专题09 复数及其应用（知识清单）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单系统整理了复数及其应用专题，涵盖复数概念、几何意义、运算、模的性质、实系数一元二次方程及三角形式等核心内容，构建了从基础概念到综合应用的知识体系。 清单采用分层突破与题型分类相结合的方式，如将模的最值问题标注为高频考点，通过几何意义转化为圆上点到定点距离，培养学生的数学思维与模型意识。特设方法点拨与易错剖析模块，如复数相等条件的参数求解技巧及分母不为零的警示，帮助学生精准突破重难点，教师可据此优化复习策略，提升备考效率。

专题09 复数及其应用 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 基础梳理・自主夯基 试卷第1页（共3页） 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 考点01 复数 考点02 实系数一元二次方程、复数的三角形式 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 高考解密・母题探究 题型01 复数的概念与实部虚部 题型02 复数的模 题型03 模的最值问题 重点突破・考法深研 重点01 复数的概念与纯虚数的充要条件 重点02 复数的几何意义及其应用 重点03 复数与三角函数的交汇问题 技法提炼・审题点拨 方法点拨01 复数的模与最值问题的转化 方法点拨02 复数的几何意义及其应用 方法点拨03 复数与三角函数的交汇问题 易错剖析・避坑攻略 易错点01 复数相等的条件与参数求解 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 复数 1．复数的有关概念 （1）i称为虚数单位，规定； （2）形如的数叫复数，其中a , b分别是它的实部和虚部．若，则为实数；若，则为虚数；若且，则为纯虚数；全体复数构成的集合用字母C表示； （3）共轭复数：复数称为复数的共轭复数，记为与对应复平面上的点关于实轴对称，且。 与共轭； （4）复数是实数的条件： ①；②；③； （5）复数是纯虚数的条件：①是纯虚数且；②是纯虚数 ；③是纯虚数； （6）复数与实数不同处：任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小。 （2026•浦东新区模拟）若是虚数单位），则复数的虚部是　　　　． 【答案】2． 【分析】利用复数的加减运算把已知等式变形，则答案可求． 【详解】解：由，得． 则复数的虚部是2． 故答案为：2． 【点评】本题考查复数代数形式的加减，考查复数的基本概念，是基础题． （2025•黄浦区二模）为虚数单位，若复数满足且，则　　　　． 【答案】． 【分析】根据已知条件，集合共轭复数的定义，复数的四则运算，实部的定义，即可求解． 【详解】解：设， 则， 因为，所以，即，解得， 又因为，即，所以， 则． 故答案为：． 【点评】本题主要考查共轭复数的定义，复数的四则运算，实部的定义，属于基础题． 2．复数的几何意义 （1）复数 复平面内的点。 注意：复数的对应点的坐标为，而不是的虚部是，不是）。 （2）复数平面向量。 （3）复数的模：复数在复平面上所对应的点到原点的距离，叫做复数的模，记作|z|，即． 3．复数的运算 （1）复数的加、减、乘、除运算法则 设，则 ①加法：； ②减法：； ③乘法：； ④除法：． （2）复数加法的运算定律 设 ，则复数加法满足以下运算律： ①交换律：； ②结合律：。 （2025•青浦区模拟）设，为虚数单位，若为纯虚数，则　　　　． 【答案】2． 【分析】先进行四则运算，然后结合纯虚数概念即可求解． 【详解】解：为纯虚数， 则， 故． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了复数四则运算及复数的基本概念，属于基础题． 设是虚数单位，复数满足，则　　　　． 【分析】利用复数的代数形式的乘除法则直接求解． 【详解】解：是虚数单位，复数满足， ． 故答案为：． 【点评】本题考查复数的求法，考查复数的代数形式的乘除法则等基础知识，考查推理论证能力能力与运算求解能力，属于基础题． 4．复数的模的几个重要结论 （1）；（2）；（3）；（4）； （5）；（6）； （7）若为虚数，则． （2025•普陀区三模）已知复数满足（其中为虚数单位），则　　　　． 【答案】． 【分析】结合复数模公式，以及共轭复数的定义，即可求解． 【详解】解：复数满足， 则，解得， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数模公式，以及共轭复数的定义，是基础题． （2025•长宁区二模）复数，，则　　　　． 【答案】． 【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解． 【详解】解：，， 则． 故答案为：． 【点评】本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题． 5．常用计算结论 （1）； （2）； （3） ； （4）； （5）（ 也有同样的性质）。 6．复平面内复数对应的点的几个基本轨迹 （1）（是正常数）轨迹是一个圆； （2） 是复常数轨迹是一条直线； （3）（、是复常数，是正常数）↔轨迹有三种可能情形： ①当 时，轨迹为椭圆；②当 时，轨迹为一条线段；③当时，轨迹不存在； （4）（是正常数）↔轨迹有三种可能情形： ①当 时，轨迹为双曲线；②当时，轨迹为两条射线；③当时，轨迹不存在。 7．解决复数概念问题的方法及注意事项 （1）复数分类及对应点位置问题，都可转化为复数的实部与虚部应满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）组即可——复数问题实数化； （2）解题时一定要先看复数是否为的形式，以确定实部和虚部． 考点02 实系数一元二次方程、复数的三角形式 1．实系数一元二次方程 （1）实系数一元二次方程中的为根的判别式， ①方程有两个不相等的实根； ② 方程有两个相等的实根； ③方程有两个共轭虚根． 在③的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立。 （2）求解复数集上的方程的方法： ①设化归为实数方程（组）来解决（化归思想）； ② 把看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数）——整体思想，用复数的性质来变形； ③对一元二次方程（实系数），直接用一元二次方程的求根公式（公式法）． 设为关于的方程，，的虚根，为虚数单位． （1）当时，求、的值； （2）若，在复平面上，设复数所对应的点为，复数所对应的点为，试求的取值范围． 【分析】（1）由，可得，可得方程的两根分别为，．利用根与系数的关系可得，解出，． （2）设，可得．由题意可得：．令，，，．，化简即可得出． 【详解】解：（1），， 则方程的两根分别为，． 由根与系数的关系可得，即，； （2）设，则． 由题意可得：． 令，，，． ，． 【点评】本题考查实系数一元二次方程的根与系数的关系、共轭复数的性质、三角函数求值、复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 2．复数的三角形式及几何意义 （1）复数的三角形式 的右边称为非零复数的三角形式，其中的称为的辐角，为复数的模，． 在 内的辐角称为的辐角主值，记作。 为了求出一个非零复数的三角形式，只要求出这个复数的模，然后再找出复数的一个辐角 （比如辐角主值）即可． （2）复数三角形式的乘法法则 ①法则： 模相乘，辐角相加。 ②几何意义：设 对应的向量分别为 ，将 绕原点旋转 ，再将 的模变为原来的 倍，如果所得向量为 ，则 对应的复数为 ；当 时，按逆时针方向旋转角 ，当 时，按顺时针方向旋转角 。 （3）复数三角形式的除法法则 ①法则： 模相除，辐角相减． ②几何意义：设 对应的向量分别为 ，将 绕原点 旋转 ，再将 的模变为原来的 倍，如果所得向量为 ，则 对应的复数为 。当 时，按顺时针方向旋转角 ；当 时，按逆时针方向旋转角 ． 题型01 复数的概念与实部虚部 考情定位： 上海高考复数部分的基础必考点，以填空题形式出现，分值5分左右，难度最低，属于试卷前3题的送分题.复数作为基础计算工具，同时也为后续解答题提供运算支撑. 核心考法： 1．将复数化为的标准形式后，根据实部、虚部条件列方程或不等式直接求解. 2．已知复数的类型（虚数、纯虚数等）求参数，需特别注意虚部不为零的隐含条件. 3．结合共轭复数定义进行简单运算. 解题要点： 1．先看复数是否为的形式，以确定实部和虚部. 2．设未知复数时需标注，并注明虚部不为零的附加条件（若涉及虚数或纯虚数）. 3．涉及为实数时，需先将分式化为标准形式，令虚部为0列方程. （2025•上海）已知复数，其中为虚数单位，则　　　　． 【答案】． 【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可． 【详解】解：， 故． 故答案为：． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题． （2024•上海）已知虚数，其实部为1，且，则实数为　　　　． 【答案】2． 【分析】根据已知条件，结合复数的概念，以及复数的四则运算，即可求解． 【详解】解：虚数，其实部为1， 则可设， 所以，因为， 所以，解得， 所以． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查复数的概念，以及复数的四则运算，属于基础题． 题型02 复数的模 考情定位： 上海高考复数模长的基础计算题，高频考点.通常在化简复数后直接套用模公式，难度较低，属于送分题. 核心考法： 1．直接化简复数后求模. 2．利用模的乘积性质简化运算，无需完全展开再求模. 解题要点： 1．先完成复数的乘除运算，化简为再套模公式。 2．遇到乘积形式，先分别求模再相乘，运算更快捷。 3．除法运算需将分母实数化，注意共轭复数运算不遗漏。 （2024•上海）已知，则　　　　． 【答案】． 【分析】利用复数的运算性质以及共轭复数的定义化简即可求解． 【详解】解：由题意可得， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了复数的运算性质，涉及到共轭复数的求解，属于基础题． 题型03 模的最值问题 考情定位： 上海高考复数的中等难度题型，从单纯的计算转向数形结合的综合应用。此类题型分值5分，需要学生具备复数几何意义的理解能力和转化能力。 核心考法： 1．利用复数模的几何意义，将视为复平面内点到定点的距离，将复数条件翻译为圆、线段、垂直平分线等几何图形. 2．设，将复数条件转化为坐标方程（如圆的方程），再将目标模长转化为两点间距离，求最值. 3．结合共轭条件（如可得）缩小点的运动范围，再求距离最值. 解题要点： 1．优先判断能否利用几何意义直观求解，避免复杂的代数展开. 2．设后，必须标注，按条件列坐标方程. 3．最值问题常转化为＂圆上一点到定点距离的最大／最小值＂，即圆心距加减半径. 4．注意模的条件可能给出的是圆环区域，此时最值为点到圆心距离加减或. （2026•上海）已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则　　　　． 【答案】3． 【分析】根据复数的几何意义分析求解即可． 【详解】解：复数满足，则复数对应的点的集合是以原点为圆心，2为半径的圆， 表示圆上一点到点的距离， 又圆心到点的距离为1， 则的最小值为， 而表示点到圆上一点的距离，且点到圆心的距离为，， 则的最小值为， 又的最小值与的最小值相同， 所以，解得． 故答案为：3． 【点评】本题考查复数模的几何意义及应用，考查运算求解能力，是中档题． （2025•上海）已知复数满足，，则的最小值是　　　　． 【答案】． 【分析】设，根据，可得，又，可得在复平面内对应的点的轨迹，由复数模的几何意义，可得的最小值． 【详解】解：设，则，， 因为，所以，即， 又，所以在复平面内对应的点的轨迹为或， 表示点到点的距离， 由点的轨迹可知，当，时，有最小值，最小值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查共轭复数和复数的模，属于中档题． 重点01 复数的概念与纯虚数的充要条件 先化标准形再下结论.实部是，虚部是（不是）.纯虚数要求且，缺一不可，时是实数.含参问题设代入整理成，列方程或不等式求解.，周期为4.分母含参先保证分母不为零. （2026•黄浦区三模）已知是虚数单位）、是实系数一元二次方程的两个根，则的虚部为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】 【分析】由题意可得，则答案可求． 【详解】解：是虚数单位）、是实系数一元二次方程的两个根， 由实系数一元二次方程虚根成对原理可得，， 则的虚部为． 故选：． 【点评】本题考查复数的基本概念，考查实系数一元二次方程虚根成对原理的应用，是基础题． （2026•浦东新区模拟）若是虚数单位），则复数的虚部是　　　　． 【答案】2． 【分析】利用复数的加减运算把已知等式变形，则答案可求． 【详解】解：由，得． 则复数的虚部是2． 故答案为：2． 【点评】本题考查复数代数形式的加减，考查复数的基本概念，是基础题． 已知复数满足为参数单位），则复数的实部与虚部之和为　　． 【分析】复数、，代入已知的等式，利用两个复数代数形式的乘除法法则及两个复数相等的充要条件，解方程组 求出复数的实部和虚部． 【详解】解：设复数、，代入已知的等式得， ，，，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相等的条件及复数实部、虚部的定义． 若复数，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】因复数是分式且分母含有复数，需要分子分母同乘以，再进行化简整理，由纯虚数的定义令实部为零求出的值． 【详解】解：由题意知，， 是纯虚数，，即． 故答案为：． 【点评】本题考查了复数代数形式的运算，含有分式时需要分子和分母同乘以分母的共轭复数，对分母进行实数化再化简，并且利用纯复数的定义进行求值． （2026•金山区二模）已知复数为虚数单位）为纯虚数，则实数______.【答案】． 【分析】由实部等于0且虚部不等于0求解即可． 【详解】解：由复数为纯虚数，得，即． 故答案为：． 【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题． （2025•上海模拟）设为虚数单位，若为纯虚数，则实数______. 【分析】直接由实部为0且虚部不为0列式求解． 【详解】解：为纯虚数， ，解得． 故答案为：2． 【点评】本题考查纯虚数的概念，是基础题． 重点02 共轭复数的性质及其运算 ，则.四条性质：（分母不为0），.最后一条最常用，遇到乘直接写成.求共轭先化标准形再改虚部俯号. （2026•浦东新区模拟）向量，设向量对应的复数为，则__________. 【答案】5． 【分析】求得复数，进而求解结论． 【详解】解：向量， 则向量对应的复数为， 则， 则． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查复数的模长，属于基础题． （2026•静安区模拟）已知，则__________. 【答案】． 【分析】由已知求解，再由求解． 【详解】解：由，得， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念及复数模的求法，是基础题． （2026•普陀区模拟）若复数满足（其中是虚数单位），则__________. 【答案】2． 【分析】结合共轭复数的定义，复数模公式，即可求解． 【详解】解：设， 则， ， ， ， 由，，解得， 故． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查共轭复数的定义，复数模公式，属于基础题． 重点03 复数的四则运算 乘法：多项式展开，换成-1，合并.除法：分子分母同乘分母共轭，分母化为.乘方：指数除以4取余，对应.建议分步写，每次整理成再继续. （2025•黄浦区三模）若复数为虚数单位），则（　　） A．在复平面对应的点位于第四象限 B． C． D． 【答案】 【分析】先求出复数，再结合复数的几何意义，以及共轭复数的定义求解． 【详解】解：复数， 对于，在复平面对应的点为，位于第四象限，故正确； 对于，因为，所以，故错误； 对于，因为，所以， 所以，故错误； 对于，因为，所以， 所以，故错误． 故选：． 【点评】本题主要考查了复数的运算，考查了共轭复数的定义，属于基础题． （2025•金山区二模）已知复数满足为虚数单位），则 　　 ． 【答案】． 【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解． 【详解】解：， 则． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题． （2025•上海模拟）已知复数为虚数单位），则的虚部为 ________． 【答案】20． 【分析】利用复数的乘法运算化简求得的标准形式，进而得到虚部． 【详解】解：复数为虚数单位）， 则， 故的虚部为20． 故答案为：20． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题． （2026•黄浦区模拟）已知是由复数组成的数列，为虚数单位），且，则的值为________． 【答案】． 【分析】根据复数的基本运算求解即可． 【详解】解：因为， 可得， 又，可得， 所以数列的奇数项都是，偶数项都是， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查的基本运算，考查计算能力，属于中档题． （2026•宝山区模拟）是虚数单位，复数的虚部为 　　　　． 【答案】． 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】解：， 复数的虚部为． 故答案为：． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． （2026•闵行区模拟）设，则复数的虚部为　　　　． 【答案】． 【分析】结合复数的四则运算，以及虚部的概念，即可求解． 【详解】解：， 故复数的虚部为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的概念，属于基础题． 方法点拨01 复数的模与最值问题的转化 .积与商的模：.最值问题用几何法：表标点到点的距离，模条件翻译成圆、垂直平分线等图形，最值转成点到圆心距离加减半径或点到直线距离.含根号的模方程可平方去根号，解完必须验根. （2026•上海模拟）已知复数，的模长为1，且，则（　　） A． B．1 C． D． 【答案】 【分析】设，，再用待定系数方法，结合复数相等得解． 【详解】解：设，， 由已知可得，， 则，， 由题意得，即， 则， 即，， 得． 故选：． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，考查复数的基本概念，是基础题． （2026•青浦区二模）已知复数，则___________. 【答案】． 【分析】结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解． 【详解】解：复数， 则． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题． （2026•宝山区二模）已知是虚数单位，复数满足，则___________. 【答案】． 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式求解即可． 【详解】解：由，得， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题． （2026•杨浦区模拟）若复数满足：，则___________. 【答案】． 【分析】结合复数模公式，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题． （2026•虹口区二模）已知复数满足是实数，则的最小值为___________. 【答案】． 【分析】设，由题意求出的轨迹，则答案可求． 【详解】解：设， 则， 由是实数，可得，即或， 的几何意义为动点到定点的距离， 最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 方法点拨02 复数的几何意义及其应用 对应点、向量.表示圆；表示垂直平分线；表示射线.象限看a, b符号.向量夹角用.实系数方程虚根必共轭，结合韦达定理求参. 设复数满足，在复平面内对应的点为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】由已知直接利用复数模的几何意义得答案． 【详解】解：复数满足，则在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆， 又在复平面内对应的点为， 轨迹方程为． 故选：． 【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． （2025•浦东新区模拟）若，则复数对应的点位于第（ ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【分析】先进行复数化简，再根据几何意义得解． 【详解】解：，，即． 对应的点为，在第四象限． 故选：． 【点评】本题考查复数几何意义，属于基础题． 在复平面内，复数所对应的点为．则__________. 【分析】由复数的几何意义得到，，再由复数的运算法则直接求得． 【详解】解：由题得：，，． 故答案为：2． 【点评】本题考查复数的几何意义、共轭复数、复数的运算，属于基础题． （2025•虹口区二模）已知是实系数一元二次方程的一个虚根，且，若在复平面上所对应的点在抛物线上，则 __________. 【答案】． 【分析】利用和抛物线求出复数，然后代入方程即可求出． 【详解】解：设，因为在复平面上所对应的点在抛物线上， 所以，，因为， 故，即，解得：或（舍去）， 故，， 当时，代入方程，得， 即，故，， 当时，代入方程得，， 即，故，， 综上可得，． 故答案为：． 【点评】本题考查了复数的几何意义，是中档题． （2026•浦东新区模拟）在复平面中，方程四个复数根对应的四点在同一个圆上，则该圆的半径为__________. 【答案】． 【分析】将原方程分解为两个二次方程，分别求出四个根对应的复平面点，观察四个点的对称性，推测圆心位置（可能在轴上），通过距离公式建立方程，求解参数，最终确定圆的半径． 【详解】解：方程的根分为两部分： 第一部分：解，得根，对应点和； 第二部分：解，得根，对应点和， 因为点和关于轴对称，点和关于原点对称， 所以推测圆心在轴上，设圆心为，半径为， 所以点到圆心的距离：， 点到圆心的距离：， 点到圆心的距离：， 所以，解得， 所以，且，解得，所以半径． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数根在复平面上的几何意义，以及共圆条件的应用，属于中档题． （2026•黄浦区二模）在复平面内，点，，分别表示复数，，0，已知，，，且，则向量与的夹角为__________. 【答案】． 【分析】利用向量加法的模长公式（其中为向量与的夹角），代入已知条件求解，进而确定夹角． 【详解】解：已知，，， 可得（其中为向量与的夹角）， 代入公式得：， 即， 化简得， 解得， 在范围内，时，． 故答案为：． 【点评】本题考查了复数的几何意义，是基础题． 方法点拨03 复数与三角函数的交汇问题 先处理复数部分（相等则列实部虚部两个方程），再合并成，最后套三角函数公式.辅助角合并时的象限由a, b的符号共同确定，不能只看正切值.周期.单调区间用换元法，令，先写范围再反解时注意不等号方向. 已知复数，，且． （1）若且，求的值； （2）设，求的最小正周期和单调减区间． 【分析】（1）由复数相等的充要条件得到关于的三角函数形式，根据所给的自变量的取值范围，得到结果． （2）整理出关于的三角函数形式，后面的问题就变成三角函数的有关性质的运算，求周期和单调区间，实际上，题目做到这里，它可以解决所有的三角函数性质问题． 【详解】解：（1） ， ， ， ， ， 即． （2） 函数的最小正周期是 由 得 的单调减区间． 【点评】在三角函数单调性运算时，要把三角函数经过恒等变形得到可以求解有关性质的形式，这两者结合同三角函数与向量结合一样． （2026•浦东新区模拟）已知复数，，，为虚数单位）． （1）若，且，求与的值； （2）设复数，在复平面上对应的向量分别为，若，且，求的最小正周期和单调递减区间． 【分析】（1）利用复数的运算法则和复数相等及特殊角的三角函数值即可得出； （2）利用向量的垂直与数量积的关系可得可得，再利用倍角公式和两角和差的正弦公式即可化简，利用三角函数的周期公式和单调性即可得出． 【详解】解：（1）由，可得，又，， 又， 故或． （2）， 由，可得， 又，故， 故的最小正周期， 又由，可得， 故的单调递减区间为． 【点评】熟练掌握复数的运算法则和复数相等及特殊角的三角函数值、向量的垂直与数量积的关系、倍角公式和两角和差的正弦公式、三角函数的周期公式和单调性是解题的关键． 易错点01 复数相等的条件与参数求解 等价于且，两个方程同时列，这是最核心的依据.分母含参时求出的参数值必须代回检验分母是否为零，使分母为0的值舍去，这一步不能省略.若题目涉及＂纯虚数＂，确认虚部不为0再作答. 已知，其中为虚数单位，则_________. 【分析】先对等式化简，然后根据复数相等的充要条件可得关于，的方程组，解出可得． 【详解】解：，即， 由复数相等的条件， 得，解得， ， 故答案为：1． 【点评】本题考查复数相等的充要条件，属基础题，正确理解复数相等的条件是解题关键． （2026•浦东新区模拟）已知、，复数，，为虚数单位，若，则的取值范围为_________. 【答案】． 【分析】由复数小于零可知复数的虚部为零，实部小于零，结合基本不等式从而得到答案． 【详解】解：，， 则，， 因为， 所以，即，， 由，根据基本不等式，当，同号时，， 即或， 所以的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 优题精练·专题实战通关 （2026•松江区二模）已知复数满足（其中为虚数单位），则　 　　 　． 【答案】1． 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，得到，进而得到答案． 【详解】解：， 则， 故． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题． （2026•静安区二模）若满足，且的复数有两个，分别设为、，则　 　　 　． 【答案】． 【分析】设，根据复数的几何意义分析可得，，联立方程运算求解即可． 【详解】解：设，，，， 由，得，可知点的轨迹是以为圆心，半径为5的圆，即； 又，则，可知点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支， 则，，，可得， 联立方程和，解得，， 且，则，，可得，， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，考查复数的代数表示法及其几何意义，是中档题． （2026•上海校级模拟）在复平面内，是坐标原点，复数，，，所对应的点分别是，，．若，则的值是　 　　 　． 【答案】． 【分析】由已知根据复数的几何意义可得，，三点的坐标，然后根据向量的坐标运算即可求解． 【详解】解：由已知可得，，， 所以，，， 所以， 由，所以， 解得，因此． 故答案为：． 【点评】本题考查复数的几何意义，平面向量的坐标运算，属于基础题． （2026•奉贤区二模）已知复数，，，是虚数单位，则的取值范围是　 　　 　． 【答案】，． 【分析】，结合，，，及辅助角公式化简得出结论． 【详解】解：， 因为，所以，所以，且，，， 代入化简： ，其中，且，． 所以的取值范围为，． 故答案为：，． 【点评】本题考查复数运算，考查辅助角公式的运用，考查余弦函数的性质，正确转化是关键，属于中档题． （2026•长宁区校级模拟）设复数，为虚数单位），若复数满足，则的最小值是　 　　 　． 【分析】由题意可得复数在复平面内对应的点的轨迹为以，为焦点，实半轴为，半焦距为的双曲线，求出对应的点，然后借助于双曲线的性质得答案． 【详解】解：设复数在复平面内对应的点为， ，，，在复平面内所对应点、的距离为， 由，可得的轨迹为以，为焦点，实半轴为，半焦距为的双曲线的右支， 而，且在直线上， 的最小值等于与的距离减去， 即． 故答案为：2． 【点评】本题考查复数模的求法，考查圆锥曲线的定义和性质，考查数学转化思想方法，属中档题． （2026•静安区校级模拟）已知复数满足，若复数，是虚数单位），记，则的最小值是　 　　 　． 【答案】． 【分析】设，，记，，，，，．由题可知，，点在以为圆心，2为半径的圆上或圆的内部，所以可以转化为，结合图象，由其几何意义可得． 【详解】解：设，，，，，，对应的点为，，，取，，． 则由，得，即． 由，得，即， 所以复数对应的点在以为圆心，2为半径的圆上或圆的内部． 所以． 所以的最小值是，当且仅当，，，四点共线，且是线段与圆的交点时，取得最小值． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数运算、复数的几何意义，属于中档题． （2026•嘉定区二模）在复平面内，已知点、、对应的复数分别为、、，其中是虚数单位． （1）求的值； （2）若复数满足，求． 【答案】（1）； （2）或． 【分析】（1）由已知写出点、、的坐标，写出向量，，即可求； （2）由已知可得复数对应的点到点和点距离相等，可知复数对应的点在的垂直平分线上，即的实部为3，再计算到的距离，由复数对应的点到原点的距离等于该值，即可解出． 【详解】解：（1）由点、、对应的复数分别为、、， 可得，，， ，， 则； （2）由，，，得， 则复数对应的点到点到和点距离相等， 所以这两点的中垂线是直线，即复数的实部为3，设，， 所以， 所以，解得， 所以或． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 复数及其应用 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 基础梳理・自主夯基 试卷第1页（共3页） 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 考点01 复数 考点02 实系数一元二次方程、复数的三角形式 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 高考解密・母题探究 题型01 复数的概念与实部虚部 题型02 复数的模 题型03 模的最值问题 重点突破・考法深研 重点01 复数的概念与纯虚数的充要条件 重点02 复数的几何意义及其应用 重点03 复数与三角函数的交汇问题 技法提炼・审题点拨 方法点拨01 复数的模与最值问题的转化 方法点拨02 复数的几何意义及其应用 方法点拨03 复数与三角函数的交汇问题 易错剖析・避坑攻略 易错点01 复数相等的条件与参数求解 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 复数 1．复数的有关概念 （1）i称为虚数单位，规定； （2）形如的数叫复数，其中a , b分别是它的实部和虚部．若，则为实数；若，则为虚数；若且，则为纯虚数；全体复数构成的集合用字母C表示； （3）共轭复数：复数称为复数的共轭复数，记为与对应复平面上的点关于实轴对称，且。 与共轭； （4）复数是实数的条件： ①；②；③； （5）复数是纯虚数的条件：①是纯虚数且；②是纯虚数 ；③是纯虚数； （6）复数与实数不同处：任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小。 （2026•浦东新区模拟）若是虚数单位），则复数的虚部是　　　　． （2025•黄浦区二模）为虚数单位，若复数满足且，则　　　　． 2．复数的几何意义 （1）复数 复平面内的点。 注意：复数的对应点的坐标为，而不是的虚部是，不是）。 （2）复数平面向量。 （3）复数的模：复数在复平面上所对应的点到原点的距离，叫做复数的模，记作|z|，即． 3．复数的运算 （1）复数的加、减、乘、除运算法则 设，则 ①加法：； ②减法：； ③乘法：； ④除法：． （2）复数加法的运算定律 设 ，则复数加法满足以下运算律： ①交换律：； ②结合律：。 （2025•青浦区模拟）设，为虚数单位，若为纯虚数，则　　　　． 设是虚数单位，复数满足，则　　　　． 4．复数的模的几个重要结论 （1）；（2）；（3）；（4）； （5）；（6）； （7）若为虚数，则． （2025•普陀区三模）已知复数满足（其中为虚数单位），则　　　　． （2025•长宁区二模）复数，，则　　　　． 5．常用计算结论 （1）； （2）； （3） ； （4）； （5）（ 也有同样的性质）。 6．复平面内复数对应的点的几个基本轨迹 （1）（是正常数）轨迹是一个圆； （2） 是复常数轨迹是一条直线； （3）（、是复常数，是正常数）↔轨迹有三种可能情形： ①当 时，轨迹为椭圆；②当 时，轨迹为一条线段；③当时，轨迹不存在； （4）（是正常数）↔轨迹有三种可能情形： ①当 时，轨迹为双曲线；②当时，轨迹为两条射线；③当时，轨迹不存在。 7．解决复数概念问题的方法及注意事项 （1）复数分类及对应点位置问题，都可转化为复数的实部与虚部应满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）组即可——复数问题实数化； （2）解题时一定要先看复数是否为的形式，以确定实部和虚部． 考点02 实系数一元二次方程、复数的三角形式 1．实系数一元二次方程 （1）实系数一元二次方程中的为根的判别式， ①方程有两个不相等的实根； ② 方程有两个相等的实根； ③方程有两个共轭虚根． 在③的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立。 （2）求解复数集上的方程的方法： ①设化归为实数方程（组）来解决（化归思想）； ② 把看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数）——整体思想，用复数的性质来变形； ③对一元二次方程（实系数），直接用一元二次方程的求根公式（公式法）． 设为关于的方程，，的虚根，为虚数单位． （1）当时，求、的值； （2）若，在复平面上，设复数所对应的点为，复数所对应的点为，试求的取值范围． 2．复数的三角形式及几何意义 （1）复数的三角形式 的右边称为非零复数的三角形式，其中的称为的辐角，为复数的模，． 在 内的辐角称为的辐角主值，记作。 为了求出一个非零复数的三角形式，只要求出这个复数的模，然后再找出复数的一个辐角 （比如辐角主值）即可． （2）复数三角形式的乘法法则 ①法则： 模相乘，辐角相加。 ②几何意义：设 对应的向量分别为 ，将 绕原点旋转 ，再将 的模变为原来的 倍，如果所得向量为 ，则 对应的复数为 ；当 时，按逆时针方向旋转角 ，当 时，按顺时针方向旋转角 。 （3）复数三角形式的除法法则 ①法则： 模相除，辐角相减． ②几何意义：设 对应的向量分别为 ，将 绕原点 旋转 ，再将 的模变为原来的 倍，如果所得向量为 ，则 对应的复数为 。当 时，按顺时针方向旋转角 ；当 时，按逆时针方向旋转角 ． 题型01 复数的概念与实部虚部 考情定位： 上海高考复数部分的基础必考点，以填空题形式出现，分值5分左右，难度最低，属于试卷前3题的送分题.复数作为基础计算工具，同时也为后续解答题提供运算支撑. 核心考法： 1．将复数化为的标准形式后，根据实部、虚部条件列方程或不等式直接求解. 2．已知复数的类型（虚数、纯虚数等）求参数，需特别注意虚部不为零的隐含条件. 3．结合共轭复数定义进行简单运算. 解题要点： 1．先看复数是否为的形式，以确定实部和虚部. 2．设未知复数时需标注，并注明虚部不为零的附加条件（若涉及虚数或纯虚数）. 3．涉及为实数时，需先将分式化为标准形式，令虚部为0列方程. （2025•上海）已知复数，其中为虚数单位，则　　　　． （2024•上海）已知虚数，其实部为1，且，则实数为　　　　． 题型02 复数的模 考情定位： 上海高考复数模长的基础计算题，高频考点.通常在化简复数后直接套用模公式，难度较低，属于送分题. 核心考法： 1．直接化简复数后求模. 2．利用模的乘积性质简化运算，无需完全展开再求模. 解题要点： 1．先完成复数的乘除运算，化简为再套模公式。 2．遇到乘积形式，先分别求模再相乘，运算更快捷。 3．除法运算需将分母实数化，注意共轭复数运算不遗漏。 （2024•上海）已知，则　　　　． 题型03 模的最值问题 考情定位： 上海高考复数的中等难度题型，从单纯的计算转向数形结合的综合应用。此类题型分值5分，需要学生具备复数几何意义的理解能力和转化能力。 核心考法： 1．利用复数模的几何意义，将视为复平面内点到定点的距离，将复数条件翻译为圆、线段、垂直平分线等几何图形. 2．设，将复数条件转化为坐标方程（如圆的方程），再将目标模长转化为两点间距离，求最值. 3．结合共轭条件（如可得）缩小点的运动范围，再求距离最值. 解题要点： 1．优先判断能否利用几何意义直观求解，避免复杂的代数展开. 2．设后，必须标注，按条件列坐标方程. 3．最值问题常转化为＂圆上一点到定点距离的最大／最小值＂，即圆心距加减半径. 4．注意模的条件可能给出的是圆环区域，此时最值为点到圆心距离加减或. （2026•上海）已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则　　　　． （2025•上海）已知复数满足，，则的最小值是　　　　． 重点01 复数的概念与纯虚数的充要条件 先化标准形再下结论.实部是，虚部是（不是）.纯虚数要求且，缺一不可，时是实数.含参问题设代入整理成，列方程或不等式求解.，周期为4.分母含参先保证分母不为零. （2026•黄浦区三模）已知是虚数单位）、是实系数一元二次方程的两个根，则的虚部为（　　） A．3 B． C． D． （2026•浦东新区模拟）若是虚数单位），则复数的虚部是　　　　． 已知复数满足为参数单位），则复数的实部与虚部之和为　　　　． 若复数，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为　　　　． （2026•金山区二模）已知复数为虚数单位）为纯虚数，则实数______. （2025•上海模拟）设为虚数单位，若为纯虚数，则实数　　　　． 重点02 共轭复数的性质及其运算 ，则.四条性质：（分母不为0），.最后一条最常用，遇到乘直接写成.求共轭先化标准形再改虚部俯号. （2026•浦东新区模拟）向量，设向量对应的复数为，则__________. （2026•静安区模拟）已知，则__________. （2026•普陀区模拟）若复数满足（其中是虚数单位），则__________. 重点03 复数的四则运算 乘法：多项式展开，换成-1，合并.除法：分子分母同乘分母共轭，分母化为.乘方：指数除以4取余，对应.建议分步写，每次整理成再继续. （2025•黄浦区三模）若复数为虚数单位），则（　　） A．在复平面对应的点位于第四象限 B． C． D． （2025•金山区二模）已知复数满足为虚数单位），则　　　　． （2025•上海模拟）已知复数为虚数单位），则的虚部为　　　　． （2026•黄浦区模拟）已知是由复数组成的数列，为虚数单位），且，则的值为　　　　． （2026•宝山区模拟）是虚数单位，复数的虚部为 　　　　． （2026•闵行区模拟）设，则复数的虚部为　　　　． 方法点拨01 复数的模与最值问题的转化 .积与商的模：.最值问题用几何法：表标点到点的距离，模条件翻译成圆、垂直平分线等图形，最值转成点到圆心距离加减半径或点到直线距离.含根号的模方程可平方去根号，解完必须验根. （2026•上海模拟）已知复数，的模长为1，且，则（　　） A． B．1 C． D． （2026•青浦区二模）已知复数，则___________. （2026•宝山区二模）已知是虚数单位，复数满足，则___________. （2026•杨浦区模拟）若复数满足：，则___________. （2026•虹口区二模）已知复数满足是实数，则的最小值为___________. 方法点拨02 复数的几何意义及其应用 对应点、向量.表示圆；表示垂直平分线；表示射线.象限看a, b符号.向量夹角用.实系数方程虚根必共轭，结合韦达定理求参. 设复数满足，在复平面内对应的点为，则（　　） A． B． C． D． （2025•浦东新区模拟）若，则复数对应的点位于第（ ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 在复平面内，复数所对应的点为．则__________. （2025•虹口区二模）已知是实系数一元二次方程的一个虚根，且，若在复平面上所对应的点在抛物线上，则 __________. （2026•浦东新区模拟）在复平面中，方程四个复数根对应的四点在同一个圆上，则该圆的半径为__________. （2026•黄浦区二模）在复平面内，点，，分别表示复数，，0，已知，，，且，则向量与的夹角为__________. 方法点拨03 复数与三角函数的交汇问题 先处理复数部分（相等则列实部虚部两个方程），再合并成，最后套三角函数公式.辅助角合并时的象限由a, b的符号共同确定，不能只看正切值.周期.单调区间用换元法，令，先写范围再反解时注意不等号方向. 已知复数，，且． （1）若且，求的值； （2）设，求的最小正周期和单调减区间． （2026•浦东新区模拟）已知复数，，，为虚数单位）． （1）若，且，求与的值； （2）设复数，在复平面上对应的向量分别为，若，且，求的最小正周期和单调递减区间． 易错点01 复数相等的条件与参数求解 等价于且，两个方程同时列，这是最核心的依据.分母含参时求出的参数值必须代回检验分母是否为零，使分母为0的值舍去，这一步不能省略.若题目涉及＂纯虚数＂，确认虚部不为0再作答. 已知，其中为虚数单位，则_________. （2026•浦东新区模拟）已知、，复数，，为虚数单位，若，则的取值范围为_________. 优题精练·专题实战通关 （2026•松江区二模）已知复数满足（其中为虚数单位），则　 　　 　． （2026•静安区二模）若满足，且的复数有两个，分别设为、，则　 　　 　． （2026•上海校级模拟）在复平面内，是坐标原点，复数，，，所对应的点分别是，，．若，则的值是　 　　 　． （2026•奉贤区二模）已知复数，，，是虚数单位，则的取值范围是　 　　 　． （2026•长宁区校级模拟）设复数，为虚数单位），若复数满足，则的最小值是　 　　 　． （2026•静安区校级模拟）已知复数满足，若复数，是虚数单位），记，则的最小值是　 　　 　． （2026•嘉定区二模）在复平面内，已知点、、对应的复数分别为、、，其中是虚数单位． （1）求的值； （2）若复数满足，求． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $