】（1）解：原价4100元属于B类电动车，先一次性降价400元，再减免500元， （元）， 答：小庆家实付金额为3200元； （2）解：A类电动车原价在3000元～4000元（含3000元，不含4000元），促销规则为：先九折，再减免400元， 设原价为y元，则：， 即， 答：这辆电动车的原价为元； （3）解：设小庆的A类电动车原价为a元，则小龙的B类电动车原价为元， 根据题意得，， 解得 ∴小庆实付（元），小龙实付（元）． 【变式3】（25-26七年级上·浙江温州·期末）某户外用品店出售一款推车，按原价售出一辆可获利80元．现计划对库存的50辆推车进行清仓处理．请完成以下任务： 任务1：拟定促销计划 店铺准备采取分阶段促销策略：先以原价销售一部分，剩余推车每辆降价60元售完．若要求总利润为1720元，则原价售出的推车为多少辆？ 任务2：调整促销计划 为加快清仓，现同时推出两种促销方式，顾客购买推车时仅能选择一种： 方式一：按原价购买一辆推车可获赠一把成本为元（为正整数）的折叠椅． 方式二：每辆推车降价60元销售． 若50辆推车全部售出，且总利润恰好为1152元，求出的最大值． 【答案】任务1：12辆 任务2：56 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，正确的列出方程是解题的关键： 任务1：设原价售出的推车为辆，则降价销售的推车为辆，根据总利润为1720元，列出方程进行求解即可； 任务2：设利用方式一售出的推车为辆，则利用方式二售出的推车为辆，根据50辆推车全部售出，且总利润恰好为1152元，列出方程进行求解即可． 【详解】解：任务1：设原价售出的推车为辆，则降价销售的推车为辆，由题意，得： ； 解得； 答：原价售出的推车为12辆； 任务2：设利用方式一售出的推车为辆，则利用方式二售出的推车为辆， 由题意，， 解得， ∵为正整数，且为整数， ∴最大为56，此时，；符合题意； 故的最大值为56． ▌题型04 比赛积分 比赛总场数=胜场总数+平场总数+负场总数;比赛总分=胜场积分+平场积分+负场积分. 【典例4】（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）某次“最强大脑”比赛，每个选手都需回答20道题，答对一题得7分，答错一题倒扣4分，王刚答完了全部道题，得了63分，他答对了（     ）道题． A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】D 【分析】先设王刚答对了道题，再根据题意列方程，即可解答． 【详解】解：设王刚答对了道题，则答错了道题， 由题意得，， 解得，， 即他答对了道题． 【变式1】（25-26七年级上·甘肃甘南·阶段检测）某次考试有道选择题，每做对一题得分，不做或做错一题扣分，小李共得分，那么他不做或做错的题目是（    ） A．道 B．道 C．道 D．道 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设做对题数为，则不做或做错题数为，根据题意得，即可求解． 【详解】解：设做对题数为，则不做或做错题数为， 根据题意得， 解得 不做或做错题数为（道） 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·浙江金华·期末）在学校篮球比赛中，李军2分球和3分球共投进8个，共得19分，他2分球和3分球各投进多少个？ 【答案】他2分球投进5个，3分球投进3个 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设2分球投进x个，则3分球投进个，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设2分球投进x个，则3分球投进个， 根据题意，得， 解得， ， 答：他2分球投进5个，3分球投进3个． 【变式3】（2025·浙江杭州·三模）近期“国家喊你减肥了”话题冲上热搜，为了让大家有一个健康的身体和良好的生活习惯，某学校组织全体中学生参加健康生活方式知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了5个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 1 B 4 C 7 D E 0 (1)填空：每答对一道题得______分，每答错一道题扣_____分； (2)参赛者得分，他答对了几道题？ (3)参赛者说他得分，你认为可能吗？请通过计算说明． 【答案】(1)4，1 (2)答对了道题 (3) 解：参赛者不可能得分， 理由：假设他得了分，设他答对道题， 根据题意得：， 解得，不是正整数，所以假设不成立， 故参赛者不可能得分． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据参赛者E的得分情况可求出每答对一道题所得分值，据此即可求解； （2）设参赛者答对了道题，由题意得：据此即可求解； （3）假设他得了分，设他答对道题，根据题意得：，解得，据此即可判断； 【详解】（1）解：根据参赛者E的得分情况可知：每答对一道题得分； 根据参赛者A的得分情况可知：每答错一道题得分； 故答案为：4，1 （2）解：设参赛者答对了道题，由题意得： 解得：， 答：参赛者答对了道题 （3）略 ▌题型05 方案选择问题 在解决实际问题时，我们常常会遇到合理安排、最优选择等问题，这些都需要通过列方程进行计算、分析和比较，从而找到最优方案. 【典例5】（25-26七年级上·浙江台州·期末）综合与实践 停车场的收费方案选择问题 素材一 小张开车去公司上班，公司附近有一个停车场提供了两种收费方案． 方案一：不购买月卡时，每天停车6小时内（含6小时），收费4元，超过6小时的部分每小时收费元（不足1小时按1小时计算）． 方案二：购买99元月卡后，每天停车5小时内（含5小时）免费，超过5小时的部分每小时收费1元（不足1小时按1小时计算）． 素材二 小张平均每月上班22天，每天停车时间相同． 解决问题 问题1 若小张上班期间每天停车8小时，则她选择方案一时平均每月的费用为__________元；选择方案二时平均每月的费用为__________元． 问题2 若小张上班期间每天停车小时（为正整数），她应选择哪种方案，使平均每月的费用更省钱？请说明理由． 问题3 已知方案二的月卡价格调整为元（为整数，且）． ①若小张上班期间每天停车小时，要使两种方案平均每月费用相同，求的值； ②若小张上班期间每天停车时间在小时之间，且方案一平均每月费用比方案二的倍少63元，求的值． 【答案】问题1：154；165；问题2：当正整数时，选择方案一更省钱；当时，两种方案费用相同；当时，选择方案二更省钱； 问题3：①88；②m的值为62． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意列方程求解． 问题1：按两种方案的分段规则，分别算出单日费用，再乘22天得到月费； 问题2：按停车时长分区间，分别列费用表达式，通过比较和等式求分界点来判断； 问题3：①按小时计为8小时，列等式求m；②对小时按整小时算，代入关系式求整数m． 【详解】解：问题1：方案一：每天费用：元， 每月费用：元； 方案二：每天额外费用：元， 每月费用：元， 所以，方案一每月费用为154元，方案二每月费用为165元， 故答案为：154；165； 问题2：设每天停车t小时（t为正整数）， 分情况讨论：①当时， 方案一：每天4元，每月元， 方案二：每月费用元，因为，所以选方案一； ②当时， 方案一：每天4元，每月88元， 方案二：每月费用：，因为，所以选方案一； 当时，方案一每月费用：， 方案二每月费用：， 令， 解得； 当时，， 选方案一； 当时，费用相同，两者均可； 当时，，选方案二； 问题3：①方案一每月费用：元， 方案二每月费用：， 令两者相等：， 解得， 所以，m的值为88； ②方案一每月费用：若时，元， 若时，元， 方案二每月费用：若时：， 若时，， 根据题意：方案一费用方案二费用， 即当时：， 解得， 当时：， 解得， 所以，m的值为62． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）某杭帮菜品牌店为了吸引顾客，特推出两种优惠方式（不能同时使用）： 方案 优惠内容 方案A：购代金券 购买“90代100”（实付90元获得100元代金券），消费每满100元可使用1张代金券，单桌最多使用3张． 方案B：会员打折 花9.9元购买会员卡，付款时可享受所有菜品、酒水8.5折优惠． 小明第一次到该店消费，请根据以上方案，解决下列问题： (1)若小明在该店消费160元，用方案A购买了一张代金券，求实际付款多少元？ (2)若小明用方案B实际付款210.5元（含会员卡费用），优惠前消费金额为多少元？ (3)若消费金额超过200元，小明发现用方案A比方案B实付金额贵了13元，优惠前消费金额为多少元？（结果精确到个位） 【答案】(1)150元 (2)236元 (3)286元或353元 【分析】（1）1张100元代金券，购买代金券花费90元 ，求出剩余需支付的现金，再加上购买代金券的费用，则可得实际付款总额． （2）设优惠前消费金额为x元 ，根据方案B的优惠方式列方程求出x的值即可． （3）设优惠前消费金额为x元 分两种情况讨论：①当时，可得方程；②当时，可得方程：．求出x的值即可． 本题考查一元一次方程的应用，理解题目中的两个方案的优惠方式是解题关键． 【详解】（1）解：消费160元可使用1张100元代金券，购买代金券花费90元 ， 剩余需支付的现金为：（元）， ∴实际付款总额为：（元）， 答：实际付款150元． （2）解： 设优惠前消费金额为x元 ，方案B中，根据题意得 ， ， 解得． 答：优惠前消费金额为236元． （3）解： 设优惠前消费金额为x元，分两种情况讨论： ①当时 方案A实际付款为： ， 方案B实际付款为： ， 根据题意列方程： ， 解得， 286在范围内，符合条件； ②当时 ， 方案A实际付款为： ， 方案B实际付款为：， 根据题意列方程：， 解得， ，符合条件． 答：优惠前消费金额为286元或353元． 【变式2】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）某早餐店主营牛奶、面包和饭团，其店内海报如图，请根据海报信息解答如下问题： (1)若某同学购买三杯牛奶和两个饭团，则他最低需花费__________元； (2)某公司从该早餐店购买两种套餐共份作为员工早餐，并享受了九折优惠，共计花费元，问其中购买套餐①多少份？ (3)某日该早餐店准备了杯牛奶，个饭团和个面包，全部售出后当天总收入为元，已知两种套餐售出数量恰好相等，问当日单独售出牛奶多少杯？ 【答案】(1) (2)购买套餐①份 (3)单独售出牛奶杯 【分析】本题考查了一元一次方程与实际问题，关键是理清题意找到列方程的相等关系； （1）按照买两份套餐①和一杯牛奶计算即可； （2）根据总花费元列方程即可； （3）根据总收入为元列方程即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：设购买套餐①份，则购买套餐②份， 由题意得：， 解得， 答：购买套餐①份． （3）解：设售出两种套餐均份，则单独售出牛奶杯，单独售出饭团个，单独售出面包个， 由题意得：， 解得： ， ， 答：单独售出牛奶杯． 【变式3】（25-26七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）元旦期间，小明、小华等同学跟随家长一同到某公园研学游玩，票价说明如图①，小明与他爸爸的对话如图②所示，试根据图中的信息解答下列问题： 成人票：60元/人． 学生票：按成人票价打5折． 团体票（人数）：团队内成员一律按成人票价打7折． 图① 图② (1)本次游玩一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助小明算一算更省钱的购票方案，并求出最少的购票费用． 【答案】(1)本次游玩一共去了8个成人，4个学生 (2)最省钱的方案是“10人买团体票+2人买学生票”，最少购票费用为元． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用及购票方案的最优选择，解题关键是通过方程确定人数，再结合票价规则分析不同购票组合的费用． （1）设本次游玩一共去了x个成人，则学生个，根据单独购票总费用列一元一次方程，求解得成人和学生人数． （2）列出“全部买团体票”和“部分买团体票+部分买学生票”的方案，分别计算费用后对比，选出最省钱的方案． 【详解】（1）解：设本次游玩一共去了x个成人，则学生个，根据题意得 解得， 则， 答：本次游玩一共去了8个成人，4个学生． （2）解：∵一共有12人， ∴①全部买团体票：元． ②10人买团体票+2人买学生票：元． 综上，最省钱的方案是“10人买团体票+2人买学生票”，最少购票费用为元． ▌题型06 数字问题 一个两位数，十位数字是a，个位数字是b，那么这个数可表示为10a+b 一个三位数，百位数字是x， 十位数字是y，个位数字是z，那么这个数可表示为100x+10y+z 在九宫格中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等 【典例6】（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）在一个方格中填写9个数，若每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，则称这个三阶幻方为“优雅幻方”，方格中9个数的和为“优雅数”．下图是一个“优雅幻方”，则它的“优雅数”为（    ） A．9 B．18 C．27 D．36 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解“优雅数”的定义． 先设三阶幻方中的数，然后根据每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等建立方程求解即可． 【详解】解：设出未知数如图： 由题意得，， ∴， 由题意得，，即， ∴，即 由题意得，， ∴， ∴ 由题意得，，即， 将代入，则， 解得， ∴，， ∴， ∴“优雅数”为， 故选：C． 【变式】1（25-26七年级上·浙江宁波·期中）将正整数至按一定规律排列如下表： 图中的十字框框住了个数字，若将十字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的个数字，则框住的个数的和可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律探索，一元一次方程的应用，正确得出规律是解题关键．设十字框最上方的数为（为正整数），则框内其他各数分别为，，，，从而可表示出十字框内个数的和，逐一代入建立方程求解即可判断． 【详解】解：设十字框最上方的数为（为正整数），则框内其他各数分别为，，，， 十字框内个数的和为． 令框住的个数的和为，则，解得，不是整数，故选项A不符合题意； 令框住的个数的和为，则，解得，是整数， ， 处在十字框内中间位置，满足规律， 故选项B符合题意； 令框住的个数的和为，则，解得，不是整数，故选项C不符合题意； 令框住的个数的和为，则，解得，不是整数，故选项D不符合题意； 故选：B ． 【变式2】（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）我国的《洛书》中记载着世界上最古老的幻方——九宫格：将9个数字填入的格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等，如图的幻方中“△”处应该填__________． 【答案】 【分析】本题考查探索与表达规律，一元一次方程的应用，抓住每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，数的对称性是解题的关键． 根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”解答即可． 【详解】解：如图，设第一列第二行的数为，右上角的数为，最中间的数为 由题意得，， ∴， 由得， ∴， ∴“△”处表示的数为：， ∵， ∴ 解得：， ∴“△”处表示的数为， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·浙江温州·期末）两位同学在数学节上遇到一个数学竖式谜题：，要求填入相同的数字．他们的部分解题过程如下： 小王：设方框里的数为．可得： 小红：设方框里的数为．可得： 请判断以上哪位同学的做法正确，并继续完成解题步骤，求出“”内的数字． 【答案】小红正确，“”内的数字为 【分析】本题考查了一元一次方程，列代数式，设方框里的数为，则竖式中的乘数应该表示为，结果应该表示为，故小王错误，小红正确，再计算结果即可，熟练用未知数表示三位数是解题的关键． 【详解】解：设方框里的数为，则竖式中的乘数应该表示为，结果应该表示为， 故小王错误，小红正确， 解， 解得， 即“”内的数字为． ▌题型07 分段计费问题 基本数量关系:费用=不超过规定部分的费用+超过规定部分的费用. 常见类型：1）已知用电量(用水量、上网时间等)，求应缴的费用； 2）已知缴费的钱数，求用电量(用水量、上网时间等). 【小结】阶梯收费问题，需要判断出收费区间，再列方程进行解答;如果先解答，那么解答之后需要判断解是否符合题目要求的区间. 【典例7】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）余姚市对已实施“一户一表”改造的住宅居民用水实行阶梯式计量水价，具体收费标准如下： 级别 每月每户用水量 水价 第一档 6吨及以下 元/吨 第二档 超过6吨但不超过18吨的部分 3元/吨 第三档 超过18吨但不超过30吨的部分 元/吨 第四档 超过30吨的部分 元/吨 (1)若小王家某月用水量为20吨，则需要缴纳的费用是多少元？ (2)若小明家比小红家某月多用水10吨，结果多缴纳水费元，求小红家该月用水多少吨？ (3)最新政策：如果家庭人口超过4人，则可以申请“多人口家庭”，审核通过后，每户每增加1人，每月各档用水量基数分别增加2吨如某户有5口人，即该户第一档用水量为8吨及以下，第二档用水量为超过8吨但不超过20吨的部分，第三档用水量为超过20吨但不超过32吨的部分，第四档用水量为超过32吨的部分，小李家有6口人，若某月用水量为40吨，则审核通过后，小李家该月缴纳的费用比政策出台之前能节省多少元？ 【答案】(1)需要缴纳的费用是57元 (2)小红家该月用水16吨 (3)小李家该月缴纳的费用比政策出台之前能节省元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：根据各数量之间的关系，列式计算；找准等量关系，正确列出一元一次方程；根据各数量之间的关系，列式计算． 利用需要缴纳的费用超过18吨的部分，即可求出结论； 设小红家该月用水x吨，则小明家该月用水吨，根据小明家比小红家多缴纳水费元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； 求出政策出台之前及政策出台之后需要缴纳的费用，作差后，即可求出结论． 【详解】（1）解：根据题意得： （元）， 答：需要缴纳的费用是57元； （2）解：设小红家该月用水x吨，则小明家该月用水吨， （元），， ， 根据题意得：， 解得：， 答：小红家该月用水16吨； （3）解：根据题意得：政策出台之前需要缴纳的费用是（元）； 政策出台之后需要缴纳的费用是（元）， 节省的钱数为（元）， 答：小李家该月缴纳的费用比政策出台之前能节省元． 【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）某市居民年用天然气阶梯价格方案如下： 分类 年用气量（立方米） 到户价格（元/立方米） 第一阶梯 不超过250立方米的部分 第二阶梯 超过250立方米但不超过800立方米的部分 第三阶梯 超过800立方米的部分 (1)若小余家年用天然气立方米，则应缴纳天然气费__________元． (2)若小余家年缴纳天然气费元，求小余家年的用气量． (3)小姚家年和年共用天然气立方米，两年共缴纳天然气费元，且年的用气量比年多，求小姚家年和年的天然气用量各是多少立方米？ 【答案】(1) (2)小余家年用气量为立方米 (3)小姚家年的用气量为立方米，年的用气量为立方米 【分析】本题主要考查了分段计费问题的应用、一元一次方程的求解，熟练掌握阶梯单价的分段判断与方程建立是解题的关键． （1）判断用气量立方米属于第一阶梯，直接用单价乘以用气量即可计算费用． （2）先计算出第一阶梯和第二阶梯的总费用，判断2780元对应的用气量属于第三阶梯，再设未知数列方程求解． （3）根据两年用气量总和为立方米，且年用气量多于年，判断年用气量在第一阶梯、年用气量跨第一、二阶梯，设未知数列方程求解． 【详解】（1）解：（元）， 故答案为：； （2）解：设小余家年用气量立方米， ， 年的用气量属于第三阶梯， ， 解得 答：小余家年用气量为立方米． （3）解：由题意知，年的用气量比年多，且两年的用气量之和为立方米， 年的用气量小于立方米，年的用气量大于立方米， 设小姚家年的用气量立方米，则年的用气量为立方米，由题意得： ， 解得， ， 答：小姚家年的用气量为立方米，年的用气量为立方米． 【变式2】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）根据以下素材，尝试解决问题 出行方式选择 素材1 随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的方式有了更多的选择．某市有出租车、快车和专车三种网约车，收费标准如图（假设网约车行驶的平均速度均为40千米/时）． 素材2 1．乘坐网约快车4千米路程收费为元； 2．网约快车和网约专车在春节期间有如下优惠方式： 快车：“满40元减10元”优惠券（一次限用一张优惠券） 专车：①免除时长费；②3千米及以内，里程费不变为3元/千米；超过3千米且不超过8千米的部分，里程费为2元/千米；超过8千米的部分，里程费为1.6元/千米． 问题1 乘坐出租车千米，费用为 元．（结果用的代数式表示） 问题2 春节期间，若小明乘坐出租车与网约快车的里程数相同且所付费用也相同，求此时的里程数． 问题3 春节期间，小明、小宁分别坐出租车、专车从地前往地．小宁坐专车的费用比小明坐出租车的费用贵7元，求，两地相距多少千米？ 【答案】问题1：；问题2：此时的里程数为16千米；问题3：，两地相距1或13千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 问题1：根据出租车的计费标准列代数式即可； 问题2：设里程数为千米，根据“小明乘坐出租车与网约快车的里程数相同且所付费用也相同”列方程求解即可； 问题3：设，两地相距千米，根据“小宁坐专车的费用比小明坐出租车的费用贵7元”列方程求解即可． 【详解】解：问题1、乘坐出租车千米，费用为元． 问题2、显然，里程数不可能为3千米以内，设此时的里程数为千米， ①快车没满40元，由题意得，此方程无正解； ②快车满40元，由题意得，解得． 答：此时的里程数为16千米． 问题3：设，两地相距千米， ①当时，由题意得，解得； ②当时，由题意得，解得（舍去）； ③当时，由题意得，解得． 答：，两地相距1或13千米． 【变式3】（2026七年级上·浙江·专题练习）滴滴网约车是通过网络预约的出租车，下表是滴滴网约车各费用项计价方式． 【起步价】包含一定里程和时长 普通时段 5.00元/含2.3千米；含7分钟 00：00～09：00 17：00～00：00 6.00元/含2.3千米；含7分钟 【里程费】超出起步里程后计算 【时长费】超出起步时长后计算 普通时段 1.55元/千米 普通时段 0.30元/分钟 00：00～06：00 23：00～00：00 2.40元/千米 00：00～06：00 23：00～00：00 0.60元/分钟 说明：包含里程或包含时长任意一项超出，将在起步价基础上累加计费；超出部分计数单位以整数计，例如0.1千米为1千米，0.1分钟为1分钟． (1)李叔叔6月3日晚上9时在滴滴出行平台预约了一辆车，里程和时长如图，李叔叔需要支付多少元？ (2)6月14日早上5：30李叔叔又在该平台预约了出行服务，时长6分钟，共支付10.8元，李叔叔本次里程最长多少千米？ 【答案】(1)14.95元 (2)4.3千米 【分析】本题考查有理数的混合运算的应用，一元一次方程解决实际问题，读懂题意，理解滴滴网约车各费用项计价方式是解题的关键． （1）晚上9时属于17：00~00：00这个时间段，起步价是6元，先用6.5千米减去2.3千米，求出超出2.3千米的距离是千米，4.2千米按照5千米计费，用起步价加上超出4.2千米的钱数，也就是每千米1.55元，再用所用的时间减去7即可求出超出的时长，再成0.3即可求出超出时长的费用，再加上超出起步时长的费用即可． （２）设本次里程最长x千米，起步价加上里程加数减去2.3千米乘每千米的计费标准就等于支付的钱数，列方程，解方程，即可解答． 【详解】（1）解：（千米） 4.2千米千米 （元） 答：李叔叔需要支付14.95元． （2）解：设李叔叔本次里程最长x千米． ， 解得， 答：李叔叔本次里程最长4.3千米． ▌题型08 行程问题 【典例8】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）一艘轮船在某河流中往返航行于，两码头之间，该船顺流航行全程需小时，逆流航行全程需小时．已知水流速度为每小时千米，求，两码头间的距离．若设，两码头间距离为千米，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查一元一次方程的应用，列方程解应用题的关键是找出题目中的等量关系． 设，两码头间距离为千米，可得：顺流速度为千米/小时，逆流速度为千米/小时，则静水船速=；静水船速=，因为静水船速是固定不变的，即可列出方程． 【详解】解：设，两码头间距离为千米，则由题意得，， 故选：D． 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）A，B两地相距，一列慢车从A地出发，每小时行驶，一列快车从B地出发，每小时行驶，快车提前出发，两车相向而行，则慢车行驶多少小时后，两车相遇？设慢车行驶后，两车相遇，根据题意，下面所列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据实际问题列一元一次方程，根据路程、速度和时间之间的关系，准确找出等量关系是解题的关键； 由快车提前出发可知两车相遇时，快车比慢车多走了小时，若设相遇时慢车行驶了x小时，则快车行驶了小时；根据相遇时，慢车行驶的路程快车行驶的路程可列出方程. 【详解】解：∵一列慢车从A地出发，每小时行驶60千米， ∴慢车行驶x小时行驶的路程为千米， ∵一列快车从B地出发，每小时行驶90千米，快车提前20分钟出发， ∴慢车行驶x小时则快车行驶的路程为千米， ∵慢车行驶x小时后两车相遇， ∴， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）元旦假期，东东一家自驾出游，汽车匀速行驶在山路上，东东每隔1小时提示一次里程信息(如图)．10点后进入景区，汽车沿景区门口到景点的观光车路线匀速行驶，速度比原来减少9千米/小时． （1）汽车原来的速度是__________千米/小时． （2）若所有的观光车都以相同的速度匀速行驶，景区门口站和景点站每隔相同的固定时间发一辆车，东东在自家汽车上看到，每12分钟超过一辆观光车，每4分钟有一辆观光车迎面开来，上下车的时间忽略不计，则观光车从站点开出的间隔时间是_________分钟． 【答案】 45 12 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．正确列出方程是解题的关键． （1）设看到的里程数的十位数字为，则个位数字为，根据汽车匀速行驶，得到每小时的路程相等，列出方程进行求解即可； （2）设观光汽车的速度为每分钟米，根据每12分钟超过一辆观光车，每4分钟有一辆观光车迎面开来，列出方程求出的值，进而求出间隔时间即可． 【详解】（1）解：设看到的里程数的十位数字为，则个位数字为， 由题意得：， 解得：， ， 汽车的速度为：（千米小时）； 故答案为：45； （2）解：设观光汽车的速度为每分钟米， 由题意得：东东自家汽车的速度为千米小时， 36千米小时米分钟， 由题意可得， 解得：， 观光车从站点开出的间隔时间是分钟； 故答案为：12． 【变式3】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知甲、乙两船在静水中的速度都是，水流速度是． (1)若甲、乙两船从A港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，则后两船相距多远？ (2)若甲船从A港口顺水航行到达B港口；从B港口返回A港口逆水而行，用了，求水流速度． 【答案】(1)后甲，乙两船相距 (2)水流的速度为 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，整式加减运算的实际应用，正确掌握船在水中顺流与逆流时的速度关系是解题关键． （1）首先根据题意得出甲船顺水时的航行速度为，乙船逆水时的航行速度为，由此即可得出二者4小时后各自的航行距离，据此进一步计算即可得出答案． （2）根据往返路程相等列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 答：后甲，乙两船相距； （2）解：根据题意得， 得， 答：水流的速度为 ▌题型09 日历问题 【典例9】（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图是2025年10月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数（例如图中框住的五个数分别为5、7、13、19、21），对于框架框住的五个数字之和，计算结果不可能是（     ） A．75 B．100 C．115 D．120 【答案】D 【分析】设中间一个数为x，则其余四个数分别为：，，，，求出5个数的和为，然后根据4个选项中5个数的和，分别列出方程，求出5个数，进行判断即可． 【详解】解：设中间一个数为x，则其余四个数分别为：，，，，则5个数的和为：， 当五个数字之和为75时，， 解得：， 即中间一个数为15，其余四个数为：7，9，21，23， ∴五个数字之和能为75，故A不符合题意； 当五个数字之和为100时，， 解得：， 即中间一个数为20，其余四个数为：12，14，26，28， ∴五个数字之和能为100，故B不符合题意； 当五个数字之和为115时，， 解得：， 即中间一个数为23，其余四个数为：15，17，29，31， ∴五个数字之和能为23，故C不符合题意； 当五个数字之和为120时，， 解得：， 即中间一个数为24，其余四个数为：16，18，30，32， ∵日历中不存在32， ∴五个数字之和不可能为120，故D符合题意． 【变式1】（25-26七年级上·浙江湖州·期末）湖州市“数学文化节”的体验区有一个“奇阵探秘”数学游戏装置，屏幕上显示着一张由64个奇数从小到大排列成的数表，部分数表排列如下： 游戏规则：屏幕中有一个“”形拼图框，它同时盖住连续的5个格子（形状如表中阴影所示）．玩家可以平移这个“”形框，让它覆盖数表中的其他位置（不超出边界，且保持完整覆盖5个格子）．系统会自动计算“”形框覆盖的5个数的和．在一次游戏中，小爱平移“”形框，系统显示5个数的和可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程，整式的加减，用代数式表示5个数的和是解题的关键． 设“”形框覆盖的第一个数为，则另四个数分别为，，，，得出这5个数的和是，逐一列出方程，求解判断即可． 【详解】解：设“”形框覆盖的第一个数为，则另四个数分别为，，，， 则这5个数的和是， A、当和为时，即，解得，“”形超出边界，故选项A不符合题意； B、当和为时，即，解得，“”形超出边界，故选项B不符合题意； C、当和为时，即，解得，“”形超出边界，故选项C不符合题意； D、当和为时，即，解得，“”形没有超出边界，故选项D符合题意； 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·浙江丽水·期末）将连续偶数，，，，…排成如下数表： (1)将平行四边形框上、下、左、右平移，可框住数表中的三个数，设中间的数为，求出平行四边形框中三个数之和； (2)平行四边形框中的三个数的和能等于吗？若能，写出这三个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能等于，这三个数分别为，， 【分析】本题考查一元一次方程应用中的日历问题，观察数表寻找规律是关键． （1）设中间的数为，则另外两个数分别为，，将三个数相加，即可用含的代数式表示出平行四边形框中三个数之和； （2）根据（1）的结论，求出的值为，观察数表规律，找到数字的位置，并判断能否取到这三个数即可． 【详解】（1）解：由数表的规律可知，平行四边形左上角的数为，右下角的数为， ∴三个数的和为； （2）解：假设三个数的和能等于， 由（1）可知，三个数的和为， ∴， 解得， ∴，， 观察数表发现，在第行第个数的位置，是中间位置， ∴假设成立，三个数的和能等于，三个数分别为，，． 【变式3】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图1，这是2026年1月的月历表，用如图2所示的“”字型去框出月历表中的五个数，设这五个数由小到大依次为． (1)若设所表示的数为，则表示的数为__________（用的代数式表示）． (2)若这五个数的和为115，求所表示的数． (3)代数式的值是否为定值？若是，求出它的值：若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)15 (3)是定值，它的值为 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用、整式加减的应用，正确建立方程和列出代数式是解题关键． （1）观察月历表可得表示的数比所表示的数大8，由此即可得； （2）设所表示的数为，则所表示的数为，所表示的数为，所表示的数为，所表示的数为，根据题意建立方程，解方程即可得； （3）设所表示的数为，则所表示的数为，所表示的数为，所表示的数为，所表示的数为，代入计算整式的加减即可得． 【详解】（1）解：由月历表可知，表示的数比所表示的数大8， ∵所表示的数为， ∴表示的数为， 故答案为：． （2）解：设所表示的数为，则所表示的数为，所表示的数为，所表示的数为，所表示的数为， ∵这五个数的和为115， ∴， 解得， ∴所表示的数为15． （3）解：设所表示的数为，则所表示的数为，所表示的数为，所表示的数为，所表示的数为， ∴ ， ∴代数式的值是定值，它的值为． ▌题型10 和差倍分问题 1）甲是乙的a倍：甲=乙×a 2）甲比乙多1/a：甲=乙×（1+1/a） 3）甲比乙少1/a：甲=乙×（1-1/a） 【典例10】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）七年级一班有40人报名参加曲艺社或天文社．已知参加曲艺社的人数比参加天文社的人数多7人，两个社都参加的有15人．若设参加曲艺社的人数为，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设参加曲艺社的人数为，则参加天文社的人数为，根据总人数等于曲艺社人数与天文社人数之和减去两个社都参加的人数列方程即可． 【详解】解：设参加曲艺社的人数为，则参加天文社的人数为， 由题意得，． 故选：A． 【变式1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）某班同学外出研学，途中班长在队伍中数了一下他前后的人数，发现前面人数是后面的三倍，他往前超了11位同学，发现前面的人数和后面的人数一样，则这个班级共有学生____________人． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意假设这列队伍前面人，后面则有人，利用他往前超了11位同学，发现前面的人数和后面的人数一样得出方程求解即可． 【详解】解：设这列队伍前面人，后面则有人， 根据题意得出：， 解得：， 这个班级共有学生． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）学校组织植树活动，已知在甲地植树的有18人，在乙地植树的有7人，在丙地植树的有5人，现调40人去支援， (1)若前往支援的地点只有甲地和乙地，要使在甲地植树的人数是乙地植树人数的4倍，那么应调往甲、乙两地各多少人？ (2)若甲、乙、丙三地都需要支援，其中调往丙地的人数比调往乙地人数的2倍少1人，要使在甲地植树的人数恰好等于在乙地和丙地植树人数之和，那么应调往甲、乙、丙地各多少人？ 【答案】(1) 调往甲地34人，调往乙地6人 (2) 调往甲地17人，调往乙地8人，调往丙地15人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．正确理解题意是解题的关键． （1）设应该调往甲地人，则调往乙地人，根据要使在甲地植树的人数是乙地植树人数的4倍，列方程求解即可； （2）设应该调往乙地人，则调往丙地人，调往甲地人，根据要使在甲地植树的人数恰好等于在乙地和丙地植树人数之和，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设应该调往甲地人，则调往乙地人， 根据题意，得， 解得， 则（人） 答：调往甲地34人，调往乙地6人； （2）解：设应该调往乙地人，则调往丙地人，调往甲地人， 根据题意，得， 解得， 则（人），（人） 答：调往甲地17人，调往乙地8人，调往丙地15人． 【变式3】（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）学校组织植树活动，已知在甲地植树的有23人，在乙地植树的有19人．现调30人去支援，使在甲地植树的人数是乙地植树人数的2倍，问：应调往甲、乙两地各多少人？ 分析：设应调往甲地x人，题中所涉及的有关数量及其关系可以用下表表示： 地名 甲地 乙地 原有人数 23 19 增加人数 x ________ 增加后人数 ________ 甲地增加后人数乙地增加后人数： (1)完成分析中的表格填空； (2)解决上述未完成的任务． 【答案】(1)乙地增加人数：，增加后人数： (2)应调往甲地25人，调往乙地5人 【分析】（1）设调往甲地x人，则调往乙地人，增加后乙地人数为，化简即可． （2）根据甲地增加后人数是乙地增加后人数的2倍列方程求解即可． 本题主要考查了列一元一次方程解应用题，找等量关系，正确的列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设调往甲地x人，则调往乙地人，则增加后乙地人数为（人）， 故答案为： ， （2）解：设应调往甲地x人，根据题意，得 ， ， ， ， 解得， ∴， ∴应调往甲地25人，调往乙地5人． ▌题型11 年龄问题 解题方法： 1.设未知数：一般设现在其中一人的年龄，然后表示出另一人的年龄，有时候设过去和未来的时间差； 2.表示过去或者未来的年龄； 3.列方程：知道年龄差，利用过去或者未来的年龄关系列方程；不知道年龄差，根据年龄差值不变列方程； 4.解方程. 【典例11】（23-24九年级下·河北保定·期中）根据下面的对话，算出小亮今年的年龄为（  ） A．8岁 B．6岁 C．10岁 D．7岁 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小亮今年的年龄为x岁，根据题意列出方程并求解，即可获得答案． 【详解】解：设小亮今年的年龄为岁， 则， 解得， 即小亮今年的年龄为8岁． 故选：A． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知兄妹俩的年龄相差6岁，今年兄妹俩的年龄之和是妈妈年龄的一半．若再过20年，他们的年龄之和恰好与妈妈的年龄相等，则今年哥哥的年龄是_____岁． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设哥哥今年年龄为岁，则妹妹年龄为岁，根据题意可知妈妈今年年龄为岁；根据再过20年兄妹年龄之和等于妈妈年龄，得出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设哥哥今年年龄为岁，妹妹今年年龄为岁，根据题意可知妈妈今年年龄为岁． 由题意，， 解得：． 故今年哥哥的年龄为13岁． 故答案为：． 【变式2】（2025七年级上·全国·专题练习）已知今年甲的年龄比乙的年龄多12岁，4年后甲的年龄恰好是乙的年龄的2倍，求甲今年的年龄是多少岁？ 【答案】甲今年的年龄是20岁． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设今年甲的年龄为x岁，则今年乙的年龄为岁，根据4年后甲的年龄恰好是乙的年龄的2倍，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设今年甲的年龄为x岁，则今年乙的年龄为岁， 根据题意得：， 解得：． 答：甲今年的年龄是20岁． 【变式3】（20-21七年级上·浙江杭州·期末）在数轴上有一线段，左侧端点，右侧端点．将线段沿数轴向右水平移动，则当它的左端点移动到和右端点原位置重合时，右端点在数轴上所对应的数为24，若将线段沿数轴向左水平移动，则右端点移动到左端点原位置时，左端点在轴上所对应的数为6（单位：） (1)线段长为_________． (2)由题（1）的启发，请你借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄．爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要等30年才出生；你若是我现在这么大，我已经是120岁的老寿星了，哈哈！”则推算爷爷现在的年龄是________ 【答案】(1)6cm (2)70岁 【分析】（1）根据题意，可知点和点之间的距离为18，且正好是线段长的3倍，则可求出的长； （2）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红和爷爷的年龄差看做线段的长，结合（1）即可求出爷爷的年龄． 【详解】（1）如图所示，B，∴，∴ ． （2）借助数轴，把小红和爷爷的年龄差看做线段的长，类似爷爷和小红大时看做当B点移动到A点时，此时点对应的数为，小红和爷爷一样大时看做当点A移动到B点时，此时点所对应的数为120，根据（1）中提示，可知爷爷比小红大（岁） 所以爷爷的年龄为（岁）． 故答案为：①；②70岁． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离和线段的应用，找出蕴含的数量关系，以及利用数轴直观解决问题是解题关键． ▌题型12 古代问题 列方程解应用题时，理解题意是关键，一些应用题是以一段生活实际情形、一个典故或者一个游戏编制而成，这类应用题称为情境应用题，解情境应用题时要注意对信息的取舍，从不同的角度提出问题、分析问题，恰当地理解和应用数学知识. 【典例12】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出七，盈五；人出五，不足三．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出7钱，多出5钱；每人出5钱，还差3钱．问：人数、物价各是多少？若设人数是x人，根据题意列一元一次方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查一元一次方程的实际应用．根据物价不变这一等量关系，用两种方式表示物价后列出方程即可． 【详解】解：设人数是x人，根据题意得： ． 故选：B． 【变式1】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图，按照他的方法：先将象牵到大船上，并留一工人在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入18块等重的条形石，并在船上留3个工人，这时水位恰好到达标记位置．如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个工人，水位也恰好到达标记位置．已知工人体重均为140斤，设每块条形石的重量是斤，则下列错误的是（   ） A．依题意得 B．依题意得 C．该象的重量是5320斤 D．每块条形石的重量是280斤 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 根据题意，可以列出方程，然后求解，再计算出大象的体重，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：由题意可得， ， 解得， 该象的重量为（斤， 综上，错误的选项为A， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级上浙江衢州·期末）“鸡兔同笼”问题是我国古算书《孙子算经》中著名的数学问题．今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？ (1)补全表格：若设兔有x只． 项目 只数 足数 鸡 ______ 兔 x ______ 合计 35 94 (2)请你完整的解决“鸡兔同笼”问题．（可重设未知数） 【答案】(1)．4x (2)兔有只，鸡有只 【分析】本题主要考查了用一元一次方程解决实际问题，解答本题的关键是仔细审题，根据等量关系得出方程，难度一般． （1）根据上有三十五头，得出鸡和兔共有35只，设兔有x只，则鸡有只，分别根据一只鸡有2足，一只兔子有4足，表示出鸡和兔子的总足数即可； （2）根据解析中得出的结果，结合鸡、兔共94足列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵上有三十五头， ∴鸡和兔共有35只， 设兔有x只，则鸡有只，兔的足数为，鸡的足数为． 项目 只数 足数 鸡 兔 x 合计 35 94 （2）解：设兔有x只，则鸡有只，根据题意得： ， 解得：， 则（只）， 答：兔有只，鸡有只． 【变式3】（2026七年级上·浙江·专题练习）丢番图的墓志铭． 古希腊数学家丢番图被认为是代数学的鼻祖，但历史上没有一本正式的著作里留下他完整的生平介绍，甚至连他的国籍都没有明确的记载，然而有趣的是，他竟然有一个墓志铭，上面镌刻着他的一些情况：“他生命的六分之一是幸福的童年，再活十二分之一，颊上长出了细细须．又过了生命的七分之一才结婚．再过5年，他感到很幸福，得了一个儿子．可是这孩子光辉灿烂的生命只有他父亲的一半，儿子死后，他在悲痛中活了4年，结束了尘世的生涯．”你知道丢番图结婚时和去世时的年龄分别是多少吗？ 【答案】丢番图结婚时的年龄是33岁，去世时的年龄是84岁 【分析】本道题主要考查了一元一次方程的应用，熟练掌握是解答本题的关键．设丢番图的年龄为岁，由此得出他的每个阶段的经历的年数列出等量关系即可解答． 【详解】解：设丢番图去世时的年龄是岁． 根据题意，得， 解得， （岁）， 答：丢番图结婚时的年龄是33岁，去世时的年龄是84岁． ▌题型13 几何问题 观察图形，用含未知数的式子表示图形的边长，通过题目中的已知条件(通常是长或宽对应相等)建立等量关系 【典例13】（25-26七年级上·浙江丽水·期末）已知点A，B，C是直线l上互不重合的三个点，设，，，其中n是正整数，a是正数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点B在点A，C之间 B．若，则点A在点B，C之间 C．若，则点C在点A，B之间 D．若n大于3，则点A在点B，C之间 【答案】B 【分析】根据线段的和差，对各选项进行列方程求解判断即可． 【详解】A. 当时，若点B在点A，C之间，则， 得，解得， ∵a是正数，∴不符合题意，故选项A错误； B. 当时，若点A在点B，C之间，则， 得，解得，符合条件； 若点C在点A，B之间，则，即，方程无解； 若点B在点A，C之间，则，即，解得， ∵a是正数，∴不符合题意； 故只有点A在点B，C之间成立，故选项B正确； C. 当时，若点C在点A，B之间，则， 得，解得， ∵a是正数，∴不符合题意，故选项C错误； D. 若点A在点B、C之间，则，即，化简为， 解得， a是正数， 当时，不满足a为正数， 即若n大于3，点A不在点B，C之间，故选项D错误． 【变式1】（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，平分，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角度的计算、角平分线的定义、一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设，，利用角的和差表示出，，再根据角平分线的定义列出方程，求出的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知点C是线段上一点，点C分线段的长度为，点E是的中点，点D是的中点．若，则的长为_____． 【答案】8或24 【分析】本题考查与线段中点有关的计算．设，分或，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：设， ∵点C分线段的长度为， ∴分两种情况：或， 当时，如图： ∵点E是的中点，点D是的中点， ∴，， ∵，， ∴， 解得， ∴； 当时，如图： ∵点E是的中点，点D是的中点， ∴，， ∵，， ∴， 解得， ∴； 故答案为：8或24． 【变式3】（25-26七年级上·浙江丽水·期末）规定：从一个角的顶点出发，在角的内部作两条射线，若这两条射线所夹的角与原角互补，则这个夹角叫做原角的“内补角”．如图①所示，若与互补，则是的内补角． (1)如图①所示，已知，是的内补角，求； (2)如图②所示，记，将绕点O按顺时针方向旋转至，若是的内补角，求； (3)把一副三角板按图③放置，其中，，，再将三角板绕顶点A按顺时针方向旋转一周，速度为3度/秒，问：在三角板旋转的过程中，射线，，，能否形成内补角？若能，求出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能；旋转时间为秒或秒 【分析】（1）利用内补角定义，通过角度计算直接求解； （2）根据旋转性质与内补角定义，用表示相关角，建立方程求解． （3）分两种情况：当为的内补角时，当为的内补角时，分别画出图形，根据旋转，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵，是的内补角， ∴． （2）解：∵将绕点O按顺时针方向旋转至， ∴，， ∴， ∵是的内补角， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：． （3）解：能；设旋转时间为t秒， 当为的内补角时，如图所示： 则， 根据旋转可得：，， ∴， 解得：； 当为的内补角时，如图所示： 则， 根据旋转可得：， ， ∴， 解得：， 综上，当旋转时间为秒或秒时，射线，，，能形成内补角． ▌题型14 动点问题 【典例14】（21-22七年级上·浙江杭州·期中）已知点A，点B分别是数轴上两点，点A对应，点B对应30，现有甲，乙两只蚂蚁分别从点A，点B同时出发，相向而行，甲蚂蚁的速度比乙蚂蚁的速度多2单位/秒，经过5秒它们相遇；若它们在点A，点B位置，同时向右而行，并在点D处相遇，则点D在数轴上的对应数为（    ） A．130 B．120 C．100 D．80 【答案】A 【分析】设甲的速度为x单位/秒，则乙的速度为单位/秒，根据题意可得，相向而行，相遇时，甲乙的路程和等于点A和点B的距离，同时向右而行，相遇时，甲乙的路程差为点A和点B的距离，列出方程求解即可． 【详解】解：设甲的速度为x单位/秒，则乙的速度为单位/秒， ， 解得：， 则， ∴设甲的速度为6单位/秒，则乙的速度为4单位/秒， 设同时向右而行，经过t秒后相遇， ， 解得：， ∴点D表示的数为：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【变式1】（21-22七年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知点A点B分别是数轴上的两点，点A对应﹣40，点B对应60，现有甲乙两只蚂蚁分别从点A，点B同时出发，相向而行，甲蚂蚁的速度比乙蚂蚁的速度多4单位/秒，经过5秒他们相遇，若它们在点A，点B位置同时向右而行，并在点D相遇，则点D在数轴上对应的数是（　　） A．160 B．200 C．240 D．260 【答案】D 【分析】设乙蚂蚁的速度为单位/秒，则甲蚂蚁的速度为单位/秒，根据题意列出方程，可得甲蚂蚁的速度为12单位/秒，乙蚂蚁的速度为8单位/秒，然后设它们在点A，点B位置同时向右而行，经过 秒后在点D相遇，可得到 ，即可求解． 【详解】解：设乙蚂蚁的速度为单位/秒，则甲蚂蚁的速度为单位/秒，根据题意得： ，解得： ， ∴甲蚂蚁的速度为12单位/秒，乙蚂蚁的速度为8单位/秒， 设它们在点A，点B位置同时向右而行，经过 秒后在点D相遇，则 ，解得： ， ∴点D在数轴上对应的数是 ． 故选：D 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，在数轴上点A表示数为，点B表示数为10，点C表示数为1． (1)线段的长为 ，线段的中点表示的数为 ，能将线段“三等分”的两个点我们称为线段的三等分点．则线段的三等分点表示的数为 ； (2)点M为点A右侧一点，将数轴沿点M向右对折，点A恰好与点重合且，求点M表示的数； (3)若点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度向右运动，点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度先向左运动，与P相遇后再改变运动方向与点P同向而行．若P、Q两点同时出发，保持速度不变．当点P是线段的三等分点时，求运动时间． 【答案】(1)15，，0和5； (2)4或1； (3)3秒或秒或10秒． 【分析】（1）由知线段的长为15；由，知线段的中点表示的数为；列式计算可得线段的三等分点表示的数为0和5； （2）设点表示的数为，可得表示的数为，故，解得或，即点表示的数为4或1； （3）设运动时间为秒，当时，表示的数为，求出，可得或，当时，表示的数为，可得或，分别解方程可得答案． 【详解】（1）解： ， 线段的长为15； ， 线段的中点表示的数为； ，， 线段的三等分点表示的数为0和5； （2）解：设点表示的数为， 将数轴沿点向右对折，点恰好与点重合， 是的中点， 表示的数为， ， ， 或， 解得或， 点表示的数为4或1； （3）解：设运动时间为秒， 根据题意，表示的数为，，点Q先向左运动时表示的数为， 由，得， 即时，点Q与P相遇， 当时，表示的数为， ， 点是线段的三等分点， 或， 解得或； 当，相遇时，，相遇点表示的数为0， 当时，表示的数为， ， 点是线段的三等分点， 或， 解得（舍去）或； 综上所述，的值为3或或10； 运动时间为3秒或秒或10秒． 【变式3】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）如图1，已知数轴上两点A，B对应的数分别为，5，点为数轴上的一动点，其对应的数为． (1)若是线段的中点，求的值． (2)若，求的值． (3)如图2，点以每秒个单位的速度向左运动，同时点以每秒个单位的速度向右运动，点以每秒个单位的速度从点向右运动，且，在运动过程中，M，N分别是、的中点，试探究的值是否发生变化？若不变，求其值，若改变，请说明理由． 【答案】(1) (2)数轴上存在点，使，此时x的值为或． (3)的值不发生变化，为定值2． 【分析】（1）根据中点公式求解即可； （2）分点P在两点之间，点在点的右边和点在点的左边三种情况，讨论求解即可； （3）设运动时间为t分钟，用含t的式子分别表示出点A，点P，点B表示的数，进而求出的长，再由中点公式求出点M，点N表示的数，进而求出的长，再计算即可得到结论． 【详解】（1）解：∵两点A，B对应的数分别为，5，点为数轴上的一动点，其对应的数为． 是线段的中点， ∴． （2）解：①当点在两点之间时，，不符合题意，舍去； ②当点在点的右边时，，， ， 解得； ③当点在点的左边时， ， 解得． 综上所述，数轴上存在点，使，此时x的值为或． （3）解：的值不发生变化，为定值2，理由如下： 设运动时间为t秒，则点A表示的数为，点P表示的数为，点B表示的数为， ∴，， ∵M，N分别是、的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∵， ∴， ∴， ∴的值不发生变化，为定值2． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离计算，整式的加减运算，一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离公式是解题的关键． $专题02 一元一次方程与实际问题 （题型突破·举一反三） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型01 配套问题 题型02 工程问题 题型03 营销问题 题型04 比赛积分 题型05 方案选择问题 题型06 数字问题 题型07 分段计费问题 题型08 行程问题 题型09 日历问题 题型10 和差倍分问题 题型11 年龄问题 题型12 古代问题 题型13 几何问题 题型14 动点问题 ▌题型01 配套问题 生活中常见的一些配套组合问题，如螺栓与螺母的配套，盒身与盒底的配套等.解决此类问题的方法是抓住配套比，设出未知数，然后根据配套比列出方程，通过解方程解决问题. 【典例1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）某节劳动课上刘老师组织学生们制作“便携式垃圾桶”．已知该班共有学生45名，每名学生一节课能做桶身11个或桶底23个，其中一个桶身配两个桶底．设安排名学生做桶身，若该班学生所做的桶身和桶底正好配套，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22七年级上·浙江台州·期末）某眼镜厂车间有28名工人，每人每天可生产镜架40个或者镜片60片，已知一个镜架配两片镜片，为使每天生产的镜架和镜片刚好配套，应安排生产镜架和镜片的工人各多少名？若安排名工人生产镜片，则可列方程：______． 【变式2】（25-26七年级上·浙江衢州·期末）如图，将某种规格的长方形纸板按照图1、图2所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板．3块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒． 现有此种规格的长方形纸板共张．设按图1方法裁剪用了张长方形纸板，剩余的张纸板按图2方法裁剪．部分数量关系如下表：      裁剪方法 纸板数量 （张） 图1所示方法 图2所示方法 裁得的纸板数量 小长方形纸板数 正方形纸板数 (1)①若裁剪出的小长方形和小正方形纸板恰好全部用完，请分别写出与与之间的数量关系． ②当时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？列方程解决问题． (2)当时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？请直接写出答案． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）某班同学去慰问在节假日期间还工作在工作岗位上的某厂某车间职工，给工人叔叔们带去了一些礼品，如果每人2件，则剩下5件，如果每人3件，则还少件． (1)求某班同学一共带去了多少件礼品？ (2)该车间的工人每人每天可以生产个螺钉或个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ ▌题型02 工程问题 工作总量=工作时间×工作效率 工作时间=工作总量÷工作效率 工作效率=工作总量÷工作时间 总工作量=各单位工作量之和 甲乙合作效率=甲的工作效率+乙的工作效率 在工程问题中，一般将工作总量看作单位1. 【典例2】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成．甲先做2天后乙再加入，合作完成这项工程还需多少天？若设合作完成这项工程还需天，根据题意，得（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个排水管丙，单独打开甲管6小时可注满水池；单独打开乙管8小时可注满水池；单独打开丙管12小时可将满池水排空．若先将甲、乙两管同时打开2小时，再打开丙管，则打开丙管______小时后水池被注满． 【变式2】（21-22七年级上·浙江绍兴·开学考试）修一段公路，如果甲、乙两个工程队合修24天可以完成．如果甲队先工作9天，乙队再单独做18天，还剩下全长的没有完成，已知后来有一天因停电甲队少修100米，这一天甲修的米数只占乙一天修的米数的，问：这一段公路全长多少米？ 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）学校计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想参与，已知甲工厂每天能加工这种校服件，而乙工厂每天加工这种校服的件数比甲工厂多． (1)求乙工厂每天加工这种校服多少件． (2)若甲工厂单独加工这批校服比乙工厂单独加工多用天，求这批校服共有多少件． (3)在（）的条件下，甲、乙两厂按原生产速度先合作一段时间，然后甲工厂停工，乙工厂提高加工速度后继续完成剩余部分．已知乙工厂的全部工作时间是甲工厂全部工作时间的倍少天，若在加工过程中，甲工厂每天需费用元，乙工厂每天需费用元，学校共支付甲、乙两工厂元，求乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服多少件． ▌题型03 营销问题 利润=售价-进价（成本） 总利润=单件利润×销售量 利润率=（利润÷成本价）×100% 销售额=销售价×销售数量 销售利润=（销售价-成本价）×销售数量 商品打几折就是按照原价的百分之几十出售 【典例3】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）某商店销售一款无线耳机，按进价提高后标价，再优惠元销售，能获得的毛利率()，设一副该款耳机的进价为元，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）某潮玩店清仓热门动漫IP盲盒手办，推出两种促销方案：①直接按定价7折出售（无任何额外优惠），此时卖出每个盲盒会亏损元；②先按定价的9折结算，再叠加平台“满元减元”的优惠（9折后的金额满足“满就减”条件），此时卖出每个盲盒会盈利元．若设定价为x元，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·浙江丽水·期末）某“新国标电动车”专卖店在“浙丽来消费”促销活动中推出以下方案：A类电动车九折优惠，B类一次性降价400元．年底在原促销基础上再增加以下优惠： 类型 A类 B类 新车原价 3000元～4000元（含3000元，不含4000元） 4000元及以上 减免 400元 500元 年底，小庆家与小龙家各自准备购置一辆新国标电动车，请完成下列问题： (1)若小庆家准备买原价为4100元的新国标电动车，求她的实付金额； (2)若小龙家用x元购买了一辆A类新国标电动车，求出这辆电动车的原价（用x的代数式表示）； (3)小庆和小龙各买了一辆新国标电动车．以下是小庆利用两人的购买信息与助手进行交流的部分内容： … 小庆（对助手）：“我买的是A类电动车，小龙买的是B类电动车．” 助手：“根据购车信息，你与小龙的电动车原价相差52元，但小龙的实付价反而比你少52元．” … 请根据以上信息，求出小庆和小龙的实付价分别是多少元． 【变式3】（25-26七年级上·浙江温州·期末）某户外用品店出售一款推车，按原价售出一辆可获利80元．现计划对库存的50辆推车进行清仓处理．请完成以下任务： 任务1：拟定促销计划 店铺准备采取分阶段促销策略：先以原价销售一部分，剩余推车每辆降价60元售完．若要求总利润为1720元，则原价售出的推车为多少辆？ 任务2：调整促销计划 为加快清仓，现同时推出两种促销方式，顾客购买推车时仅能选择一种： 方式一：按原价购买一辆推车可获赠一把成本为元（为正整数）的折叠椅． 方式二：每辆推车降价60元销售． 若50辆推车全部售出，且总利润恰好为1152元，求出的最大值． ▌题型04 比赛积分 比赛总场数=胜场总数+平场总数+负场总数;比赛总分=胜场积分+平场积分+负场积分. 【典例4】（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）某次“最强大脑”比赛，每个选手都需回答20道题，答对一题得7分，答错一题倒扣4分，王刚答完了全部道题，得了63分，他答对了（     ）道题． A．7 B．9 C．11 D．13 【变式1】（25-26七年级上·甘肃甘南·阶段检测）某次考试有道选择题，每做对一题得分，不做或做错一题扣分，小李共得分，那么他不做或做错的题目是（    ） A．道 B．道 C．道 D．道 【变式2】（24-25七年级下·浙江金华·期末）在学校篮球比赛中，李军2分球和3分球共投进8个，共得19分，他2分球和3分球各投进多少个？ 【变式3】（2025·浙江杭州·三模）近期“国家喊你减肥了”话题冲上热搜，为了让大家有一个健康的身体和良好的生活习惯，某学校组织全体中学生参加健康生活方式知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了5个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 1 B 4 C 7 D E 0 (1)填空：每答对一道题得______分，每答错一道题扣_____分； (2)参赛者得分，他答对了几道题？ (3)参赛者说他得分，你认为可能吗？请通过计算说明． ▌题型05 方案选择问题 在解决实际问题时，我们常常会遇到合理安排、最优选择等问题，这些都需要通过列方程进行计算、分析和比较，从而找到最优方案. 【典例5】（25-26七年级上·浙江台州·期末）综合与实践 停车场的收费方案选择问题 素材一 小张开车去公司上班，公司附近有一个停车场提供了两种收费方案． 方案一：不购买月卡时，每天停车6小时内（含6小时），收费4元，超过6小时的部分每小时收费元（不足1小时按1小时计算）． 方案二：购买99元月卡后，每天停车5小时内（含5小时）免费，超过5小时的部分每小时收费1元（不足1小时按1小时计算）． 素材二 小张平均每月上班22天，每天停车时间相同． 解决问题 问题1 若小张上班期间每天停车8小时，则她选择方案一时平均每月的费用为__________元；选择方案二时平均每月的费用为__________元． 问题2 若小张上班期间每天停车小时（为正整数），她应选择哪种方案，使平均每月的费用更省钱？请说明理由． 问题3 已知方案二的月卡价格调整为元（为整数，且）． ①若小张上班期间每天停车小时，要使两种方案平均每月费用相同，求的值； ②若小张上班期间每天停车时间在小时之间，且方案一平均每月费用比方案二的倍少63元，求的值． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）某杭帮菜品牌店为了吸引顾客，特推出两种优惠方式（不能同时使用）： 方案 优惠内容 方案A：购代金券 购买“90代100”（实付90元获得100元代金券），消费每满100元可使用1张代金券，单桌最多使用3张． 方案B：会员打折 花9.9元购买会员卡，付款时可享受所有菜品、酒水8.5折优惠． 小明第一次到该店消费，请根据以上方案，解决下列问题： (1)若小明在该店消费160元，用方案A购买了一张代金券，求实际付款多少元？ (2)若小明用方案B实际付款210.5元（含会员卡费用），优惠前消费金额为多少元？ (3)若消费金额超过200元，小明发现用方案A比方案B实付金额贵了13元，优惠前消费金额为多少元？（结果精确到个位） 【变式2】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）某早餐店主营牛奶、面包和饭团，其店内海报如图，请根据海报信息解答如下问题： (1)若某同学购买三杯牛奶和两个饭团，则他最低需花费__________元； (2)某公司从该早餐店购买两种套餐共份作为员工早餐，并享受了九折优惠，共计花费元，问其中购买套餐①多少份？ (3)某日该早餐店准备了杯牛奶，个饭团和个面包，全部售出后当天总收入为元，已知两种套餐售出数量恰好相等，问当日单独售出牛奶多少杯？ 【变式3】（25-26七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）元旦期间，小明、小华等同学跟随家长一同到某公园研学游玩，票价说明如图①，小明与他爸爸的对话如图②所示，试根据图中的信息解答下列问题： 成人票：60元/人． 学生票：按成人票价打5折． 团体票（人数）：团队内成员一律按成人票价打7折． 图① 图② (1)本次游玩一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助小明算一算更省钱的购票方案，并求出最少的购票费用． ▌题型06 数字问题 一个两位数，十位数字是a，个位数字是b，那么这个数可表示为10a+b 一个三位数，百位数字是x， 十位数字是y，个位数字是z，那么这个数可表示为100x+10y+z 在九宫格中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等 【典例6】（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）在一个方格中填写9个数，若每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，则称这个三阶幻方为“优雅幻方”，方格中9个数的和为“优雅数”．下图是一个“优雅幻方”，则它的“优雅数”为（    ） A．9 B．18 C．27 D．36 【变式】1（25-26七年级上·浙江宁波·期中）将正整数至按一定规律排列如下表： 图中的十字框框住了个数字，若将十字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的个数字，则框住的个数的和可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）我国的《洛书》中记载着世界上最古老的幻方——九宫格：将9个数字填入的格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等，如图的幻方中“△”处应该填__________． 【变式3】（24-25七年级上·浙江温州·期末）两位同学在数学节上遇到一个数学竖式谜题：，要求填入相同的数字．他们的部分解题过程如下： 小王：设方框里的数为．可得： 小红：设方框里的数为．可得： 请判断以上哪位同学的做法正确，并继续完成解题步骤，求出“”内的数字． ▌题型07 分段计费问题 基本数量关系:费用=不超过规定部分的费用+超过规定部分的费用. 常见类型：1）已知用电量(用水量、上网时间等)，求应缴的费用； 2）已知缴费的钱数，求用电量(用水量、上网时间等). 【小结】阶梯收费问题，需要判断出收费区间，再列方程进行解答;如果先解答，那么解答之后需要判断解是否符合题目要求的区间. 【典例7】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）余姚市对已实施“一户一表”改造的住宅居民用水实行阶梯式计量水价，具体收费标准如下： 级别 每月每户用水量 水价 第一档 6吨及以下 元/吨 第二档 超过6吨但不超过18吨的部分 3元/吨 第三档 超过18吨但不超过30吨的部分 元/吨 第四档 超过30吨的部分 元/吨 (1)若小王家某月用水量为20吨，则需要缴纳的费用是多少元？ (2)若小明家比小红家某月多用水10吨，结果多缴纳水费元，求小红家该月用水多少吨？ (3)最新政策：如果家庭人口超过4人，则可以申请“多人口家庭”，审核通过后，每户每增加1人，每月各档用水量基数分别增加2吨如某户有5口人，即该户第一档用水量为8吨及以下，第二档用水量为超过8吨但不超过20吨的部分，第三档用水量为超过20吨但不超过32吨的部分，第四档用水量为超过32吨的部分，小李家有6口人，若某月用水量为40吨，则审核通过后，小李家该月缴纳的费用比政策出台之前能节省多少元？ 【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）某市居民年用天然气阶梯价格方案如下： 分类 年用气量（立方米） 到户价格（元/立方米） 第一阶梯 不超过250立方米的部分 第二阶梯 超过250立方米但不超过800立方米的部分 第三阶梯 超过800立方米的部分 (1)若小余家年用天然气立方米，则应缴纳天然气费__________元． (2)若小余家年缴纳天然气费元，求小余家年的用气量． (3)小姚家年和年共用天然气立方米，两年共缴纳天然气费元，且年的用气量比年多，求小姚家年和年的天然气用量各是多少立方米？ 【变式2】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）根据以下素材，尝试解决问题 出行方式选择 素材1 随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的方式有了更多的选择．某市有出租车、快车和专车三种网约车，收费标准如图（假设网约车行驶的平均速度均为40千米/时）． 素材2 1．乘坐网约快车4千米路程收费为元； 2．网约快车和网约专车在春节期间有如下优惠方式： 快车：“满40元减10元”优惠券（一次限用一张优惠券） 专车：①免除时长费；②3千米及以内，里程费不变为3元/千米；超过3千米且不超过8千米的部分，里程费为2元/千米；超过8千米的部分，里程费为1.6元/千米． 问题1 乘坐出租车千米，费用为 元．（结果用的代数式表示） 问题2 春节期间，若小明乘坐出租车与网约快车的里程数相同且所付费用也相同，求此时的里程数． 问题3 春节期间，小明、小宁分别坐出租车、专车从地前往地．小宁坐专车的费用比小明坐出租车的费用贵7元，求，两地相距多少千米？ 【变式3】（2026七年级上·浙江·专题练习）滴滴网约车是通过网络预约的出租车，下表是滴滴网约车各费用项计价方式． 【起步价】包含一定里程和时长 普通时段 5.00元/含2.3千米；含7分钟 00：00～09：00 17：00～00：00 6.00元/含2.3千米；含7分钟 【里程费】超出起步里程后计算 【时长费】超出起步时长后计算 普通时段 1.55元/千米 普通时段 0.30元/分钟 00：00～06：00 23：00～00：00 2.40元/千米 00：00～06：00 23：00～00：00 0.60元/分钟 说明：包含里程或包含时长任意一项超出，将在起步价基础上累加计费；超出部分计数单位以整数计，例如0.1千米为1千米，0.1分钟为1分钟． (1)李叔叔6月3日晚上9时在滴滴出行平台预约了一辆车，里程和时长如图，李叔叔需要支付多少元？ (2)6月14日早上5：30李叔叔又在该平台预约了出行服务，时长6分钟，共支付10.8元，李叔叔本次里程最长多少千米？ ▌题型08 行程问题 【典例8】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）一艘轮船在某河流中往返航行于，两码头之间，该船顺流航行全程需小时，逆流航行全程需小时．已知水流速度为每小时千米，求，两码头间的距离．若设，两码头间距离为千米，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）A，B两地相距，一列慢车从A地出发，每小时行驶，一列快车从B地出发，每小时行驶，快车提前出发，两车相向而行，则慢车行驶多少小时后，两车相遇？设慢车行驶后，两车相遇，根据题意，下面所列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）元旦假期，东东一家自驾出游，汽车匀速行驶在山路上，东东每隔1小时提示一次里程信息(如图)．10点后进入景区，汽车沿景区门口到景点的观光车路线匀速行驶，速度比原来减少9千米/小时． （1）汽车原来的速度是__________千米/小时． （2）若所有的观光车都以相同的速度匀速行驶，景区门口站和景点站每隔相同的固定时间发一辆车，东东在自家汽车上看到，每12分钟超过一辆观光车，每4分钟有一辆观光车迎面开来，上下车的时间忽略不计，则观光车从站点开出的间隔时间是_________分钟． 【变式3】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知甲、乙两船在静水中的速度都是，水流速度是． (1)若甲、乙两船从A港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，则后两船相距多远？ (2)若甲船从A港口顺水航行到达B港口；从B港口返回A港口逆水而行，用了，求水流速度． ▌题型09 日历问题 【典例9】（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图是2025年10月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数（例如图中框住的五个数分别为5、7、13、19、21），对于框架框住的五个数字之和，计算结果不可能是（     ） A．75 B．100 C．115 D．120 【变式1】（25-26七年级上·浙江湖州·期末）湖州市“数学文化节”的体验区有一个“奇阵探秘”数学游戏装置，屏幕上显示着一张由64个奇数从小到大排列成的数表，部分数表排列如下： 游戏规则：屏幕中有一个“”形拼图框，它同时盖住连续的5个格子（形状如表中阴影所示）．玩家可以平移这个“”形框，让它覆盖数表中的其他位置（不超出边界，且保持完整覆盖5个格子）．系统会自动计算“”形框覆盖的5个数的和．在一次游戏中，小爱平移“”形框，系统显示5个数的和可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·浙江丽水·期末）将连续偶数，，，，…排成如下数表： (1)将平行四边形框上、下、左、右平移，可框住数表中的三个数，设中间的数为，求出平行四边形框中三个数之和； (2)平行四边形框中的三个数的和能等于吗？若能，写出这三个数；若不能，请说明理由． 【变式3】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图1，这是2026年1月的月历表，用如图2所示的“”字型去框出月历表中的五个数，设这五个数由小到大依次为． (1)若设所表示的数为，则表示的数为__________（用的代数式表示）． (2)若这五个数的和为115，求所表示的数． (3)代数式的值是否为定值？若是，求出它的值：若不是，请说明理由． ▌题型10 和差倍分问题 1）甲是乙的a倍：甲=乙×a 2）甲比乙多1/a：甲=乙×（1+1/a） 3）甲比乙少1/a：甲=乙×（1-1/a） 【典例10】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）七年级一班有40人报名参加曲艺社或天文社．已知参加曲艺社的人数比参加天文社的人数多7人，两个社都参加的有15人．若设参加曲艺社的人数为，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）某班同学外出研学，途中班长在队伍中数了一下他前后的人数，发现前面人数是后面的三倍，他往前超了11位同学，发现前面的人数和后面的人数一样，则这个班级共有学生____________人． 【变式2】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）学校组织植树活动，已知在甲地植树的有18人，在乙地植树的有7人，在丙地植树的有5人，现调40人去支援， (1)若前往支援的地点只有甲地和乙地，要使在甲地植树的人数是乙地植树人数的4倍，那么应调往甲、乙两地各多少人？ (2)若甲、乙、丙三地都需要支援，其中调往丙地的人数比调往乙地人数的2倍少1人，要使在甲地植树的人数恰好等于在乙地和丙地植树人数之和，那么应调往甲、乙、丙地各多少人？ 【变式3】（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）学校组织植树活动，已知在甲地植树的有23人，在乙地植树的有19人．现调30人去支援，使在甲地植树的人数是乙地植树人数的2倍，问：应调往甲、乙两地各多少人？ 分析：设应调往甲地x人，题中所涉及的有关数量及其关系可以用下表表示： 地名 甲地 乙地 原有人数 23 19 增加人数 x ________ 增加后人数 ________ 甲地增加后人数乙地增加后人数： (1)完成分析中的表格填空； (2)解决上述未完成的任务． ▌题型11 年龄问题 解题方法： 1.设未知数：一般设现在其中一人的年龄，然后表示出另一人的年龄，有时候设过去和未来的时间差； 2.表示过去或者未来的年龄； 3.列方程：知道年龄差，利用过去或者未来的年龄关系列方程；不知道年龄差，根据年龄差值不变列方程； 4.解方程. 【典例11】（23-24九年级下·河北保定·期中）根据下面的对话，算出小亮今年的年龄为（  ） A．8岁 B．6岁 C．10岁 D．7岁 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知兄妹俩的年龄相差6岁，今年兄妹俩的年龄之和是妈妈年龄的一半．若再过20年，他们的年龄之和恰好与妈妈的年龄相等，则今年哥哥的年龄是_____岁． 【变式2】（2025七年级上·全国·专题练习）已知今年甲的年龄比乙的年龄多12岁，4年后甲的年龄恰好是乙的年龄的2倍，求甲今年的年龄是多少岁？ 【变式3】（20-21七年级上·浙江杭州·期末）在数轴上有一线段，左侧端点，右侧端点．将线段沿数轴向右水平移动，则当它的左端点移动到和右端点原位置重合时，右端点在数轴上所对应的数为24，若将线段沿数轴向左水平移动，则右端点移动到左端点原位置时，左端点在轴上所对应的数为6（单位：） (1)线段长为_________． (2)由题（1）的启发，请你借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄．爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要等30年才出生；你若是我现在这么大，我已经是120岁的老寿星了，哈哈！”则推算爷爷现在的年龄是________ ▌题型12 古代问题 列方程解应用题时，理解题意是关键，一些应用题是以一段生活实际情形、一个典故或者一个游戏编制而成，这类应用题称为情境应用题，解情境应用题时要注意对信息的取舍，从不同的角度提出问题、分析问题，恰当地理解和应用数学知识. 【典例12】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出七，盈五；人出五，不足三．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出7钱，多出5钱；每人出5钱，还差3钱．问：人数、物价各是多少？若设人数是x人，根据题意列一元一次方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图，按照他的方法：先将象牵到大船上，并留一工人在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入18块等重的条形石，并在船上留3个工人，这时水位恰好到达标记位置．如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个工人，水位也恰好到达标记位置．已知工人体重均为140斤，设每块条形石的重量是斤，则下列错误的是（   ） A．依题意得 B．依题意得 C．该象的重量是5320斤 D．每块条形石的重量是280斤 【变式2】（24-25七年级上浙江衢州·期末）“鸡兔同笼”问题是我国古算书《孙子算经》中著名的数学问题．今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？ (1)补全表格：若设兔有x只． 项目 只数 足数 鸡 ______ 兔 x ______ 合计 35 94 (2)请你完整的解决“鸡兔同笼”问题．（可重设未知数） 【变式3】（2026七年级上·浙江·专题练习）丢番图的墓志铭． 古希腊数学家丢番图被认为是代数学的鼻祖，但历史上没有一本正式的著作里留下他完整的生平介绍，甚至连他的国籍都没有明确的记载，然而有趣的是，他竟然有一个墓志铭，上面镌刻着他的一些情况：“他生命的六分之一是幸福的童年，再活十二分之一，颊上长出了细细须．又过了生命的七分之一才结婚．再过5年，他感到很幸福，得了一个儿子．可是这孩子光辉灿烂的生命只有他父亲的一半，儿子死后，他在悲痛中活了4年，结束了尘世的生涯．”你知道丢番图结婚时和去世时的年龄分别是多少吗？ ▌题型13 几何问题 观察图形，用含未知数的式子表示图形的边长，通过题目中的已知条件(通常是长或宽对应相等)建立等量关系 【典例13】（25-26七年级上·浙江丽水·期末）已知点A，B，C是直线l上互不重合的三个点，设，，，其中n是正整数，a是正数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点B在点A，C之间 B．若，则点A在点B，C之间 C．若，则点C在点A，B之间 D．若n大于3，则点A在点B，C之间 【变式1】（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，平分，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知点C是线段上一点，点C分线段的长度为，点E是的中点，点D是的中点．若，则的长为_____． 【变式3】（25-26七年级上·浙江丽水·期末）规定：从一个角的顶点出发，在角的内部作两条射线，若这两条射线所夹的角与原角互补，则这个夹角叫做原角的“内补角”．如图①所示，若与互补，则是的内补角． (1)如图①所示，已知，是的内补角，求； (2)如图②所示，记，将绕点O按顺时针方向旋转至，若是的内补角，求； (3)把一副三角板按图③放置，其中，，，再将三角板绕顶点A按顺时针方向旋转一周，速度为3度/秒，问：在三角板旋转的过程中，射线，，，能否形成内补角？若能，求出旋转的时间；若不能，请说明理由． ▌题型14 动点问题 【典例14】（21-22七年级上·浙江杭州·期中）已知点A，点B分别是数轴上两点，点A对应，点B对应30，现有甲，乙两只蚂蚁分别从点A，点B同时出发，相向而行，甲蚂蚁的速度比乙蚂蚁的速度多2单位/秒，经过5秒它们相遇；若它们在点A，点B位置，同时向右而行，并在点D处相遇，则点D在数轴上的对应数为（    ） A．130 B．120 C．100 D．80 【变式1】（21-22七年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知点A点B分别是数轴上的两点，点A对应﹣40，点B对应60，现有甲乙两只蚂蚁分别从点A，点B同时出发，相向而行，甲蚂蚁的速度比乙蚂蚁的速度多4单位/秒，经过5秒他们相遇，若它们在点A，点B位置同时向右而行，并在点D相遇，则点D在数轴上对应的数是（　　） A．160 B．200 C．240 D．260 【变式2】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，在数轴上点A表示数为，点B表示数为10，点C表示数为1． (1)线段的长为 ，线段的中点表示的数为 ，能将线段“三等分”的两个点我们称为线段的三等分点．则线段的三等分点表示的数为 ； (2)点M为点A右侧一点，将数轴沿点M向右对折，点A恰好与点重合且，求点M表示的数； (3)若点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度向右运动，点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度先向左运动，与P相遇后再改变运动方向与点P同向而行．若P、Q两点同时出发，保持速度不变．当点P是线段的三等分点时，求运动时间． 【变式3】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）如图1，已知数轴上两点A，B对应的数分别为，5，点为数轴上的一动点，其对应的数为． (1)若是线段的中点，求的值． (2)若，求的值． (3)如图2，点以每秒个单位的速度向左运动，同时点以每秒个单位的速度向右运动，点以每秒个单位的速度从点向右运动，且，在运动过程中，M，N分别是、的中点，试探究的值是否发生变化？若不变，求其值，若改变，请说明理由． $ 专题02 一元一次方程与实际问题 （题型突破·举一反三） ▌题型01 配套问题 【典例1】C 【变式1】 【答案】60x=2×40（28-x） 【变式2】 【答案】(1)①；②个 (2)13个 【变式3】 【答案】(1)件 (2)生产螺钉的工人名，生产螺母的工人名 ▌题型02 工程问题 【典例2】B 【变式1】 【答案】 【变式2】 【答案】8400 【变式3】 【答案】(1)件 (2)件 (3)件 ▌题型03 营销问题 【典例3】D 【变式1】B 【变式2】 【答案】(1)3200元 (2)元 (3)小庆的实付金额为3164元，小龙的实付金额为3112元 【变式3】 【答案】任务1：12辆 任务2：56 ▌题型04 比赛积分 【典例4】D 【变式1】B 【变式2】 【答案】他2分球投进5个，3分球投进3个 【变式3】 【答案】(1)4，1 (2)答对了道题 (3) 解：参赛者不可能得分， 理由：假设他得了分，设他答对道题， 根据题意得：， 解得，不是正整数，所以假设不成立， 故参赛者不可能得分． ▌题型05 方案选择问题 【典例5】 【答案】问题1：154；165；问题2：当正整数时，选择方案一更省钱；当时，两种方案费用相同；当时，选择方案二更省钱； 问题3：①88；②m的值为62． 【变式1】 【答案】(1)150元 (2)236元 (3)286元或353元 【变式2】 【答案】(1) (2)购买套餐①份 (3)单独售出牛奶杯 【变式3】 【答案】(1)本次游玩一共去了8个成人，4个学生 (2)最省钱的方案是“10人买团体票+2人买学生票”，最少购票费用为元． ▌题型06 数字问题 【典例6】C 【变式】1B 【变式2】 【答案】 【变式3】 【答案】小红正确，“”内的数字为 ▌题型07 分段计费问题 【典例7】 【答案】(1)需要缴纳的费用是57元 (2)小红家该月用水16吨 (3)小李家该月缴纳的费用比政策出台之前能节省元 【变式1】 【答案】(1) (2)小余家年用气量为立方米 (3)小姚家年的用气量为立方米，年的用气量为立方米 【变式2】 【答案】问题1：；问题2：此时的里程数为16千米；问题3：，两地相距1或13千米 【变式3】 【答案】(1)14.95元 (2)4.3千米 ▌题型08 行程问题 【典例8】 【答案】D 【变式1】D 【变式2】 【答案】 45 12 【变式3】 【答案】(1)后甲，乙两船相距 (2)水流的速度为 ▌题型09 日历问题 【典例9】D 【变式1】D 【变式2】 【答案】(1) (2)能等于，这三个数分别为，， 【变式3】 【答案】(1) (2)15 (3)是定值，它的值为 ▌题型10 和差倍分问题 【典例10】A 【变式1】 【答案】 【变式2】 【答案】(1) 调往甲地34人，调往乙地6人 (2) 调往甲地17人，调往乙地8人，调往丙地15人 【变式3】 【答案】(1)乙地增加人数：，增加后人数： (2)应调往甲地25人，调往乙地5人 ▌题型11 年龄问题 【典例11】A 【变式1】 【答案】 【变式2】 【答案】甲今年的年龄是20岁． 【变式3】 【答案】(1)6cm (2)70岁 ▌题型12 古代问题 【典例12】B 【变式1】A 【变式2】 【答案】(1)．4x (2)兔有只，鸡有只 【变式3】 【答案】丢番图结婚时的年龄是33岁，去世时的年龄是84岁 ▌题型13 几何问题 【典例13】B 【变式1】B 【变式2】 【答案】8或24 【变式3】 【答案】(1) (2) (3)能；旋转时间为秒或秒 ▌题型14 动点问题 【典例14】A 【变式1】D 【变式2】 【答案】(1)15，，0和5； (2)4或1； (3)3秒或秒或10秒． 【变式3】 【答案】(1) (2)数轴上存在点，使，此时x的值为或． (3)的值不发生变化，为定值2． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $