5.5一元一次方程的应用 题型分类解答题专题训练 2026-2027学年浙教版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程应用，按行程、和差倍分、方案选择三大模块系统分类，以题载法提炼等量关系建立与模型应用，强化数学建模与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |行程问题|6题|路程=速度×时间，分类相遇/追及/顺水逆水，关键找等量关系|实际情境→抽象路程关系→设元列方程，体现数学抽象与模型意识| |和差倍分问题|6题|总量关系分析，设未知数表示各量，列方程求解|数量分配→量间关系梳理→方程构建，培养逻辑推理与运算能力| |方案选择问题|6题|分类计算费用/数量，比较最优方案，建立函数或不等式|实际决策→方案量化→数学比较，发展数据意识与应用能力|

5.5一元一次方程的应用 题型分类解答题专题训练 一、行程问题 1．甲、乙两地之间的路程是，一名旅游爱好者步行从甲地到乙地，以两种不同的速度分两段走完了全程，共用．他在第一段、第二段路程中的平均速度分别是和．求第一段和第二段路程的长． 2．甲乙两地相距，一列慢车从甲地开出，每小时行驶，一列快车从乙地开出，每小时行驶． (1)若两列车同时开出，相向而行，经过多少小时两列车相遇？ (2)若快车先开出，两列车相向而行，慢车开出多少小时两列车相遇？ 3．A，B两地相距，甲乙两位老人分别同时从A地与B地出发，步行前往另一地．已知甲老人走路的速度为，乙老人走路的速度为． (1)经过多长时间，甲乙老人相遇？ (2)一天，当两位老人出发时，一只狗与甲老人一同出发跑向乙老人，当狗与乙老人相遇时，立刻回头跑向甲老人，当狗与甲老人相遇时再立刻回头跑向乙老人……，当甲乙两位老人相遇时，狗停止运动．已知狗跑动的速度是．问：当狗停止运动时，狗已经跑了多少米？ 4．已知甲、乙两船在静水中的速度都是，水流速度是． (1)若甲、乙两船从A港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，则后两船相距多远？ (2)若甲船从A港口顺水航行到达B港口；从B港口返回A港口逆水而行，用了，求水流速度． 5．甲、乙两地相距千米，货车与客车分别从甲、乙两地出发相向而行，货车先行3小时后，客车出发，又经过4小时两车相遇．已知客车的速度是货车的倍，问：货车每小时行驶多少千米？（列一元一次方程解应用题） 6．在水流速度3千米/小时的条件下，一艘船从甲港口出发顺流而下到乙港口需要小时，当它从乙港口返回甲港口则需要小时． (1)当在平静的湖水中航行时，这艘船的平均速度是多少？ (2)求甲乙两港口之间的路程？ 二、和差倍分问题 7．随着科技的发展，人工智能在生活中越来越普及．物流园某仓库运用甲、乙两种机器人搬运粮食共，甲种机器人搬运的粮食总量比乙种机器人搬运的粮食总量的2倍少． (1)甲、乙两种机器人各搬运粮食多少千克？ (2)若甲种机器人每小时搬运的粮食是乙种机器人的倍，结果甲种机器人完成搬运任务的时间比乙种机器人多用了3小时，则两种机器人每小时分别搬运多少粮食？ 8．某校组织七年级学生到红旗渠研学旅行，原计划租用客车若干辆．若租用载客量60人的客车，有15人没有座位；若租用载客量75人的客车，则可少租一辆车，且恰好坐满。 (1)求原计划租用多少辆60座客车？ (2)载客量60人的客车租金为每辆1300元，载客量75人的客车租金为每辆1600元．若只租用同一类型（载客量相同）的车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用才合算？ 9．某班原分成两个小组进行课外体育活动，第一组32人，第二组22人．根据学校活动器材的数量，要将第一组的人数调整为第二组的一半，应从第一组调多少人到第二组去？ 10．幼儿园将一批水果分给大、中、小和小托四个班，先将全部水果的再减去千克给大班；再把余下的加上千克给中班；又把余下的一半给小班；最后把剩下的一半加上千克给小托班，这时幼儿园还剩6千克水果，则这批水果有多少千克？ 11．已知训练场球筐中有A、B两种品牌的排球共个，设A品牌排球有个． (1)小磊说：“筐里B品牌球是A品牌球的两倍．”小伟根据他的说法列出了方程：．请用小伟所列方程分析小磊的说法是否正确； (2)据工作人员透露：B品牌球比A品牌球至少多个，试通过列不等式的方法说明A品牌球最多有几个． 12．为积极响应倡导爱读书、读好书、善读书的号召，某校着力打造书香校园，计划统一采购经典精装散文集与现代随笔集两类读物充实校园阅览长廊．已知每本经典精装散文集采购单价为元，每本现代随笔集采购单价为元．学校计划采购两类读物共本，设购进经典精装散文集本，采购总花费为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)学校采购有明确要求：现代随笔集的购入数量恰好是经典精装散文集数量的倍，求本次采购总费用． 三、方案选择问题 13．某公司为筹备团建活动，计划为员工购置60件文化衫．经市场调研，某制衣厂男士文化衫每件80元，女士文化衫每件100元，若按原价购买该公司需花费5400元．为促进销售，制衣厂给出两种优惠方案： 方案一：所有文化衫均打九折出售； 方案二：一次性购买50件文化衫（男女款不限）及以上，免费赠送10件男士文化衫，其余的按原价销售． (1)该公司计划购买男士文化衫和女士文化衫各多少件？ (2)请通过计算说明该公司选择哪种优惠方案更划算． 14．某玩具工厂出售一种玩具，其成本价为每件28元．如果直接由厂家门市销售，每件产品售价为40元，同时每月还要支出其他费用2000元；如果委托商场销售，那么出厂价为每件36元． (1)若用表示每月销售该种玩具的件数，请你用含的式子分别表示这两种销售方式所得的利润． (2)在两种销售方式下，每个月销售多少件时，所得利润相等？ (3)若每个月的销售量为600件时，采用哪种销售方式获得利润较多？其利润是多少？ 15．某文具店为了吸引顾客，推出两种不同的优惠方案： 方案一：每次购买可享受九折优惠， 方案二：花30元办理一张会员卡，每次购买可享受七折优惠． 小明想用不超过元的价格购买文具(单件文具价格小于），请你帮他分析选择哪种方案更省钱？ 16．某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案； 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内（含10人）不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与x之间的关系式； (2)某单位组织10人以上去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 17．某球迷协会36名球迷要乘车前往比赛场地观看比赛，可租用的汽车有两种：大车每辆可乘8人（不含司机），小车每辆可乘4人（不含司机）．要求租用的车子不留空座，也不超载． (1)请你给出三种不同的租车方案； (2)若大车的租金是300元／天，小车的租金是200元／天．请你设计费用最少的租车方案，并求出此时的费用． 18．某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号的智能机器人进行快递分拣．已知A型号智能机器人每台比B型号智能机器人贵10万元，若同时购买6台A型号智能机器人和6台B型号智能机器人，所需费用为660万元． (1)求A，B两种型号智能机器人的单价； (2)通过测试发现A型号智能机器人每台每周可分拣快递21万件，B型号智能机器人每台每周可分拣快递16万件，现该企业准备用不超过560万元购买A，B两种型号智能机器人共10台，则该企业选择哪种购买方案，能使每周分拣快递的件数最多？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．第一段路程长为，第二段路程长为 【分析】此题考查了列一元一次方程解应用题，解题的关键是审题，找到题目中的数量关系．设第一段路程为，则第二段路程为，根据总时间为，利用速度、路程和时间的关系列出方程，并求解． 【详解】解：设第一段路程长为，则第二段路程长为． 根据题意得． 解得：， ， 因此，第一段路程长为，第二段路程长为． 2．(1)2小时 (2)小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）利用两车的速度结合甲、乙两地相距，得出等式求出答案； （2）利用快车先开出，再加上两列车以后行驶的路程总路程，进而列出方程求解． 【详解】（1）解：设经过x小时两列车相遇，根据题意可得： ， 解得：， 答：经过2小时两列车相遇； （2）解：设慢车开出x小时后两列车相遇，根据题意可得： ， 解得：， 答：慢车开出小时后两列车相遇． 3．(1) 经过300秒，甲乙老人相遇. (2) 狗已经跑了2400米. 【分析】 （1）根据相遇时两人路程和等于A、B两地总距离，列一元一次方程求解； （2）狗跑动的总时间等于甲乙相遇时间，利用路程公式直接计算总路程． 【详解】（1）解：设经过秒甲乙两位老人相遇， ∵ 甲的速度为，乙的速度为，相向而行相遇时路程和等于两地距离 ， ∴， 解得； 答：经过300秒甲乙两位老人相遇； （2）解：∵狗从出发到停止的总时间等于甲乙两人的相遇时间，即，狗的速度为， ∴狗跑的总路程为 ； 答：狗已经跑了2400米． 4．(1)后甲，乙两船相距 (2)水流的速度为 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，整式加减运算的实际应用，正确掌握船在水中顺流与逆流时的速度关系是解题关键． （1）首先根据题意得出甲船顺水时的航行速度为，乙船逆水时的航行速度为，由此即可得出二者4小时后各自的航行距离，据此进一步计算即可得出答案． （2）根据往返路程相等列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 答：后甲，乙两船相距； （2）解：根据题意得， 得， 答：水流的速度为 5．货车每小时行驶80千米． 【分析】设货车每小时行驶千米，则客车每小时行驶千米．甲、乙两地相距千米，货车与客车分别从甲、乙两地出发相向而行，据此列方程并解方程即可． 【详解】解：设货车每小时行驶千米，则客车每小时行驶千米． 则 解得 答：货车每小时行驶80千米 6．(1)千米/小时 (2)千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设船在静水中的速度为千米小时，水流速度已知为千米小时，根据顺流和逆流的路程相等列出方程，求解， （2）根据（1）的结论，列出算式，计算即可求解． 【详解】（1）解：设船在静水中的速度为千米/小时，水流速度千米/小时，根据题意得， ． 解得． 答：这艘船在平静湖水中的平均速度是12千米/小时． （2）解：甲乙两港口之间的路程为． 答：甲乙两港口之间的路程是40.5千米． 7．(1)甲种机器人搬运了1200千克，乙种机器人搬运了700千克粮食 (2)甲种机器人每小时搬运120千克粮食，乙种机器人每小时搬运100千克粮食 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，正确理解题意列出对应的方程是解题的关键． （1）设乙种机器人搬运了x千克粮食，则甲种机器人搬运了千克，根据甲种机器人搬运的粮食总量比乙种机器人搬运的粮食总量的2倍少建立方程求解即可； （2）设乙种机器人每小时搬运m千克粮食，则甲种机器人每小时搬运千克粮食，根据甲种机器人完成搬运任务的时间比乙种机器人多用了3小时建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙种机器人搬运了x千克粮食，则甲种机器人搬运了千克， 由题意得 解得， ， 答：甲种机器人搬运了1200千克，乙种机器人搬运了700千克粮食； （2）解：设乙种机器人每小时搬运m千克粮食，则甲种机器人每小时搬运千克粮食， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：甲种机器人每小时搬运120千克粮食，乙种机器人每小时搬运100千克粮食． 8．(1)原计划租用6辆60座客车 (2)租用5辆75座客车更合算 【分析】本题考查一元一次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键． （1）根据游客总数不变，列方程求解即可； （2）需要分别计算60座客车和75座客车各自的租金，比较后再取舍． 【详解】（1）解：设原计划租用x辆60座客车， 根据题意列方程得：， 解得：， 答：原计划租用6辆60座客车； （2）解：总人数为：（人）， 租60座客车：，所以需租7辆， 租金为（元）， 租75座客车：，所以需租5辆， 租金为（元）． ． 答：租用5辆75座客车更合算． 9．应从第一组调14人到第二组去 【分析】设出未知数后，根据调整后第一组人数是第二组人数的一半这一数量关系，列一元一次方程即可求解.． 【详解】解：设应从第一组调x人到第二组去，根据题意，得 解得： 答：应从第一组调14人到第二组去． 10． 【分析】设这批水果有千克，根据题意，逐步计算分给大班、中班、小班、小托班水果重量及剩下水果重量，再列方程求解即可． 【详解】解：设这批水果有千克， 所以分给大班千克，剩下千克， 分给中班千克，剩下千克， 分给小班千克，剩下千克， 分给小托班千克，剩下千克， ，解得， 答：这批水果有千克． 11．(1) 不正确，理由如下： 解得， ∵x表示排球的个数，必须为正整数，而不是正整数， ∴小磊的说法不正确 ； (2) A品牌球最多有个． 【分析】（1）先解该一元一次方程，再根据方程的解不是正整数说理即可； （2）根据题意可得B品牌球有个，然后根据B品牌球比A品牌球至少多个，建立不等式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设A品牌排球有个，B品牌球有个， 根据题意，得， 解得 答：A品牌球最多有个． 12．(1)（，且为整数） (2)本次采购总费用为元 【分析】（1）用表示散文集数量，再结合总数表示出另一类读物数量，根据总价=单价×数量列出总花费表达式，化简得到与的一次函数； （2）根据两类书数量倍数关系列方程求出的值，再把代入第（1）问得到的费用函数，计算出采购总费用． 【详解】（1）解：若购进经典精装散文集本，则购进现代随笔集类读物本， 根据题意可得，， 故与之间的函数关系式为（，且为整数）． （2）解：根据题意得，， 解得， 则购进经典精装散文集本， 将代入， 可得， 故本次采购总费用为元． 13．(1)该公司购买男士文化衫和女士文化衫各30件 (2)选择方案二购买更划算 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意并进行正确计算是解题关键． （1）设该公司计划购买男士文化衫件，则计划购买女士文化衫件，根据总价5400元构造方程，解方程即可； （2）分别计算两个方案的花费，进行比较即可． 【详解】（1）解：设该公司计划购买男士文化衫件，则计划购买女士文化衫件， 根据题意得，， 解得，， ∴， 答：该公司购买男士文化衫和女士文化衫各30件． （2）按方案一购买需：元， 按方案二购买需：按原价购买20件男士文化衫和30件女士文化衫，赠送10件男士文化衫，总花费：元， ∵， ∴选择方案二购买更划算． 答：选择方案二购买更划算． 14．(1)厂家门市销售的利润为元，委托商场销售的利润为元 (2)在两种销售方式下，每个月销售500件，所得利润相等 (3)当每个月的销售量为600件时，直接由厂家门市销售获得的利润较多，利润为5200元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题关键． （1）根据题意列代数式即可； （2）借助（1）中的式子，根据题意列方程即可； （3）代入，分别计算不同销售方式的利润，再比较即可． 【详解】（1）解：由题意可得厂家门市销售的利润为（元）， 委托商场销售的利润为（元）； （2）解：由题意，得， 解得． 答：在两种销售方式下，每个月销售500件，所得利润相等． （3）解：当时， （元）， （元）， ， ∴当每个月的销售量为600件时，直接由厂家门市销售获得的利润较多，利润为5200元． 15．当购买文具原价元时，方案一更省钱；当购买文具原价等于150元时，两种方案花费相同； 【分析】分别用代数式表示两种方案的费用，根据题意列出方程和不等式，即可求解． 【详解】解：设小明购买文具的原价为元，， 方案一：， 方案二： 当时，解得： 当时，解得： 当时，解得： ∴当购买文具原价元时，方案一更省钱；当购买文具原价等于150元时，两种方案花费相同． 16．(1)；（，为正整数） (2)当人数在10到20人之间时，（不包含与）选择方案一优惠，当人数等于20人时，选择方案一，方案二都可以，当人数在 20人以上时，选择方案二优惠 【分析】本题考查了函数的表达式，方程或不等式的应用． （1）方案一每人打九折，直接计算总费用；方案二前10人原价，超过部分打八折，分段计算后合并． （2）分三种情况：当时， 当 时， 当 时，再建立方程或不等式求解可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，； ； ；（，为正整数）； （2）解：当时，则， 解得：， 当 时，则， 解得：， 当 时，则， 解得：， 所以，当人数在10到20人之间时，（不包含与）选择方案一优惠， 当人数等于20人时，选择方案一，方案二都可以， 当人数在 20人以上时，选择方案二优惠． 17．(1)租车方案：租用大车4辆，小车1辆；租用大车3辆，小车3辆；租用大车2辆，小车5辆（答案不唯一）． (2)符合要求且费用最少的租车方案为租用大车4辆，小车1辆，此时的费用为（元）． 【分析】（1）设租用大车辆，小车辆，根据总人数为人，列出方程，再根据、均为非负整数，找出不同的整数解，即为不同的租车方案； （2）根据大车和小车的租金，分别计算各方案的费用，比较后得出费用最少的方案，也可以通过建立总费用的函数表达式，结合的取值范围，利用函数性质求出最小值． 【详解】（1）解：设租用大车辆，租用小车辆，则，即． ，均为非负整数， 可取，，，，，则依次为，，，， 租车方案：租用大车辆，小车辆；租用大车辆，小车辆；租用大车辆，小车辆． （2）解：根据题意，得租用大车每人的平均日租金比租用小车少， 欲使费用最少，则必须多租用大车， 符合要求且费用最少的租车方案为租用大车辆，小车辆，此时的费用为（元）． 【点睛】本题考查了二元一次方程的整数解应用以及方案选择问题，解题关键是根据题意列出方程，找到符合条件的整数解，并通过比较或函数思想选择最优方案． 18．(1)A型号智能机器人的单价为万元，B型号智能机器人的单价为万元. (2)购进台A型号智能机器人，台B型号智能机器人时，每周分拣快递的件数最多. 【分析】（1）根据A、B型号机器人的价格差和购买总费用的条件列方程，求解得到两种型号机器人的单价； （2）设A型号机器人的购买数量，根据总费用不超过预算列出不等式，得到购买数量的取值范围，再建立总分拣件数关于购买数量的一次函数，利用一次函数的单调性求解得到分拣件数最多的方案． 【详解】（1）解：设型号智能机器人的单价为万元，则型号智能机器人的单价为万元. 根据题意得： ， 解得， ∴， 答: 型号智能机器人的单价为万元，型号智能机器人的单价为万元； （2）解：设购进台型号智能机器人，则购进台型号智能机器人. 根据总费用不超过万元得： ， 整理得， 解得； 设每周分拣快递总件数为万件，则：， 化简得， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当取最大值6时，取得最大值，此时． 答：购进6台型号智能机器人，4台型号智能机器人时，每周分拣快递的件数最多 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $