培优专题02 角平分线3考点13题型（专项训练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 以角平分线作图、判定、性质为核心，通过分级题型构建从操作到推理再到综合应用的训练体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |角平分线作图|3题型（含尺规作图及相关计算、全等问题）|聚焦作图原理与操作规范，结合几何计算与全等证明|从基本作图操作到原理应用，奠定角平分线研究基础| |角平分线判定|3题型（含过程补充、判定证明、点在角平分线上）|强调判定定理的条件应用与逻辑推理，注重证明步骤完整性|承接作图，通过数量关系推导位置关系，形成判定体系| |角平分线性质|7题型（含线段长、面积、角度计算及最值、应用、构造全等、综合）|覆盖性质的多元应用，结合几何计算、实际问题与综合证明|深化性质的数量关系，关联面积、最值等核心考点，实现知识迁移|

培优专题02 角平分线 常考题型·精准突破 考点一 角平分线的作图 题型1 尺规作角平分线（重） 题型2 与尺规作角平分线有关的计算（高频） 题型3 尺规作图中的全等三角形问题 考点二 角平分线的判定 题型1 角平分线的判定过程补充（高频） 题型2 角平分线的判定（重） 题型3 根据角平分线的判定证明点在角平分线上（高频） 考点三 角平分线的性质 题型1 利用角平分线的性质求线段长（重） 题型2 利用角平分线的性质求三角形面积（重） 题型3 与角平分线性质相关的角度计算（重） 题型4 利用角平分线的性质求最值（难） 题型5 角平分线性质的实际应用（重） 题型6 利用角平分线构造全等三角形（重） 题型7 角平分线的性质与判定综合（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 角平分线的作图 ◆题型1 尺规作角平分线 1．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，点在直线上，在上方作射线，．请你用尺规作图法在内部作射线，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 【分析】根据题目可知，，所以射线为的角平分线．先以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点、，再分别以、为圆心，大于长为半径画弧，交于点，连接并延长，即可得到满足题目要求的射线． 【详解】略． 2．（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站P，要求加油站P的位置到三条公路的距离都相等． (1)请你找出加油站P的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (2)你的作图依据是 ． 【答案】(1)如图，点即为所求． (2)到角两边距离相等的点在角的平分线上 【分析】（1）利用角平分线的性质作出图形即可； （2）利用角平分线的判定解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 3．（2022·陕西·模拟预测）如图，是的外角，请用尺规作图法在内部求作射线，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 【分析】以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与、交于点、，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于一点，连接点与两弧的交点并延长，即为所求射线． 【详解】解：∵是的外角， ， ， ， 是的平分线． 如图，作的平分线，射线即为所求． ◆题型2 与尺规作角平分线有关的计算 4．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，于点D． (1)尺规作图：作的平分线，分别交、于点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的作法画出图形即可； （2）由三角形内角和定理得，由角平分线的定义得，再根据三角形内角和定理和对顶角的性质解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ， 平分， ， ， ， ∴． 5．（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，是的高． (1)利用尺规作图法作出的平分线，交边于点D（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 【答案】(1)解：如图，即为所求. (2) 【分析】（1）根据作已知角的角平分线的步骤作图即可； （2）先求解，，再结合三角形的高与直角三角形的两锐角互余可得答案. 【详解】（1）略 （2）解：，，， ． 是的平分线， ． ， ．     ， ． ． 6．（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，垂足为点． (1)尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法） ①在上截取； ②作的平分线，交于点，在下方的射线上任取一点，连接； (2)求证：； (3)求的度数． 【答案】(1)①；② (2)证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）①以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则点E即为所求；②根据角平分线的尺规作图方法以及题意作图即可； （2）证明，即可证明； （3）由三角形内角和定理和角平分线的定义可求出的度数，再由垂线的定义和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）①略； ②略； （2）略 （3）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ◆题型3 尺规作图中的全等三角形问题 7．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在中，，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，交于点D，交于点E；分别以点D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点F，作射线，交于点G；以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点H，连接，则的周长为（     ） A．8 B．9 C．11 D．14 【答案】A 【分析】直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定与性质进而得出，即可得出答案． 【详解】解：由作法可知，， ， 由作图方法可得：平分， ， 在和中 ， ， ， 的周长为：． 8．（25-26八年级上·全国·期末）如图，中，，以点A为圆心，适当长度为半径作弧，分别交、边于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，在上取点E，连接，，若，，则的长度是__________． 【答案】10 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线性质，尺规作角平分线，过点D作于点F，根据角平分线性质得出，证明，得出，证明，得出，最后求出结果即可． 【详解】解：过点D作于点F，如图所示： 则， 根据作图可知：平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 9．（25-26八年级下·山东济宁·期末）如图，在Rt△ABC中，，在上，． (1)请仅用无刻度直尺和圆规在上找一点，使得，保留作图痕迹，并给出全等的证明过程． (2)若，求的面积． 【答案】(1) 证明：由作图可知平分， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】（1）作的角平分线交于点，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，即得，再利用三角形的面积公式计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ∴， ． 考点二 角平分线的判定 ◆题型1 角平分线的判定过程补充 10．（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知，，求证：平分． 证明： ________（     ） ________（     ） 又 ________ 平分． 【答案】；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；2； 【分析】根据平行线的性质推导角度的关系证明即可． 【详解】证明：， （两直线平行，内错角相等） （两直线平行，同位角相等） 又， ， 平分． 11．（25-26八年级下·贵州六盘水·期中）老师在黑板上出了这样一道练习题：如图，点，分别在线段，上，，，，相交于点，，连接．求证：平分．小明的证明过程如下： 证明：，， ． ． ， ．…第1步 在和中，，…第2步 ． ． 平分．…第3步 (1)小明的证明过程中，第______步出现错误； (2)请完整地写出正确的证明过程． 【答案】(1)2 (2)正确的证明过程如下： ，， ， ． ， ， 在和中， ， ， ， ，，与相交于点， 平分． 【分析】（1）由题中证明两个三角形全等的判定定理验证即可； （2）先由题中条件得到相关角度相等，进而由两个三角形全等的判定定理证得，最后由角平分线的判定定理即可得证． 【详解】（1）解：∵没有“边边角”这种判定方法， ∴小明的证明过程中，第步出现错误； （2）略 12．（25-26七年级上·河南鹤壁·期末）如图，已知于点，点在的延长线上，于点，交于点，．求证：平分．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 证明：∵，（已知）， ∴（ ）． ∴（ ）， （ ）（ ）． 又∵（已知）， ∴（ ）． ∴平分． 【答案】在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；等量代换 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义及性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．先根据，可得，再根据平行线的性质可得，，从而可得，最后根据角平分线的定义即可得证． 【详解】证明：∵，（已知）， ∴（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴平分, 故答案为：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；等量代换． ◆题型2 角平分线的判定 13．（25-26八年级上·上海崇明·期末）如图，在中，，点、分别在边、上，，作于，交边于． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理、线段的和差等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先证明可得，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）先证明，再根据线段的和差以及等量代换即可证明结论． 【详解】（1）证明：， ， 在与中， ， ， ， 平分． （2）证明：在与中 ， ， ， ， ， ， ∴， ∴． 14．（25-26八年级上·上海虹口·期末）如图，在四边形中，，过点作于，于且． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，角平分线的判定定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据直角三角形全等的判定定理证明，得到，再由角平分线的判定定理即可证明； （2）根据直角三角形全等的判定定理证明，得到，再由线段的和差即可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴（直角三角形全等的判定定理）， ∴， ∵，， ∴平分． （2）证明：∵在和中， ， ∴（直角三角形全等的判定定理）， ∴， ∵ ∴． 15．（25-26八年级上·全国·寒假作业）如图，中，，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且． (1)求证：平分； (2)若，且，则的面积． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，角平分线的判定定理，三角形的面积公式，解题的关键是掌握以上性质． （1）作于点L，交的延长线于点M，由的平分线交于点E，于点H，得，而，求得，由，求得，则，则，所以，即可证明平分． （2）由，且，得，因为，所以，求得，而，则． 【详解】（1）证明：作于点L，交的延长线于点M， ∵点D在边延长线上，的平分线交于点E，于点H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∴点E在的平分线上， ∴平分； （2）解：∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为15． ◆题型3 根据角平分线的判定证明点在角平分线上 16．（25-26八年级上·云南保山·阶段检测）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点． (1)若，求的大小； (2)点在上，若平分，求证：点在的平分线上． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了三角形外角性质和角平分线的性质与判定定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先利用角平分线定义求出的度数，再结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，通过即可求解； （2）连接，过点作三条垂线段，先依据角平分线的性质得到垂线段相等的关系即，再利用角平分线的判定定理“到角两边距离相等的点在角的平分线上”，证明平分，进而得出点在的平分线上． 【详解】（1）解：平分， ， 是的外角， ， 又， ； 答：； （2）证明：如图，连接，过点作于点于点于点， 平分， ， 平分， ， ， 又， 点在的平分线上． 17．（25-26八年级上·湖南张家界·期末）如图，，． (1)求证：点B在的平分线上； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，等角对等边，全等三角形的判定和性质． （1）根据等角对等边得到，再根据，，可知点B在的平分线上； （2）先证明，得到，即可证明平分． 【详解】（1）证明：在中， ∵， ∴， 又，， ∴ ∴点B在的平分线上； （2）证明：在和中， ∵，， ∴ ∴ ∴平分 18．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在中,，点D在的右侧且满足，连接，其中． (1)求证：； (2)如备用图，延长至点M，使得． 求证：①平分； ②点M在线段的延长线上． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) ①证明：如图1，过点A作，垂足分别为H，K， ∴， 在中，， 在中，， ∵ ∴， ∴， ∴； 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴平分； ②证明：如图2，连接，设与交于点G， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， 由（1）知，且平分， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴A，M，B三点共线． ∴点M在线段的延长线上． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定及三点共线的证明，解题的关键是利用等腰三角形的角关系推导角度，结合全等三角形的判定得到线段相等，再通过角的数量关系证明共线． （1）利用等腰的内角和求出，结合已知，证得； （2）①作角两边的垂线，证得到距离相等，判定平分； ②证，结合角的和为，证明点M在的延长线上． 【详解】（1）略 （2）①略 ②略 考点三 角平分线的性质 ◆题型1 利用角平分线的性质求线段长 19．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在中，，平分交于点，，点到的距离为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用“角平分线上的点到角两边的距离相等”进行求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 点到的距离为，即， ∵平分交于点，， ∴， ∴． 20．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，是的一条角平分线，是边上的中线，若的面积是18，的面积是6，，则的长为________． 【答案】6 【分析】先根据三角形中线的性质求出，即可求解，过点D作于F，过D作于G，然后根据角平分线的性质定理得到，再由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵的面积是6，是边上的中线， ∴， ∵的面积是18 ∴ 如图所示，过点D作于F，过D作于G， 是的角平分线， ， ， ， ∴． 21．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，平分，交于点，于点，于点，是的高，交于点．已知：，，． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据角平分线的性质可得； （2）利用面积法即可求出的长． 【详解】（1）解：∵平分，于点，于点，且， ∴． （2）解：∵， ， ∴， 又∵是的高， ∴， 即， 解得． ◆题型2 利用角平分线的性质求三角形面积 22．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，的三边的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别过点作于，于，于，由角平分线的性质可得，即可得，据此即可求解． 【详解】解：如图，分别过点作于，于，于， ∵为的角平分线， ∴，， ∴， ∴． 23．（25-26七年级下·北京·期末）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点，若；的面积为6，则的面积为__________． 【答案】 【分析】作于点，于点，由作图可得平分，由角平分线的性质定理可得，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，作于点，于点， 由作图可得平分， ∴， ∵，，， ∴， ∵的面积为6， ∴的面积为， ∴的面积为． 24．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若于点E，，，求的面积． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，再利用角平分线的定义得到，则由三角形内角和定理可得； （2）如图所示，过点D作于F，利用角平分线的性质得到，进而利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点D作于F， ∵平分，， ∴， ∴． ◆题型3 与角平分线性质相关的角度计算 25．（25-26八年级上·山西朔州·期末）如图，是的平分线，点，分别在射线和上，且．是射线上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，过作于点，过作于点，根据角平分线的性质可得，然后分当在点右侧时，当在点左侧时两种情况，分别通过全等三角形的判定与性质即可求解，掌握以上知识点及分类讨论是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点，过作于点， ∵是的平分线， ∴， 当在点右侧时，如图，则， ∵， ∴， ∴，即， 当在点左侧时，如图，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上可得：的度数为或， 故选：． 26．（25-26八年级下·江西抚州·期末）如图，点是内部的一点，点到三边，，，的距离，，则的度数为_______________． 【答案】/130度 【分析】由，根据证明全等得到、分别平分、，先利用三角形内角和求出，再求出，最后再次用三角形内角和算出． 【详解】解：点到三边的距离， 在和中， ， ， ， 平分， 同理，平分， ，， 在中，根据三角形内角和定理：， 即， ， ． 27．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，的外角，的平分线，相交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过P作于G，根据角平分线的性质定理，结合等量代换证明即可； （2）先证明平分，再由三角形内角和定理以及角平分线进行计算即可． 【详解】（1）证明：过P作于G，如图所示： ∵平分，， ∴， 同理：， ∴； （2）解：如图， ∵，，， ∴平分， ∴， ∴ ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∴． ◆题型4 利用角平分线的性质求最值 28．（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且．下列结论：①；②当时，；③当时，的周长最小；④四边形的面积是一个定值．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】如图1，连接，作于，于，由角平分线的性质定理可得，证明，则，是等边三角形；进而可判断①的正误；由，可知，进而可判断④的正误；由的周长为，可知当时，最短， 的周长最小，进而可判断③的正误；如图2，当时，，则是等边三角形，则与重合，与交于点；进而可判断②的正误． 【详解】解：如图1，连接，作于，于，    ∵点D是的平分线上的一个定点， ∴， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形； ∴；故①正确，故符合要求； ∵， ∴， ∵点D是的平分线上的一个定点， ∴四边形的面积是一个定值；④正确，故符合要求； ∵的周长为， 当时，最短，即等边的周长最小，③正确，故符合要求； 如图2，当时，    ∴， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴与重合，与交于点；②错误，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，多边形内角和定理，等边三角形的判定与性质，垂线段最短，平行线的性质等知识．熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 29．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图，平分，，，于点D． (1)求证：； (2)若，求的长： (3)当时，请在，上分别找一点M，N，使的周长最小，并求出最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析，最小周长为12 【分析】本题考查角平分线的性质、平行线的性质、含角的直角三角形，轴对称-最短路线问题，运用相关知识进行解题是解答本题的关键． （1）根据角平分线的定义得，由平行线的性质得从而可得； （2）过点P作得，由角平分线性质定理得； （3）设点P关于的对称点为，关于的对称点为，当点M、N在上时，的周长最小． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴； （2）解：作于点E，如图， ∵P是平分线上一点，， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴； （3）解：分别作点P关于的对称点，连接，分别交于点M、N，连接， ∵点P关于的对称点为，关于的对称点为， ∴； ∵点P关于的对称点为， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长的最小值． 30．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，，平分交斜边于点，动点从点出发，沿折线向终点运动． (1)点在上运动的过程中，当________时，与的面积相等；（直接写出答案） (2)点在折线上运动的过程中，若是等腰三角形，求的度数； (3)如图②，若点在上，，当动点在上运动到某一位置时，使的周长最小，直接写出此时的度数为________度． 【答案】(1) (2)或或或 (3)90 【分析】本题考查角平分线性质，等腰三角形性质，等边三角形的性质，中垂线的判定和性质，熟练掌握相关性质，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据题意可推出上的高和上的高相等，所以； （2）根据题意可分为三种情况，对三种情况分类讨论即可得到本题答案． （3）延长至点使，连接，得到垂直平分，进而得到，，推出为等边三角形，三线合一，得到，根据的周长，得到当最小时，的周长最小，此时三点共线，进而得到即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴点D到和的距离相等， ∴当时，与的面积相等， 故答案为：6； （2）解：如图1， 当时，（点P在处）， ∴， 当时，（点P在处）， ∴， ∵， ∴， 当时，（点P在处时）， ∵， ∴， 综上所述：或或或． （3）延长至点使，连接， ∵， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵点在上，， ∴， ∴， ∴ ∵的周长， ∴当最小时，的周长最小，此时三点共线， ∴． 故答案为：90． ◆题型5 角平分线性质的实际应用 31．（25-26八年级上·天津·期末）某小区计划在绿化区域增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交于点，交于点，若要建一喷灌处，喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（    ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质， 由角平分线的交点到角边的距离相等，两同旁内角平分线的交点满足条件；这样的点有2个，可得可供选择的修建点有2个． 【详解】解：作和的平分线相交于，过作于E，于F，于G，    ∴， 即和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； 同理∶ 和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∴满足这条件的点有2个； 故选：B． 32．（25-26八年级上·全国·课后作业）将一张面积为的三角形纸板按如图所示的方式依次折叠，如图1，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，如图2，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，与相交于点．经测量得知，纸板的三边的长分别为，则点到的距离为__________．    【答案】 【分析】根据题意可得，点是角平分线的交点，根据角平分线的性质可得点到三边的距离都相等，设点到三边的距离为，根据三角形面积的计算方法即可求解． 【详解】解：∵点落在边上的点处，折痕所在的直线为， ∴是的角平分线， ∵点落在边上的点处，折痕所在的直线为， ∴是的角平分线， ∴点是角平分线的交点，如图所示，连接，    ∴点到三边的距离都相等，设点到三边的距离为， ∴，且的长分别为，， ∴，，， ∴， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形的折叠，角平分线的性质的综合，掌握角平分线的交点到角两边的距离相等，几何图形面积的计算方法等知识是解题的关键． 33．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，聪明好学的小海同学看到课本第页第题： 经过简单的整理，小海同学由这道题，得出一个结论：三角形一个内角平分线分对边得到的两线段的比，等于这个角的两邻边的比． 过点作于点于点，过点作于点． 平分，且点，于点， ∴___________， ∴___________， 又∵___________， ∴． (1)请你补全小海同学的证明过程； (2)如图2，小海同学又进行了深度思考，如果将“内角的平分线”换成“外角的角平分线”，是否仍成立？请你根据提供的图形帮助小海同学完成该命题的证明！ 【答案】(1)，， (2)成立，证明见解析 【分析】本题考查角平分线性质、三角形面积公式等知识，数形结合，分别表示出是解决问题的关键． （1）由角平分线的性质得到，再由即可得到答案； （2）根据题意，将“内角的平分线”换成“外角的角平分线”，由角平分线的性质得到，再由即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作于点于点，过点作于点，如图所示： 平分，且于点，于点， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：，，； （2）解：成立． 已知：如图，在中，平分一个外角，交所在直线于点． 求证：． 证明：过点作于点于点，过点作于点，如图所示： 平分，，， ∴， ∴， 又∵， ∴＝． ◆题型6 利用角平分线构造全等三角形 34．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）我们已经学习了很多有关角平分线的知识，例如：角平分线的性质．实际上，还有另一个重要的定理：“三角形的一条内角平分线，和另外两个内角的外角平分线交于同一点”，即如下图在中，、、的角平分线交于同一点．根据上述材料回答以下问题： (1)如图1，的三条内角平分线交于点，过点分别作、、边上的垂线段、、．若的周长为16，，求的面积； (2)如图2，在中，、分别在、的延长线上，和的角平分线交于点，连接，若，，求的度数； (3)如图3，在中，，的角平分线交于点，延长至点，使，连接．过点作的角平分线交于点．若，，求的周长． 【答案】(1)16 (2) (3) 【分析】（1）首先根据角平分线的性质求出，然后利用的面积整体求解即可； （2）首先根据角平分线的定义得到，，然后结合平角的定义和三角形内角和定理求出，然后得到平分，进而求解即可； （3）过点作，，，过点作，连接，连接，延长到，延长到点，由题意可得平分，平分，得到，由，可得，由，，，可得，，，再由，可得，最后由的周长为即可求出结果． 【详解】（1）解：∵的三条内角平分线交于点，，，， ∴， ∴ ． （2）解：∵和的角平分线交于点，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵三角形的一条内角平分线，和另外两个内角的外角平分线交于同一点， ∴平分， ∴． （3）解：过点作于点G，于点I，于点J，过点作于点H，连接，连接，延长到，延长到点， ∵的内角的平分线交于点， ∴平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分，即是的外角平分线， ∴平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， 在与中 ∴， ∴， ∴， 在与中 ∴， ∴， 同理：，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵的内角的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 35．（25-26八年级上·河南南阳·期末）综合与实践 如图1，，平分，在判断和的数量关系时，两位同学分别给出了以下两种思路：               (1)①在图2中，与相等的角是 ； ②请你按照小颖的思路进行解答； (2)如图4，，，平分，求证：． (3)如图5，在中，，，D是边的中点，，，， 与边相交于点E，与边相交于点F．请直接写出线段的长． 【答案】(1)①（或），②见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）①由已知可得，则，进而得； ②过点C作，交于点F，可证得，从而； （2）过点C作于点M，于点N，证明，从而得出； （3）取中点G，连接，根据证，得，即可得证，据此求解即可． 【详解】（1）①解：∵，，， ∴， ∴， ∴； ②证明：过点C作，交于点F， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵平分，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点C作于点M，于点N， ∴， 又∵平分， ∴， 在四边形中，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：取中点G，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵点D、G分别是、边上的中点， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 36．（25-26八年级上·江西赣州·期末）【回顾】如图1，点是的平分线上一点，过点作于点，于点，依据角平分线的性质可得． （1）【探究】如图2，在中，，是的平分线，点在边上，． ①证明：； ②请判断三条线段之间的数量关系，并说明理由． （2）【拓展】如图3，的外角，的平分线与内角的平分线交于点，若，请直接写出的度数． 【答案】（1）①证明：过D作于F，如图： ∵是的平分线，， ∴， ∵，且． ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②，，之间的数量关系为， 理由如下： 由①知， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）． 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键． （1）①过D作于F，则；证即可； ②根据推出，再证，得，即可； （2）过P作交延长线于H，于G，于K，由题意得，，推出，得出平分，即可求解； 【详解】（1）①略 ②略 （2）解：过P作交延长线于H，于G，于K，如图： ∵平分 ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． ◆题型7 角平分线的性质与判定综合 37．（25-26八年级上·福建厦门·期末）在中，，点在上，点在上，连接和交于点，． (1)如图，求证：； (2)如图，连接，若平分，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）根据等边对等角得出，再利用外角的性质推出，，等量代换即可求解； （2）过点作于，过点作交的延长线于，作交的延长线于，根据角平分线的性质，得出，结合已知条件分别证明、即可求解； （3）过点作，交于N，过点作交于，作交的延长线于点，根据平行的性质结合已知条件分别证明、，推出，再结合（1）的中和（2）中平分，推出， 然后根据，推出，推出，再等量代换推出，证明，推出，最后等量代换得到，，即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， ∵为的外角， ∴， ∵为的外角， ∴； （2）证明：如图，点作于，过点作交的延长线于，作交的延长线于， 则， ∵平分，，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴； （3）如图，过点作，交于N，过点作交于，作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵由（1）得， 又∵， ∴， ∵由（2）知平分， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】能够作出角平分线的辅助线和平行辅助线是解题的关键． 38．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）在中，平分交于点，平分交于点，，相交于点． (1)如图1，当时， ①求______； ②证明：； (2)如图2，当时，若，， ①求的值； ②直接写出______． 【答案】(1)①； ②证明：如图，在上截取， 平分，平分， ，， 在和中， ， ， ，， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ； (2)①；② 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的辅助线作法是解题的关键． （1）①根据角平分线的性质与三角形外角和定理即可求解；②在上截取，证明与即可得到； （2）①根据角平分线的性质得出距离相等，结合三角形面积即可求解；②在上取一点G使得，在上取点H使得，证明与，结合（2）①，即可解得． 【详解】（1）①解：， ， 平分，平分， ，， ， 故答案为：60； ②略 （2）解：①设点F到距离为，点F到距离为，点A到距离为h， 平分， ， ， ， ，， ； ②在上取一点G使得，在上取点H使得， 在与中， ， ， ，， 平分，平分， ，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 平分， 由（2）①， ， ，． 39．（2025八年级上·吉林长春·专题练习）已知：如图1，是的平分线，点是上的任意一点，，，垂足分别为和． 求证：． 请写出完整的证明过程：… (1)请结合图，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程； (2)如图，在中，，平分，于点，点在上，，若，，则的长为________； (3)如图，在中，平分交于点，于点，若，，，，则的面积为________． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由题意，得到、，再由两个三角形全等的判定定理得到，根据全等性质即可得证； （2）先由（1）中的方法得到，，再由得到，从而由，，得到，代入线段长度计算即可得到答案； （3）过点作，交于点，如图所示，由角平分线性质得到，再由三角形内角和定理证得是等腰三角形，从而得到，根据，代入线段长度计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：是的平分线， ， ，， ， 又， ， ； （2）解：， ， 平分，， 同（1）法可得， ，， ， ， 又，， ， ， ，， ， ，， ， ， 故答案为：； （3）解：过点作，交于点，如图所示： 平分交于点，，， ， 在中，，，则由三角形内角和定理可得， ，平分， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线相关问题综合，涉及角平分线定义、垂直定义、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、三角形面积等知识，熟记三角形全等的判定与性质、角平分线的定义及性质是解决问题的关键． 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（     ） A．40 B．42 C．46 D．48 【答案】A 【分析】过点作交的延长线于点，根据角平分线的性质得到，然后将四边形的面积转化为与的面积之和进行计算即可． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为 ． 2．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，，平分交于，若，则的面积等于（     ）． A．3 B．6 C．12 D．2 【答案】B 【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等， 构造中边上的高，进而计算面积． 【详解】解：过点作于点，如图所示， ∵平分，且，， ∴， ∴． 3．（2026·山东·中考真题）如图，直线，直线分别交，于点，．以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；作射线交于点．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作图痕迹可知平分，利用平行线的性质求出的度数，进而求出，最后利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：由作图可知，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 在中， 4．（四川成都市武侯区西川实验学校2025-2026学年下学期八年级期中数学）如图，在中，平分，交于点D，点分别在边上，连接，过D作于F．已知，，，则的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】过点作，利用角平分线的性质，证得和，根据等量代换进行求解． 【详解】解：如图所示，过点作交于点， ∵平分，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得． 5．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在中，，，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧交于点F，作射线交边于点M，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据作图可得平分，从而求出，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 根据题意可得平分， ∴， ∴． 6．（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，．平分，于点，若，，则______． 【答案】6 【分析】先求得，再根据角平分线的性质定理可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵．平分，， ∴． 7．（25-26七年级下·上海宝山·期末）如图，是的角平分线，，垂足为点F，，和的面积分别为50和38，则的面积为______． 【答案】6 【分析】过点D作于点H，证明得到，根据四边形的内角和及，得到，根据同角的补角相等得到，从而证得，得到．设，根据列出方程，求解即可． 【详解】解：过点D作于点H，则． ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵在四边形中，， 又， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 设， 则， ， ∵， ∴， 解得， ∴． 8．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，点在边上，且，点是边上的动点，连接、，若的最小值是3，则的度数为_______． 【答案】20 【分析】根据有最小值可得，由此可得，结合角平分线的性质求解即可． 【详解】解：当有最小值时，则有， ∵， ∴， ∵， ∴为的角平分线， ∵ ∴． 9．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，P是外的一点，交BA的延长线于点D，于点E，交的延长线于点F，连接，，，若，，则的度数为______． 【答案】/74度 【分析】由，，，，可得，分别平分，，则，，则由，可得． 【详解】解：∵，，，， ∴，分别平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 10．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，的外角和的平分线、相交于点P，于E且，若的周长为，，则的面积为________． 【答案】 7.5 【分析】过点P作于F，作于G，连接，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，根据，求出，然后求出，再根据计算即可得解． 【详解】解：如图，过点P作于F，作于G，连接， ∵和的平分线、交于P，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵的周长为15， ∴， ， ． 11．（25-26七年级下·福建福州·期末）在四边形中，． (1)若，，点，分别是，上的点，且．试探究线段，，之间的数量关系． 小亮同学认为：延长到点，使，连接，如图，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系．请你： ①直接写出的度数：________°； ②根据小亮同学的思路，直接判断，，之间的数量关系：________． (2)如图，若，点，分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)如图，若，，点，分别是，延长线上的点，若，求的度数（结果用含的代数式表示）． 【答案】(1)①；② (2)结论仍然成立，理由如下： 延长到点，使，连接，如图所示： ， ，， ， 在和中， ， ，， ， ， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ， 又， ， 结论仍然成立； (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质的应用、角平分线的判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先由“”证明，得到、，进而推导出，再证明，即可得角的度数和线段关系； （2）利用可推导出，沿用（1）的截长补短构造全等的思路，先证明，再证明，判断结论是否成立； （3）采用截长补短法，在上截取，先证明，得到、，再证明，结合角的和差关系推导与的数量关系． 【详解】（1）解：①延长到点，使，连接， ， ， ， 在和中， ， ， 、， ， ， ； ②由①知，、， 在和中， ， ， ， ， ； （2）略； （3）解：如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 又， 在和中， ， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， ， ． 12．（25-26八年级上·四川乐山·期末）（1）用数学的眼光观察： 如图1，和都是等腰直角三角形，，，，连接、． 则与的数量关系为______，位置关系为______； （2）用数学的思维思考： ①如图2，设、相交于点F，连接并延长交于点G，求的度数； ②如图3，若H是的中点，连接、，求证：． 【答案】（1）； （2）①； ②证明：延长到，使，连接，如图3， ∵点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∵为等腰直角三角形， ， ∵为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ∴， 在和中 ， ， ， ， ． 【分析】（1）由等腰直角和等腰直角，得到，利用可得出，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）①过点A作，由（1）知，根据全等三角形对应边上的高相等得出，根据角平分线判定定理得出是的平分线，结合，得出是的平分线，由（1）知，即，即可得出． ②延长到，使，连接，则，证明，可得，则，从而得，根据，可得，由此可证明，可得，即可得和的数量关系． 【详解】（1）解：， 理由如下： ∵和都为等腰直角三角形，， ，， 即， 在和中， ， ， ， 设、相交于点F， ∵，， ∴， 即； （2）①过点A作， ∵， ∴， 即是的平分线， ∵， ∴是的平分线， 由（1）知， ∴， ∴． ②略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的判定定理等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 13．（24-25八年级上·湖北荆门·期中）如图，在中，平分，，于点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质. （1）根据角平分线的性质得，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）设，则，再证明，根据全等三角形的性质列式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， 设， 则， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴的长为． 14．（25-26八年级·全国·寒假作业）已知点C是平分线上一点，的两边分别与射线相交于两点，且，过点C作，垂足为E． (1)如图1，当点E在线段上时，猜想：______；（数量关系） (2)如图2，当点E在线段的延长线上时，探究线段与之间的数量关系； 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，证明，得到，结合图形解答即可； 本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质等知识点，三角形的外角性质,构造全等三角形是解题关键． 【详解】（1）猜想， 证明：如图，过点作，垂足为， ∵平分,, ∴ ∵, ∴， 在和中， ∴ ∴ 故答案为：． （2）解：，理由如下： 如图，过点作，垂足为， ∵平分,, ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴ ∴． 15．（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N． (1)求证：； (2)若，求． 【答案】(1) 证明：如图，连接，， ∵平分，，， ∴，， ∵是的中垂线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查了角的平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形判定和性质，作出合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）连接，，由，，可得，，由是的中垂线可得，即可证，得； （2）设，则，，易证，得，由，代入列方程即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， ∴， ∵平分，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得，即． 16．（25-26八年级上·福建福州·开学考试）在中，点D、E分别在、边上，连接、，于F，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，于G，连接交于H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质进行证明即可； （2）证明，推出，再利用角平分线的性质定理解决问题即可． （3）如图3中，过点作于，过点作于，过点作于，于．利用面积法证明，求出，，可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴垂直平分， ∴； （2）证明：如图，过点作于， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分， ． （3）解：如图，过点作于，过点作于，过点作于，于． ， ，， 在和中， ， ， ， ， 平分，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理和性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 17．（24-25八年级上·重庆永川·阶段检测）已知点C是平分线上一点，的两边分别与射线相交于两点，且，过点C作，垂足为E． (1)如图①，当点E在线段上时，猜想：______；（数量关系） (2)如图②，当点E在线段的延长线上时，探究线段与之间的数量关系； (3)如图③，在上题的条件下，若，连接，作的平分线交于点F，交于点O，连接并延长交于点G，若，求线段的长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)3 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质等知识点，三角形的外角性质． （1）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，证明，得到，结合图形解答即可； （3）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的判定定理得到，证明，得到，计算即可． 【详解】（1）猜想， 证明：如图，过点作，垂足为， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（） ∴； 故答案为：． （2）解：，理由如下： 如图，过点作，垂足为， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴（） ∴，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专题02 角平分线 常考题型·精准突破 考点一 角平分线的作图 题型1 尺规作角平分线（重） 题型2 与尺规作角平分线有关的计算（高频） 题型3 尺规作图中的全等三角形问题 考点二 角平分线的判定 题型1 角平分线的判定过程补充（高频） 题型2 角平分线的判定（重） 题型3 根据角平分线的判定证明点在角平分线上（高频） 考点三 角平分线的性质 题型1 利用角平分线的性质求线段长（重） 题型2 利用角平分线的性质求三角形面积（重） 题型3 与角平分线性质相关的角度计算（重） 题型4 利用角平分线的性质求最值（难） 题型5 角平分线性质的实际应用（重） 题型6 利用角平分线构造全等三角形（重） 题型7 角平分线的性质与判定综合（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 角平分线的作图 ◆题型1 尺规作角平分线 1．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，点在直线上，在上方作射线，．请你用尺规作图法在内部作射线，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 2．（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站P，要求加油站P的位置到三条公路的距离都相等． (1)请你找出加油站P的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (2)你的作图依据是 ． 3．（2022·陕西·模拟预测）如图，是的外角，请用尺规作图法在内部求作射线，使得．（不写作法，保留作图痕迹） ◆题型2 与尺规作角平分线有关的计算 4．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，于点D． (1)尺规作图：作的平分线，分别交、于点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 5．（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，是的高． (1)利用尺规作图法作出的平分线，交边于点D（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 6．（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，垂足为点． (1)尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法） ①在上截取； ②作的平分线，交于点，在下方的射线上任取一点，连接； (2)求证：； (3)求的度数． ◆题型3 尺规作图中的全等三角形问题 7．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在中，，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，交于点D，交于点E；分别以点D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点F，作射线，交于点G；以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点H，连接，则的周长为（     ） A．8 B．9 C．11 D．14 8．（25-26八年级上·全国·期末）如图，中，，以点A为圆心，适当长度为半径作弧，分别交、边于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，在上取点E，连接，，若，，则的长度是__________． 9．（25-26八年级下·山东济宁·期末）如图，在Rt△ABC中，，在上，． (1)请仅用无刻度直尺和圆规在上找一点，使得，保留作图痕迹，并给出全等的证明过程． (2)若，求的面积． 考点二 角平分线的判定 ◆题型1 角平分线的判定过程补充 10．（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知，，求证：平分． 证明： ________（     ） ________（     ） 又 ________ 平分． 11．（25-26八年级下·贵州六盘水·期中）老师在黑板上出了这样一道练习题：如图，点，分别在线段，上，，，，相交于点，，连接．求证：平分．小明的证明过程如下： 证明：，， ． ． ， ．…第1步 在和中，，…第2步 ． ． 平分．…第3步 (1)小明的证明过程中，第______步出现错误； (2)请完整地写出正确的证明过程． 12．（25-26七年级上·河南鹤壁·期末）如图，已知于点，点在的延长线上，于点，交于点，．求证：平分．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 证明：∵，（已知）， ∴（ ）． ∴（ ）， （ ）（ ）． 又∵（已知）， ∴（ ）． ∴平分． ◆题型2 角平分线的判定 13．（25-26八年级上·上海崇明·期末）如图，在中，，点、分别在边、上，，作于，交边于． (1)求证：平分； (2)求证：． 14．（25-26八年级上·上海虹口·期末）如图，在四边形中，，过点作于，于且． (1)求证：平分； (2)求证：． 15．（25-26八年级上·全国·寒假作业）如图，中，，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且． (1)求证：平分； (2)若，且，则的面积． ◆题型3 根据角平分线的判定证明点在角平分线上 16．（25-26八年级上·云南保山·阶段检测）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点． (1)若，求的大小； (2)点在上，若平分，求证：点在的平分线上． 17．（25-26八年级上·湖南张家界·期末）如图，，． (1)求证：点B在的平分线上； (2)求证：平分． 18．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在中,，点D在的右侧且满足，连接，其中． (1)求证：； (2)如备用图，延长至点M，使得． 求证：①平分； ②点M在线段的延长线上． 考点三 角平分线的性质 ◆题型1 利用角平分线的性质求线段长 19．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在中，，平分交于点，，点到的距离为，则的长为（     ） A． B． C． D． 20．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，是的一条角平分线，是边上的中线，若的面积是18，的面积是6，，则的长为________． 21．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，平分，交于点，于点，于点，是的高，交于点．已知：，，． (1)求的长； (2)求的长． ◆题型2 利用角平分线的性质求三角形面积 22．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，的三边的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点，则（    ） A． B． C． D． 23．（25-26七年级下·北京·期末）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点，若；的面积为6，则的面积为__________． 24．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若于点E，，，求的面积． ◆题型3 与角平分线性质相关的角度计算 25．（25-26八年级上·山西朔州·期末）如图，是的平分线，点，分别在射线和上，且．是射线上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 26．（25-26八年级下·江西抚州·期末）如图，点是内部的一点，点到三边，，，的距离，，则的度数为_______________． 27．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，的外角，的平分线，相交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． ◆题型4 利用角平分线的性质求最值 28．（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且．下列结论：①；②当时，；③当时，的周长最小；④四边形的面积是一个定值．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 29．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图，平分，，，于点D． (1)求证：； (2)若，求的长： (3)当时，请在，上分别找一点M，N，使的周长最小，并求出最小值． 30．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，，平分交斜边于点，动点从点出发，沿折线向终点运动． (1)点在上运动的过程中，当________时，与的面积相等；（直接写出答案） (2)点在折线上运动的过程中，若是等腰三角形，求的度数； (3)如图②，若点在上，，当动点在上运动到某一位置时，使的周长最小，直接写出此时的度数为________度． ◆题型5 角平分线性质的实际应用 31．（25-26八年级上·天津·期末）某小区计划在绿化区域增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交于点，交于点，若要建一喷灌处，喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（    ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 32．（25-26八年级上·全国·课后作业）将一张面积为的三角形纸板按如图所示的方式依次折叠，如图1，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，如图2，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，与相交于点．经测量得知，纸板的三边的长分别为，则点到的距离为__________．    33．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，聪明好学的小海同学看到课本第页第题： 经过简单的整理，小海同学由这道题，得出一个结论：三角形一个内角平分线分对边得到的两线段的比，等于这个角的两邻边的比． 过点作于点于点，过点作于点． 平分，且点，于点， ∴___________， ∴___________， 又∵___________， ∴． (1)请你补全小海同学的证明过程； (2)如图2，小海同学又进行了深度思考，如果将“内角的平分线”换成“外角的角平分线”，是否仍成立？请你根据提供的图形帮助小海同学完成该命题的证明！ ◆题型6 利用角平分线构造全等三角形 34．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）我们已经学习了很多有关角平分线的知识，例如：角平分线的性质．实际上，还有另一个重要的定理：“三角形的一条内角平分线，和另外两个内角的外角平分线交于同一点”，即如下图在中，、、的角平分线交于同一点．根据上述材料回答以下问题： (1)如图1，的三条内角平分线交于点，过点分别作、、边上的垂线段、、．若的周长为16，，求的面积； (2)如图2，在中，、分别在、的延长线上，和的角平分线交于点，连接，若，，求的度数； (3)如图3，在中，，的角平分线交于点，延长至点，使，连接．过点作的角平分线交于点．若，，求的周长． 35．（25-26八年级上·河南南阳·期末）综合与实践 如图1，，平分，在判断和的数量关系时，两位同学分别给出了以下两种思路：               (1)①在图2中，与相等的角是 ； ②请你按照小颖的思路进行解答； (2)如图4，，，平分，求证：． (3)如图5，在中，，，D是边的中点，，，， 与边相交于点E，与边相交于点F．请直接写出线段的长． 36．（25-26八年级上·江西赣州·期末）【回顾】如图1，点是的平分线上一点，过点作于点，于点，依据角平分线的性质可得． （1）【探究】如图2，在中，，是的平分线，点在边上，． ①证明：； ②请判断三条线段之间的数量关系，并说明理由． （2）【拓展】如图3，的外角，的平分线与内角的平分线交于点，若，请直接写出的度数． ◆题型7 角平分线的性质与判定综合 37．（25-26八年级上·福建厦门·期末）在中，，点在上，点在上，连接和交于点，． (1)如图，求证：； (2)如图，连接，若平分，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 38．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）在中，平分交于点，平分交于点，，相交于点． (1)如图1，当时， ①求______； ②证明：； (2)如图2，当时，若，， ①求的值； ②直接写出______． 39．（2025八年级上·吉林长春·专题练习）已知：如图1，是的平分线，点是上的任意一点，，，垂足分别为和． 求证：． 请写出完整的证明过程：… (1)请结合图，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程； (2)如图，在中，，平分，于点，点在上，，若，，则的长为________； (3)如图，在中，平分交于点，于点，若，，，，则的面积为________． 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（     ） A．40 B．42 C．46 D．48 2．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，，平分交于，若，则的面积等于（     ）． A．3 B．6 C．12 D．2 3．（2026·山东·中考真题）如图，直线，直线分别交，于点，．以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；作射线交于点．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．（四川成都市武侯区西川实验学校2025-2026学年下学期八年级期中数学）如图，在中，平分，交于点D，点分别在边上，连接，过D作于F．已知，，，则的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 5．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在中，，，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧交于点F，作射线交边于点M，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，．平分，于点，若，，则______． 7．（25-26七年级下·上海宝山·期末）如图，是的角平分线，，垂足为点F，，和的面积分别为50和38，则的面积为______． 8．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，点在边上，且，点是边上的动点，连接、，若的最小值是3，则的度数为_______． 9．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，P是外的一点，交BA的延长线于点D，于点E，交的延长线于点F，连接，，，若，，则的度数为______． 10．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，的外角和的平分线、相交于点P，于E且，若的周长为，，则的面积为________． 11．（25-26七年级下·福建福州·期末）在四边形中，． (1)若，，点，分别是，上的点，且．试探究线段，，之间的数量关系． 小亮同学认为：延长到点，使，连接，如图，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系．请你： ①直接写出的度数：________°； ②根据小亮同学的思路，直接判断，，之间的数量关系：________． (2)如图，若，点，分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)如图，若，，点，分别是，延长线上的点，若，求的度数（结果用含的代数式表示）． 12．（25-26八年级上·四川乐山·期末）（1）用数学的眼光观察： 如图1，和都是等腰直角三角形，，，，连接、． 则与的数量关系为______，位置关系为______； （2）用数学的思维思考： ①如图2，设、相交于点F，连接并延长交于点G，求的度数； ②如图3，若H是的中点，连接、，求证：． 13．（24-25八年级上·湖北荆门·期中）如图，在中，平分，，于点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 14．（25-26八年级·全国·寒假作业）已知点C是平分线上一点，的两边分别与射线相交于两点，且，过点C作，垂足为E． (1)如图1，当点E在线段上时，猜想：______；（数量关系） (2)如图2，当点E在线段的延长线上时，探究线段与之间的数量关系； 15．（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N． (1)求证：； (2)若，求． 16．（25-26八年级上·福建福州·开学考试）在中，点D、E分别在、边上，连接、，于F，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，于G，连接交于H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 17．（24-25八年级上·重庆永川·阶段检测）已知点C是平分线上一点，的两边分别与射线相交于两点，且，过点C作，垂足为E． (1)如图①，当点E在线段上时，猜想：______；（数量关系） (2)如图②，当点E在线段的延长线上时，探究线段与之间的数量关系； (3)如图③，在上题的条件下，若，连接，作的平分线交于点F，交于点O，连接并延长交于点G，若，求线段的长． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $