专题12 线段的垂直平分线与角平分线（专项训练）数学新教材沪科版八年级上册

**基本信息** 聚焦线段垂直平分线与角平分线，以“性质-判定-作图-应用”为逻辑链，覆盖核心题型与高频考点，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线段垂直平分线|题型1-3（含5题）|性质（距离相等/周长计算）、判定（证明垂直平分）、尺规作图|从性质原理到判定应用，结合作图技能形成完整认知链| |角平分线|题型4-7（含11题）|尺规作图、性质（距离相等）、判定（等距证平分）、实际应用（如喷水装置位置）|以作图为基础，性质与判定互逆，联系生活场景培养应用意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题12线段的垂直平分线与角平分线 常考题型·精准突破 ·考点一线段的垂直平分线与角平分线 ● ◆题型1线段垂直平分线的性质 1.D 【详解】解：，点P在线段AB的垂直平分线上， ∴.PB=PA, PA=3. .PB=3 2.D 【详解】解：△ABD的周长是l5, .AB+AD+DB=15. AB=6」 AD+DB=15-6=9」 DE垂直平分BC, .'DB=DC, .AD+DC=AD+DB=9. .AC=9」 3.8 【详解】解：连接AD,AM, A M 垂直平分 D C.EF AB .AM BM, ∴.BM+DM=AM+DM, .当点A,点M,点D共线且AD⊥BC时，AM+DM有最小值，即BM+DM有最小值为垂线段AD的 1/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 长， 此时5ar=8CAD=×3xAD=12, 2 ∴.AD=8cm 4.证明：：BD⊥AC,垂足为点E,AE=CE, ∴.BD垂直平分AC, ∴.AD=CD,AB=CB, ∴.AB+CD=AD+CB 【详解】略。 ◆题型2线段垂直平分线的判定 5.B 【详解】解：连接AC,BD,交于点O, .AB=AD,CB=CD .AC⊥BD,DO=BO .B正确， A,C,D错误， C 6.证明：如图，连接PA,PB,PC, E 点P在边AB的垂直平分线上， ∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)， 同理：PB=PC, ..PA=PB=PC. ∴，点P在线段AC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）， 2/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴边AC的垂直平分线经过点P. 【详解】略 7. 证明：：AB⊥BP,AC⊥PC, ∴.∠ABP=∠ACP=90° 在Rt△ABP和Rt△ACP中， AP=AP,AB=AC. .RteABPS≌Rt△ACP(HL). .BP=CP ∴点P在线段BC的垂直平分线上. .AB=AC. ∴点A在线段BC的垂直平分线上. ∴AP垂直平分BC 【详解】略 8.(1) 证明：，DE平分∠ADC, ∴.∠EDC=∠EDF, .EF⊥AD, ∴.∠DFE=∠EFA=90°， 在△EDC和△EDF中， [∠EDC=∠EDF ,·{∠C=∠DFE=90° ED-ED .aEDC≌aEDF(AAS). .EC=EF, ,E是BC的中点， .EC=EB, ∴.EB=EF, 在Rt△EAB和Rt△EAF中， 「EB=EF AE=AE' 3/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..RtEABSRtEAF(HL). ∴.∠EAB=∠EAF .AE是∠DAB的平分线： (2) 证明：由(1)知Rt△EAB≌Rt△EAF, .AB=AF, .EB=EF, ∴线段AE垂直平分BF. 【详解】(1)略 (2)略 ◆题型3作已知线段的垂直平分线 9.B 【详解】解：由尺规作图的方法可得，直线MN是线段AC的垂直平分线， 根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等， ∴AD=DC 点D为BC的中点，BC=8, :.DC=1BC=1x8-4. 2 .AD=DC=4 10.F 【详解】解：如图， BD 由图可知：与点B重合的是点F 11 4/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 线段AD的垂直平分线与直线的交点即为所求点C, 【详解】略 12.如图所示，点D为所求点： 【详解】略 ◆题型4作角平分线（尺规作图） 13.A 【详解】解：，在△ABC中，∠B=40°，∠C=70°， ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-70°=70°， 由作图可知：AD平分∠BAC, ∠BAD=)∠BAC=) ×70°=35° 2 14.如图，BD即为所作.（作法不唯一） D B 【详解】略 15. F B 【详解】略. 16.(1) 5/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)74° 【详解】(1)略 (2)解：，∠ACB=90°，∠B=58」 .∠CAB=180°-∠ACB-∠B=180°-90°-58°=32°， :AQ平分∠CAB, ·.∠BA0=21 ∠C4B=2x32=16°， 1 2 CD⊥AB, .∠ADC=90°， .∠CP0=∠APD=180°-90°-∠BA0=180°-90°-16°=74° ◆题型5角平分线的性质定理 17.B 【详解】解：作DE⊥AB,如图所示： E , D B .∠C=90°，AD是∠BAC的平分线， ∴.DE=CD BC=5,BD=3」 ∴.DE=CD=BC-BD=2 ∴点D到AB的距离是2. 20. 1 18.13 【详解】解：过点I作IE⊥BC于点E, A 父 平分 交于点， 于点， d BED C..CI ∠ACB AD IIH⊥ACH 6112 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :IE=IH, CD=5BD,BC=6,S.ABD=2, :CD-8C=5,Sm=5So=10, :S.ACD=S.AcI+S.DCI,AC=8, :AC-H+}cD-1B=10. 六*8Hx5H=10, 2 解得H=20 13 19. 证明：~DE⊥AB,DF⊥AC,∠ADE=∠ADF, .AE=AF, .BE=CF, .AE+BE=AF+CF, .AB=AC 【详解】略 20.证明：：BD平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠CBD, 在△ABD和△CBD中， AB=BC ∠ABD=∠CBD BD=BD .△ABD≌aCBD(SAS), .∠ADB=∠CDB 又PM⊥AD,PW⊥CD. .PM=PN 【详解】略 ◆题型6角平分线的判定定理 21.50 【详解】解：BD=DE,∠B=90°，DE⊥AC, 7/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CD平分∠ACB ∴.∠BCD=∠ACD=20°， .∠ACB=40°， .∠A=90°-∠ACB=50° 22.证明：：∠E=90°，DF⊥AC, ∴.∠E=∠CFD=90°， BE=CF,DB=DC, .RtABDES≌RtACDF(HL), .DE DF, AD是∠BAC的平分线. 【详解】略 23.过点0作 B A MD P OM⊥BD,ON⊥BE,OP⊥AC, :AO平分∠DAC,CO平分∠ACE, ..OM=OP,ON =OP, ..OM =ON ∴.BO平分∠EBD 【详解】解：略 24.(1)证明：：∠CAE=∠BAD=90°， .∠CAD=∠BAE .AD=AB,AC=AE, .△ADC≌△ABE(SAS) (2)∠AFD=∠AFE,理由如下： 如图，过A作AM⊥DC于M,AN⊥BE于N, .'△ACD≌△AEB .SAACD=S△MBE,DC=BE, 8/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 IDCX AM=I BEXAN, 2 .:AM=AN, ∴.∠AFD=∠AFE. E M B 【详解】(1)略 (2)略 ◆题型7角平分线性质的实际应用 25.D 【详解】解：要求喷水头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在三角形三条角平分线的 交点处 26.B 【详解】解：甲方案：O在AB的垂直平分线上，O到A、B的距离相等，O不一定到AB和PQ的距离相等， 乙方案：OB平分∠AB,由角平分线的性质定理得到O到小路AB,PP的距离相等. .甲、乙两个方案，只有乙对. 故选：B 27.B 【详解】解：如图：过点B作BF⊥DE,垂足为点F, B C是 的中点， D FE AB AB=12cm 小BC=3AB=ocm, ,CD⊥AB,BF⊥DE,射线DB是∠CDE的平分线， 9/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.BF=BC=6cm. 故选：B. 28.(1如图，点乃，B,乃，P即为所求. (2)到角两边距离相等的点在角的平分线上 【详解】(1)略 (2)略 综合攻坚知能拔高 一、选择题 1.C2.C3.B 二、填空题 4.4 5.4 24 6.5 三、解答题 7. (1)解：如图，点P即为所求作： C --B (2)解：在△ABC中，∠ACB=90°， .∠CAB+∠CBA=90°， ,∠A、∠B的平分线相交于点P, :∠PAB=∠CAB,∠PBA=1∠CBA 2 10/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠P4B+PaA-C4B+∠CB)=45 .∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA)=135° 8. (1)证明：：BE平分∠ABC,CD平分∠ACB, aE=∠C8E-4c=a.4cD=∠cD-Acg=p .设 :.∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2a-2p,∠B0C=180°-∠CB0-∠BC0=180°-a-B, ∠BOC=90+∠BAC 2 (2)证明：过O作OF⊥AB于点F,作OG⊥BC于点G,作OH⊥AC于点H, A B G 图2 :BE平分∠ABC, ..OF=0G, CD平分∠ACB, ..OG=OH, ..OF =OH ∴.OA平分∠BAC, 9. 证明：BP为∠MBN的平分线，AP恰为∠MAC的平分线， ∴.PE=PG,PE=PF, :PF =PG, PF⊥AC,PG⊥BN. ∴.点P在∠ACN的平分线上. 10. (1)证明：CD⊥AB,且BD=DE, ∴.CD垂直平分BE, ∴BC=EC, :EF垂直平分AC, .AE=EC. .AE=BC: (2)解：EF垂直平分AC, .AE=EC, :△ABC的周长为21，AC=8, .BC+AB=13, .BC+AE+BE=13 ∴.BC+EC+BE=13 即△BCE的周长为l3, 11. (1)证明：AD∥BC, ∴.∠EAD=∠F,∠D=∠ECF 11/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又，E为CD的中点， .DE=CE, ∠EAD=∠F ∠D=∠ECF 在△ADE和△FCE中( DE=CE, :△ADE≌aFCE(AAS) ∴，AD=FC (2)证明：△ADE≌aFCE, .'AE =FE, 又，BE⊥AE, ∴，BE是AF的垂直平分线： (3)结论：AB=BC+AD,理由如下： 在△AEB和△FEB中， AE=FE ∠AEB=∠FEB=90° BE=BE ∴△AEB≌△FEB(SAS) .AB=FB, 由(1)可知FC=AD .AB=FB=BC+FC=BC+AD. 即AB=BC+AD 12. (1)证明：.DF⊥AC,DE⊥AB, .∠AED=∠AFD, AD平分∠BAC, ∴.∠EAD=∠FAD, 在△AED和△AFD中， ∠AED=∠AFD ∠EAD=∠FAD AD=AD :∴△AED≌△AFD(AAS) ∴DE=DF,AE=AF ∴点A和点D在EF的垂直平分线上， .AD垂直平分EF: (2)解：由(1)得△ADE≌△ADF, ∠AED=∠AFD=90°，DE=DF, Sawc-AB DE+AC-DF-DE(B+4C)=36 2 2 .DE=4 ..AB+AC=18. .BC=12 △ABC的周长为30. 12/12 专题12 线段的垂直平分线与角平分线 常考题型·精准突破 考点一线段的垂直平分线与角平分线 题型1 线段垂直平分线的性质（重） 题型2线段垂直平分线的判定 题型3作已知线段的垂直平分线 题型4作角平分线(尺规作图) 题型5角平分线的性质定理（重） 题型6角平分线的判定定理 题型7角平分线性质的实际应用（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 线段的垂直平分线与角平分线 ◆题型1 线段垂直平分线的性质 1．线段的垂直平分线上有一点，若，则的长为（     ） A．4 B．2 C．5 D．3 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质进行解答即可． 【详解】解：∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴． 2．如图，已知在中，垂直平分，若，的周长是，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质，结合已知条件，等量代换，即可得线段的长． 【详解】解：∵的周长是， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 3．如图，的边的长为，面积为，边的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一个动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，则，当点，点，点共线且时，有最小值，即有最小值为垂线段的长，再由面积公式可求解． 【详解】解：连接，， 垂直平分， ， ， 当点，点，点共线且时，有最小值，即有最小值为垂线段的长， 此时， ． 4．如图，，垂足为点，．求证：． 【答案】证明：∵，垂足为点，， ∴垂直平分， ∴，， ∴． 【分析】由题意可得垂直平分，再结合线段垂直平分线的性质证明即可． 【详解】略． 5．如图，四边形中，若，则称四边形为筝形．筝形一定具有的性质是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．两组对边分别平行 D．两组对边分别相等 【答案】B 【分析】连接，交于点，利用线段垂直平分线的判定定理即可得出结论. 【详解】解：连接，交于点， ∵， ∴， ∴正确，错误. ◆题型2线段垂直平分线的判定 6．已知：如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点P，垂足分别为D，E．求证：边的垂直平分线经过点P． 【答案】证明：如图，连接， ∵点P在边的垂直平分线上， ∴(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)， 同理：， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)， ∴边的垂直平分线经过点P． 【分析】如图，连接，利用垂直平分线的性质以及等量代换可得，即点 P在线段的垂直平分线上，从而证明结论． 【详解】略 7．如图，在中，，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，作直线．求证：垂直平分； 【答案】 证明：∵，， ∴． 在和中， ，， ∴． ∴． ∴点在线段的垂直平分线上． ∵， ∴点在线段的垂直平分线上． ∴垂直平分． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，容易证得，得到，结合，根据“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，即可证明结论． 【详解】略 8．如图，，点E为的中点，平分，过点E作，垂足为F，连接、． (1)求证：是的平分线． (2)求证：线段垂直平分． 【答案】(1) 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； (2) 证明：由（1）知， ∴， ∵， ∴线段垂直平分． 【分析】（1）先利用证出，得到，再利用证出，得到，即可证明结论； （2）由（1）知，得到，再利用，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 ◆题型3作已知线段的垂直平分线 9．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线分别与边、相交于点，连接．若点为的中点，，则的长为（   ）． A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】B 【分析】由作图步骤可知直线是线段的垂直平分线，根据垂直平分线性质得又为中点，结合长度求出，即可得到的长． 【详解】解：由尺规作图的方法可得，直线是线段的垂直平分线， 根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等， ． 点为的中点，， ， ． 10．如图，方格纸中的每个小方格的边长为1，是格点三角形（即顶点恰好是小方格的顶点）．若将方格纸折叠，使得点与点重合，则与点重合的是点______． 【答案】 【分析】在方格纸中作的垂直平分线，然后问题可求解． 【详解】解：如图， 由图可知：与点重合的是点． 11．如图，某学校与公交车站在小路上，现要在公路上建一个小商店，使得小商店在的垂直平分线上，请用尺规作图法作出点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 线段的垂直平分线与直线的交点即为所求点． 【详解】略 12．尺规作图：如图，已知，请在边上找一点，使得点到、两点的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图所示，点为所求点： 【分析】作线段的垂直平分线交于即可． 【详解】略 ◆题型4作角平分线(尺规作图) 13．如图，在中，，．以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；分别以，为圆心，大于的一半的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；作射线，交于点．则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，再根据尺规作图的痕迹判断是的角平分线，最后计算即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由作图可知：平分， ∴． 14．如图，在中，．请用尺规作图法作的平分线交边于点（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】如图，即为所作．（作法不唯一） 【分析】根据角平分线的作图方法作图即可． 【详解】略 15．如图，点在直线上，在上方作射线，．请你用尺规作图法在内部作射线，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 【分析】根据题目可知，，所以射线为的角平分线．先以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点、，再分别以、为圆心，大于长为半径画弧，交于点，连接并延长，即可得到满足题目要求的射线． 【详解】略． 16．如图，在中，，于点D． (1)尺规作图：作的平分线，分别交、于点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的作法画出图形即可； （2）由三角形内角和定理得，由角平分线的定义得，再根据三角形内角和定理和对顶角的性质解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ， 平分， ， ， ， ∴． ◆题型5角平分线的性质定理 17．如图，在中，是的平分线，若，则点到的距离是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】作，根据角平分线的性质得到，即可求解． 【详解】解：作，如图所示： ∵，是的平分线， ∴ ∵， ∴ ∴点D到的距离是． 18．如图，在中，点在边上，连接，，平分交于点，于点，若，则的长为_____． 【答案】/ 【分析】过点I作于点E，根据角平分线的性质得到，根据得到，，根据求解即可． 【详解】解：过点I作于点E， 平分交于点，于点， ， ，， ，， ，， ， ， 解得． 19．如图，已知，垂足分别为点E和点．求证：． 【答案】 证明：，， ∴． ∵， ， ∴． 【分析】由角平分线的性质得到；再结合，通过线段相加即可证出． 【详解】略 20．如图，在四边形中，对角线平分，点在上，于点于点．试说明：． 【答案】证明：∵平分， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【分析】利用角平分线的定义得出，证明，由全等三角形的性质得出，根据角平分线的性质即可得出． 【详解】略 ◆题型6角平分线的判定定理 21．如图，在中，，点是边上一点，连接，于点，，若，则的度数为___________． 【答案】 【分析】由角平分线的判定定理求出的大小，再由直角三角形的两个锐角互余即可得． 【详解】解：，，， 平分， ， ， ． 22．如图，在中，，点在边上，点在边上，连接、，过点作于点，，．求证：是的平分线． 【答案】证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的平分线． 【分析】先证明，则，再根据角平分线的判定定理可得是的平分线． 【详解】略 23．如图，平分，平分，求证：平分． 【答案】过点O作 ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴平分． 【详解】解：略 24．如图，在和中，，，． (1)求证：； (2)和的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵∠， ∴， ∵，， ∴ (2)，理由如下： 如图，过作于，于， ， ，， ， ， ． 【分析】（1）求出，根据推出两三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出两三角形面积相等和，根据面积公式求出，根据角平分线的判定得出结论即可． 【详解】（1）略 （2）略 ◆题型7角平分线性质的实际应用 25．如图，一块三角形造型的花坛，想要在花坛中心位置安装一处自动喷水装置，要求喷水头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在（     ） A．三角形最长的边的中点处 B．三角形三条中线的交点处 C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条角平分线的交点处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，角平分线上的点到角的两边距离相等，根据角平分线的性质即可得出答案． 【详解】解：要求喷水头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在三角形三条角平分线的交点处． 26．计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理．角平分线上的点到角两边的距离相等，由此即可判断． 【详解】解：甲方案：O在的垂直平分线上，O到A、B的距离相等，O不一定到和的距离相等， 乙方案：平分，由角平分线的性质定理得到O到小路，的距离相等． ∴甲、乙两个方案，只有乙对． 故选：B． 27．如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图：过点作，垂足为点F，根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：如图：过点作，垂足为点F， ∵C是的中点，， ∴， ∵，，射线是的平分线， ． 故选：B． 28．如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站P，要求加油站P的位置到三条公路的距离都相等． (1)请你找出加油站P的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (2)你的作图依据是 ． 【答案】(1)如图，点即为所求． (2)到角两边距离相等的点在角的平分线上 【分析】（1）利用角平分线的性质作出图形即可； （2）利用角平分线的判定解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．上海正建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等，则凉亭是的（   ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】此题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等， ∴应建在三条角平分线的交点． 故选：C． 2．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图可得，垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换即可得到的周长． 【详解】解：由作图可得，垂直平分， ∴， ∴的周长为． 3．如图，四边形中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于，于，于，根据角平分线的性质定理得到，可知平分，即，根据三角形外角的性质求出的值即可． 【详解】解：如图，作于，于，于， ∵， ∴平分， ∵，， ， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∴， ∵，， 平分， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴． 二、填空题 4．如图，在中，，分别以A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接与交于点E，若，则的长度为_______． 【答案】4 【分析】根据画图过程可得垂直平分，则，进而可得答案． 【详解】解：由作图过程得垂直平分， ， ∴． 5．如图，已知在中，，的垂直平分线分别交于点，，的周长为，的周长为，那么底边______． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，从而将的周长转化为，结合的周长及建立等量关系求解即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴，即， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 6．如图，在中，，，，，、分别是、上的动点，连接、，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】延长至点，使得，连接，，，先得出的最小值为的长，再得出当时，的长最小，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，，， ∵， ∴， 又∵， ∴垂直平分，， ∴，， ∴， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，的值最小，最小值为的长，即的最小值为的长， 由垂线段最短可知，当时，的长最小， ∴此时有， ∵， ∴， 解得， 即的最小值为． 【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，将两点线段和的最小值问题进行转化，进而利用两点之间线段最短和垂线段最短确定最小值． 三、解答题 7．如图，在中，，． (1)尺规作图：分别作、的平分线相交于点P； (2)在（1）的条件下，求的度数． 【答案】(1)解：如图，点P即为所求作； (2) 【分析】（1）依题意分别作、的平分线相交于点P即可； （2）先求出，进而求出，即可求出结论． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， ， ∵、的平分线相交于点P， ， ， ． 8．已知中，平分，交于点，平分，交于点D，与交于点． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，求证：平分． 【答案】(1)证明：平分，平分， 设，， ，， ； (2)证明：过作于点，作于点，作于点， 平分， ， 平分， ， ． 平分． 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理得到，，即可得到结论； （2）过作于点，作于点，作于点，根据角平分线的性质得到，，则．根据角平分线的判定即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 9．如图，为的平分线，点A、C分别在、上，连接、，恰为的平分线，过P作于E，于F，于G．求证：点P在的平分线上． 【答案】证明：为的平分线，恰为的平分线， ，， ， ，， ∴点P在的平分线上． 【分析】根据角平分线的性质定理得到，，可知，根据角平分线的判定定理证明即可． 【详解】略． 10．如图，在中，，垂足为，点在边上，且，垂直平分，交于点，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的周长． 【答案】(1)证明：，且， 垂直平分． ， 垂直平分， ， ； (2)13 【分析】（1）根据垂直平分线的判定与性质证明即可； （2）根据的周长以及的长度可得的长度，再根据垂直平分线的性质得到边长相等，由此求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：垂直平分， ， 的周长为，， ， 即的周长为． 11．如图，在四边形中，，为的中点，连接，，，延长交的延长线于点．求证： (1)； (2)是的垂直平分线； (3)猜想：线段，，之间关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：， ， 又∵E为的中点， ， 在和中， ∴， ∴． (2)证明：∵， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线； (3)结论：，理由如下： 在和中， ， ， ， 由（1）可知， ， 即． 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证； （2）由（1）得，再由垂直平分线的判定即可证明； （3）根据全等三角形的判定和性质得出，确定，由（1）可知，根据即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 12．如图，在中，是上的一点，连接，作交于点，交于点，且平分，连接． (1)证明：垂直平分； (2)若面积为，求的周长． 【答案】(1)证明：，， ， 平分， ， 在和中， ， ， 点和点在的垂直平分线上， 垂直平分； (2)30 【分析】（1）证明，可得，从而得到点和点在的垂直平分线上即可． （2）由三角形的面积可求出，根据三角形周长公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ，， ， ， 的周长为30． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 线段的垂直平分线与角平分线 常考题型·精准突破 考点一线段的垂直平分线与角平分线 题型1 线段垂直平分线的性质（重） 题型2线段垂直平分线的判定 题型3作已知线段的垂直平分线 题型4作角平分线(尺规作图) 题型5角平分线的性质定理（重） 题型6角平分线的判定定理 题型7角平分线性质的实际应用（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 线段的垂直平分线与角平分线 ◆题型1 线段垂直平分线的性质 1．线段的垂直平分线上有一点，若，则的长为（     ） A．4 B．2 C．5 D．3 2．如图，已知在中，垂直平分，若，的周长是，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 3．如图，的边的长为，面积为，边的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一个动点，则的最小值为________． 4．如图，，垂足为点，．求证：． 5．如图，四边形中，若，则称四边形为筝形．筝形一定具有的性质是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．两组对边分别平行 D．两组对边分别相等 ◆题型2线段垂直平分线的判定 6．已知：如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点P，垂足分别为D，E．求证：边的垂直平分线经过点P． 7．如图，在中，，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，作直线．求证：垂直平分； 8．如图，，点E为的中点，平分，过点E作，垂足为F，连接、． (1)求证：是的平分线． (2)求证：线段垂直平分． ◆题型3作已知线段的垂直平分线 9．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线分别与边、相交于点，连接．若点为的中点，，则的长为（   ）． A．3 B．4 C．5 D．7 10．如图，方格纸中的每个小方格的边长为1，是格点三角形（即顶点恰好是小方格的顶点）．若将方格纸折叠，使得点与点重合，则与点重合的是点______． 11．如图，某学校与公交车站在小路上，现要在公路上建一个小商店，使得小商店在的垂直平分线上，请用尺规作图法作出点．（不写作法，保留作图痕迹） 12．尺规作图：如图，已知，请在边上找一点，使得点到、两点的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） ◆题型4作角平分线(尺规作图) 13．如图，在中，，．以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；分别以，为圆心，大于的一半的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；作射线，交于点．则（    ） A． B． C． D． 14．如图，在中，．请用尺规作图法作的平分线交边于点（保留作图痕迹，不写作法）． 15．如图，点在直线上，在上方作射线，．请你用尺规作图法在内部作射线，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 16．如图，在中，，于点D． (1)尺规作图：作的平分线，分别交、于点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，求的度数． ◆题型5角平分线的性质定理 17．如图，在中，是的平分线，若，则点到的距离是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 18．如图，在中，点在边上，连接，，平分交于点，于点，若，则的长为_____． 19．如图，已知，垂足分别为点E和点．求证：． 20．如图，在四边形中，对角线平分，点在上，于点于点．试说明：． ◆题型6角平分线的判定定理 21．如图，在中，，点是边上一点，连接，于点，，若，则的度数为___________． 22．如图，在中，，点在边上，点在边上，连接、，过点作于点，，．求证：是的平分线． 23．如图，平分，平分，求证：平分． 24．如图，在和中，，，． (1)求证：； (2)和的大小关系，并说明理由． ◆题型7角平分线性质的实际应用 25．如图，一块三角形造型的花坛，想要在花坛中心位置安装一处自动喷水装置，要求喷水头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在（     ） A．三角形最长的边的中点处 B．三角形三条中线的交点处 C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条角平分线的交点处 26．计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 27．如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 28．如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站P，要求加油站P的位置到三条公路的距离都相等． (1)请你找出加油站P的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (2)你的作图依据是 ． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．上海正建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等，则凉亭是的（   ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 2．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，四边形中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，在中，，分别以A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接与交于点E，若，则的长度为_______． 5．如图，已知在中，，的垂直平分线分别交于点，，的周长为，的周长为，那么底边______． 6．如图，在中，，，，，、分别是、上的动点，连接、，则的最小值为___________． 三、解答题 7．如图，在中，，． (1)尺规作图：分别作、的平分线相交于点P； (2)在（1）的条件下，求的度数． 8．已知中，平分，交于点，平分，交于点D，与交于点． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，求证：平分． 9．如图，为的平分线，点A、C分别在、上，连接、，恰为的平分线，过P作于E，于F，于G．求证：点P在的平分线上． 10．如图，在中，，垂足为，点在边上，且，垂直平分，交于点，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的周长． 11．如图，在四边形中，，为的中点，连接，，，延长交的延长线于点．求证： (1)； (2)是的垂直平分线； (3)猜想：线段，，之间关系，并说明理由． 12．如图，在中，是上的一点，连接，作交于点，交于点，且平分，连接． (1)证明：垂直平分； (2)若面积为，求的周长． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $