专题10 全等三角形的辅助线问题（专项训练）数学新教材沪科版八年级上册

**基本信息** 以五大辅助线模型为核心，通过问题初探-类比分析-学以致用的逻辑链，系统提炼全等三角形辅助线构造方法，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |连接两点构造全等|4题|连公共边/中点构造全等|基于SAS/ASA判定，建立分散条件联系| |倍长中线模型|4题|延长中线至等长构造全等|利用中点性质转化线段关系，培养空间观念| |旋转模型|4题|旋转图形使对应边重合|结合图形变换，强化全等判定的动态应用| |垂线模型|4题|作高构造直角三角形全等|通过垂直条件构建AAS/HL模型，发展推理意识| |线段和差证明|4题|截长/补短法转化线段|基于全等性质实现线段转化，提升模型观念|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题10全等三角形的辅助线问题 常考题型·精准突破 ●考点一全等三角形的辅助线问题●一 ◆题型1连接两点构造全等三角形 1.全等三角形的对应边相等 【详解】解：连接AB,CD,如图， :点O分别是AC、BD的中点， ..OA=OC,OB=OD 在△AOB和△COD中， OA=OC,∠AOB=∠COD(对顶角相等)，OB=OD, ∴.△AOB2△COD(SAS). ∴.CD=AB(全等三角形的对应边相等)· 故答案为：全等三角形的对应边相等。 2.(1) 如图，CD为所求」 (2) 如图，CE为所求 A 解：由图可得AM=BN=1,∠MAE=∠NBE=90°，∠MEA=∠NEB. 1/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△AEM≌aBEN(AAS). .'AE BE, 点E是AB的中点， .CE是△ABC中边AB上的中线，即为所求. (3)解：由图可得AB=3,CD=2, Sc=24BCD=7×3x2=3, 2 CE是中线， 1 3 3 故答案为：2： 3.(1) 证明：：∠ACB=90°，∠ECD=90°， ∴.∠ACB=∠ECD, 「∠ACB=∠ECD 在 和 中 ∠BAC=∠DEC、 AACB AECD BC=CD △ACB≌△ECD(AAS), :AB=DE: (2) 证明：过点E作EG‖CB交AC于点G,如图所示， G B 图2 ∴.∠EGC=∠ACB :F是BE的中点， :EF=BF, ∠EGF=∠ACB 在 和 中∠EFG=∠BFC, △EGF ABCF EF=BF 2/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·.△EGF≌△BCF(AAS), ..EG=BC,GF=CF, :.GC=2CF, ..DC=BC, ..EG=CD, EG∥CB, .∠GEC+∠BCE=180°， :∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°， ∠ECD=90° .∴∠ACB+∠ECD=∠ACD+∠DCB+∠ECD=∠ACD+∠ECB=180°， .∠GEC=∠ACD, △ACB≌△ECD, :.AC=EC, EG=CD 在 和 中∠GEC=∠ACD AGEC△DCA EC=AC ∴.△GEC≌△CA(SAS). ∴.GC=AD GC =2CF, .AD=2CF. 4.(1)2<AD<4: (2)18 【详解】(1)解：如下图所示，延长AD到点E使DE=AD, D AD是BC边上的中线， :BD=CD, 3/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 「AD=ED 在 和 中∠ADC=∠EDC, △ADC△EDB CD=BD △ADC≌△EDB, 在△ABE中，AC-AB<AE<AB+AC, ∴6-2<AE<6+2, .4<AE<8」 AD=ED, .AE=2AD, .4<2AD<8. .2<AD<4: (2)解：如下图所示，延长AD交EC的延长线于点F, E C D AD是△ABC的中线， .:.BD=CD, CE⊥DC, :.∠ECD=∠FCD=90°， 「∠B=∠FCD=90° 在 和 中BD=CD △ABD△FCD ∠ADB=∠FDC ,.△ABD≌AFCD, :FC=AB=7,AD=FD, :∠ADE=90°， .∠FDE=90°， 4/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD=FD 在 和 中 ∠ADE=∠FDE, △ADE △FDE DE=DE ,.△ADE≌AFDE, .AE=FE, .FE=EC+FC=EC+AB=7+11=18. .AE=18 ◆题型2倍长中线模型 5.c 【详解】解：连接ED并延长，交AB于点F, B P A D、、 E CEll AB ∠A=∠DCE :点D为AC的中点， ∴，AD=CD 在△ADF和△CDE中， ∠A=∠DCE AD=CD ∠ADF=∠CDE ·△ADF≌aCDE(ASA), ∴.AF=CE=3,DF=DE, 延长BD至点G,使DG=BD,连接EG, 在△BDF和△GDE中， 5/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BD=GD ∠BDF=∠GDE」 DF=DE .△BDF≌aGDE(SAS). ∴BF=GE,∠FBD=∠G, ,BD平分∠ABE, ∴.∠FBD=∠EBD, ∴∠G=∠EBD」 ∴.BE=GE,BF=BE=8. .AB=AF+BF=3+8=11 6.1<AB<9 【详解】解：如图，延长AD到E,使AD=DE,连接BE,则AE=2AD A B D 是 的中线， E AD△ABC .BD=CD, △ADC和△EDB中， BD=CD ∠ADC=∠BDE AD=DE :.△ADC≌△EDB(SAS), .EB=AC=5 AD=2, .AE=2AD=4, ∴.在△ABE中，5-4<AB<5+4, ∴.1<AB<9 7.(1)B (2)2(或3,4,5,6之一) (3)证明：如图③，延长AD至点E,使DE=AD,连接BE, 6/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G F B D E 图③ 同(1)，可证△EDB≌△ADC(SAS), .BE=AC,∠GAF=∠E, .AC=BF, .BE=BF, ∴.∠E=∠BFE, .∠BFE=∠AFG, .∠AFG=∠GAF: ∴.AG=FG (4)4 【详解】(1)解：在△EDB和△ADC中， (AD=DE ∠ADC=∠EDB CD=BD △EDB≌△ADC(SAS), 故选：B; (2)解：△EDB≌△ADC, .BE=CA. 在△ABE中，AB=3,AE=2AD=4,AE-AB<BE<AE+AB,, .4-3<BE<4+3,即1<BE<7, :AC为整数，BE=CA, .AC的长可以为2,3,4,5,6中之一. (3)略 (4)解：如图，延长CF至点G,使FG=CF,连DG, 7/31 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G A 图3 .CG=2CF=4, 同(1)，可证aDFG≌△AFC(SAS), .DG=AC,∠GDF=∠CAF .CA=CB ..DG=BC, .∠ACB=∠DCE=90° ∴.∠ACD+∠BCE=180° 在△ACD中，∠ACD+∠CAD+∠ADC=180°」 .∠BCE=∠CAD+∠ADC=∠GDF+∠ADC=∠GDC, 又，DC=CE, .△BCE≌AGDC(SAS), .BE=GC=4 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用，中线的性质，等腰三角形的性 质与判定，熟练掌握倍长中线的辅助线作法是解题的关键， 8.(1) 解：如图，延长AD到点E,使DE=AD,连接BE, 8/31 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 是 的中线， E 图1 ,AD△ABC .CD=BD, :∠ADC=∠EDB,DE=AD, ∴.△ADC≌△EDB(SAS), ∴.BE=AC=5, AB-BE<AE<AB+BE.AB=8. .8-5<AE<8+5, .3<AE<13, DE =AD, .AE =2AD, .3<2AD<13, 解得：)1Dx3 即AD的取值范围为：2 <D< 2: 2) 证明：如图2，延长AD至G,使DG=AD,连接BG,则AG=2AD, 为 的中点， B D G 图2 .D BC ∴.CD=BD, 9/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠ADC=∠GDB,DG=AD, ∴.△ADC≌△GDB(SAS), ∴.∠C=∠GBD,AC=BG, .AC∥BG, ∠ABG+∠BAC=180°， ..AC=AF, ..BG=AF, ∠BAE=∠CAF=90 .∠EAF+∠BAC=180°」 .∴.∠ABG=∠EAF 在△EAF和△ABG中， EA=AB ∠EAF=∠ABG AF=BG .△EAF≌△ABG(SAS), .AG=EF, .EF =2AD; (3)BD=12 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：如图3，延长EF到G,使得EF=FG,连接CG,延长CA到H,使得AH=AD,连接BH, H A 是 的中点， B F 图3 G .F BC ∴CF=BF, :∠EFB=∠CFG,EF=FG, :.△BEF≌ACGF(SAS), ∴.BE=CG,∠G=∠BEF, 10/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CG‖BE, .∠BEH=∠GCE, ∠BAC+∠BAH=180°，∠BAC+∠BAD=180°， ∴∠BAH=∠BAD, 在△BAH和△BAD中， AB=AB ∠BAH=∠BAD AH=AD .△BAH≌△BAD(SAS), .BH=BD,∠H=∠ADB, .∠ADB=∠CEF, ∴∠H=∠CEF, 又：∠BAH=∠BAD,BE=CG, ∴.△HBE≌△EGC(AAS), .EG=BH=BD=2EF=2×6=12, 即BD=12 ◆题型3旋转模型 9.D 【详解】如图，将△ABC绕点A逆时针旋转至△AEF, A B AB=AE∠B=∠E=90° 则AF=AC,∠B=∠AED=∠AEF=90°， ∴∠DEF=I80°，即点D,E,F三点共线， ZCAD-BE. ∠BAC+∠DAE=∠DAE+∠EAF=∠CAD, 即∠FAD=∠CAD, 11/31 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△ACD和△AFD中 AC=AF ∠CAD=∠FAD AD=AD ∴.△ACD≌△AFD(SAS) CD=DF,SAACD=S△MPD CD=3, .DF=3, 五边形ABCDE的面积为： S四边形ACDE+S.ABc=S四边形ACDE+S.ABF =S.4CD+S.AFD=2S.4FD: =2×二×DF×AE, 2 =22 1 ×3×4 =12, 故选：D. 10.3 【详解】解：如图，连接AD. D B 在Rt△ADF和Rt△ADC中， AD=AD AF=AC, ∴.Rt△ADF≌Rt△ADC(HL), ∴.DF=DC, BD=5,BC=4, 12/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.CD=DF=5-4=1, .EF-BC=4, ∴.DE=EF-DF=4-1=3. 故答案为：3. 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决 问题，属于中考常考题型. 11.(1)证明：在△ADB和△CEB中， BD=BE ∠ABD=∠CBE AB=CB :.△ADB≌aCEB(SAS), .AD=CE, (2)解：AD=CE,AD⊥CE,理由如下： 如图，过点C作CH垂直于DA的延长线于点H,交BD于点O, D ,·∠ABC=∠DBE=90°， ∴.∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC, .∠ABD=∠CBE, 在△ABD和△CBE中， AB=BC ∠ABD=∠CBE BD=BE .△ABD≌aCBE(SAS). .AD=CE,∠ADB=∠CEB, .∠DOH=∠EOB .∠DHO=∠EBD=90°， 13/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AD⊥CE 【详解】(1)略 (2)略 12. (1)结论：EF=BE+DF 理由：如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF', E 图1 则：∠FAB=∠DAF,∠ABF'=∠D=90°，AF=AF',BF'=DF, ,∠ABF'+∠ABC=180°，即：F,B,E三点共线， :∠EAF=45 .∠DAF+∠BAE=90°-∠EAF=45° .∠BAF'+∠BAE=45° ∴∠EAF'=∠EAF=45°， 在△AEF和△AEF'中， AF=AF' ∠EAF=∠EAF' AE=AE ∴△AEF≌△EAF(SAS). .EF EF', 又EF'=BE+BF', .EF=BE+DF. (2)结论：EF=BE-DF, 理由：如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF', 14/31 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F 图2 则：BF'=DF,AF'=AF 同法(1)可得：△AEF≌△AEF'(SAS). ..EF =EF', 又EF'=BE-BF'=BE-DF, :EF=BE -DF. 【详解】(1)略 (2)略 ◆题型4垂线模型 13.C 【详解】解：过点D,F,C,E分别作DM⊥AB,FH L AB,,CI L AB,EG⊥AB,交直线AB于点M,H,I,G, M D 2 Gh- B E 46 ----H .∠M=∠AGE=∠FHB=∠I=90°， .∠DAE=∠CBF=90°」 ∴.∠1=∠2=90°-∠3，∠4=∠5=90°-∠6， AD=AE,BF=BC. :.△AGE≌aDMA(AAS),△FHB≌aBIC(AAS). 15/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AM=EG,FH=BI, 设AM=EG=FH=BI=y, :MI=AM+AB+BI=x+4+y, ,AB IICD,DM⊥AB,CI⊥AB, .CD=M=4+x+y=10. .x+y=6」 ,四边形AFBE的面积=S△MBF+S△MBE, ∴四边形4FBE的面积2 ABXFH+1ABXEG -号m+5G =2×4x(x+) 2×4x6 =12, 故选：C. 14.A 【详解】解：如图，过点E作EG⊥AB于点G, D B 则∠AGE=∠EGB=90°， .∠EAG+∠AEG=90°， AE⊥AD, ∴.∠EAD=90°， .∠EAG+∠DAB=90°， .∠AEG=∠DAB 又，∠AGE=∠DBA=90°，AE=AD, .△AEG≌aDAB(AAS). .'.EG=AB,AG=BD=3.3, 16/31 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..AB=BC, .EG=BC. 又·∠EGF=∠CBF=90°，∠EFG=∠CFB, .△EFG≌aCFB(AAS), GF=BF=-2.5, .AB=AG+GF+BF=3.3+2.5+2.5=8.3 故选：A. 15. (1)证明：，AD⊥DE于D,∠ACB=90°， .∠ADC=90°，∠DAC+∠DCA=90°，∠BCE+∠DCA=90°， ∴.∠DAC=∠BCE, ,BE⊥DE, .∠BEC=∠ADC=90°， .AC=BC ∴.△ADC≌aCEB(AAS), ∴.CD=BE,AD=CE, .DE=CE+CD=AD+BE (2)解：结论：OA=2BE.理由如下： 如图，过点D作DT⊥OB于点T, D B :∠AOB=∠ABD=∠DTB=90°， ∴.∠TBD+∠AB0=90°，∠AB0+∠BA0=90°， .∠TBD=∠BAO. BD=DA, .△DTB≌△BOA(AAS). .'DT=OB,BT=OA, 17/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,△BOC是等腰直角三角形， .OB=BC=DT, 又，∠BEC=∠TED,∠CBE=∠DTE=90°， .△BCE≌aTDE(AAS). ∴.BE=TE, .BT=2BE, ..OA=2BE: (3)60 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：过点D作DM⊥AH交AH的延长线于点M,过点E作EN⊥AH于点N,如图所示： D ---11H B G ,AG⊥BC, ∴.∠AGB=∠M=90°， .∠ABG+∠BAG=90°， .∠BAD=90°， .∠BAG+∠DAM=90°， ∴.∠ABG=∠DAM, 在△ABG和△DAM中， [∠AGB=∠M ∠ABG=∠DAM, AB=AD .△ABG≌△DAM(AAS), .'DM =AG. 同理可证明：△AGC≌△ENA, .'EN=AG, .DM=EN=AG, 18/31 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 S.DAE =S.AUD+S.AE=AH.DM+AH.EN=AH.AG=5x12=60. .△ADE的面积等于60， 【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定和性质，一线三垂直模型，当一条直线上存在三个垂直关系 (即三个直角)时，若模型中有一组对应边长相等，则必定存在全等三角形，还考查了等腰三角形的性质， 会作辅助线，掌握全等三角形的判定方法和等腰三角形性质定理是解题的关键. 16.(1) .∠BAM=∠CBN,∠AMB=∠CNB=90°，AB=BC, .△ABM≌aBCN(AAS): ∴.AM=BN,BM=CN, AM=2,CN=7, ∴.MN=MB+BN=CN+AM=9. (2) PE=PC-AE.理由如下： .·∠ABC=90° ∴∠ABE+∠CBE=90°， CP⊥BE, ∴.∠CPB=90° .∠BCP+∠CBP=90 .∠ABE=∠BCP, ∠AEB=90°， .∠AEB=∠CPB=90°， :AB=BC, ∴.△ABE≌△BCP, .AE=BP,BE=CP BE BP+PE, .:PE=BE-BP=PC-AE; (3)21 【详解】(1)解：∠ABC=90°， .∠ABM+∠CBN=90°， ,AM⊥DF,CN⊥DF, 19/31 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠AMB=90°，∠CNB=90°， ∴∠ABM+∠BAM=90°， .∠BAM=∠CBN, (2)略 (3)解：延长FE,过点C作CP⊥FE于P,如图所示： D d2. C .·∠ABE+∠EBC=90°∠ABE+∠BAE=90° .∠EBC=∠BAE, ∵∠AEB=∠CPB=90°，AB=BC, ∴.△ABE≌△BCP、 ∴PC=BE=1,PB=AE=7, .PE=PB-BE=7-1=6, 延长AE,过点C作CF⊥AE于F,如图所示： D E B ----C F :AF⊥PE,CP⊥PE .AF∥CP, :AF⊥PE,CF⊥AF, PE∥CF, 由平行线间的平行线段相等可得CF=PE=6, S.c-xAExCF-7x7x6-21. 2 故答案为：21. ◆题型5证一条线段等于两条线段和差 17. 20/31 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明：如图，在BC上截取AC=CE,连接DE. E 的平分线 交边于点， B ∠ACB CD AB D ∴∠ACD=∠DCE, 在△ACD与△ECD中， 「AC=CE ∠ACD=∠DCE CD=CD .△ACD≌aECD(SAS), ∴.AD=DE,∠A=∠CED :∠A=2LB,∠CED=∠B+∠EDC, .∠CED=2∠B, ∠B=∠EDB, .DE BE, .AD=EB, CD+BE=BC, :AC+AD=BC. 【详解】略 18.(1)∠A0E=60° (2) 证明：在AC上截取CF=CD,连接OF, D ,CE平分∠ACB, ∴.∠DCO=∠FC0. 在△DCO和△FCO中， 21/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD=CF ∠DCO=∠FCO OC=OC .△DCO≌aFCO(SAS), ∴.∠COD=∠COF」 .∠AOE=60° .∠COD=∠COF=60°， ∴.∠AOF=180°-∠AOE-∠COF=60° .∠AOE=∠AOF :AD平分∠BAC, .∠EAO=∠FAO, 在△EAO和△FAO中 [∠EAO=∠FAO AO=AO ∠AOE=∠AOF .△EAO≌aFAO(ASA), .AE=AF, .AC=AF+CF, ..AC=AE+CD 【详解】(1)解：：∠BAC=90°，∠ABC=60°， .∠ACB=30° ,∠BAC与∠ACB的平分线AD,CE交于点O ∴·∠CAD=2∠BAC=45°，∠ACE=2∠ACB=15°， .∠AOE是△AOC的外角， .∠AOE=∠CAD+∠ACE=60°： (2)略 19.(1)①DE=BD+CE: ②问题①中结论DE=BD+CE仍然成立，理由如下： :∠BDA=∠BAC=∠AEC=a, .∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=180°-a, 22/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠DBA=∠EAC, 又：LBDA=∠AEC=a,AB=AC, .△DBA≌△EAC(AAS). ∴BD=AE,AD=CE, ∴.DE=AD+AE=BD+CE； (2)G是DE的中点，理由如下： 如图，作DM⊥AF于M,EN⊥AF于N, ,BC⊥AF」 :.∠BFA=∠AMD=90°， ∠BAD=90°」 ∴.∠DAM+∠BAF=∠BAF+∠ABF=90° ∴.∠ABF=∠DAM, 在△ABF与△DAM中， ∠BFA=∠AMD ∠ABF=∠DAM AB=DA :.△ABF≌aDAM(AAS) .AF DM, :BC⊥AF, .∠CFA=∠AWE=90°， .∠CAE=90°， .∠CAF+∠EAN=∠CAF+∠ACF=90°， ∴.∠EAN=∠ACF, 在△ACF与△EAN中， [∠CFA=∠ANE ∠ACE=∠EAN, AC=EA 23/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△ACF≌aEAN(AAS), .AF =EN, 又，AF=DM, .EN DM, ,DM⊥AF,EN⊥AF. ∴.∠GMD=∠GNE=90°， 在△DMG与△ENG中， ∠DMG=∠ENG ∠MGD=∠NGE DM=EN .△DMG≌aENG(AAS), .'DG=EG. ∴点G是DE的中点， 【详解】解：(1)①·∠BDA=∠AEC=90°， .∠DBA+∠BAD=90°， .∠BAC=90°， .∠BAD+∠CAE=90°， ∴.∠DBA=∠CAE, 在△ABD和△CAE中， [∠DBA=∠CAE ∠BDA=∠AEC AB=CA .△ABD≌△CAE(AAS). .'BD=AE,AD=CE, .DE=AD+AE, ∴.DE=BD+CE. 故答案为：DE=BD+CE: ②略 (2)略 20.(1)证明：如图，延长EB至点H,使BH=DF, 24/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A E C .∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABH=180°， ∴.∠ADC=∠ABH, 在△ABH和△ADF中， AB=AD ∠ABH=∠ADC, BH=DF ∴.△ABH≌△ADF, ∴.AH=AF,∠BAH=∠DAF, ZEAF -DAB .∠EAF=∠DAF+∠BAE=∠BAH+∠BAE=∠EAH, 在△EAF和△EAH中， AF=AH ∠EAF=∠EAH AE=AE ∴.△EAF≌△EAH, .EF=EH, .EH=BE+BH, .EF BE+BH=BE+DF (2)不成立，EF=DF-BE, 理由：如图，在DF上截取DM=EB, 25/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B .∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°， .∠ADC=∠ABE, 在△ABE和△ADM中， AB=AD ∠ABE=∠ADC, BE=DM .△ABE≌△ADM, .AE=AM,∠BAE=∠DAM, ∴.∠BAE+∠BAM=∠DAM+∠BAM,即∠EAM=∠DAB, <6r-0au, ∴∠EAF= ∠EAM, 2 ∴.∠EAF=∠MAF, 在△EAF和△MAF中， AE=AM ∠EAF=∠MAF」 AF=AF ∴.△EAF≌AMAF, ∴.EF=MF, .DF DM +MF, ∴DF=BE+EF,即：EF=DF-BE 【详解】(1)略 (2)略 26/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚·知能拔高 一、填空题 1.3<AD<15 2.3 3.①③④ 三、解答题 4. ( △AB,C即为所求： B B -5-4-3-2-19 45 2 -3 (2)解：如图：以B,C,D为顶点的三角形与△ABC全等时，点D的坐标为：(0,3)或(0，-)或(2，-) A D -10 345x -2 (3)解：如图：连接A4,与y轴的交点P即为所求. 27/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 B 5-4-3-2-1 2345x 5 由平面直角坐标系可得：P(0,) 5. 证明：∠B=60° ∠BAC+∠ACB=180°-∠B=120°， ·AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB, :∠0AC=∠OAB=∠BAC∠OCA=∠0CB=∠ACB 1 2 ∴.∠OAC+∠OCA= ∠BA +54CB-(BAC+∠AC8)-60 .∠A0C=120°」 ∴∠AOE=∠COD=180°-∠AOC=60° 如图，在AC上截取AF=AE，,连接OF, 公 0 D B C 在△AOE和△AOF中， AE=AF ∠OAE=∠OAF A0=AO ∴.△AOE≌△AOF(SAS) .∠AOE=∠AOF=60° .∠C0F=∠A0C-∠A0F=120°-60°=60°， .∠COD=60°」 ∠COD=∠COF, 在△COD和△COF中， [∠OCD=∠OCF C0=C0 ∠COD=∠COF 28/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .ACOD≌ACOF(ASA) ..CD=CF, AF=AE, .∴.AF+CF=AE+CD=AC 6. (1) 证明：如图，在EF上截取FO=FN,连PO, A M E 一B P C- D FN .FP平分∠DFE, .∠PFQ=∠PFN :PF=PF,∠PFQ=∠PFN,FQ=FN .aPFQ≌△PFN OF=F,∠POF=∠PNF. .AB∥CD ∴.∠AMN+∠PWNF=180° ∠PQF+∠PQE=180° .∠AMN=∠POE,即∠EMP=∠EOP, ,EP平分∠BEF, ∴.∠MEP=∠QEP .∠MEP=∠QEP ∠EMP=∠EQP △EMP≌aEQP, .EM=EQ EM+FN=EQ+OF=EF (2)(1)中的结论不成立，FV-EM=EF: 理由：延长EP交CD于点H, -B 、 H N D ,EP平分∠BEF, .∠PEF=∠PEB, .AB∥CD. ∴.∠PEB=∠PHF, ∴.∠PEF=∠PHF, FP平分∠DFE, .∠PFE=∠PFH, .∠PEF=∠PEB,∠PFE=∠PFH,FP=FP, 29/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△PFE≌aPFH, ∴EP=HP,EF=FH, .AB∥CD ∴.∠EMP=∠HNP .∠EPM=∠HPN,∠EMP=∠HNP,EP=HP, ∴.△EMP≌aHNP, .ME =HN, :.FN-EM=FN-HN=FH=EF. 7. (1)证明：：CE∥AB, ∴.∠BAE=∠E,∠B=∠BCE、 :D是BC的中点， .'BD=CD, :.△ABD≌△ECD(AAS) ∴，AD=ED: (2)如图，过点A作AG∥OC,交OE的延长线于点G, G B .AG∥OC .∠G=∠CaE,∠EAG=∠C. ,点E是AC的中点， .'AE=CE. .△AEG≌aCEO(AAS) ..AG=OC,EG==4, 0G=8, .OC=OD .AG=OD .'∠AQC=∠ACG+∠CQE=∠AOG+∠G」 ∴.∠04G=180°-∠G-∠A0G=180°-∠ACc, .∠AOB=∠COD=90°， .∠B0D=360°-∠ACB-∠C0D-∠ACC=180°-∠AC, ∴.∠OAG=∠B0D .OA=OB .△AOG≌aOBD(SAS). ∴.BD=QG=8,∠D=∠G, ∠G=∠COE, ∴.∠D=∠COE ∴.∠D+∠D0F=∠CaE+∠D0F=180°-∠C0D=90°， ∴.∠OFD=90°，即OF⊥BD, 30/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 八m5)0F×BD=1 2×2x8=8 故答案为：8. 8. (1)解：：E是BC的中点， .'BE=CE 在△ABE和△FCE中， EF=AE ∠AEB=∠FEC BE=CE :△ABE≌aFCE(SAS) 故选：B; (2)解：如图，延长AD至点E,使得AD=ED,连接BE, :AD是△ABC的中线， .BD CD 在△ADC和△EDB中， AD=ED ∠ADC=∠EDC DC=BD :△ADC≌aEDB(SAS) .AC=BE, .AD=x, .'AE=2x. AB=5,AC=9, ∴.BE-AB<AE<BE+AB, .9-5<2x<9+5. ∴.4<2x<14, .2<x<7, 故答案为：2<x<7； 31/31 专题10全等三角形的辅助线问题 常考题型·精准突破 考点一 全等三角形的辅助线问题 题型1 连接两点构造全等三角形 题型2倍长中线模型 题型3 旋转模型 题型4 垂线模型 题型5 证一条线段等于两条线段和差 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 全等三角形的辅助线问题 ◆题型1 连接两点构造全等三角形 1．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出的长，就能求出工件内槽的宽的长，依据是____________． 【答案】全等三角形的对应边相等 【分析】连接AB，，可以证△AOB≌△COD（SAS），依据全等三角形的对应边相等得所以测量CD的长也就等于测量了工件内槽AB的长． 【详解】解：连接AB，，如图， ∵点O分别是AC、BD的中点， ∴OA＝OC，OB＝OD． 在△AOB和△COD中， OA＝OC，∠AOB＝∠COD（对顶角相等），OB＝OD， ∴△AOB≌△COD（SAS）． ∴CD＝AB（全等三角形的对应边相等）． 故答案为：全等三角形的对应边相等． 【点睛】本题考查全等三角形的应用，在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解． 2．如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，，在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)的面积为___________． 【答案】(1) 如图，为所求． (2) 如图，为所求． (3) 【分析】本题考查作图，三角形的中线和高，三角形的面积，全等三角形的判定及性质． （1）根据三角形的高的定义画图即可； （2）取格点M，N，连接，交于点E，则E为的中点，根据三角形的中线的定义画图即可； （3）由三角形中线的性质得到即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由图可得，，， ∴， ∴， ∴点E是的中点， ∴是中边上的中线，即为所求． （3）解：由图可得，， ∴， ∵是中线， ∴． 故答案为：． 3．如图，在中，，在中，． (1)求证：； (2)连接，连接交于点，若点恰好是的中点，求证：． 【答案】(1) 证明：，， ， 在和中， ， ； (2) 证明：过点作交于点，如图所示， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用全等三角形的性质和判定解决问题． （1）运用全等三角形的性质和判定，证明和全等，即可求得； （2）作辅助线构建全等三角形，运用全等三角形的性质和判定，证明， ，进而求得． 【详解】（1）略 （2）略 4．数学兴趣小组在探讨全等三角形相关问题的解决方法时发现：当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题． (1)【问题初探】如图：在中，为边上的中线，则的取值范围为__________． (2)【类比分析】如图：在中，是的中线，于点且． 求的长度． 【答案】(1)； (2)． 【分析】延长到点使，构造使，根据全等三角形对应边相等可知，根据三角形三边关系可得，从而可得； 延长交的延长线于点，构造，从而可证，，，可证，根据全等三角形对应边相等可得，从而可得 【详解】（1）解：如下图所示，延长到点使， 是边上的中线， ， 在和中， ， 在中，， ， ， ， ， ， ； （2）解：如下图所示，延长交的延长线于点， 是的中线， ， ， ， 在和中， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形三边的关系、全等三角形的判定与性质．解决本题的关键是构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等的关系找边之间的关系． ◆题型2倍长中线模型 5．如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接并延长，交于点，利用证明，得出，，再通过倍长中线法和等腰三角形性质证明，最后由求解． 【详解】解：连接并延长，交于点， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 延长至点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴． 6．如图，在中，是的中线，已知，，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】首先延长到，使，连接，证明，然后根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：如图，延长到，使，连接，则． 是的中线， ， 和中， ， ． ， ， 在中，， ． 7．【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在中， 是 边上的中线，，，若 边的长为整数，求 边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 至点 ，使，连接，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是　　　　； A．                B．               C．                D． (2)根据小明的方法思考，可得 的长可能为　　　　；（写出一个即可） 【类比迁移】 (3)如图②， 是的中线，交 于点 ，交 于点 ，． 求证：． 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长 至点 ，使，连结． ⋯⋯ 请完成上述证明过程． 【学以致用】 (4)如图④，在和中，， ， ，连结 、，取 的中点 ，连结．若，则　　　　． 【答案】(1)B (2)2（或3，4，5，6之一） (3)证明：如图③，延长 至点 ，使，连接． 同（1），可证， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴． (4)4 【分析】（1）由题意知，，，可得； （2）由得，在中，根据三角形三边关系可得，进而即可求解； （3）倍长 至E，连 ，同（1）可证， 得出，结合，可得，由等边对等角可得，等量代换后可得，根据等角对等边即可得出结论； （4）倍长 至G，连，同（1），可证，进而证明，可得. 【详解】（1）解：在和中， ， ， 故选：B； （2）解： ， ， 在中，，，，， ∴， 即， ∵ 为整数，， ∴ 的长可以为 2，3，4，5，6 中之一. （3）略 （4）解：如图，延长至点 ，使，连， ∴， 同（1），可证， ∴. ∵ ， ∴， ∵， ∴. 在 中，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用，中线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握倍长中线的辅助线作法是解题的关键． 8．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)【问题背景】如图1，是的中线，，求的取值范围． 我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线的取值范围．请按照上述思路，写出求解的取值范围的完整过程； (2)【变式思考】如图2，中，是中线，分别以为腰向外作等腰和等腰，，连接．求证：； (3)【探究延伸】如图3，在四边形中，对角线相交于点，点是的中点，，当时，求的长． 【答案】(1) 解：如图，延长到点，使，连接， 是的中线， ， 解得： 即AD的取值范围为：； (2) 证明：如图2，延长至，使，连接，则， 为的中点， ， ， ， 在和中， (3) 【分析】（1）先推导出得到再根据三角形的三边关系，得到求出则解得 即可解答； （2）延长至，使，连接，则，推导出得到推导出证明得到，即可解答； （3）延长到，使得，连接，延长到，使得，连接，推导出得到继而证明得到推导出证明出可求出即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图3，延长到，使得，连接，延长到，使得，连接， 是的中点， ， 在和中， 又∵ 即． ◆题型3 旋转模型 9．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝___．    【答案】3 【分析】如图，连接AD．证明Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），推出DF＝DC＝1，可得结论． 【详解】解：如图，连接AD．    在Rt△ADF和Rt△ADC中， ， ∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL）， ∴DF＝DC， ∵BD＝5，BC＝4， ∴CD＝DF＝5﹣4＝1， ∵EF＝BC＝4， ∴DE＝EF﹣DF＝4﹣1＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 11． 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）由判定，推出； （2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出． 【详解】（1）略 （2）略 12．【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】 （1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形． （1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）． 【详解】（1）略 （2）略 ◆题型4 垂线模型 13．如图，四边形中，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．7 C．12 D．20 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线构造“三垂直”全等模型． 过点分别作，交直线于点，证明，则设，，则，则，求出，再由四边形的面积，然后整体代入求解即可． 【详解】解：过点分别作，交直线于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形的面积， ∴四边形的面积 ， 故选：C． 14．如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 15．数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 【答案】 （1）证明：∵于D，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： 如图，过点D作于点T， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）60 【分析】（1）因为于D，，所以，因为，即可通过证明作答； （2）过点D作于点T，证明，推出，，再证明，即可得结论； （3）作辅助线，过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，利用角度等量变换，得到，进而推导证明，同样证得，得到，最后的面积为、面积之和，最后利用三角形的面积公式完成求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵， ∴的面积等于60． 【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定和性质，一线三垂直模型，当一条直线上存在三个垂直关系（即三个直角）时，若模型中有一组对应边长相等，则必定存在全等三角形‌‌，还考查了等腰三角形的性质，会作辅助线，掌握全等三角形的判定方法和等腰三角形性质定理是解题的关键． 16．【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1) ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； (2) ．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； (3)21 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ∵，， ，， ， ， （2）略 （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：21． ◆题型5 证一条线段等于两条线段和差 17．如图，在中，，平分交于点D．求证：． 【答案】 证明：如图，在上截取，连接． 的平分线交边于点， ， 在与中， ， ∴， ，， ，， ， ， ， ， ∵ ， ． 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，在上截取，连接，利用已知条件求证，然后可得，，再利用三角形外角的性质求证，然后问题可解． 【详解】 略 18．如图，在中，，，与的平分线，交于点． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明：在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ，     ∴ ， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查角平分线的定义、三角形的外角，全等三角形的判定和性质，证明线段的和差常用“截长或补短”的方法． （1）利用三角形的内角和求出的度数，再利用角平分线得到、的大小，最后求出外角的度数； （2）在上，构造，再利用条件证明，从而得到解题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵与的平分线，交于点 ∴,， ∵是的外角， ∴； （2）略 19．（1）如图，在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】①如图1，当时，直接写出线段，，之间的数量关系是_______． 【类比迁移】②如图2，当时，①中的结论是否仍然成立?请说明理由． 【拓展应用】 （2）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G，G是的中点吗?请说明理由． 【答案】（1）①； ②问题①中结论仍然成立，理由如下： ， ， ， 又，， ， ，， ； （2）G是的中点，理由如下： 如图，作于M，于N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴点G是的中点． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握相关判定方法及性质是解题的关键． （1）①由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； ②由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； （2）作于M，于N，先证，根据全等三角形的性质得到，同理，由此可得，再由此证明，由全等三角形的性质得到，于是得到点G是的中点． 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：； ②略 （2）略 20．如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 【答案】(1)证明：如图，延长至点，使， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； (2)不成立，， 理由：如图，在上截取， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即：． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握利用半角模型去截长补短是解题的关键． （1）延长至点，使，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明； （2）在上截取，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 综合攻坚·知能拔高 1．已知中，，，则边上的中线的取值范围是______．（用不等式表示） 【答案】 【分析】延长，使得，连接，由题意易证，则有，然后根据三角形三边关系可进行求解． 【详解】解：如图，延长，使得，连接， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴根据三角形三边关系可得，即， ∴． 2．如图，在中，，，，且AE=AB，连接交的延长线于点，，则______． 【答案】 【分析】在CD上截取CG=CF，连接AG，可得，设AC=CD=3x，则CF=CG=2x，GD=x，再证明，进而即可求解． 【详解】解：在CD上截取CG=CF，连接AG， ∵AC=CD，∠ACG=∠DCF=90°， ∴， ∴∠AGC=∠CFD， 设AC=CD=3x，则CF=CG=2x，GD=x， ∵∠EAB=∠EAF+∠CAB=∠CAB+∠B=90°， ∴∠EAF=∠B， ∴∠E=∠CFD-∠EAF=∠AGC-∠B=∠GAB， 又∵AE=AB， ∴， ∴AF=BG=5x， ∴BD=BG-GD=4x， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 3．如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有________（写上序号） 【答案】①③④ 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质的应用，先作，交于点H，，交延长线于点K，构造三对全等三角形：，，，根据全等三角形的面积相等，即可得出，，，根据，即可得出结论③；最后根据，得出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵与不一定相等， ∴与不一定全等，故②错误； 作，交于点H，，交延长线于点K， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， 即，故③正确； ∵， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 二、解答题 4．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)如果要使以B，C，D为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点D坐标（A点除外）． (3)在y轴上有一动点P，使的距离最小，直接写出P点的坐标． 【答案】(1) 即为所求： (2)或或． (3) 【分析】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的判定、坐标与图形等知识点，熟练掌握轴对称图形的性质及数形结合解决问题是解题的关键． （1）先点关于y轴对称的点的坐标为，同理可得：，，然后再顺次连接即可解答； （2）先根据全等三角形的判定可画出图形，再根据图形可直接写出符合条件的点D坐标； （3）如图：连接，与y轴的交点即为点P，然后直接写出坐标即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图：以B，C，D为顶点的三角形与全等时，点D的坐标为：或或． （3）解：如图：连接，与y轴的交点P即为所求． 由平面直角坐标系可得：． 5．如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    【答案】 证明：， ， 、分别平分、， ，， ， ， ， 如图，在上截取，连接，    在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义，得到，，在上截取，连接，分别证明，，得到，即可证明结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，做辅助线构造全等三角形是解题关键． 6．如图，交于，交于平分平分，直线经过点并与分别交于点．    (1)如图①，求证：； (2)如图②，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，直接写出三条线段的数量关系． 【答案】(1) 证明：如图，在上截取，连，    ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴，即， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． (2)（1）中结论不成立，； 【分析】（1）在上截取，连，根据题意证明，得到，，再由证明，由平角定义得到，则有，再证明，得到，则； （2）延长交于点H，根据题意证明，得到，，再由平分，证明，得到，则． 【详解】（1）略 （2）（1）中的结论不成立，； 理由：延长交于点H，    ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及全等三角形的性质和判定，解答过程中，根据题意做出辅助线构造全等三角形是解题关键． 7．（1）如图①，在中，是的中点，过点作直线，使，交的延长线于点，求证：．请结合图①写出完整的证明过程． （2）如图②，，，，连接、，是的中点，延长交于点，，，则的面积为________． 【答案】 （1）证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）8 【分析】（1）证明，即可解答； （2）过点A作，交的延长线于点G，证明，可得，从而得到，，，再结合，可得到，可证明，可得，，从而得到，进而得到，然后三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：（1）略 （2）如图，过点A作，交的延长线于点G， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的面积，利用倍长中线模型构造全等三角形转化线段关系是解题关键． 8．【探究与发现】 数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图1，已知是的中点，点在上，且．求证：． 小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．易证，故对应角，所以，因此可得．以上解法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题： (1)【初步感知】请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（    ） A．    B．    C．    D． (2)【灵活运用】如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是___________； (3)【拓展延伸】如图3，在中，平分，为的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：． 【答案】(1)B； (2)； (3) 证明，如图，延长至点，使得，连接， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系，三角形的中线的性质，勾股定理． （1）根据题干证明即可； （2）延长至点，使得，连接，根据中线的性质，全等三角形的判定和性质，则，可得，根据三角形三边的关系，可，即可； （3）延长至点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，则，根据平行线的性质，则，，根据角平分线的性质，可得，根据等量代换，等角对等边，即可证明． 【详解】（1）解：∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：B； （2）解：如图，延长至点，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）略 9．如图，已知中，，，分别过、向过的直线作垂线，垂足分别为． （1）如图1，过的直线与斜边不相交时，直接写出线段、、的数量关系是______； （2）如图2，过的直线与斜边相交时，探究线段、、的数量关系并加以证明； （3）在（2）的条件下，如图3，直线交于点，延长交于点，连接、、，若，，，四边形的面积是90，求的面积． 【答案】（1）数量关系为：EF=BE+CF； （2）数量关系为：EF=BE-CF． ∵BE⊥AF，CF⊥AF，∠BAC=90°， ∴∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC= =90°， ∴∠EBA=∠FAC， 在△EBA和△FEC中， ∵， ∴△EBA≌△FAC（AAS）， ∴BE=AF，AE=CF， ∴EF=AF-AE=BE-CF； （3）S△GHC=15． 【分析】（1）数量关系为：EF=BE+CF．利用一线三直角得到∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠FAC，再证△EBA≌△FEC（AAS）可得BE=AF，AE=CF即可； （2）数量关系为：EF=BE-CF．先证∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC= =90°，可得∠EBA=∠FAC，再证△EBA≌△FEC（AAS），可得BE=AF，AE=CF即可； （3）先由（2）结论EF=BE-CF；，求出BE=AF=12，由，可求FH=2，EH=4，利用对角线垂直的四边形面积可求BG=，再求EG=3，AH= 10，分别求出S△ACF=，S△HCF=，S△AGH=，利用面积差即可求出． 【详解】解：（1）数量关系为：EF=BE+CF． ∵BE⊥EF，CF⊥EF，∠BAC=90°， ∴∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC=180°-∠BAC=90°， ∴∠EBA=∠FAC， 在△EBA和△FEC中， ∵， ∴△EBA≌△FAC（AAS）， ∴BE=AF，AE=CF， ∴EF=AF+AE=BE+CF； （2） 略 （3）∵EF=BE-CF；， ∴BE=AF=EF+CF=6+6=12， ∵，EH+FH=EF=6， ∴2FH+FH= 6， 解得FH=2， ∴EH=2FH=4， S四边形ABFG==90， ∴BG=， ∴EG=BG-BE=15-12=3，AH=AE+EH=6+4=10， ∵S△ACF=，S△HCF=，S△AGH=， ∴S△GHC=S△ACF-S△HCF-S△AGH=36-6-15=15． 【点睛】本题考查图形变换探究线段和差问题，感知，探究以及应用，三角形全等判定与性质，三角形面积，四边形面积，与三角形高有关的计算，掌握图形变换探究线段和差问题，感知，探究以及应用，三角形全等判定与性质，三角形面积，四边形面积，与三角形高有关的计算是解题关键． 10．如图，在中，，，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，． (1)如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离； (2)如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：； (3)点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为_____． 【答案】(1)点到直线的距离为1； (2)证明：作交直线于，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即； (3)或6 【分析】（1）作交于，利用全等三角形判定方法证明，再利用全等三角形对应边相等，即可求解； （2）作交直线于，先利用证出，得到，再利用证出，即可完成证明； （3）由图可知，在射线运动过程中，在射线上运动，分3类情况讨论：①点在线段上，②点在射线上，点在线段上；③点在射线上，点在延长线上，由，得出，设，则，利用（2）中的全等三角形结论，用表示出、，再利用列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：作交于，则， ， ， ， ， ， 又， ， ， 点到直线的距离为1． （2）略 （3）解：由图可知，点在射线运动过程中，点在射线上运动， 下面分3类情况讨论： ①点在线段上，作交于，则， 由（1）得，， 同理， ， ， ， ， 设，则， ，， ， 解得：， (舍去)； ②点在射线上，点在线段上，同（2）作辅助线， 由（2）得，，， ， ， ， ， 设，则， ，， ， 解得：， ； ③点在线段延长线上，点在延长线上，同（2）作辅助线， 同②可得：， 设，则， ，， ， 解得：， ． 综上所述，的长为或6． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10全等三角形的辅助线问题 常考题型·精准突破 考点一 全等三角形的辅助线问题 题型1 连接两点构造全等三角形 题型2倍长中线模型 题型3 旋转模型 题型4 垂线模型 题型5 证一条线段等于两条线段和差 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 全等三角形的辅助线问题 ◆题型1 连接两点构造全等三角形 1．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出的长，就能求出工件内槽的宽的长，依据是____________． 2．如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，，在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)的面积为___________． 3．如图，在中，，在中，． (1)求证：； (2)连接，连接交于点，若点恰好是的中点，求证：． 4．数学兴趣小组在探讨全等三角形相关问题的解决方法时发现：当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题． (1)【问题初探】如图：在中，为边上的中线，则的取值范围为__________． (2)【类比分析】如图：在中，是的中线，于点且． 求的长度． ◆题型2倍长中线模型 5．如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，是的中线，已知，，则的取值范围为______． 7．【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在中， 是 边上的中线，，，若 边的长为整数，求 边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 至点 ，使，连接，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是　　　　； A．                B．               C．                D． (2)根据小明的方法思考，可得 的长可能为　　　　；（写出一个即可） 【类比迁移】 (3)如图②， 是的中线，交 于点 ，交 于点 ，． 求证：． 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长 至点 ，使，连结． ⋯⋯ 请完成上述证明过程． 【学以致用】 (4)如图④，在和中，， ， ，连结 、，取 的中点 ，连结．若，则　　　　． 8．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)【问题背景】如图1，是的中线，，求的取值范围． 我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线的取值范围．请按照上述思路，写出求解的取值范围的完整过程； (2)【变式思考】如图2，中，是中线，分别以为腰向外作等腰和等腰，，连接．求证：； (3)【探究延伸】如图3，在四边形中，对角线相交于点，点是的中点，，当时，求的长． ◆题型3 旋转模型 9．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝___．    11． 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 12．【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． ◆题型4 垂线模型 13．如图，四边形中，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．7 C．12 D．20 14．如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 15．数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 16．【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． ◆题型5 证一条线段等于两条线段和差 17．如图，在中，，平分交于点D．求证：． 18．如图，在中，，，与的平分线，交于点． (1)求的度数； (2)求证：． 19．（1）如图，在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】①如图1，当时，直接写出线段，，之间的数量关系是_______． 【类比迁移】②如图2，当时，①中的结论是否仍然成立?请说明理由． 【拓展应用】 （2）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G，G是的中点吗?请说明理由． 20．如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 综合攻坚·知能拔高 1．已知中，，，则边上的中线的取值范围是______．（用不等式表示） 2．如图，在中，，，，且AE=AB，连接交的延长线于点，，则______． 3．如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有________（写上序号） 二、解答题 4．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)如果要使以B，C，D为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点D坐标（A点除外）． (3)在y轴上有一动点P，使的距离最小，直接写出P点的坐标． 5．如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    6．如图，交于，交于平分平分，直线经过点并与分别交于点．    (1)如图①，求证：； (2)如图②，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，直接写出三条线段的数量关系． 7．（1）如图①，在中，是的中点，过点作直线，使，交的延长线于点，求证：．请结合图①写出完整的证明过程． （2）如图②，，，，连接、，是的中点，延长交于点，，，则的面积为________． 8．【探究与发现】 数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图1，已知是的中点，点在上，且．求证：． 小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．易证，故对应角，所以，因此可得．以上解法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题： (1)【初步感知】请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（    ） A．    B．    C．    D． (2)【灵活运用】如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是___________； (3)【拓展延伸】如图3，在中，平分，为的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：． 9．如图，已知中，，，分别过、向过的直线作垂线，垂足分别为． （1）如图1，过的直线与斜边不相交时，直接写出线段、、的数量关系是______； （2）如图2，过的直线与斜边相交时，探究线段、、的数量关系并加以证明； （3）在（2）的条件下，如图3，直线交于点，延长交于点，连接、、，若，，，四边形的面积是90，求的面积． 10．如图，在中，，，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，． (1)如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离； (2)如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：； (3)点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为_____． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $