专题04 整式运算与实际问题（题型专练）数学新教材浙教版七年级上册

**基本信息** 聚焦整式运算在10类实际问题中的应用，通过典例与变式构建“问题情境—数量关系—代数式表达”的逻辑链条，强化模型意识与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |销售问题|1典例+3变式|含方案比较、利润计算|实际销售场景抽象为整式表达，体现符号意识| |周长/面积问题|各1典例+3变式|结合图形变换与几何量计算|几何问题数量化，培养几何直观与空间观念| |行程/数字/整除问题|各1典例+3变式|涉及运动关系、数的表示与整除规律|从实际情境提炼等量关系，发展推理意识| |日历/幻方问题|各1典例+3变式|基于日历规律与幻方数字关系|规律探究转化为整式运算，提升抽象能力| |方案选择/分段计费|各1典例+3-4变式|含多方案比较与阶梯收费计算|复杂问题分层建模，强化应用意识与数据观念|

专题04 整式运算与实际问题 （题型突破·举一反三） 题型01 销售问题 题型02 周长问题 题型03 面积问题 题型04 行程问题 题型05 数字问题 题型06 整除问题 题型07 日历问题 题型08 幻方问题 题型09 方案选择问题 题型10 分段计费问题 ▌题型01 销售问题 【典例1】（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）某文具店销售钢笔和笔记本，钢笔每支定价50元，笔记本每本定价8元．“元旦”期间文具店决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一支钢笔送一本笔记本； 方案二：钢笔和笔记本都按定价的90%付款． 现某班级要到该卖场购买钢笔10支，笔记本x本（）． （1）若该班级按方案一购买，需付款________元（用含x的代数式表示）；若该班级按方案二购买，需付款________元（用含x的代数式表示）； （2）若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ （3）当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少． 【变式1】（22-23七年级上·浙江台州·期末）甲、乙两家商场以相同的价格出售同品牌的新电动车，为吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：甲商场规定用旧车置换，可在原价基础上优惠元，剩下的部分打折销售；若无旧车置换，则按原价折销售．乙商场规定用旧车置换，可在原价基础上优惠元，剩下的部分打折销售；若无旧车置换，则按原价七五折销售．李老师要去同一商场购买两辆该品牌新电动车，他只有一辆旧电动车可置换，设两商场的新电动车原价都是元． (1)用含的式子表示甲、乙商场购买新电动车李老师应付款额分别是多少元？ (2)若李老师在两家商场应付款额相等，求的值． 【变式2】（22-23七年级上·浙江杭州·期中）某土特产公司组织10辆汽车装运甲、乙两种土特产去外地销售，按计划10辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一土特产，且必须装满，设装运甲种土特产的汽车有x辆，根据下表提供的信息，解答以下问题： 土特产种类 甲 乙 每辆汽车运载量（吨） 4 2 每吨土特产利润（元） 100 90 (1)装运乙种土特产的车辆数为　　（用含有x的式子表示）； (2)求这10辆汽车共装运土特产的数量（用含有x的式子表示并化简）； (3)求销售完装运的这批土特产后所获得的总利润（用含有x的式子表示并化简），当时的总利润是多少元？ 【变式3】（22-23七年级上·浙江金华·期中）疫情期间，为了满足市场上对口罩的需求，某厂家决定生产两种款式的口罩，每天两种口罩的生产量共5000个，两种口罩的成本和售价如下表： 成本（元/个） 售价（元/个） 5 8 7 9 设每天生产种口罩个． (1)用含的代数式表示该工厂每天的生产成本，并进行化简； (2)用含的代数式表示该工厂每天获得的利润，并将所列代数式进行化简；（利润=售价一成本） (3)当时，求每天获得的利润． ▌题型02 周长问题 【典例2】（2026·浙江金华·一模）如图，光明中学为美化校园环境，计划在一块长为15米，宽为12米的空地上修建一个长方形草坪，草坪的周围修建等宽的小路，路宽为a米． (1)草坪的周长为多少米（含a的代数式表示）； (2)当米时，求草坪的周长． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）将6个长为，宽为的长方形纸片（如图1所示），放置在一个大长方形内部（如图2 所示），得到长方形和长方形，其中． (1)用含，的代数式分别表示线段，的长． (2)设长方形的周长为，长方形的周长为．若，求的值． 【变式2】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，七巧板是我国传统的智力玩具、七巧板虽然只有七块，但用它们可以拼出不同的图案．如图，小海和小曙利用的方格图（每个小正方形的边长均为），制作了一副七巧板、然后，将其中的块摆放成我们熟悉的几何图形（如图），它们分别是等腰直角三角形，平行四边形，等腰梯形． (1)直接写出④号正方形的面积和边长； (2)不求可以发现图中等腰直角三角形的周长为，请用含的代数式分别表示图中平行四边形、等腰梯形的周长，并判断小曙的发现是否正确． 【变式3】（23-24七年级上·浙江温州·阶段检测）如图所示，将正方形①，正方形②，长方形③，长方形④放入长方形中（相邻的长方形、正方形之间无重叠且无间隙）． 已知长方形的宽的长度为；长方形③的宽的长度为；且长方形④的宽的长度是长方形③的宽的长度的两倍． (1)正方形①的边长为___________（用的代数式表示）；正方形②的边长为___________（用的代数式表示）； (2)已知正方形①的周长为8，求长方形的周长． ▌题型03 面积问题 【典例3】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图，正方形和正方形的边长分别为a和． (1)用含a的代数式表示直角三角形的面积（直接写出）； (2)请求出阴影部分的面积（结果用含a的代数式表示并要求化简）； (3)求时，阴影部分的面积． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）有长为米（米）的篱笆，利用它和房屋的一面墙（足够长）围成长方形园子，园子的宽为为4米． (1)若围成的园子如图1所示，求园子的面积（用含l的代数式表示）． (2)若围成的园子如图2所示，在园子的中间用篱笆隔开，并在上面开一道1米宽的门，此时园子的面积与图1中园子的面积相比，是增大还是减小了？增大或减小了多少？ 【变式2】（21-22七年级上·浙江杭州·期中）小亮房间窗户的装饰物如图1中的阴影部分，它是由两个四分之一圆组成（半径分别相同），若长方形窗户的长为a，宽为b求（结果保留π）． （1）请用代数式表示房间窗户饰物的面积：　 　； 用代数式表示窗户能射进阳光的面积是 　 　（窗框面积忽略不计）． （2）当a＝2，b＝时，求窗户能射进阳光的面积是多少？ （3）小亮又设计了如图2的窗帘（由四个半圆组成组成，半径相同），请你帮他算一算此时窗户能射进阳光的面积是多少？与图1相比，哪种设计射进阳光的面积更大？说明理由． 【变式3】（22-23七年级上·浙江杭州·期末）如图①，现有三种边长分别为3，2，1的正方形卡片，分别记为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ．还有一个长为a，宽为b的长方形． (1)如图②，将Ⅰ放入长方形中，试用含a，b的代数式表示阴影部分的面积，并求当，时阴影部分的面积． (2)将Ⅰ，Ⅱ两张卡片按图③的方式，放置在长方形中，试用含a，b的代数式表示阴影部分的面积，并求当，时阴影部分的面积． (3)将Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三张卡片按图④的方式，放置在长方形中，求右上角阴影部分与左下角阴影部分周长的差． ▌题型04 行程问题 【典例4】（20-21七年级上·浙江杭州·阶段检测）一辆出租车从A地出发，在一条东西走向的街道上往返，每次行驶的路程（记向东为正）记录如下（9＜x＜26，单位：km） 第一次 第二次 第三次 第四次 x 2x 2x﹣3 3（4﹣2x） （1）说出这辆出租车每次行驶的方向； （2）求经过连续4次行驶后，这辆出租车所在的位置； （3）这辆出租车一共行驶了多少路程？ 【变式1】（24-251七年级上·浙江杭州·阶段检测）甲、乙两船分别从A，B码头同时出发相向而行，两船在静水中的速度都是，水流速度是．已知甲船从A码头到B码头顺流而行，用了2h；乙船从B码头到A码头逆流而行，用了小时． (1)A，B两码头相距______；（用含有a，b的式子表示） (2)后甲船比乙船多航行多少千米？（用含有b的式子表示） (3)若两船相距，且时，甲船行驶的时间是多少小时？ 【变式2】（23-24七年级上·浙江温州·期中）实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量两个相邻可视观测点的相对高度，然后用这些相对高度，计算出山的高度．一架无人机在测量中记录了部分数据如表所示（用表示观测点A相对于观测点B的高度，如：900米即A的海拔减去B的海拔为900米）． 900米 500米 米 500米 a米 根据测量数据，回答下列问题： (1) ： 米； (2)用含a的代数式表示的值； (3)该无人机在观测点H处竖直向上起飞，飞行的速度为5米/秒．若恰巧1分钟后，测得无人机与观测点D的高度差为100米，求a的值． 【变式3】（23-24七年级上·浙江温州·期中）科技改变生活．小王是一名摄影爱好者，他最近新买入了一台无人机进行航拍，小王将无人机放在距离地面米的台面上，以a米/秒的速度匀速上升秒后进行拍照，然后以米秒的速度匀速下降秒后进行第二次拍照． (1)用含的式子表示无人机第二次拍照时距地面的高度； (2)当时，求无人机完成第二次拍摄后，仍以米秒的速度匀速落回台面所用的时间． ▌题型05 数字问题 【典例5】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）将一些数字填入如图幻方中，使每个三角形的三个顶点上的数字之和相等，则的值是（   ）  ． A．6 B．1 C． D． 【变式1】（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）小明和小红玩猜数字游戏，小明说：“你随便选定三个一位数，按下列步骤进行计算：①把第一个数乘以2，②加上5，③把所得的和乘以5，加上第二个数字，再把所得的和乘以10，⑥再加上第三个数字，只要你告诉我最后的得数，我就知道你所选的三个一位数．”若小红告诉小明最后得到的结果是846，则小红所报的第2个数是（　　） A．4 B．6 C．8 D．9 【变式2】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）数学课上，老师让同学们任意写一个三位数，然后把它的个位数字与百位数字对调，计算对调后的三位数与原三位数的差．有四位同学给出下列四个计算结果，其中正确的是（   ） A．891 B．694 C． D． 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知是个位数字不为零的两位数，将的个位数字与十位数字互换后，得到另一个与之不同的两位数，若恰好是某个整数的平方，则这样的数共有（   ） A．3个 B．5个 C．8个 D．13个 ▌题型06 整除问题 【典例6】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）综合与实践 【问题背景】小马同学探索被5整除的数的规律，她查到了如下材料． (1)材料1：一个两位数，若十位数字是a，个位数字是b，则它记为，． 材料2：设是一个三位数，．显然能被5整除，若_____（写出一个即可），b也能被5整除，则这个三位数能被5整除． (2)【实践应用】设是一个三位数，若能被3整除，则这个三位数能被3整除．理由如下：因为①_____， 因为（②_____），且②是整数，所以①能被3整除， 又因为能被3整除，所以这个三位数能被3整除． 请你写出①，②表示的代数式， (3)【拓展延伸】设是一个四位数，若能被9整除，则这个四位数能被9整除．请模仿（2）说明理由． 【变式1】（25-26七年级上·浙江温州·期末）综合与探究 【阅读材料】 一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被9整除，那么这个自然数就能被9整除．比如： 若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，通常记这个两位数为． 即． 因为和都能被9整除， 所以就能被9整除， 所以能被9整除． 【应用拓展】 (1)请参考以上阅读材料说明理由：设是一个三位数，若能被9整除，则就能被9整除． (2)若能被9整除时，也能被9整除，则的值为___________． 【变式2】（23-24七年级上·浙江衢州·期末）【阅读材料】用“割尾法”判断一个三位数能否被7整除 方法：三位数割掉末位数字得两位数，再用减去的2倍所得的差为．若是7的倍数，则能被7整除． 举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，，因为28是7的倍数，所以364能被7整除． 【类比解决】尝试用“割尾法”判断455能否被7整除． 【推理验证】已知三位数． （1）请用含，，的代数式表示和“割尾法”后所得的差． （2）现在对材料中的判断方法“若是7的倍数，则能被7整除”进行验证，下面是思路分析． 分析：要证被7整除，需把表示成7的倍数． 已知①． 因为是7的倍数，可设（1）中的代数式（为整数）②． 只需把②式变形代入①式即可． 请根据上述分析写出推理过程． 【变式3】（22-23七年级上·浙江衢州·期末）【原题重现】作业本“第4章代数式”中有这样一道题：一个两位数，它的十位数字是x，个位数字是y．若把十位数字与个位数字对调，请分别计算新数与原数的和与差，并回答 【方法回顾】解：因为（逆用分配律），所以能被11整除， 【解决问题】 （1）请解答：新数与原数的差能被11整除吗？ 【类比推理】 （2）对于一个三位数，对调百位与个位上的数字，得到一个新的三位数．请计算新数与原数的差被11和3整除吗？ ▌题型07 日历问题 【典例7】（21-22七年级上·浙江湖州·阶段检测）如图是某月份的日历，那么日历中同一竖列相邻三个数的和不可能是（　　） A．39 B．51 C．53 D．60 【变式1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图是2025年1月份的日历，“横3”和“竖3”两个阴影图形分别覆盖其中3个数字（两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“横3”覆盖的数字之和为，“竖3”覆盖的数字之和为，若，则的最小值为_____． 【变式2】（25-26七年级上·浙江台州·期末）在下图的2026年1月的月历表中，用“十”字形框框住了五个日期，“十”字形框可上下左右移动，设移动后“十”字形框中正中央的日期为． 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)求移动后“十”字形框框住的五个日期之和（用含的代数式表示）； (2)移动“十”字形框，被框住的五个日期之和可能等于85吗？请说明理由． 【变式3】（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图1是2025年3月份的月历，用图2所示的“九方格”在图1中框住9个日期，并把其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为a，b，c，d（特别说明：去括号的依据是乘法分配律，比如：． (1)“九方格”中空白的五个日期之和m与正中心的日期θ的关系是 ． (2) ， ， （用含a的代数式分别表示）． (3)当图2在图1的不同位置时，代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． ▌题型08 幻方问题 【典例8】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等．如图是一个未完成的幻方，用来表示不大于x的最大整数，如，那么（    ） A．9 B．16 C．27 D．64 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中．在如图所示的“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，则的值是__________． 【变式2】（2026·浙江绍兴·二模）【主题】研究幻方 【背景】幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（图1），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个三阶幻方．        【实践】小嵊和小州课后研究起了幻方，发现只要满足三阶幻方特征填入的任意9个数，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍． 小嵊给出了数学证明： 如图2，设这9个数依次为，，，，，，，，， 因为每行，每列，每条对角线的三个数字之和都相等，所以把每行，每列，每条对角线的三个数字之和都记为， 则第二行：①， 第二列：②， 对角线分别：③，④， 将①＋②＋③＋④，得： 所以，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍． (1)请完成“”中小嵊未显示的推理过程． (2)利用上述结论，小州继续探索：如图3，仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，求其中，，之间的关系． 【变式3】（21-22七年级上·浙江绍兴·期末）期末复习过程中，七（1）班的张老师设计了一个数学问题，涉及本册中多个知识点和多种数学思想，请聪明的你来解答一下吧． (1)若一个数x的立方等于，请求出x的值． (2)请利用整体思想和方程思想进行解题． ①若（1）中的x的值也是关于x的一元一次方的解，那么关于y的一元一次方程的解为y= ． ②在如图所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将①中的x，y填入如图所示的位置，则的值为多少？ (3)在（2）的条件下，在数轴上标注x，y所表示的数的对应点，分别记作A，B，已知P点从A点出发，以1个单位每秒的速度向B点运动，Q点从B点出发，以4个单位每秒的速度在A、B两点之间做往返运动，P、Q两点同时开始运动，当Q点第一次返回到B点时，两点同时停止运动，若记数轴的原点为O，则P点运动几秒后？ ▌题型09 方案选择问题 【典例9】（23-24七年级上·浙江温州·期中）某商场开展春节促销活动出售A、B两种商品，活动方案如下： 方案一： A商品每件进价80元，售价100元；B商品每件进价100元，售价130元 方案二： 所购商品一律按进价加价销售 (1)某单位购买A商品20件，B商品10件，选择哪种方案划算？能便宜多少钱？ (2)某单位购买A商品件（为正整数），购买B商品的件数是A商品件数的3倍多5件，该单位选择哪种方案更合算？请说明理由． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图，是某公寓的平面示意图．公寓的主人计划对该公寓的地面进行装修． (1)用含的代数式表示地面的总面积； (2)现有以下两种地面铺设方案． 方案一：卧室和客厅铺木地板，卫生间和厨房铺瓷砖； 方案二：全屋通铺瓷砖． 地面铺设的收费标准为：木地板120元/，瓷砖80元/，求两种方案的费用差． 【变式2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）七（1）班计划在培植园利用一面墙（墙足够长），用a米长的篱笆围成一个长方形的菜地，并开两个1米宽的小门．同学们设计了两个方案： 方案一：如图1，左右两边分别用长的篱笆，在平行于墙的一边开两个小门，面积记为． 方案二：如图2，在左右两边分别开一个小门，其余仍用篱笆围成，面积记为． （注：两个方案中篱笆的长足够围成长方形） (1)①图1中边的长度为___________米，②图2中边的长度为___________米（用含a的代数式表示） (2)试判断的值与的取值是否有关系，说明理由． 【变式3】（25-26七年级上·浙江台州·期中）超市某品牌的洗衣液一组定价200元（10袋为一组），一袋定价20元．双十一期间进行促销，活动期间向客户提供两种优惠方案，方案一：买一组该品牌洗衣液送一袋洗衣液；方案二：洗衣液按照定价的九五折付款；某公司要采购洗衣液30组，x袋． (1)若客户按方案一，需要付款______元；若客户按方案二，需要付款______元．（用含x的代数式表示） (2)若，试通过计算说明此时哪种购买方案比较合适． (3)当，能否找到一种更为省钱的方案，如果能，写出你的方案，并计算出此方案应付钱数；如果不能，说明理由． 【变式4】（22-23七年级上·浙江宁波·期中）某服装厂生产一种西装和领带，每套西装的定价为 500元，每条领带的定价为 60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： ①买一套西装送一条领带； ②西装和领带都按定价的 90%付款． 现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带x条． (1)若该客户按方案①购买，则需付款 元（用含 x 的代数式表示）； 若该客户按方案②购买，则需付款 元（用含 x 的代数式表示）； (2)若 ，则通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算． ▌题型10 分段计费问题 【典例10】（25-26七年级上·浙江金华·期末）【提出问题】 为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”．根据以下素材，探索小明家水费与用水量情况． 下表是“阶梯收费”标准，其中水费=自来水费+污水处理费，每月水费以整数立方米水量计费． 收费标准 年用水量 水费（元） 自来水费（元） 污水处理费（元） 第一阶梯 不超过 2.6 1.65 0.95 第二阶梯 超过但不超过的部分 3.95 3.0 第三阶梯 超过的部分 7.8 6.85 【理解问题】 若1月至11月累计用水量为，12月用水量为，则12月水费为（元）． 【解决问题】 任务1：已知2025年11月用水量在第一阶梯，且水费为65元，求11月污水处理费多少元? 任务2：2025年12月用水量，若第一阶梯用水量比第二阶梯少，用的代数式表示12月水费． 任务3：2025年12月水费70.9元，用水量，求小明家2025年全年水费多少元? 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）某市居民用电电费目前实行梯度价格表． 每月用电量 单价 不超出180千瓦时的部分 0.5元/千瓦时 超出180千瓦时不超出400千瓦时的部分 0.6元/千瓦时 超出400千瓦时的部分 0.8元/千瓦时 (1)若月用电140千瓦时，应交电费_________元，若月用电240千瓦时，应交电费________元； (2)若居民王大爷家12月用电量为千瓦（），请计算他们家12月应缴电费_________元（用含的代数式表示）； (3)若居民李大爷家11、12月份共用电380千瓦时（其中11月份用电量少于12月份），设11月用电千瓦时（），求李大爷11、12月共交电费多少元？（用含的代数式表示，并化简） 【变式2】（21-22七年级上·浙江宁波·期末）一家电信公司推出两种移动电话计费方法，如下表所示： 计费方法A 计费方法B 每月基本服务费（元/月） 58元 88元 每月免费通话时间（分） 150分 350分 超出后每分钟收费（元/分） 0.25元 0.20元 (1)若月通话时间是3小时，则使用计费方法A的用户话费为_______元，使用计费方法B的用户话费为_______元； (2)若月通话时间是x分钟（x>350），则按A、B两种计费方法的用户话费分别是多少？（用含x的代数式表示） (3)当通话时间为多长时，按A、B两种计费方法所需的用户话费相等？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 整式运算与实际问题 （题型突破·举一反三） ▌题型01 销售问题 【典例1】 【答案】（1）（8x+420），（7.2x+450）；（2）按方案一购买较合算；（3）先按方案一购买钢笔10支，笔记本10本， 再按方案二购买笔记本20本，需付款644元，较单独按方案一或按方案二购买更合算． 【变式1】 【答案】(1)甲商场付款元；乙商场付款元 (2) 【变式2】 【答案】(1) (2)吨 (3)总利润 【答案】(1)元 (2)元 (3)12000元 ▌题型02 周长问题 【典例2】 【答案】(1) (2)35.6米 【变式1】 【答案】(1)， (2) 【变式2】 【答案】(1)； (2)小曙的发现是正确的，图中等腰直角三角形、平行四边形、等腰梯形的周长相等 【变式3】 【答案】(1)， (2)12 ▌题型03 面积问题 【典例3】 【答案】(1) (2) (3) 【变式1】 【答案】(1) (2)减少了 【变式2】 【答案】（1）；；（2）；（3）图2中窗户能射进阳光的面积为，与图1相比，图2中射进阳光的部分的面积变大了，大了． 【变式3】 【答案】(1)，9 (2)，6 (3)4 ▌题型04 行程问题 【典例4】 【答案】（1）第一次向东，第二次向东，第三次向东，第四次向西；（2）向西（x-9）千米；（3）（11x−15）千米 【变式1】 【答案】(1)或 (2)后甲船比乙船多航行千米 (3)甲船行驶的时间是小时或小时 【变式2】 【答案】(1)1400 (2)的值为米 (3)或 【变式3】 【答案】(1)； (2)． ▌题型05 数字问题 【典例5】 【答案】D 【变式1】D 【变式2】D 【变式3】D ▌题型06 整除问题 【典例6】 【答案】(1)0或5（填写一个即可） (2)①；② (3) 解： ． 显然能被9整除， 因此，如果可以被9整除，那么就能被9整除． 【变式1】 【答案】(1) 证明：∵ ∴ ∵能被9整除，能被9整除，且能被9整除 ∴能被9整除 ∴能被9整除； (2)2 【变式2】 【答案】 类比解决：能，理由如下： 对于三位数455，割掉末位数字5得45，，因为35是7的倍数，所以455能被7整除． 推理验证：（1）； （2）解：设， ∴， ∴， ∴能被7整除． 【变式3】 【答案】（1）新数与原数的差不能被11整除；（2）能被3和11这两个质数整除 ▌题型07 日历问题 【典例7】C 【变式1】 【答案】51 【变式2】 【答案】(1) (2) 解：移动“十”字形框，被框住的五个日期之和不可能等于85，理由如下： 当时，解得， 观察2026年1月的月历表，17位于最右侧列，其右侧没有对应的日期， ∴移动“十”字形框，被框住的五个日期之和不可能等于85． 【变式3】 【答案】(1) (2) (3)是定值， ▌题型08 幻方问题 【典例8】B 【变式1】 【答案】 【变式2】 【答案】(1)见解析 (2) 【变式3】 【答案】(1)x的值为-2 (2)①6；②(a-b)+(d-c)的值为16 (3)当P点运动1秒或秒或秒或3秒时，OQ=2OP． ▌题型09 方案选择问题 【典例9】 【答案】(1)方案二划算，便宜180元 (2) 购买A商品件，B商品件，两种方案所需费用如下： 方案一：； 方案二：； 作差比较：； 因x为正整数，， 所以， 故方案二更合算． 【变式1】 【答案】(1) (2) 【变式2】 【答案】(1)， (2) 无关，理由如下： 由（1）知， ，， 则， ∴的值与无关． 【变式3】 【答案】(1)； (2)方案一更合适，理由如下： 当时， 方案一：（元）， 方案二：（元）， 因为，所以方案一更合适； (3)能，6190元，理由如下： 可以有更合适的购买方式． 按方案一购买30组洗衣液和30袋洗衣液，需要（元）， 按方案二购买剩余10袋洗衣液，需要（元）， 共计（元）． 答：此方案应付钱数为6190元 【变式4】 【答案】(1)； (2)方案② ▌题型10 分段计费问题 【典例10】 【答案】任务1：23.75元 任务2：当时，水费为元；当时，水费为元 任务3：679.3元 【变式1】 【答案】(1)， (2) (3)11、12月共交电费元． 【变式2】 【答案】(1)65.5；88 (2)按计费方法A的用户话费为（0.25x+20.5）元，按计费方法B的用户话费为（0.2x+18）元； (3)270分钟 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 整式运算与实际问题 （题型突破·举一反三） 题型01 销售问题 题型02 周长问题 题型03 面积问题 题型04 行程问题 题型05 数字问题 题型06 整除问题 题型07 日历问题 题型08 幻方问题 题型09 方案选择问题 题型10 分段计费问题 ▌题型01 销售问题 【典例1】（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）某文具店销售钢笔和笔记本，钢笔每支定价50元，笔记本每本定价8元．“元旦”期间文具店决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一支钢笔送一本笔记本； 方案二：钢笔和笔记本都按定价的90%付款． 现某班级要到该卖场购买钢笔10支，笔记本x本（）． （1）若该班级按方案一购买，需付款________元（用含x的代数式表示）；若该班级按方案二购买，需付款________元（用含x的代数式表示）； （2）若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ （3）当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少． 【答案】（1）（8x+420），（7.2x+450）；（2）按方案一购买较合算；（3）先按方案一购买钢笔10支，笔记本10本， 再按方案二购买笔记本20本，需付款644元，较单独按方案一或按方案二购买更合算． 【分析】（1）根据题目提供的两种不同的付款方式列出代数式即可； （2）将x=30代入求得的代数式中即可得到费用，然后比较即可得到选择哪种方案更合算； （3）先按方案一购买钢笔10支，笔记本10本， 再按方案二购买笔记本20本，需付款644元，较单独按方案一或按方案二购买更合算． 【详解】解：（1）若按方案一购买，需付款10×50+8（x-10）=（8x+420）（元）， 若按方案二购买，需付款（10×50+8x）×0.9=（7.2x+450）（元）； 故答案为：（8x+420），（7.2x+450）． （2）当x=30时，方案一：8×30+420=660（元）， 方案二：7.2×30+450=666（元）， 所以，按方案一购买较合算． （3）先按方案一购买钢笔10支，笔记本10本，需付款10×50=500； 再按方案二购买笔记本20本，需付款20×8×0.9=144； 共需付款500+144=644（元），较单独按方案一或按方案二购买更合算． 【点睛】本题考查了列代数式和求代数式的值，解题的关键是认真分析题目并正确列出代数式． 【变式1】（22-23七年级上·浙江台州·期末）甲、乙两家商场以相同的价格出售同品牌的新电动车，为吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：甲商场规定用旧车置换，可在原价基础上优惠元，剩下的部分打折销售；若无旧车置换，则按原价折销售．乙商场规定用旧车置换，可在原价基础上优惠元，剩下的部分打折销售；若无旧车置换，则按原价七五折销售．李老师要去同一商场购买两辆该品牌新电动车，他只有一辆旧电动车可置换，设两商场的新电动车原价都是元． (1)用含的式子表示甲、乙商场购买新电动车李老师应付款额分别是多少元？ (2)若李老师在两家商场应付款额相等，求的值． 【答案】(1)甲商场付款元；乙商场付款元 (2) 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用、代数式和整式的加减，理解题意是解决问题的关键． （1）根据题目要求即可写出算式，根据整式的加减运算法则化简即可； （2）可得到关于的一元一次方程，解方程即可求得答案． 【详解】（1）甲商场付款：元． 乙商场付款：元． （2）由题意，得 解得 ． 【变式2】（22-23七年级上·浙江杭州·期中）某土特产公司组织10辆汽车装运甲、乙两种土特产去外地销售，按计划10辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一土特产，且必须装满，设装运甲种土特产的汽车有x辆，根据下表提供的信息，解答以下问题： 土特产种类 甲 乙 每辆汽车运载量（吨） 4 2 每吨土特产利润（元） 100 90 (1)装运乙种土特产的车辆数为　　（用含有x的式子表示）； (2)求这10辆汽车共装运土特产的数量（用含有x的式子表示并化简）； (3)求销售完装运的这批土特产后所获得的总利润（用含有x的式子表示并化简），当时的总利润是多少元？ 【答案】(1) (2)吨 (3)总利润元，3120元 【分析】（1）根据“装运乙种土特产的车辆数=总汽车辆数10装运甲种土特产的车辆数”列式表达便可； （2）根据“装运甲种土特产的每辆车运载重量×装运甲种土特产的车辆数+装运乙种土特产的每辆车运载重量×装运乙种土特产的车辆数=10辆汽车共装运土特产的数量”列出代数式并化简便可； （3）根据“甲种土特产每吨利润×甲种土特产的总吨数+乙种土特产每吨利润×乙种土特产的总吨数=总利润”列出代数式，并化简便可． 【详解】（1）解：由题意得， 装运乙种土特产的车辆数为：（辆）， 故答案为：； （2）根据题意得，； ∴这10辆汽车共装运土特产的数量为吨； （3）根据题意得，； ∴销售完装运的这批土特产后所获得的总利润为元． 当时，总利润为：（元）. 【点睛】本题主要考查了列代数式、代数式求值和整式的加减应用，正确理解各种数量关系之间的运算关系是列代数式的关键所在． 【变式3】（22-23七年级上·浙江金华·期中）疫情期间，为了满足市场上对口罩的需求，某厂家决定生产两种款式的口罩，每天两种口罩的生产量共5000个，两种口罩的成本和售价如下表： 成本（元/个） 售价（元/个） 5 8 7 9 设每天生产种口罩个． (1)用含的代数式表示该工厂每天的生产成本，并进行化简； (2)用含的代数式表示该工厂每天获得的利润，并将所列代数式进行化简；（利润=售价一成本） (3)当时，求每天获得的利润． 【答案】(1)元 (2)元 (3)12000元 【分析】本题考查列代数式和代数式求值，解题的关键是能看懂题意和表格，熟练掌握去括号和合并同类项． （1）根据题意和表格可以得到款式的成本和款式的成本，由某厂家生产、两种款式的环保口罩，每天共生产个，可以得到该工厂每天的生产成本，从而可以解答问题； （2）根据题意和表格可以得到A款式的成本和款式的成本和售价，由某厂家生产、两种款式的环保口罩，每天共生产个，可以得到该工厂每天获得的利润，从而可以解答问题； （3）根据（1），（2）中求出的代数式，可以求得当时，每天获得的利润． 【详解】（1）解：根据题意可得，该工厂每天的生产成本为（元）； （2）根据题意可得，种口罩的利润为每个（元）， 种口罩的利润为每个2（元）， 该工厂每天获得的利润为（元）； （3）把，代入中， 原式（元）． 所以当时，每天获得的利润为12000元．． ▌题型02 周长问题 【典例2】（2026·浙江金华·一模）如图，光明中学为美化校园环境，计划在一块长为15米，宽为12米的空地上修建一个长方形草坪，草坪的周围修建等宽的小路，路宽为a米． (1)草坪的周长为多少米（含a的代数式表示）； (2)当米时，求草坪的周长． 【答案】(1) (2)35.6米 【分析】（1）列出长和宽，然后再根据周长公式计算即可 （2）把代入（1）中的周长表示式计算，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：长为：（米）， 宽为：（米） 草坪的周长： （2）解：当时，． 故当米时，草坪的周长为35.6米． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）将6个长为，宽为的长方形纸片（如图1所示），放置在一个大长方形内部（如图2 所示），得到长方形和长方形，其中． (1)用含，的代数式分别表示线段，的长． (2)设长方形的周长为，长方形的周长为．若，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了整式加减运算几何意义的应用能力，关键是能正确理解并运用数形结合思想． （1）根据图形可得的长为长方形的长加上4个长方形的宽，，即可求解； （2）先列式表示出阴影部分的周长，再通过化简、代入进行求解． 【详解】（1）解：， （2）解： ∵， 【变式2】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，七巧板是我国传统的智力玩具、七巧板虽然只有七块，但用它们可以拼出不同的图案．如图，小海和小曙利用的方格图（每个小正方形的边长均为），制作了一副七巧板、然后，将其中的块摆放成我们熟悉的几何图形（如图），它们分别是等腰直角三角形，平行四边形，等腰梯形． (1)直接写出④号正方形的面积和边长； (2)不求可以发现图中等腰直角三角形的周长为，请用含的代数式分别表示图中平行四边形、等腰梯形的周长，并判断小曙的发现是否正确． 【答案】(1)； (2)小曙的发现是正确的，图中等腰直角三角形、平行四边形、等腰梯形的周长相等 【分析】本题是考查代数式的表达及化简，以及代数式与几何图形的面积和周长结合的综合问题．根据等腰直角三角形、正方形面积计算公式，利用等量代换思想，用代数式表示出面积，是解题的关键． （1）根据图中图形的面积关系，得到④号正方形的面积和①号三角形的面积的关系，计算出④号正方形的面积和边长． （2）根据图中边长的关系，用含的代数式表达图中平行四边形的周长和等腰梯形的周长，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵③④⑤号图形的面积的和与①号三角形的面积相等，③⑤号三角形的面积和与④号正方形的面积相等， ∴④号正方形的面积①号三角形的面积， ∵①号三角形的面积为：， ∴④号正方形的面积， ∵④号正方形的面积， ∴边长； （2）解：图中平行四边形的周长为：， 图中等腰梯形的周长为：， ∴小曙的发现是正确的，图中等腰直角三角形、平行四边形、等腰梯形的周长相等. 【变式3】（23-24七年级上·浙江温州·阶段检测）如图所示，将正方形①，正方形②，长方形③，长方形④放入长方形中（相邻的长方形、正方形之间无重叠且无间隙）． 已知长方形的宽的长度为；长方形③的宽的长度为；且长方形④的宽的长度是长方形③的宽的长度的两倍． (1)正方形①的边长为___________（用的代数式表示）；正方形②的边长为___________（用的代数式表示）； (2)已知正方形①的周长为8，求长方形的周长． 【答案】(1)， (2)12 【分析】此题考查了整式运算几何背景问题的解决能力，关键是能准确理解图形间的数量关系并能列式表示． （1）由可求得正方形①的边长，由可求得正方形②的边长； （2）先根据图形用含m、n的式子分别表示出、的长度，再表示出长方形的周长，再根据正方形①的周长为8，求出，最后根据代入计算． 【详解】（1）四边形为长方形，的长度为 ， 长方形③的宽， 正方形①的边长， 长方形④的宽的长度是长方形③的宽的长度的两倍， ， 正方形②的边长， 故答案为：，； （2）长方形的长为正方形①的边长正方形②的边长，宽为， ， 长方形的周长， 正方形①的周长为8， ， ， 长方形的周长． ▌题型03 面积问题 【典例3】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图，正方形和正方形的边长分别为a和． (1)用含a的代数式表示直角三角形的面积（直接写出）； (2)请求出阴影部分的面积（结果用含a的代数式表示并要求化简）； (3)求时，阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查列代数式，求代数式的值，整式加减的应用，解题的关键是熟练掌握面积公式的运用． （1）根据三角形的面积公式列式即可； （2）阴影部分的面积=正方形和正方形的面积和直角三角形的面积直角三角形的面积； （3）把代入计算即可． 【详解】（1）解：直角三角形BGF的面积； （2）解：阴影部分的面积正方形和正方形的面积和直角三角形的面积直角三角形的面积 ； （3）解：把代入， 原式． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）有长为米（米）的篱笆，利用它和房屋的一面墙（足够长）围成长方形园子，园子的宽为为4米． (1)若围成的园子如图1所示，求园子的面积（用含l的代数式表示）． (2)若围成的园子如图2所示，在园子的中间用篱笆隔开，并在上面开一道1米宽的门，此时园子的面积与图1中园子的面积相比，是增大还是减小了？增大或减小了多少？ 【答案】(1) (2)减少了 【分析】本题考查列代数式，整式加减的实际应用，正确的列出代数式是解题的关键： （1）求出的长，利用面积公式进行求解即可； （2）求出图2的面积，用图1的面积减去图2的面积进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，米； ∴园子的面积为； （2）解：由题意，米， ∴图2园子的面积为， ∵， ∴园子的面积与图1中园子的面积相比，减少了． 【变式2】（21-22七年级上·浙江杭州·期中）小亮房间窗户的装饰物如图1中的阴影部分，它是由两个四分之一圆组成（半径分别相同），若长方形窗户的长为a，宽为b求（结果保留π）． （1）请用代数式表示房间窗户饰物的面积：　 　； 用代数式表示窗户能射进阳光的面积是 　 　（窗框面积忽略不计）． （2）当a＝2，b＝时，求窗户能射进阳光的面积是多少？ （3）小亮又设计了如图2的窗帘（由四个半圆组成组成，半径相同），请你帮他算一算此时窗户能射进阳光的面积是多少？与图1相比，哪种设计射进阳光的面积更大？说明理由． 【答案】（1）；；（2）；（3）图2中窗户能射进阳光的面积为，与图1相比，图2中射进阳光的部分的面积变大了，大了． 【分析】（1）装饰物的面积就是半径为的圆面积的一半，射进阳光的面积为总面积减去装饰物的面积，由此列式即可； （2）将a＝2，b＝代入（1）中的代数式求值即可； （3）图2装饰物的面积就是半径为的圆面积的2倍，再表示射进阳光部分的面积，比较得出答案． 【详解】解：（1）装饰物的面积：， ∴射进阳光部分的面积：， 故答案为：；； （2）当，时， 射进阳光部分的面积为， 答：窗户能射进阳光的面积是； （3）图2中，装饰物的面积为半径为的圆面积的2倍，即， ∴图2中窗户能射进阳光的面积为， 又∵， 射进阳光的部分的面积变大了，大了． 【点睛】本题考查列代数式、整式的加减以及代数式求值，根据题意列出相应的代数式是解决本题的关键． 【变式3】（22-23七年级上·浙江杭州·期末）如图①，现有三种边长分别为3，2，1的正方形卡片，分别记为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ．还有一个长为a，宽为b的长方形． (1)如图②，将Ⅰ放入长方形中，试用含a，b的代数式表示阴影部分的面积，并求当，时阴影部分的面积． (2)将Ⅰ，Ⅱ两张卡片按图③的方式，放置在长方形中，试用含a，b的代数式表示阴影部分的面积，并求当，时阴影部分的面积． (3)将Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三张卡片按图④的方式，放置在长方形中，求右上角阴影部分与左下角阴影部分周长的差． 【答案】(1)，9 (2)，6 (3)4 【分析】（1）利用长方形的面积减去小正方形的面积即是阴影部分的面积，代入数值求解即可； （2）利用长方形的面积减去小正方形的面积和一个长方形的面积，即可求解，代入数值求解即可； （3）分别求得右上角阴影部分与左下角阴影部分周长，作差即可． 【详解】（1）解： 当，时，； （2）解： 当，时，； （3）解：周长之差为： ． 【点睛】此题考查了列代数式以及代数式求值，解题的关键是理解题意，找到等量之间关系，正确列出代数式． ▌题型04 行程问题 【典例4】（20-21七年级上·浙江杭州·阶段检测）一辆出租车从A地出发，在一条东西走向的街道上往返，每次行驶的路程（记向东为正）记录如下（9＜x＜26，单位：km） 第一次 第二次 第三次 第四次 x 2x 2x﹣3 3（4﹣2x） （1）说出这辆出租车每次行驶的方向； （2）求经过连续4次行驶后，这辆出租车所在的位置； （3）这辆出租车一共行驶了多少路程？ 【答案】（1）第一次向东，第二次向东，第三次向东，第四次向西；（2）向西（x-9）千米；（3）（11x−15）千米 【分析】（1）利用向东为正求解即可； （2）由题意列式x+2x+2x-3+3（4-2x）求解即可； （3）把所行的路程相加即可． 【详解】解：（1）第一次向东，第二次向东，第三次向东，第四次向西；      （2）（千米） ∵ ∴<0 ∴经过连续4次行驶后，这辆出租车所在的位置是向西（）千米； （3）这辆出租车共行驶的路程 （千米） 答：辆出租车一共行驶了（11x−15）千米 【点睛】本题主要考查了整式的加减与正负数的实际应用，解题的关键是正确列出算式． 【变式1】（24-251七年级上·浙江杭州·阶段检测）甲、乙两船分别从A，B码头同时出发相向而行，两船在静水中的速度都是，水流速度是．已知甲船从A码头到B码头顺流而行，用了2h；乙船从B码头到A码头逆流而行，用了小时． (1)A，B两码头相距______；（用含有a，b的式子表示） (2)后甲船比乙船多航行多少千米？（用含有b的式子表示） (3)若两船相距，且时，甲船行驶的时间是多少小时？ 【答案】(1)或 (2)后甲船比乙船多航行千米 (3)甲船行驶的时间是小时或小时 【分析】（1）根据题意，可以用含a、b的代数式表示出甲船或乙船航行的路程，本题得以解决； （2）根据题意，可以用含a、b的代数式表示出甲船比乙船多航行的路程，即可求解； （3）分相遇前，相遇后两种情况求解即可． 【详解】（1）根据题意得，A，B两码头相距或， （2）根据题意得， ， ∴后甲船比乙船多航行千米； （3）∵， ∴， ∴时，， ∴甲船从A码头到B码头顺流而行的速度为， 乙船从B码头到A码头逆流而行的速度为， A，B两码头相距， ①相遇前两船相距，由题意得： （小时）； 相遇后两船相距，由题意得： （小时）； 答：甲船行驶的时间是小时或小时． 【点睛】此题考查了列代数式，一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到等量关系． 【变式2】（23-24七年级上·浙江温州·期中）实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量两个相邻可视观测点的相对高度，然后用这些相对高度，计算出山的高度．一架无人机在测量中记录了部分数据如表所示（用表示观测点A相对于观测点B的高度，如：900米即A的海拔减去B的海拔为900米）． 900米 500米 米 500米 a米 根据测量数据，回答下列问题： (1) ： 米； (2)用含a的代数式表示的值； (3)该无人机在观测点H处竖直向上起飞，飞行的速度为5米/秒．若恰巧1分钟后，测得无人机与观测点D的高度差为100米，求a的值． 【答案】(1)1400 (2)的值为米 (3)或 【分析】本题考查列代数式及代数式求值，整式的加减运算，解一元一次方程，解答此题的关键是读懂题意，正确表示两地之间的高度差． （1）由表中数据可知：米，米，然后转化为算式，通过变形得出的关系即可； （2）由表中数据可知：米，米，然后转化为算式，通过变形得出的关系即可； （3）由题意可知无人机比观测点高，即米，由（2）可知米，进而可得米，由“无人机与观测点的高度差为100米”，可得或，求解即可． 【详解】（1）解：由表中数据可知：米，米， 则：米， 故答案为：1400； （2）由表中数据可知：米，米， 则：米， 即：的值为米； （3）∵该无人机在观测点处竖直向上起飞，飞行的速度为5米/秒． 则1分钟后，米， 由（2）可知米， ∴米， ∵无人机与观测点的高度差为100米， ∴或， ∴或． 【变式3】（23-24七年级上·浙江温州·期中）科技改变生活．小王是一名摄影爱好者，他最近新买入了一台无人机进行航拍，小王将无人机放在距离地面米的台面上，以a米/秒的速度匀速上升秒后进行拍照，然后以米秒的速度匀速下降秒后进行第二次拍照． (1)用含的式子表示无人机第二次拍照时距地面的高度； (2)当时，求无人机完成第二次拍摄后，仍以米秒的速度匀速落回台面所用的时间． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，整式加减的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）通过初始高度、上升距离和下降距离列代数式表示高度； （）先代入值计算第二次拍照时的高度，再求从该高度下降回台面的时间． 【详解】（1）解：无人机第二次拍照时距地面的高度为初始高度加上升距离减下降距离初始高度为， ∴上升距离为，下降距离为， 因此高度为 ， ∴无人机第二次拍照时距地面的高度为； （2）解：当时，第二次拍照时的高度为 ∴台面高度为下降距离为， ∵下降速度为， 下降时间为， 所以落回台面所用的时间为． ▌题型05 数字问题 【典例5】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）将一些数字填入如图幻方中，使每个三角形的三个顶点上的数字之和相等，则的值是（   ）  ． A．6 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式加减的应用． 根据题意得到，，求得，，据此计算即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴，， ∴，即， 故选：D． 【变式1】（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）小明和小红玩猜数字游戏，小明说：“你随便选定三个一位数，按下列步骤进行计算：①把第一个数乘以2，②加上5，③把所得的和乘以5，加上第二个数字，再把所得的和乘以10，⑥再加上第三个数字，只要你告诉我最后的得数，我就知道你所选的三个一位数．”若小红告诉小明最后得到的结果是846，则小红所报的第2个数是（　　） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查的是列代数式和整式的运算．设这三个数分别是a、b、c，再根据题意列式，把所得的式子化简即可． 【详解】解：设这三个数为a、b、c， 依题意得 整理得：， 减去250后，百位是a（第1个数），十位是b（第2个数），个位是c（第3个数）， 因为， 所以第1个数是5，第2个数9，第3个数是6， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）数学课上，老师让同学们任意写一个三位数，然后把它的个位数字与百位数字对调，计算对调后的三位数与原三位数的差．有四位同学给出下列四个计算结果，其中正确的是（   ） A．891 B．694 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了整式的加减法计算，设这个三位数为，然后把它的个位数字与百位数字对调，变为，且a、b、c为1至9的整数，即可得：，且，据此即可作答． 【详解】解：设这个三位数为，然后把它的个位数字与百位数字对调，变为，且a、b、c为1至9的整数， ∴，， ∴， ∵a、b、c为1至9的整数， ∴， 又∵，，，， ∴符合要求， 即正确的是D， 故选：D． 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知是个位数字不为零的两位数，将的个位数字与十位数字互换后，得到另一个与之不同的两位数，若恰好是某个整数的平方，则这样的数共有（   ） A．3个 B．5个 C．8个 D．13个 【答案】D 【分析】设两位数，则，则都为正整数，，，那么得到，因为c是某整数，而且是9的倍数，进一步得到或或，然后再分类讨论，列式计算，即可作答．此题主要考查了整式的加减应用，列代数式，有理数的混合运算，难度比较大，要求学生有比较好的分析问题和解决问题的能力才能熟练地解决题目的问题． 【详解】解：依题意，设两位数， 则， 则都为正整数，，， 则， 又∵c是某整数，而且是9的倍数， ∴是正整数， ∴或或， 当时，则 此时对应的两位数分别为，一共8个； 当时，则 此时对应的两位数分别为，一共5个； 当时，结合，， 则无解， ∴（个）， 综上这样的数共有个， 故选：D． ▌题型06 整除问题 【典例6】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）综合与实践 【问题背景】小马同学探索被5整除的数的规律，她查到了如下材料． (1)材料1：一个两位数，若十位数字是a，个位数字是b，则它记为，． 材料2：设是一个三位数，．显然能被5整除，若_____（写出一个即可），b也能被5整除，则这个三位数能被5整除． (2)【实践应用】设是一个三位数，若能被3整除，则这个三位数能被3整除．理由如下：因为①_____， 因为（②_____），且②是整数，所以①能被3整除， 又因为能被3整除，所以这个三位数能被3整除． 请你写出①，②表示的代数式， (3)【拓展延伸】设是一个四位数，若能被9整除，则这个四位数能被9整除．请模仿（2）说明理由． 【答案】(1)0或5（填写一个即可） (2)①；② (3) 解： ． 显然能被9整除， 因此，如果可以被9整除，那么就能被9整除． 【分析】本题主要考查了整式加减混合运算，熟练掌握整式加减混合运算是解题的关键． （1）根据整除定义进行解答即可； （2）根据整式加减法则，进行填空即可； （3）仿照（2）中的证明方法，进行作答即可． 【详解】（1）解：∵，且b为整数， ∴当或5时，b能被5整除； （2）解： 显然能被3整除， 因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除． （3）略 【变式1】（25-26七年级上·浙江温州·期末）综合与探究 【阅读材料】 一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被9整除，那么这个自然数就能被9整除．比如： 若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，通常记这个两位数为． 即． 因为和都能被9整除， 所以就能被9整除， 所以能被9整除． 【应用拓展】 (1)请参考以上阅读材料说明理由：设是一个三位数，若能被9整除，则就能被9整除． (2)若能被9整除时，也能被9整除，则的值为___________． 【答案】(1) 证明：∵ ∴ ∵能被9整除，能被9整除，且能被9整除 ∴能被9整除 ∴能被9整除； (2)2 【分析】本题考查了数的整除，整式的加减计算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）参考阅读材料的思路，将三位数表示为含9的倍数与各数位数字和的形式，依据整除的性质完成证明； （2）先根据能被9整除的条件确定m的值，再利用三位数能被9整除的数字和性质求出n的值 ． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴ ∵能被9整除，能被9整除 ∴能被9整除 ∵m是两位数的十位数字，m为1到9的自然数 ∴ 解得 ∵，且能被9整除 ∴能被9整除 ∵n是0到9的自然数 ∴ 解得 答：n的值为2． 【变式2】（23-24七年级上·浙江衢州·期末）【阅读材料】用“割尾法”判断一个三位数能否被7整除 方法：三位数割掉末位数字得两位数，再用减去的2倍所得的差为．若是7的倍数，则能被7整除． 举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，，因为28是7的倍数，所以364能被7整除． 【类比解决】尝试用“割尾法”判断455能否被7整除． 【推理验证】已知三位数． （1）请用含，，的代数式表示和“割尾法”后所得的差． （2）现在对材料中的判断方法“若是7的倍数，则能被7整除”进行验证，下面是思路分析． 分析：要证被7整除，需把表示成7的倍数． 已知①． 因为是7的倍数，可设（1）中的代数式（为整数）②． 只需把②式变形代入①式即可． 请根据上述分析写出推理过程． 【答案】 类比解决：能，理由如下： 对于三位数455，割掉末位数字5得45，，因为35是7的倍数，所以455能被7整除． 推理验证：（1）； （2）解：设， ∴， ∴， ∴能被7整除． 【分析】本题考查了用列代数式，整式的加减，准确理解题意是解题的关键． 类比解决：根据题干举例进行解答即可； （1）根据题意表示出，，求解即可； （2）先设，将表示成即可证明． 【详解】类比解决：略 （1）∵，， ∴； （2）略 【变式3】（22-23七年级上·浙江衢州·期末）【原题重现】作业本“第4章代数式”中有这样一道题：一个两位数，它的十位数字是x，个位数字是y．若把十位数字与个位数字对调，请分别计算新数与原数的和与差，并回答 【方法回顾】解：因为（逆用分配律），所以能被11整除， 【解决问题】 （1）请解答：新数与原数的差能被11整除吗？ 【类比推理】 （2）对于一个三位数，对调百位与个位上的数字，得到一个新的三位数．请计算新数与原数的差被11和3整除吗？ 【答案】（1）新数与原数的差不能被11整除；（2）能被3和11这两个质数整除 【分析】此题考查了整式的加减，关键是根据题意正确列式计算． （1）根据题目中的解题方法，算出新数与原数的差，即可得到结论； （2）分别表示出新三位数和原三位数，利用整式的加减计算出结果，再根据因数来进行解答即可． 【详解】解：（1） ＝ ， 所以新数与原数的差不能被11整除． （2） ， ∵， ∴能被3和11这两个质数整除． ▌题型07 日历问题 【典例7】（21-22七年级上·浙江湖州·阶段检测）如图是某月份的日历，那么日历中同一竖列相邻三个数的和不可能是（　　） A．39 B．51 C．53 D．60 【答案】C 【分析】设中间的数为，日历中同一竖列相邻三个数分别为 ，进而求得三个数的和为，由为整数可知三个数的和为3的倍数，据此求解即可 【详解】设中间的数为，日历中同一竖列相邻三个数分别为 三个数的和为，即为3的倍数，4个选项中只有53不是3的倍数， 故选C 【点睛】本题考查了列代数式，整式的加减的应用，求得三个数的和是3的倍数是解题的关键． 【变式1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图是2025年1月份的日历，“横3”和“竖3”两个阴影图形分别覆盖其中3个数字（两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“横3”覆盖的数字之和为，“竖3”覆盖的数字之和为，若，则的最小值为_____． 【答案】51 【分析】本题考查了数字类规律探索，整式的加减的应用，设“横3”中间数为，“竖3”中间数为，求出,，根据，得出，根据日历得出y的最小值为8，即可得出x的最小值为，然后求出结果即可． 【详解】解：设“横3”中间数为，“竖3”中间数为， 由题意得：, ， ∴， ∴， ∴x、y为同一横行上，相邻的两个数， ∵， ∴当最小时，最小， 根据图可知，y的最小值为8， ∴x的最小值为， ∴的最小值为， ∴的最大值为． 故答案为：51． 【变式2】（25-26七年级上·浙江台州·期末）在下图的2026年1月的月历表中，用“十”字形框框住了五个日期，“十”字形框可上下左右移动，设移动后“十”字形框中正中央的日期为． 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)求移动后“十”字形框框住的五个日期之和（用含的代数式表示）； (2)移动“十”字形框，被框住的五个日期之和可能等于85吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：移动“十”字形框，被框住的五个日期之和不可能等于85，理由如下： 当时，解得， 观察2026年1月的月历表，17位于最右侧列，其右侧没有对应的日期， ∴移动“十”字形框，被框住的五个日期之和不可能等于85． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，整式加减的应用，正确理解题意和熟知月历的特点是解题的关键． （1）根据月历的特点表示出其他四个日期，再求和即可得到答案； （2）令（1）中所求的代数式的值为85，解方程求出x的值，看是否符合月历的特点即可得到结论． 【详解】（1）解：设移动后“十”字形框中正中央的日期为，则其他四个日期分别为， ∴移动后“十”字形框框住的五个日期之和为； （2）略 【变式3】（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图1是2025年3月份的月历，用图2所示的“九方格”在图1中框住9个日期，并把其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为a，b，c，d（特别说明：去括号的依据是乘法分配律，比如：． (1)“九方格”中空白的五个日期之和m与正中心的日期θ的关系是 ． (2) ， ， （用含a的代数式分别表示）． (3)当图2在图1的不同位置时，代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值， 【分析】本题考查月历中日期的规律及整式的化简求值，解题的关键是利用月历中日期的排列规律（横向相邻差1，纵向相邻差7）分析数量关系． （1）根据九方格中正中心的日期θ，推导空白日期和与正中心日期的关系； （2）利用月历日期的横向、纵向差，用表示、、； （3）将、、代入代数式，化简判断是否为定值． 【详解】（1）解：九方格中，正中心日期为，月历中，横向相邻日期差1，纵向相邻日期差7， 空白日期， 故答案为：； （2）解：月历中，横向相邻日期差1，纵向相邻日期差7， 由的位置，可得：（向下两排，）， （向右两列）， ， 故答案为：； （3）解：是定值，， 将、、代入代数式： ． 故代数式的值为定值． ▌题型08 幻方问题 【典例8】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等．如图是一个未完成的幻方，用来表示不大于x的最大整数，如，那么（    ） A．9 B．16 C．27 D．64 【答案】B 【分析】设第二行第二个空格中的数为，第一行第二个空格的数为b，可得每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和为，由左上角的数m和中间数a，得出右下角的数，再由最右侧一列可得右上角的数，最后由第一行可以列方程求出m，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】设第二行第二个空格中的数为，第一行第二个空格的数为b， 则每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和为， 由左上角的数m和中间数a，得出右下角的数是， 由最右侧一列可得右上角的数是， 由第一行可以列式为， 解得， ，， ． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中．在如图所示的“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，熟练掌握整式加减是解题的关键，根据题意得到，，从而得到，，代入即可得到答案． 【详解】解：∵每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式2】（2026·浙江绍兴·二模）【主题】研究幻方 【背景】幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（图1），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个三阶幻方．        【实践】小嵊和小州课后研究起了幻方，发现只要满足三阶幻方特征填入的任意9个数，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍． 小嵊给出了数学证明： 如图2，设这9个数依次为，，，，，，，，， 因为每行，每列，每条对角线的三个数字之和都相等，所以把每行，每列，每条对角线的三个数字之和都记为， 则第二行：①， 第二列：②， 对角线分别：③，④， 将①＋②＋③＋④，得： 所以，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍． (1)请完成“”中小嵊未显示的推理过程． (2)利用上述结论，小州继续探索：如图3，仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，求其中，，之间的关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）将、、整体代入化简即可解答； （2）设中间格的值为，利用（1）结论，则每行，每列，每条对角线的和为，据此补全幻方，并根据其定义解答即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，   ∴． （2）解：设中间格的值为，利用（1）结论，则每行，每列，每条对角线的和为，则有： ∴，即． 【变式3】（21-22七年级上·浙江绍兴·期末）期末复习过程中，七（1）班的张老师设计了一个数学问题，涉及本册中多个知识点和多种数学思想，请聪明的你来解答一下吧． (1)若一个数x的立方等于，请求出x的值． (2)请利用整体思想和方程思想进行解题． ①若（1）中的x的值也是关于x的一元一次方的解，那么关于y的一元一次方程的解为y= ． ②在如图所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将①中的x，y填入如图所示的位置，则的值为多少？ (3)在（2）的条件下，在数轴上标注x，y所表示的数的对应点，分别记作A，B，已知P点从A点出发，以1个单位每秒的速度向B点运动，Q点从B点出发，以4个单位每秒的速度在A、B两点之间做往返运动，P、Q两点同时开始运动，当Q点第一次返回到B点时，两点同时停止运动，若记数轴的原点为O，则P点运动几秒后？ 【答案】(1)x的值为-2 (2)①6；②(a-b)+(d-c)的值为16 (3)当P点运动1秒或秒或秒或3秒时，OQ=2OP． 【分析】（1）利用立方根的意义即可求解； （2）①代入相关数据解一元一次方程即可求解； ②根据题意列出代数式，利用整式的加减运算即可求解； （3）分四种情况，分别列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵一个数x的立方等于，即， ∴x=-2； ∴x的值为-2； （2）①∵x=-2是关于x的一元次方程的解， 即， 解得：p=6； 解方程得：y=6； 故答案为：6； ②∵x=-2，y=6， ∴中间正方形四个顶点上的数字之和为m+n+6-2=m+n+4， 根据题意得：d+n-2= m+n+4，即d=m+6， c+n+6= m+n+4，即c=m-2，b+m+6= m+n+4，即b=n-2， a+m-2= m+n+4，即a=n+6， ∴(a-b)+(d-c)=8+8=16， ∴(a-b)+(d-c)的值为16； （3）解：∵x=-2，y=6，P点表示的数为(t-2)， 当点Q在线段OB上，即t1.5时， Q点表示的数为(6-4t)，则OP=2-t，OQ=6-4t， 依题意得：6-4t=2(2-t)， 解得：t=1； 当点P、Q都在线段OA上，即1.5<t2时， Q点表示的数为(6-4t)，则OP=2-t，OQ=4t-6， 依题意得：4t-6=2(2-t)， 解得：t=； 当点Q在线段OA上，点P在线段OB上，即2<t2.5时， Q点表示的数为(4t-10)，则OP=t-2，OQ=10-4t， 依题意得：10-4t=2(t-2)， 解得：t=； 当点P、Q都在线段OB上，即2.5<t4时， Q点表示的数为(4t-10)，则OP=t-2，OQ=4t-10， 依题意得：4t-10=2(t-2)， 解得：t=3； 综上，当P点运动1秒或秒或秒或3秒时，OQ=2OP． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，立方根的性质，整式加减的应用，数轴上两点之间的距离，理解题意并灵活运用是本题的关键． ▌题型09 方案选择问题 【典例9】（23-24七年级上·浙江温州·期中）某商场开展春节促销活动出售A、B两种商品，活动方案如下： 方案一： A商品每件进价80元，售价100元；B商品每件进价100元，售价130元 方案二： 所购商品一律按进价加价销售 (1)某单位购买A商品20件，B商品10件，选择哪种方案划算？能便宜多少钱？ (2)某单位购买A商品件（为正整数），购买B商品的件数是A商品件数的3倍多5件，该单位选择哪种方案更合算？请说明理由． 【答案】(1)方案二划算，便宜180元 (2) 购买A商品件，B商品件，两种方案所需费用如下： 方案一：； 方案二：； 作差比较：； 因x为正整数，， 所以， 故方案二更合算． 【分析】本题考查整式加减的应用，有理数混合运算的应用： （1）分别计算出两种方案所需费用，选择费用低的方案即可； （2）用含x的代数式表示出两种方案所需费用，作差即可． 【详解】（1）解：两种方案所需费用如下： 方案一：（元）； 方案二： （元）， ， 方案二划算，便宜（元）． （2）略 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图，是某公寓的平面示意图．公寓的主人计划对该公寓的地面进行装修． (1)用含的代数式表示地面的总面积； (2)现有以下两种地面铺设方案． 方案一：卧室和客厅铺木地板，卫生间和厨房铺瓷砖； 方案二：全屋通铺瓷砖． 地面铺设的收费标准为：木地板120元/，瓷砖80元/，求两种方案的费用差． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，整式的加减法， 对于（1），分别求出卧室，卫生间，厨房，客厅，再求出和； 对于（2），先求出两种方案的各自费用，再作差即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 ； （2）解：方案一：（元）； 方案二：（元）， 则（元）， 所以两种方案的费用差为元． 【变式2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）七（1）班计划在培植园利用一面墙（墙足够长），用a米长的篱笆围成一个长方形的菜地，并开两个1米宽的小门．同学们设计了两个方案： 方案一：如图1，左右两边分别用长的篱笆，在平行于墙的一边开两个小门，面积记为． 方案二：如图2，在左右两边分别开一个小门，其余仍用篱笆围成，面积记为． （注：两个方案中篱笆的长足够围成长方形） (1)①图1中边的长度为___________米，②图2中边的长度为___________米（用含a的代数式表示） (2)试判断的值与的取值是否有关系，说明理由． 【答案】(1)， (2) 无关，理由如下： 由（1）知， ，， 则， ∴的值与无关． 【分析】本题主要考查了列代数式，整式的加减，能根据题意分别表示出两种方式的面积是解题的关键． （1）①根据题意，则可用含的代数式表示出长即可；②根据题意用含的代数式表示出长即可； （2）用长方形面积公式计算出，即可计算出的值． 【详解】（1）解：①由题知，的长为：， 故答案为：； ②由题知，的长为：， 故答案为：； （2）略 【变式3】（25-26七年级上·浙江台州·期中）超市某品牌的洗衣液一组定价200元（10袋为一组），一袋定价20元．双十一期间进行促销，活动期间向客户提供两种优惠方案，方案一：买一组该品牌洗衣液送一袋洗衣液；方案二：洗衣液按照定价的九五折付款；某公司要采购洗衣液30组，x袋． (1)若客户按方案一，需要付款______元；若客户按方案二，需要付款______元．（用含x的代数式表示） (2)若，试通过计算说明此时哪种购买方案比较合适． (3)当，能否找到一种更为省钱的方案，如果能，写出你的方案，并计算出此方案应付钱数；如果不能，说明理由． 【答案】(1)； (2)方案一更合适，理由如下： 当时， 方案一：（元）， 方案二：（元）， 因为，所以方案一更合适； (3)能，6190元，理由如下： 可以有更合适的购买方式． 按方案一购买30组洗衣液和30袋洗衣液，需要（元）， 按方案二购买剩余10袋洗衣液，需要（元）， 共计（元）． 答：此方案应付钱数为6190元 【分析】本题考查了列代数式、代数式求值和整式加减的应用，得到两种优惠方案付费的关系式是解答本题的关键． （1）由题意分别求出两种方案购买的费用即可； （2）将分别代入（1）中所求的代数式，再比较哪个更优惠即可； （3）两种方案一起购买，按方案一购买30套洗衣液和30袋洗衣液，按方案二购买剩余10袋洗衣液，依此计算即可求解． 【详解】（1）解：客户按方案一，需要付款元； 若客户按方案二，需要付款元； 故答案为：；． （2）解：略； （3）解：略． 【变式4】（22-23七年级上·浙江宁波·期中）某服装厂生产一种西装和领带，每套西装的定价为 500元，每条领带的定价为 60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： ①买一套西装送一条领带； ②西装和领带都按定价的 90%付款． 现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带x条． (1)若该客户按方案①购买，则需付款 元（用含 x 的代数式表示）； 若该客户按方案②购买，则需付款 元（用含 x 的代数式表示）； (2)若 ，则通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算． 【答案】(1)； (2)方案② 【分析】（1）根据买一套西装送一条领带，以及西装和领带都按定价的90%付款列出算式即可； （2）把代入（1）中的代数式，求出结果后比较即可； 【详解】（1）解：方案①需付款： 元； 方案②需付款： 元； （2）当时，方案①：（元） 方案②：（元） ∵， ∴选择方案②购买较为合算． 【点睛】此题考查列代数式，求解代数式的值，整式的加减运算的应用，理解方案中买一套西装送一条领带是解题关键． ▌题型10 分段计费问题 【典例10】（25-26七年级上·浙江金华·期末）【提出问题】 为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”．根据以下素材，探索小明家水费与用水量情况． 下表是“阶梯收费”标准，其中水费=自来水费+污水处理费，每月水费以整数立方米水量计费． 收费标准 年用水量 水费（元） 自来水费（元） 污水处理费（元） 第一阶梯 不超过 2.6 1.65 0.95 第二阶梯 超过但不超过的部分 3.95 3.0 第三阶梯 超过的部分 7.8 6.85 【理解问题】 若1月至11月累计用水量为，12月用水量为，则12月水费为（元）． 【解决问题】 任务1：已知2025年11月用水量在第一阶梯，且水费为65元，求11月污水处理费多少元? 任务2：2025年12月用水量，若第一阶梯用水量比第二阶梯少，用的代数式表示12月水费． 任务3：2025年12月水费70.9元，用水量，求小明家2025年全年水费多少元? 【答案】任务1：23.75元 任务2：当时，水费为元；当时，水费为元 任务3：679.3元 【分析】本题考查了有理数的混合运算，列代数式，一元一次方程的应用． 任务1：利用第一阶梯水费单价求出11月用水量，再结合污水处理费单价计算污水处理费． 任务2：根据“第一阶梯用水量比第二阶梯少”的条件，分12月用水量仅跨第一、第二阶梯和跨三个阶梯两种情况，分别推导水费的代数式． 任务3：通过设未知数列方程求出12月中第一阶梯用水量，进而得到前11个月累计用水量，再计算全年水费． 【详解】任务1：解：已知11月用水量在第一阶梯，水费单价为2.6元．11月用水量为． 11月污水处理费为（元）． 答：11月污水处理费为23.75元． 任务2：解：设12月用水量中第一阶梯部分为，第二阶梯部分为．由题意得． 情况一：12月用水量仅跨越第一、第二阶梯，即且． 将代入，得，． 由得， 由得， 解得． 此时12月水费为元，其中 ． 情况二：12月用水量跨越第一、第二、第三阶梯，即． 则， 第三阶梯部分为（）． 此时12月水费为 元，其中． 任务3：解：设12月用水量中第一阶梯部分为，则第二阶梯部分为． 根据题意列方程． 去括号得． 移项合并同类项得． 解得．前11个月累计年用水量为． 前11个月水费为（元）． 全年水费为（元）． 答：小明家2025年全年水费为元． 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）某市居民用电电费目前实行梯度价格表． 每月用电量 单价 不超出180千瓦时的部分 0.5元/千瓦时 超出180千瓦时不超出400千瓦时的部分 0.6元/千瓦时 超出400千瓦时的部分 0.8元/千瓦时 (1)若月用电140千瓦时，应交电费_________元，若月用电240千瓦时，应交电费________元； (2)若居民王大爷家12月用电量为千瓦（），请计算他们家12月应缴电费_________元（用含的代数式表示）； (3)若居民李大爷家11、12月份共用电380千瓦时（其中11月份用电量少于12月份），设11月用电千瓦时（），求李大爷11、12月共交电费多少元？（用含的代数式表示，并化简） 【答案】(1)， (2) (3)11、12月共交电费元． 【分析】本题主要考查了整式加减的实际应用，列代数式及有理数乘法的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出题中等量关系以及不同情况下的收费标准，进行分类讨论． （1）根据表格可知，用电140千瓦时，按照单价元/千瓦时收费，即可求解；月用电240千瓦时，超过了180千瓦时，前面180千瓦时按照元/千瓦时收费，超过部分按照元/千瓦时收费，即可求解； （2）按照收费标准，列出代数式即可； （3）设11月用电a千瓦时，则12月用电千瓦时，根据，得到，再根据单价列式即可． 【详解】（1）解：月用电140千瓦时，应交电费：（元）， 月用电240千瓦时，应交电费：（元）； （2）解：∵王大爷家12月份用电量超过了400千瓦时， ∴王大爷家12月份应缴电费为： 元， 则他们家12月应缴电费为元； （3）解：设11月用电a千瓦时，则12月用电千瓦时， ∵， ∴， ∴11、12月共交电费为：元． 【变式2】（21-22七年级上·浙江宁波·期末）一家电信公司推出两种移动电话计费方法，如下表所示： 计费方法A 计费方法B 每月基本服务费（元/月） 58元 88元 每月免费通话时间（分） 150分 350分 超出后每分钟收费（元/分） 0.25元 0.20元 (1)若月通话时间是3小时，则使用计费方法A的用户话费为_______元，使用计费方法B的用户话费为_______元； (2)若月通话时间是x分钟（x>350），则按A、B两种计费方法的用户话费分别是多少？（用含x的代数式表示） (3)当通话时间为多长时，按A、B两种计费方法所需的用户话费相等？ 【答案】(1)65.5；88 (2)按计费方法A的用户话费为（0.25x+20.5）元，按计费方法B的用户话费为（0.2x+18）元； (3)270分钟 【分析】（1）利用使用计费方法A的用户话费=58+0.25×超过150分的时间，可求出使用计费方法A的用户话费；由3小时=180分<350分，可得出使用计费方法B的用户话费为88元； （2）利用按计费方法A的用户话费=58+0.25×超过150分的时间，即可用含x的代数式表示出按计费方法A的用户话费；利用按计费方法B的用户话费=88+0.2×超过350分的时间，即可用含x的代数式表示出按计费方法B的用户话费； （3）设当通话时间为y分钟时，然后分150<y≤350及y>350两种情况考虑，根据按A、B两种计费方法所需的用户话费相等，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：依题意得：使用计费方法A的用户话费为58+0.25×（60×3-150）=65.5元， 3小时=180分<350分，所以使用计费方法B的用户话费为88元． 故答案为：65.5；88 （2）解：依题意得：按计费方法A的用户话费为58+0.25（x-150）=（0.25x+20.5）元， 按计费方法B的用户话费为88+0.2（x-350）=（0.2x+18）元； （3）解：设当通话时间为y分钟时，按A、B两种计费方法所需的用户话费相等．若150<y≤350， 58+0.25（y-150）=88，解得：y=270； 若y>350， 0.25x+20.5=0.2x+18，解得：y=-50（不合题意，舍去）． 答：当通话时间为270分钟时，按A、B两种计费方法所需的用户话费相等． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各数量；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $