第三章 整式及其加减（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材北师大版七年级上册

**基本信息** 本卷为七年级上册整式及其加减单元强化卷，融合多地期中期末真题，通过基础运算、情境应用及新定义题型，全面考查同类项、整式化简、代数式求值等核心知识，适配单元复习，提升抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|同类项判断、整式加减（如多项式求和）|结合数轴化简（题4），考查几何直观| |填空题|6/18|新运算定义（题13）、代数式求值（题15数字游戏）|设计五张卡片求和问题，培养数据意识| |解答题|9/72|化简求值（题18）、实际应用（题23劳动基地管道设计）|项目式学习题（题23）融合预算计算，体现应用意识；新定义阅读题（题25）强化推理能力|

第三章 整式及其加减（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）若与是同类项，则（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）一个多项式与的和是，则这个多项式为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·河南郑州·期中）下列关于单项式和多项式的说法中，正确的是（     ） A．单项式的系数是，次数是4 B．单项式的次数是1，没有系数 C．多项式 是二次三项式 D．与是同类项 4．（25-26七年级下·四川绵阳·开学考试）有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则化简的结果为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·河北石家庄·开学考试）如果关于x的多项式中不含项，则k的值为（   ） A．0 B．3 C． D．3或 6．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，这是一个对于正整数x的循环迭代的计算程序．根据该程序指令，若第一次输入x的值是5时，那么第一次输出的值是16；把第一次输出的值再次输入，那么第二次输出的值是4；重复这个过程，则第2026次输出的值是（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 7．（25-26七年级下·湖南湘西·期中）当时，代数式的值是2005，则当时，代数式的值为（     ） A．2002 B．1999 C． D． 8．（25-26七年级下·浙江绍兴·期末）如图，将一张长方形纸片分割成六个互不重叠的小长方形（长方形，长方形，长方形，长方形，长方形，长方形），若已知长方形的面积，则要得到阴影部分的面积，还需知道下列哪个图形的面积（     ） A．长方形 B．长方形 C．长方形 D．长方形 9．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）已知有理数，我们把称为的“差倒数”，如：2的“差倒数”是，的“差倒数”是．若，是的“差倒数”，是的“差倒数”，是的“差倒数”，…，依此类推，则的值是(     ) A． B． C．4 D． 10．（25-26七年级下·重庆大渡口·期末）对五个正整数a，b，c，d，e，其中a，b，c是三个连续偶数且，同时d，e是两个连续奇数且，令，那么以下结论正确的个数为（     ） ①当时，这五个正整数可以是2，4，6，5，7； ②无论a，d取何值，一定能被4整除； ③一共有6种不同的取值组合使得F的值小于30． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）单项式的次数是________． 12．（25-26七年级下·内蒙古乌海·开学考试）已知一个多项式与的和等于，则此多项式是_______． 13．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）规定“*”表示一种新运算，且．则________． 14．（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知 ， ，则 _____________． 15．（25-26七年级下·福建南平·期末）某同学设计了一个数字游戏，他准备了50张相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，…，49，50．游戏规则如下：①将卡片顺序打乱后参与者从中随机抽取五张卡片，正面向下放置，按顺序依次记为A，B，C，D，E（如图）．②该同学依次将相邻两张卡片上数字的和告诉参与者，然后由参与者判断这五张卡片中哪一张卡片上的数字最大． 某位参与者抽到的五张卡片，其相邻两数之和如下表所示， 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 67 50 62 44 55 根据以上信息，参与者猜出这五张卡片上数字最大的那张卡片_______．（填A，B，C，D，E） 16．（25-26七年级下·安徽宣城·期末），， （1）_________， （2）_________． 三、解答题（本题共9小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）化简 (1) (2) 18．（6分）（25-26七年级上·辽宁大连·期末）先化简，再求值：，其中，． 19．（6分）（25-26七年级下·广东清远·期末）如图，在一个边长为的正方形的四个角处都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化． (1)如果小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为，请用含的代数式表示． (2)当小正方形的边长为时，求出此时阴影部分的面积． (3)当小正方形的边长由变化到时，阴影部分的面积发生了怎样的变化？ 20．（6分）（25-26七年级上·山东济南·期中）按要求解答 (1)已知： 计算 ； 若和时（1）中式子的值相等，求的值． (2)已知：有理数，，在数轴上的位置如图所示，且． 若， ，的相反数是，求，，的值； 化简： ． 21．（8分）（25-26七年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 如图是年月份的日历，乐乐在其中画出一个的方框（阴影框），框住九个数，计算其中如图所示位置的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图中的结果为 ． 将的方框移动到图的其他位置，通过计算可以发现的值为 ． (2)数学思考：乐乐认为（1）中的猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则， ， ． 所以，的值为 ． (3)迁移应用：某天，乐乐不小心将日历表撕掉了一块，使得某个方框中的日期看不到了，但他记得在探究过程中方框中，请你类比（2）中探究思路帮乐乐求出的值． 22．（8分）（25-26七年级下·安徽安庆·期末）“整体思想”是初中数学一种重要的思想方法，它在代数中应用较为广泛．如已知，求的值．根据已知条件我们虽无法直接求出a与b的值，但可以将看作一个整体，其值即为2，而，将整体代入，即可求得． (1)已知，则______； (2)若，求的值； (3)设多项式，，，若的结果与x的取值无关，求的值． 23．（10分）（25-26七年级下·广东茂名·期末）项目式学习 【项目背景】为培养学生劳动技能，学校规划了一块长方形劳动实践基地，用于种植蔬菜．现需设计一套灌溉系统． 【任务规划】基地长为a米，宽为b米．计划沿基地两条长边铺设主输水管道，沿宽边等间距地安装若干条支管道，每条支管道负责灌溉一个矩形区域． 【数学抽象】如图，将基地抽象成长方形，，．在和边上铺设主管道．从边开始（不用安装），每间隔d米安装一条与平行的支管道（d为正整数），直到边，恰好将基地完全覆盖． 【解决问题】 (1)请用含a，b，d的代数式表示需要的支管道总条数n． (2)已知，，．求n的值，并计算所有支管道的总长度． (3)预算主管道每米成本元，支管道每米成本元，每条支管道两端需安装固定装置（每个装置成本5元）（固定装置成本仅与支管道条数有关）．总预算为C元， ①请推导C与a，b，d的数量关系式． ②当，，总预算元时，探究支管道间距d是否可以是2？通过计算说明理由． 24．（10分）（26-27七年级·全国·小升初衔接）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离． (1)在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，则点与点之间的距离______． (2)如果点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，点与点之间的距离为，那么_______． (3)若，则的最小值为，此时正整数的值为________． 【关联运用】 (4)点、、是数轴上的三个点，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请问的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 25．（12分）（25-26七年级上·河南南阳·期末）新定义型阅读理解题 【知识背景】 定义1：一个关于，的多项式，如果把其中，互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于，的二元对称多项式．如，都是关于，的二元对称多项式． 定义2：若多项式组（，，是关于，的整式)中的三个整式满足两个条件： ①多项式是二元对称多项式； ②整式，通过加减运算后可得到整式，我们把这样的多项式组称为“二元对称关联式”． 【知识应用】 (1)请你写出一个满足下列条件的二元对称多项式：①它是关于，的三次四项式；②它不能合并同类项；③按照的降幂排列． (2)判断①，②能否成为“二元对称关联式”，说明理由． (3)若是“二元对称关联式”，写出所有符合条件的多项式A． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 整式及其加减（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）若与是同类项，则（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据同类项的定义求出，，代入即可求出答案． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， 解得， ∴． 2．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）一个多项式与的和是，则这个多项式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得 ， ∴这个多项式为． 3．（25-26七年级上·河南郑州·期中）下列关于单项式和多项式的说法中，正确的是（     ） A．单项式的系数是，次数是4 B．单项式的次数是1，没有系数 C．多项式 是二次三项式 D．与是同类项 【答案】C 【详解】解：A、单项式的系数是，次数是，原说法错误； B、单项式的系数是，次数是，原说法错误； C、多项式的最高次项次数为，共个项，是二次三项式，说法正确； D、与的相同字母指数不对应相等，不是同类项，原说法错误． 4．（25-26七年级下·四川绵阳·开学考试）有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则化简的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴判断 a，b，c 的正负性及绝对值内代数式的符号，去绝对值后合并同类项即可． 【详解】解：由数轴，得 ∴， ∴ ． 5．（25-26七年级下·河北石家庄·开学考试）如果关于x的多项式中不含项，则k的值为（   ） A．0 B．3 C． D．3或 【答案】D 【分析】根据不含项即该项系数为0，先合并同类项再列方程求解． 【详解】解：， ∵多项式不含项， ∴， ∴， ∴或． 6．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，这是一个对于正整数x的循环迭代的计算程序．根据该程序指令，若第一次输入x的值是5时，那么第一次输出的值是16；把第一次输出的值再次输入，那么第二次输出的值是4；重复这个过程，则第2026次输出的值是（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据题意找出规律，进而解题． 【详解】解：第三次输入4，输出的数为； 第四次输入1，输出的数为； 第五次输入4，输出的数为； ...... ∴输出的数分别为， 即从第二次输出开始，偶数次输出的数为4， ∴第2026次输出的值是． 7．（25-26七年级下·湖南湘西·期中）当时，代数式的值是2005，则当时，代数式的值为（     ） A．2002 B．1999 C． D． 【答案】D 【分析】当时，代数式的值为2005，可先求出的值；当时，和的值为时的相反数，进而求出代数式的值． 【详解】解：当时，，则， 当时，，，则所求代数式为：， ∴当时，． 8．（25-26七年级下·浙江绍兴·期末）如图，将一张长方形纸片分割成六个互不重叠的小长方形（长方形，长方形，长方形，长方形，长方形，长方形），若已知长方形的面积，则要得到阴影部分的面积，还需知道下列哪个图形的面积（     ） A．长方形 B．长方形 C．长方形 D．长方形 【答案】A 【分析】设大长方形的长和宽分别为，利用割补法表示出阴影部分面积，再结合选项中长方形的面积公式进行比对即可． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴， 由图知：，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵已知， ∴要得到阴影部分的面积，还需知道． 9．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）已知有理数，我们把称为的“差倒数”，如：2的“差倒数”是，的“差倒数”是．若，是的“差倒数”，是的“差倒数”，是的“差倒数”，…，依此类推，则的值是(     ) A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据差倒数的定义计算前几项，找出数列的循环规律，再通过除法运算得到余数，根据规律得出的值． 【详解】解：∵ ∴ ∴该数列以三个数为一个周期循环 ∵，刚好整除 ∴ 故选：C． 10．（25-26七年级下·重庆大渡口·期末）对五个正整数a，b，c，d，e，其中a，b，c是三个连续偶数且，同时d，e是两个连续奇数且，令，那么以下结论正确的个数为（     ） ①当时，这五个正整数可以是2，4，6，5，7； ②无论a，d取何值，一定能被4整除； ③一共有6种不同的取值组合使得F的值小于30． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题根据连续偶数、连续奇数的性质，表示出各数，再逐个验证三个结论即可得到答案． 【详解】解：①∵，，是三个连续偶数且，， ∴，， ∵，是两个连续正奇数且，符合所有条件， ∴这五个正整数可以是，，，，，故①正确； ②设（为正整数），则，， 设（为非负整数），则， ∴， 当（即），（即）时，， ∵不能被整除，故②错误； ③设（为正偶数），（为正奇数）， 则，要求， 即， 当时，， 得，正奇数可取，共种； 当时，， 得，正奇数可取，共种； 当时，， 得，正奇数可取，共种； 当时，，没有符合条件的． ∴总共有种不同组合，故③错误． 综上，正确的结论只有个，故选B． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）单项式的次数是________． 【答案】 【详解】∵ 单项式中，的指数为，的指数为， ∴ 该单项式的次数为． 12．（25-26七年级下·内蒙古乌海·开学考试）已知一个多项式与的和等于，则此多项式是_______． 【答案】/ 【分析】用减去，即可求解． 【详解】解：此多项式是 13．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）规定“*”表示一种新运算，且．则________． 【答案】 【分析】根据新运算的定义，将，代入公式计算即可． 【详解】解：由题可知，， 代入公式得：． 14．（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知 ， ，则 _____________． 【答案】 【分析】根据，，可得，，再进一步代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 15．（25-26七年级下·福建南平·期末）某同学设计了一个数字游戏，他准备了50张相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，…，49，50．游戏规则如下：①将卡片顺序打乱后参与者从中随机抽取五张卡片，正面向下放置，按顺序依次记为A，B，C，D，E（如图）．②该同学依次将相邻两张卡片上数字的和告诉参与者，然后由参与者判断这五张卡片中哪一张卡片上的数字最大． 某位参与者抽到的五张卡片，其相邻两数之和如下表所示， 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 67 50 62 44 55 根据以上信息，参与者猜出这五张卡片上数字最大的那张卡片_______．（填A，B，C，D，E） 【答案】A 【分析】利用表格数据列出算式进行比较即可得出结论． 【详解】解：由题意得：①， ②， ③， ④， ⑤， ∴由①④可知：， ∴， 由②知：，由⑤知：，由③⑤得,即， ∴， ∴他所抽取的这五张卡牌上数字最大的是A． 16．（25-26七年级下·安徽宣城·期末），， （1）_________， （2）_________． 【答案】 【分析】（1）观察题中规律，即可得到答案； （2）观察题中规律，将规律逆运用可以把式子化简计算，即可求解． 【详解】（1）观察题中式子可知，； （2）观察题中式子可知， ． 三、解答题（本题共9小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接合并同类项得到化简结果； （2）先去括号，再合并同类项得到化简结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（6分）（25-26七年级上·辽宁大连·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 19．（6分）（25-26七年级下·广东清远·期末）如图，在一个边长为的正方形的四个角处都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化． (1)如果小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为，请用含的代数式表示． (2)当小正方形的边长为时，求出此时阴影部分的面积． (3)当小正方形的边长由变化到时，阴影部分的面积发生了怎样的变化？ 【答案】(1) (2) (3)阴影部分的面积减小了 【分析】（1）根据图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小正方形的面积解答即可； （2）将代入计算即可； （3）分别求出和时，的值，由此即可得． 【详解】（1）解：图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小正方形的面积， ∵大正方形的边长为，小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为， ∴． （2）解：当时，， 答：此时阴影部分的面积为． （3）解：当时，， 当时，， ∵， ∴阴影部分的面积减小了． 20．（6分）（25-26七年级上·山东济南·期中）按要求解答 (1)已知： 计算 ； 若和时（1）中式子的值相等，求的值． (2)已知：有理数，，在数轴上的位置如图所示，且． 若， ，的相反数是，求，，的值； 化简： ． 【答案】(1)； (2)；化简为． 【详解】（1）解：原式 当 时，中式子的值为 ，当时，中式子的值为， ，解得， ． （2）解：由数轴可知， 故由解得， 由解得， 由的相反数是得； ， ． 21．（8分）（25-26七年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 如图是年月份的日历，乐乐在其中画出一个的方框（阴影框），框住九个数，计算其中如图所示位置的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图中的结果为 ． 将的方框移动到图的其他位置，通过计算可以发现的值为 ． (2)数学思考：乐乐认为（1）中的猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则， ， ． 所以，的值为 ． (3)迁移应用：某天，乐乐不小心将日历表撕掉了一块，使得某个方框中的日期看不到了，但他记得在探究过程中方框中，请你类比（2）中探究思路帮乐乐求出的值． 【答案】(1)， (2)， ， ， ， (3) 【分析】（1）根据有理数的运算规则运算即可；平移的方框，任选与图1位置不同的位置将值代入运算即可； （2）根据图像将表示出来，再代入进行运算即可； （3）根据（2）将用表示出来，再代入求解即可． 【详解】（1）解：； 当， 则． （2）解：设，则，，． ， ， ， ； 所以，的值为． （3）解：设，则，，， ∵， ∴， 解得， ∴． 22．（8分）（25-26七年级下·安徽安庆·期末）“整体思想”是初中数学一种重要的思想方法，它在代数中应用较为广泛．如已知，求的值．根据已知条件我们虽无法直接求出a与b的值，但可以将看作一个整体，其值即为2，而，将整体代入，即可求得． (1)已知，则______； (2)若，求的值； (3)设多项式，，，若的结果与x的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将所求代数式变形后整体代入已知条件计算； （2）先化简代数式，再整体代入已知条件求值； （3）先计算并合并同类项，根据结果与取值无关，得到对应各次项的系数为，再整体代入计算所求代数式的值． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：； （3）解： ， ∵的结果与的取值无关， ∴，， ∴，， ∴． 23．（10分）（25-26七年级下·广东茂名·期末）项目式学习 【项目背景】为培养学生劳动技能，学校规划了一块长方形劳动实践基地，用于种植蔬菜．现需设计一套灌溉系统． 【任务规划】基地长为a米，宽为b米．计划沿基地两条长边铺设主输水管道，沿宽边等间距地安装若干条支管道，每条支管道负责灌溉一个矩形区域． 【数学抽象】如图，将基地抽象成长方形，，．在和边上铺设主管道．从边开始（不用安装），每间隔d米安装一条与平行的支管道（d为正整数），直到边，恰好将基地完全覆盖． 【解决问题】 (1)请用含a，b，d的代数式表示需要的支管道总条数n． (2)已知，，．求n的值，并计算所有支管道的总长度． (3)预算主管道每米成本元，支管道每米成本元，每条支管道两端需安装固定装置（每个装置成本5元）（固定装置成本仅与支管道条数有关）．总预算为C元， ①请推导C与a，b，d的数量关系式． ②当，，总预算元时，探究支管道间距d是否可以是2？通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)，所有支管道的总长度为米 (3)①由题意得主管道共有米，所需成本为（元）， 支管道共有米，所需成本为（元），所需固定装置成本为（元）， ， ， ， ； ②当，，时， ， ， ， ，超出了给定总预算， 支管道间距d不可以是2； 【分析】（1）由基地宽和支管间距得出总区域数，结合边界不需要安装支管道即可得到需要的支管道总条数； （2）代入，，算出，再计算可得支管总长； （3）①分别算出主管道、支管道、固定装置成本，把这些成本加起来可得到总成本关系式；②将，，代入求得的值，将这个值与进行比较可得支管道间距d不可以是2． 【详解】（1）解：由题意得基地宽度为，每间隔米划分一个灌溉区域， 总区域数为， 边界不需要安装支管道， 需要的支管道总条数； （2）解：，，， ， 所有支管道的总长度为（米）； （3）略 24．（10分）（26-27七年级·全国·小升初衔接）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离． (1)在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，则点与点之间的距离______． (2)如果点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，点与点之间的距离为，那么_______． (3)若，则的最小值为，此时正整数的值为________． 【关联运用】 (4)点、、是数轴上的三个点，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请问的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 【答案】(1)； (2)或； (3)，或； (4)不会改变，值为 【分析】（1）根据，计算求解即可； （2）由题意知，或，计算求解即可； （3），表示数轴上表示的点到数轴上表示和 2 的点之间的距离和，由，即可求解； （4）由题意知，秒钟时，运动后的点表示的数分别为，则；，由题意知，，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，； （2）解：由题意知，或； （3）解：，表示数轴上表示的点到数轴上表示和的点之间的距离和， ， 当表示和之间（含端点）的点时，有最小值， 此时正整数的值为或； （4）解：不变，理由如下： 由题意知，秒钟时，运动后的点表示的数分别为， ，， 由题意知，， 的值不会随着时间的变化而改变，其值为． 25．（12分）（25-26七年级上·河南南阳·期末）新定义型阅读理解题 【知识背景】 定义1：一个关于，的多项式，如果把其中，互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于，的二元对称多项式．如，都是关于，的二元对称多项式． 定义2：若多项式组（，，是关于，的整式)中的三个整式满足两个条件： ①多项式是二元对称多项式； ②整式，通过加减运算后可得到整式，我们把这样的多项式组称为“二元对称关联式”． 【知识应用】 (1)请你写出一个满足下列条件的二元对称多项式：①它是关于，的三次四项式；②它不能合并同类项；③按照的降幂排列． (2)判断①，②能否成为“二元对称关联式”，说明理由． (3)若是“二元对称关联式”，写出所有符合条件的多项式A． 【答案】(1)(答案不唯一)； (2)①能成为“二元对称关联式”；②能成为“二元对称关联式”； (3)，，； 【分析】本题考查新定义下的多项式的相关概念与整式加减运算，核心是理解两个定义：二元对称多项式是将与互换后与原式完全相同的多项式；“二元对称关联式”需同时满足两个条件：①多项式是二元对称多项式；②整式与通过一次加法或减法运算可得到． （1）根据三次四项式、二元对称多项式的要求，构造满足与互换后不变、无同类项、按降幂排列的多项式即可； （2）对每个多项式组，先验证是否为二元对称多项式，再验证与能否通过加减运算得到； （3）利用“二元对称关联式”的条件，分、、三种情况列等式，求解对应的多项式． 【详解】（1）解：根据定义，构造多项式，该多项式是三次四项式，将与互换后结果与原式一致，且无同类项可合并，按降幂排列； 故答案为：(答案不唯一)． （2）解：①对于多项式组： ∵将中的与互换，得，与原式相同， ∴是二元对称多项式； 又∵， 即与通过减法运算可得到， ∴该多项式组①能成为“二元对称关联式”； ②对于多项式组： ∵将中的与互换，得，与原式相同， ∴是二元对称多项式； 又∵，即与通过减法运算可得到， ∴该多项式组②能成为“二元对称关联式”； （3）解：已知是“二元对称关联式”，其中，，易知是二元对称多项式，分三种情况讨论： 情况1：若，则； 情况2：若，则； 情况3：若，则； 综上，符合条件的多项式为，，． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $