专题04 指对幂函数及其函数的应用（知识清单）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单系统整合了指对幂函数及其函数应用专题，涵盖幂函数与二次函数、指数与指数函数、对数与对数函数、函数综合应用及函数模型五大核心考点，通过知识脑图搭建脉络框架，考点分层突破构建完整知识体系。 清单以母题探究和技法提炼为特色，如题型部分标注考情定位与解题要点，重点模块配备方法总结与典例解析，培养学生数学思维与运算能力。特设易错剖析与优题精练，如函数零点问题结合数形结合思想标注易错点，函数模型应用专题强化实际问题转化，助力学生自主复习，教师可依托分层设计优化教学，提升备考效率。

专题04 指对幂函数及其函数的应用 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 基础梳理・自主夯基 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 考点01 幂函数与二次函数 考点02 指数与指数函数 考点03 对数与对数函数 考点04 函数的综合应用 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 高考解密・母题探究 题型01 求幂函数的解析式 题型02 有理数指数幂及根式化简运算求值 题型03 指数函数图象特征与底数的关系 题型04 求对数函数的定义域 题型05 函数的零点与方程根的关系 题型06 函数与方程的综合运用 题型07 分段函数的应用 重点突破・考法深研 重点01 幂函数的定义 重点02 幂函数的单调性 重点03 比较指数幂的大小 重点04 指数与指数幂的运算 重点05 指数函数的图象 重点06 指数函数的单调性 重点07 对数的运算 重点08 运用换底公式化简计算 重点09 指数式与对数式的互化 重点10 求函数的零点 重点11 求函数零点或方程根的个数 重点12 利用给定函数模型解决实际问题 重点13 由对数函数的单调性解不等式 重点14 根据函数零点的个数求参数范围 技法提炼・审题点拨 方法点拨01 对数型函数图象过定点问题 方法点拨02 求对数型复合函数的定义域 方法点拨03 求对数型复合函数的值域 易错剖析・避坑攻略 易错点01 函数与方程的综合应用 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 幂函数与二次函数 1.幂函数的概念 一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数. 幂函数表达式的特征： （1）自变量 处在幂底数的位置，幂指数 为常数； （2） 的系数为 1； （3）只有一项. 2.五种常见幂函数的图像与性质 函数 图像 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 严格增 严格减 严格增 严格增 严格增 和 严格减 公共点 3.有关幂函数的几个结论 对于形如 （其中 且 ，， 与 互质）的幂函数： （1）当 为偶数时， 为偶函数，图像关于 轴对称； （2）当 、 都为奇数时， 为奇函数，图像关于原点对称； （3）当 为偶数时，（或 ）， 是非奇非偶函数，图像只在第一象限（或第一象限及原点处）. 4.二次函数的图像和性质 图像 开口向上抛物线 开口向下抛物线 定义域 值域 单调性 在 上严格减，在 上严格增 在 上严格增，在 上严格减 奇偶性 时为偶函数， 时既不是奇函数也不是偶函数 时为偶函数， 时既不是奇函数也不是偶函数 图像特点 ① 对称轴方程：；② 顶点坐标： ① 对称轴方程：；② 顶点坐标： 5.二次函数最值问题的三种类型及解题思路 （1）类型：① 对称轴、区间都是给定的；② 对称轴动、区间固定；③ 对称轴定、区间变动； （2）思路：抓“三点一轴”，三点——区间两个端点和中点，一轴——对称轴. 6.由不等式恒成立求参数取值范围的两大思路及一个关键 （1）思路：一是分离参数；二是不分离参数； （2）关键：两种思路都是将问题归结为求函数的值域或最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.在函数 能取到最值的情况下，其依据是：，. （2026·上海·一模）若存在定义域为的幂函数和有意义的对数，则整数n的取值集合为______. 【答案】 【知识点】对数函数的概念判断与求值、根据函数是幂函数求参数值 【详解】由题意可知，，，，，， 则，， 若，则定义域为，符合题意； 若，则定义域为，符合题意； 若，则定义域为，符合题意， 所以整数n的取值集合为 考点02 指数与指数函数 1.根式与指数幂的运算 （1）（ 且 ）； （2） 2.指数幂的运算性质 （1）（，）； （2）（，）； （3）（，，）. 3.指数函数的图像与性质 y=ax 图像 定义域 值域 性质 过定点 当 时，；当 时，； 在区间 上是严格增函数 当 时，；当 时，； 在区间 上是严格减函数 （2025·上海·三模）设集合，则__________. 【答案】 【知识点】交集的概念及运算、由指数函数的单调性解不等式 【分析】解指数不等式求得集合，利用交集的意义可求. 【详解】由，可得，所以， 所以. 故答案为：. （2025·上海嘉定·二模）已知实数a，b满足，则下列不等式中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较指数幂的大小、由基本不等式比较大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】根据幂函数的单调性、特殊值、基本不等式、指数函数的单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，幂函数在上单调递增， 由于，所以，A选项不等式恒成立. B选项，当时，，但，B选项不等式不恒成立. C选项，，根据基本不等式可知，B选项不等式恒成立. D选项，指数函数在上单调递增， 由于，所以，D选项不等式恒成立. 故选：B 考点03 对数与对数函数 1.对数的概念及运算性质 一般地，如果 （，且 ）的 次幂等于 ，即 ，那么，数 叫做以 为底 的对数，记作：. 概念 如果 （，且 ），那么数 叫做以 为底 的对数，记作 ，其中 叫做对数的底数， 叫做真数， 叫做对数式 性质 对数式与指数式的互化：（，且 ，）；，，（，且 ，） 运算法则 ； ； （）；（，且 ，，） 换底公式 （，且 ，，且 ，） 2.对数函数的图像与性质 图像 性质 定义域为 ； 值域为 ； 过定点 ； 当 时，；当 时，； 在区间 上是严格增函数 定义域为 ； 值域为 ； 过定点 ； 当 时，；当 时，； 在区间 上是严格减函数 说明：正数 、 均不为 1 时，当 时，；当 时，. 3.反函数 指数函数 （，且 ）与对数函数 （，且 ）互为反函数，它们的图像关于直线 对称. （2025·上海崇明·三模）已知函数，则__________. 【答案】3 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、对数函数的概念判断与求值 【分析】利用分段函数解析式，可得答案. 【详解】由，则. 故答案为：. （2025·上海·三模）函数的定义域为______. 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域 【分析】根据对数真数大于零以及二次根式有意义的条件列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则，解得， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 考点04 函数的综合应用 1.图像及应用 （1）幂函数的图像记忆，可记住（或描绘）第一象限图像，并结合定义域与奇偶性确定第二或第三象限上的图像特征； （2）指数函数的图像，可以联合对数函数图像以反函数对称性进行成对记忆； （3）图像的应用，建议从五大部分入手：定义域、值域（最值、有界性）、特殊的点线（坐标轴上的点、恒过定点、最值点、零点及渐近线、对称轴等）、性质（奇偶性、单调性、对称性、周期性）、方程与不等式. 2.范围与最值 以图像为依托考查幂、指、对函数有关的最值问题或值域问题，考题或以复合函数通过换元来分析，或以分段函数通过两个图像综合考虑来分析，要求掌握图像，不能混淆. 3.方程与不等式 以图像为依托考查幂、指、对函数有关的方程与不等式问题，考题或以复合函数通过换元来分析，或以分段函数通过两个图像综合考虑来分析，要求能通过方程与不等式的等价变形来发现并转化. 考点05 函数应用题 1.几种常见的函数模型 函数模型 函数表达式 一次函数模型 （、 为常数，） 二次函数模型 （、、 为常数，） 指数函数模型 （、、 为常数， 且 ，） 对数函数模型 （、、 为常数， 且 ，） 幂函数模型 （、、 为常数，，） 2.三种函数模型性质比较 （） （） （） 在 上的单调性 严格增函数 严格增函数 严格增函数 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图像的变化 随 值增大，图像与 轴接近平行 随 值增大，图像与 轴接近平行 随 值变化而不同 3.解答应用问题的步骤 （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； （2）建模：把自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； （3）解模（求模）：求解数学模型，得出数学结论； 素养进阶·答题技法突破 题型01 求幂函数的解析式 考情定位：上海高考幂函数基础题型，常以选择题考查，难度偏低，分值约4分，属必拿得分点。 核心考法：①由幂函数定义（系数为1）求参数值；②结合单调性确定指数取值范围；③利用过定点条件验证并排除选项。 解题要点：①紧扣幂函数系数为1列方程求参数；②由单调递增或递减判定指数正负；③将已知点代入验证，排除不符选项。 （2025•上海）幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（　　） A． B． C． D．3 【答案】 【分析】根据幂函数的单调性可排除和；根据幂函数过点，可排除． 【解答】解：对于，若，则，当时，， 所以幂函数过点，故错误； 对于，若，则，当时，， 所以幂函数过点，故正确， 因为幂函数在上是严格减函数，所以，故错误，错误． 故选：． 【点评】本题主要考查幂函数的解析式，属于基础题． 题型02 有理数指数幂及根式化简运算求值 考情定位：上海高考基础运算题型，多以选择题考查，难度偏低，分值约4分，考查根式与指数幂互化。 核心考法：①根式与分数指数幂的互化公式应用；②利用指数幂运算性质化简求值；③结合变量取值讨论根式正负。 解题要点：①熟记n次方根与分数指数幂互化公式；②运算时注意底数为负时n的奇偶性影响；③优先统一为指数形式再化简计算。 （2026•上海）已知为不为1的任意实数，则（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用根式与指数幂的互化公式求解． 【解答】解：因为为不为1的任意实数， 所以． 故选：． 【点评】本题主要考查了根式与指数幂的互化，属于基础题． 题型03 指数函数图象特征与底数的关系 考情定位：上海高考常考题型，以选择题为主，难度中等偏下，分值约4-5分，考查底数与单调性的关系。 核心考法：①由底数或判断函数单调性；②结合特殊值法判断不等式是否成立；③利用指数函数图象比较函数值大小。 解题要点：①优先用特殊值代入排除错误选项；②注意时递增、时递减；③比较函数值时统一底数或借助中间值0或1。 （2025•上海）设，．下列各项中，能推出的一项是（　　） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】 【分析】利用特殊值法判断；利用指数函数的单调性判断． 【解答】解：对于，取，，则，故错误； 对于，取，，则，故错误； 对于，取，，则，故错误； 对于，当时，是减函数， 时，，故正确． 故选：． 【点评】本题考查指数函数的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 题型04 求对数函数的定义域 考情定位：上海高考填空题基础题型，年年常考，难度偏低，分值约4分，属必拿送分点。 核心考法：①由对数真数大于0列不等式求定义域；②结合二次根式、分式等限制条件联立求解；③含参数时分类讨论定义域。 解题要点：①真数大于0是核心约束，不可遗漏；②多个限制条件取交集，用数轴辅助判断端点；③含参数时讨论参数对解集的影响。 （2024•上海）的定义域 　 　． 【答案】． 【分析】结合对数函数真数的性质，即可求解． 【解答】解：的定义域为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查对数函数定义域的求解，属于基础题． 题型05 函数的零点与方程根的关系 考情定位：上海高考中档题型，填空题与解答题均可能出现，分值4-12分，考查方程与函数转化思想。 核心考法：①将方程根问题转化为函数零点问题；②利用零点存在性定理判断零点个数；③结合函数图象数形结合求零点或参数范围。 解题要点：①零点问题优先转化为的方程根；②利用函数单调性与端点值符号判断零点个数；③含参数时分离参数或分类讨论，结合图象分析。 （2025•上海）关于的方程的解集为_________. 【答案】，． 【分析】根据的取值范围去绝对值，分类讨论解方程即可． 【解答】解：因为． 当时，令，得； 当时，恒成立； 当时，令，得． 综上所述，方程的解集为，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了函数与方程思想，考查了分类讨论思想，属于基础题． （2025•上海）已知函数的定义域为．对于正实数，定义集合． （1）若，判断是否是中的元素，并说明理由； （2）若，，求的取值范围； （3）设是偶函数，当，时，，且对任意，均有．写出，的解析式，并证明：对任意实数，函数在，上至多有9个零点． 【答案】（1）不属于，理由见解答． （2）． （3）时，；证明见解答． 【分析】（1）结合集合的定义判断即可． （2）结合已知推导出存在，满足，设，可得所以与至少有两个交点，由函数图象得出与表达式，求出的最大值和最小值即可． （3）结合已知推导出当时，若，则必有，那么再结合偶函数的性质，先得出当时，，进而结合等式关系推导出时，，进而判断零点个数即可． 【解答】解：（1）由题意，，，当时，， ，故不属于． （2）根据可得，存在，满足， 设，所以与至少有两个交点， 当，单调递增，，， 当，单调递增，，， 当，时，与有两个交点， 此时，， 所以，可得， 因为，，所以． （3）由题意，当时，若，则必有， 由为偶函数，故当时，易得， 任取，则必有使， 即满足时，任意的，皆满足， 即任意的，， 故时，易得； 同理可得当，时，， 由为偶函数，易得，时，，，时，， 由，，（2）仅有（2）的限制，函数值可任取， 故当时，在，内可最多取个零点， 故对任意的实数，函数在，上至多有9个零点． 【点评】本题考查函数零点与方程根的综合应用，属于难题． 题型06 函数与方程的综合运用 考情定位：上海高考压轴题型，常以解答题出现，难度较高，分值12-18分，考查新定义与函数综合。 核心考法：①理解新定义并转化为函数性质分析；②利用导数研究函数单调性与最值；③结合充要条件进行证明与推理。 解题要点：①新定义题先理解定义再转化为已知函数模型；②综合题优先用导数分析单调性、极值与最值；③证明题注意充分性与必要性分别论证。 （2026•上海）对于函数，，设，，．对于点集，若存在，，使得任取，总有，则称，为“最低点”．对于函数和，以下说法中正确的是（　　） A．若和都有最小值，则有最低点 B．若有最低点，则和都有最小值 C．若或有最小值，则有最低点 D．若有最低点，则或有最小值 【答案】 【分析】选项：若和都有最小值，未必有最低点（反例显示其区域无统一最小，故错误； 选项：若有最低点，和不一定都有最小值（如时，交集有最低点但无最小值），故错误； 选项：若或有最小值，未必有最低点（如，的并集无统一最小，故错误； 选项：若有最低点，则该点属于或，对应或存在最小值，故正确． 【解答】解：对于，可举反例：，， 此时，且或且，故错误； 对于，可举反例：，，此时，且或且， 显然此时为，但和都没有最小值，故错误； 对于，可举反例；，，显然没有“最低点”，故错误； 对于，若有“最低点”，不妨记最低点为，， 则，或，，且有或， 故或，故选项正确． 故选：． 【点评】本题考查函数与方程的综合运用与最值，属于中档题． （2024•上海）现定义如下：当时，若，则称为延展函数．现有，当时，与均为延展函数，则以下结论（　　） （1）存在，；，与有无穷个交点 （2）存在，；，与有无穷个交点 A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立 C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立 【答案】 【分析】根据题意，对于①，由“延展函数”的定义，分析可得是周期为1的周期函数，结合一次函数的性质可得①错误，对于②，举出例子，可得②正确，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，当时，与均为延展函数， 对于①，对于，， 则是周期为1的周期函数，其值域为， 因为，与不会有无穷个交点，所以（1）错； 对于②，当时，存在使得直线可以与在区间的函数部分重合，因而有无穷个交点，所以（2）正确． 故选：． 【点评】本题考查函数与方程的关系，涉及函数的图象，关键理解“延展函数”的定义，属于基础题． （2024•上海）记（a）（a），，（a）（a），． （1）若，求（1）和（1）； （2）若，求证：对于任意，都有（a），，且存在，使得（a）． （3）已知定义在上有最小值，求证“是偶函数“的充要条件是“对于任意正实数，均有（c）”． 【答案】（1）（1），；（1），； （2）证明过程见解答； （3）证明过程见解答． 【分析】（1）根据条件，直接求出（1）和（1）即可； （2）由题意知，（a），，记，判断的单调性，求出极值，再对分类讨论，进一步证明结论成立即可； （3）必要性：若为偶函数，则，，（c）（c），，结合条件，得到（c）即可；充分性：若对于任意正实数，均有（c），其中，，（c）（c），，由有最小值，不妨设（a），进一步证明是偶函数即可． 【解答】解：（1）由题意，得（1），，； ． （2）证明：由题意知，（a），， 记，则或2． 0 2 正 0 负 0 正 极大值 极小值 现对分类讨论，当，有，为严格增函数， 因为（a），所以此时（a），，符合条件； 当时，，先增后减，， 因为取等号），所以， 则此时（a），，也符合条件； 当时，，，在，严格增，在，严格减，在，严格增， ， 因为（a），当时，（a），则（a）， 则此时（a），，成立； 综上可知，对于任意，都有（a），，且存在，使得（a）． （3）证明：必要性：若为偶函数， 则，，（c）（c），， 当，（c），因为，故（c）； 充分性：若对于任意正实数，均有（c）， 其中，，（c）（c），， 因为有最小值，不妨设（a）， 由于任意，令，则，，所以最小元素为（a）． （c）中最小元素为（c），又（c）（c）对任意成立， 所以（a）， 若，则（c）对任意成立是偶函数； 若，此后取，， 综上，任意，（c），即是偶函数． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，充分必要条件的证明，函数的奇偶性与集合间的关系，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题． 题型07 分段函数的应用 考情定位：上海高考中档题型，填空题与解答题均可出现，分值4-14分，考查分段函数性质与不等式求解。 核心考法：①分段函数解析式求值与解不等式；②结合新定义分析分段函数的性质；③利用函数奇偶性、单调性研究分段函数综合问题。 解题要点：①解分段函数不等式需分段讨论再取并集；②注意各段定义域的边界与端点取舍；③新定义题将条件转化为分段函数各段间的关系式。 （2024•上海）已知，求的的取值范围 　 　． 【答案】，． 【分析】根据已知求得，再分以及分别求解即可． 【解答】解：根据题意知， 所以当时，，解得，； 同理当时，，解得； 综上所述：，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查分段函数的相关知识，考查不等式的求解，考查计算能力，属于中档题． （2026•上海）设是定义在上的函数．定义性质：若对任意，，当时，，则称函数具有“性质”． （1）判断函数是否具有“性质”； （2）若分段函数具有“性质”，求所有满足条件的实数和的解； （3）已知的值域为，，且在，上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是：具有“性质”． 【答案】（1）不具有性质； （2），； （3）先证充分性：不妨设，由于函数在，上为严格增函数， 所以得， 又因为且， 所以得到，所以函数具有性质， 再证必要性：利用反证法，假设函数不是偶函数， 则存在，使得， 不妨设，由于函数在，上为严格增函数， 则存在，使得（a），①， 因为，所以， 由于函数具有性质，所以得到（a）②， 可见①②不能同时成立，所以矛盾， 原假设不成立，函数为偶函数， 当时，同理可证， 综上所述：函数具有性质的充要条件是为偶函数． 【分析】（1）根据性质的条件即可； （2）通过性质的条件推导，即可得出满足要求的参数为，； （3）充分性：若是偶函数且在，上严格递增，则具有性质；必要性：若具有性质，则必是偶函数，故具有性质的充要条件是为偶函数． 【解答】解：（1）由于，但， 所以与性质矛盾，所以不具有性质； （2）不妨任取，，使得， 根据性质得到：，所以得到； ，所以得到①； ，所以得到②； 联立①②得：， 由于的任意性，取，得到，所以； 于是①化简为，推理得； 于是②化简为，推理得； 所以， 综上可得：，； （3）先证充分性：不妨设，由于函数在，上为严格增函数， 所以得， 又因为且， 所以得到，所以函数具有性质， 再证必要性：利用反证法，假设函数不是偶函数， 则存在，使得， 不妨设，由于函数在，上为严格增函数， 则存在，使得（a），①， 因为，所以， 由于函数具有性质，所以得到（a）②， 可见①②不能同时成立，所以矛盾， 原假设不成立，函数为偶函数， 当时，同理可证， 综上所述：函数具有性质的充要条件是为偶函数． 【点评】本题考查分段函数的应用与函数恒成立问题，属于中档题． 重点01 幂函数的定义 方法总结：幂函数的特征是系数为1、指数为常数。求解析式时，将已知点坐标代入，解方程求出即可。 （2026·上海市杨浦区·模拟）若幂函数的图像经过点，则实数______. 【答案】3 【知识点】求幂函数的解析式 【详解】代入，即，解得. （2024·上海市青浦区·一模）若幂函数 的图象经过，则此幂函数的表达式为___________. 【答案】 【知识点】求幂函数的解析式 【分析】将点的坐标代入函数表达式算出参数即可得解. 【详解】由题意得，所以，解得， 所以此幂函数的表达式为. 故答案为：. （2026·上海市闵行区二模）数学试卷）已知，若是幂函数，且，则______. 【答案】 【知识点】求幂函数的解析式、求幂函数的值、根据函数是幂函数求参数值 【分析】先根据幂函数的定义求出参数，再利用已知函数值求出幂指数得到完整解析式，最后代入计算得到的值. 【详解】已知，且是幂函数： 根据幂函数的定义，可得，解得； 将条件代入得，解得，即函数解析式为； 将代入解析式得. 重点02 幂函数的单调性 方法总结：幂函数在上：时递增，时递减。结合奇偶性可判断在R上的整体单调性，用于比较大小、解不等式及判断充要条件。 （2026·上海市黄浦区一模）下列函数中，既是偶函数、又在上严格减的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断一般幂函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据基本初等函数的奇偶性、单调性逐项判断ACD，利用奇偶性定义及一次函数的单调性判断B即可. 【详解】对于A，为奇函数，不是偶函数，在上严格减，故A错误； 对于B，定义域为，关于原点对称，且，所以函数为偶函数， 当时，，显然在上严格减，故B正确； 对于C，由幂函数性质知，为偶函数，在上严格增，故C错误； 对于D，由指数函数性质知，既不是奇函数也不是偶函数，故D错误. 故选：B （2026·上海市虹口区一模）已知、为实数，则“”是“”的（ ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分又非必要 【答案】B 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、由指数函数的单调性解不等式、判断命题的必要不充分条件 【详解】因为，则，又，则， 命题“若，则”为真命题，即， 命题“若，则”为假命题，即 所以“”是“”的必要非充分条件. 故选：B. 若幂函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是________. 【答案】 【知识点】由幂函数的单调性求参数 【分析】由幂函数的性质进行求解即可. 【详解】因为幂函数在区间上是严格减函数， 所以， 故答案为： 重点03 比较指数幂的大小 方法总结：比较指数幂大小：①化为同底数，用单调性判断；②化为同指数，用幂函数单调性判断；③借助中间值0或1作桥；④特殊值法排除选项。 （2025·上海市宝山区二模）“”的一个必要非充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较对数式的大小、比较指数幂的大小、判断命题的必要不充分条件、作差法比较代数式的大小 【分析】利用充分条件与必要条件的判断方法，结合指数、对数函数的单调性，对选项A、B和C逐一分析判断，即可求解；对于D，利用不等式的性，即可求解. 【详解】对于选项A，由，得到，即，所以可得，故选项A错误， 对于选项B，由，得到，所以可得，故选项B错误， 对于选项C，由，得到，即，所以推不出， 但可以得出，故选项C正确， 对于选项D，由，得到， 又，当且仅当时取等号，显然不满足题意， 则，即， 又当，有，所以是的充要条件，故选项D错误， 故选：C. （2026·上海市徐汇区模拟）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【知识点】比较对数式的大小、判断命题的充分不必要条件、比较指数幂的大小 【详解】等价于，等价于， 可以推出，但无法推出，因为还存在这种可能性，所以“”是“”的充分不必要条件. （2026·上海市奉贤区一模）设、为实数，且，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C．时， D． 【答案】D 【知识点】比较对数式的大小、比较指数幂的大小、由不等式的性质比较数（式）大小、特殊角的三角函数值 【分析】应用特殊值法计算判断A，B，C，应用对数函数单调性判断D. 【详解】因为、为实数，且， 当，，A选项错误； 当，，B选项错误； 当时，，C选项错误； 当，所以，D选项正确； 故选：D. 重点04 指数与指数幂的运算 方法总结：根式与分数指数幂互化是核心：。n为偶数时注意结果非负。运算时统一化为指数形式，再运用幂的运算性质化简求值。 将化成有理数指数幂的形式为___________． 【答案】 【知识点】分数指数幂与根式的互化 【分析】由根式与指数幂换算求解． 【详解】． 故答案为： （2026·上海市静安区一模）已知函数，则___________． 【答案】 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、指数幂的化简、求值、对数的概念判断与求值、求对数函数在区间上的值域 【分析】根据分段函数的解析式结合指、对数的运算性质求解即可. 【详解】因为，则， 且， 所以 故答案为：. （2026·上海市奉贤区一模）若函数是偶函数，则实数______． 【答案】 【知识点】指数幂的运算、由奇偶性求参数 【分析】由偶函数定义建立方程，解得实数. 【详解】函数的定义域为， 由题意可知，即， 所以， 因该等式对定义域内的任意都成立，故， 解得 故答案为： 重点05 指数函数的图象 方法总结：指数函数恒过定点。复合函数过定点问题，令指数位置整体为0，解出x即得定点坐标，与底数a无关。 （2025·上海市宝山区二模）已知函数且)的图像经过定点，则点的坐标为____ 【答案】 【知识点】指数型函数图象过定点问题、对数型函数图象过定点问题 【分析】根据指数函数和对数函数的图象与性质求解即可. 【详解】令，可得. 所以定点的坐标为. 故答案为：. （2026·上海·三模）已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ 【答案】 【知识点】指数型函数图象过定点问题、根据函数是指数函数求参数 【详解】由题意得，，得，则函数的图象过定点. 函数必经过（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【详解】由，所以函数必经过点，故A正确； 因为无意义，所以函数不经过点，故B错误； 因为无意义，所以函数不经过点，故C错误； 由，所以函数不经过点，故D错误. 重点06 指数函数的单调性 方法总结：指数函数单调性由底数a决定：递增，递减。解指数不等式先统一底数，再按单调性转化为代数不等式；复合函数遵循“同增异减”。 （2024·上海闵行·一模）下列函数中，在区间上是严格减函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断一般幂函数的单调性、研究对数函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性、判断指数函数的单调性 【分析】利用解析式直接判断各选项中函数在上的单调性即可. 【详解】对于A，函数在上是严格增函数，A不是； 对于B，函数在上是严格减函数，B是； 对于C，函数在上是严格增函数，C不是； 对于D，当时，在上是严格增函数，D不是. 故选：B. （2024·上海宝山·一模）下列函数中，在区间上是严格增函数且存在零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断一般幂函数的单调性、求函数的零点、研究对数函数的单调性、判断指数函数的单调性 【分析】根据函数的零点为方程的根，结合解析式判断函数的单调性，即可得答案. 【详解】对于A：因为，所以不存在零点，故A错误； 对于B：令 没有实数解，所以不存在零点，故B错误； 对于C：令，所以零点为1，又因为， 所以在为增函数，故C正确； 对于D：在单调递增，在单调递减，故D错误. 故选：C. （2025·上海闵行·一模）全集是实数集，则集合，则__________. 【答案】 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、补集的概念及运算 【分析】解指数不等式求得集合，可得其补集. 【详解】易知，则. 故答案为： 重点07 对数的运算 方法总结：对数运算法则：；；。运算时先化为同底再套用法则。 （2026·上海·三模）已知，则等比数列的公比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对数的运算、等比数列的定义 【分析】令，进而根据等比中项，结合对数的运算性质得，再代入计算公比即可. 【详解】因为为等比数列， 所以， 因为，， 令，则，整理得， 所以，，， 所以，该数列的公比为. （2026·上海·三模）已知实数，，若，，则____________. 【答案】/0.5 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用 【详解】因为，所以，即， 又因为，所以，所以， 因为，所以，， 所以. （2025·上海闵行·一模）已知，用表示___________. 【答案】 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】根据对数的运算性质，化简即可得出答案. 【详解】由，则. 故答案为：. 重点08 运用换底公式化简计算 方法总结：换底公式将异底对数统一为同底。常用推论：。化简目标是用已知对数表示未知对数。 （2025·上海金山·一模）已知，则___________．（用和表示） 【答案】 【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】根据题意，利用对数的运算公式，准确化简、运算，即可求解. 【详解】因为，可得. 故答案为：. （24-25高三下·上海静安·期中）已知，则______．（请用含的代数式表达） 【答案】 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】根据换底公式及对数的运算性质可得结果. 【详解】由题意得，. 故答案为：. （2025·上海闵行·一模）若（，），且，则_______. 【答案】5 【知识点】函数对称性的应用、运用换底公式化简计算 【分析】先求证，再化简得出即可求出. 【详解】函数的定义域为， 由题意得，， 则， 因为，故， 因为，则. 故答案为： 重点09 指数式与对数式的互化 方法总结：等价于，是指对互化的桥梁。常用于求值、比较大小时统一变量形式，以及将指数方程转化为对数方程求解。 （2025·上海嘉定·一模）若实数x、y、z满足，则x、y、z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较对数式的大小、指数式与对数式的互化 【分析】根据给定条件，求出的函数关系，再在同一坐标系内作出函数图象，数形结合即可判断. 【详解】令，得， 在同一直角坐标系内作出函数的图象， 则分别是函数，的图象与直线交点的纵坐标， 设点的横坐标为，点的横坐标为，观察图象得当时，， 当时，，当时，， 所以ABD是可能的，C不可能. （2025·上海杨浦·一模）已知定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，则______. 【答案】 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、函数奇偶性的应用、指数式与对数式的互化 【分析】先根据为奇函数，得，再根据解析式及偶函数性质可得所求函数值. 【详解】因为函数为上的奇函数，所以，得. 又因为为偶函数，所以，. 因为，所以. 故答案为：. （2025·上海崇明·三模）已知，则___________． 【答案】1 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、指数式与对数式的互化 【分析】先把指数式化为对数式求出的值，再利用对数的运算性质即可求解. 【详解】由已知，则， 所以. 故答案为：1. 重点10 求函数的零点 方法总结：函数零点即方程的实根。求法：①直接解方程；②转化为两函数图象交点，数形结合；③利用零点存在性定理结合单调性判断。 （2025·上海·三模）函数的零点个数为______ 【答案】3 【知识点】求函数的零点、求函数零点或方程根的个数、正弦函数图象的应用 【分析】根据的零点转化为与的图象的交点，由图即可得出答案. 【详解】根据的零点个数转化为与的图象的交点个数，   时，函数取最大值， 时函数的值为， 又因为，结合图象可知，两函数图象具有个交点. 所以的零点个数为个. 故答案为：. （2025·上海·三模）函数，的零点是______． 【答案】， 【知识点】余弦函数图象的应用、求函数的零点 【分析】令即可求出函数的零点. 【详解】令，则，， 当时，；当时，. 函数，的零点是，. 故答案为： （2026·上海徐汇·二模）函数的零点是__________. 【答案】0 【知识点】求函数的零点 【详解】令，即，解得， 所以函数的零点是0. 重点11 求函数零点或方程根的个数 方法总结：判断零点个数：①解方程直接求解；②转化为两函数图象交点个数，数形结合；③零点存在性定理结合单调性确定。含参数时需分类讨论。 （2026·上海杨浦·模拟预测）函数的零点个数为（    ） A．1013 B．2026 C．3039 D．4052 【答案】B 【知识点】求含sinx的函数的最小正周期、求含cosx的函数的最小正周期、零点存在性定理的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】分， ，三种情况分析的零点个数，并结合函数的周期性，可得的零点. 【详解】因，则函数是周期函数，其最小正周期为. 令，当时，单调递增，单调递增，所以单调递增； 又在上单调递减，故函数 在上单调递增； 又因，所以函数在上有一个零点. 当 时， ，，则，函数在上无零点. 当时， ，则 ，. 令，在 上单调递增，单调递增，所以单调递增； 在 上单调递增，且增长速度逐渐增快. 若，则，而，所以； 若，则，，所以 ； 若，则，，所以 ； 又 ，所以在上恰有一个零点. 综上，函数 在有两个零点. 所以函数 有 个零点. （2026·上海奉贤·二模）已知函数的表达式为，，则下列命题正确的是（   ） A．函数的零点的个数一定是3个 B．若集合的解集是，则实数对有2对 C．函数必存在极值 D．函数在处的切线方程为，则 【答案】B 【知识点】根据极值求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点、求函数零点或方程根的个数 【详解】A：当时，，若当或时，零点个数不为3，所以A错. B：若满足条件，则在处为零，且在时， 由，得，即或， 当时，，为满足条件，， 当时，同理可得， 当时不满足题意， 所以实数对有对：和，B对. C：求导，，接着判断， 把判别式看作关于的函数，则，， 当时，，，所以有两个零点，有极值， 当时，， 此时当，，有两个零点，有极值， 当，，恒成立，函数在定义域上单调递增， 所以当取值时，，无极值，所以C错. D：在处的切线方程为， 求导 ， 得， 得或，D错. （2025·上海黄浦·三模）已知函数是定义在D上的连续函数，其导函数为，函数的导函数为，定义函数运算：． (1)若，求出函数的极值点，并判断的符号； (2)若，，讨论方程解的个数； (3)若，当，，记与中较大者为．证明：． 【答案】(1)是函数的极大值点；是函数的极小值点.当时，；当 时，. (2) 时，方程 无解；当 时，方程 有 1 个解；当 时，方程 有 2 个解； (3)证明：假设 在 上的最大值在某个内点 处取得， 即时 ， 由最大值的定义且 可导，且，， 因为当，，所以 ， 所以 ，由于 ，所以 ，所以 ， 但 ，而 ，这与 矛盾， 因此，函数 在 上的最大值只能在端点 或 处取得， 即 【知识点】求已知函数的极值、利用导数证明不等式、求函数零点或方程根的个数 【分析】（1）令 ，解得 或 ，再求，分别代入求解即可； （2）求出，令 ，利用导数研究函数的单调性与极值，分类讨论即可得到答案. （3）假设 在 上的最大值在某个内点 处取得，可得，结合导出矛盾，则假设不成立，进而可得结论. 【详解】（1），令，解得或， 由或；由. 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 所以是函数的极大值点；是函数的极小值点. 又，当时，； 当 时，. （2）因为 ，所以 ，， 则 ， 令 ，，， 令 ，即 ，因为 ，所以 ， 当 时，，所以 在上严格递增， 当 时，，所以 在上严格递减， 所以函数在 处取得最大值 ； 当 时，；当 时，， 时， 的图象无交点；当 时，的图象有 1 个交点；当 时，的图象有 2 个交点， 所以当 时，方程 无解；当 时，方程 有 1 个解；当 时，方程 有 2 个解； （3）略 重点12 利用给定函数模型解决实际问题 方法总结：解应用题步骤：①审题设变量；②建立函数模型（指对、幂函数等）；③用基本不等式或导数求最值；④检验并还原为实际答案，注意单位。 （2026·上海·模拟预测）如图所示，地在地的正东方向，相距，地在地的北偏东方向，相距，河流沿岸曲线上任意一点到的距离比它到的距离远，现要在曲线上选一处建一座码头，向A、B、C三地转运货物．经测算，从到、两地修建公路费用都是10万元/，从到地修建公路的费用是20万元/．选择合适的点，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低为__________万元．（精确到0.01） 【答案】85.83 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、距离测量问题、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】由题意根据双曲线定义确定轨迹，再由双曲线定义结合图象求解即可. 【详解】以所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，如图所示， ，由双曲线定义可得，轨迹为双曲线的右支，故，， 故轨迹方程为：， 故由题意修建的三条公路总费用， 由图形可知，当，，三点共线，即在点处时，最小值， 由题意，所以，所以. （2025·上海青浦·模拟预测）道路通行能力指单位时间（1小时）内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力的指标.同时为了行驶安全，车辆之间必须保持一定的安全距离.为了研究某城市道路通行能力，现给出如下假设： 假设1：车身长度均为4.8米； 假设2：所有车辆以相同的速度（单位：千米／小时）匀速行驶； 假设3：安全距离（单位：米）与车辆速度近似满足. 该城市道路通行能力的最大值约为_________.（结果保留整数） 【答案】821 【知识点】基本（均值）不等式的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】由题意，先进行单位换算统一单位，整理函数解析式，利用基本不等式，可得答案., 【详解】1小时秒，车辆速度（千米／小时）换算为米／秒是米／秒. 1小时内通过的车辆数 . 根据基本不等式（），， 当且仅当时等号成立.所以， 即该城市道路通行能力的最大值约为821. 故答案为：821. （2026·上海杨浦·模拟预测）某区连续几年的GDP（国内生产总值）情况，如下表所示： 年份 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 GDP（百亿元） 10.0 11.0 12.4 13.5 ■ (1)表中前4年数据的极差为_________，方差为_________，第20百分位数为_________； (2)我们将这些数据，在平面直角坐标系内，用坐标形式表示出来，它们分别为点：、、、．如果运用函数与统计等知识预测该区下一年的GDP，可以尝试选择直线AB、直线AC等函数模型来进行分析． 假设经济发展环境和条件不变，要预测该区第五年的GDP情况，可以参考方差等相关知识，分析选用哪一函数模型进行预测较为合适． （说明：在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜，这是数学建模中拟合函数的思想．我们可通过计算一组GDP所有实际值偏离图像上对应点纵坐标值的程度，即拟合误差，来进行模型分析，一般拟合误差越小越适宜．） 例如，分析直线AB，即上的点：可知，求得拟合误差． ①：请依据以上方式，求出关于直线的拟合方差值：______； ②：请你在直线与直线进行预测的两个方案中选择合适的那个预估，预估该区第五年的GDP． 【答案】(1)3.5；1.776875；10.0 (2)①0.0125；②直线更合适，14.8百亿元 【知识点】总体百分位数的估计、计算几个数据的极差、方差、标准差、根据回归方程进行数据估计、利用给定函数模型解决实际问题 【详解】（1）这组数据的极差为， 平均数为， 故方差为， ，故从小到大，选取第1个数作为20分位数，即10.0； （2）①：设直线的表达式为， 根据题意，解得， 直线的表达式为， 分析直线，拟合误差， ②：， 直线更合适， 当时，，即第五年的GDP约为14.8百亿元 重点13 由对数函数的单调性解不等式 方法总结：解对数不等式：①先求定义域；②时等价于；③时等价于；④含参数时分离参数或分类讨论。 （2026·上海虹口·三模）设． (1)解不等式：； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）先求定义域和单调性，再根据单调性解不等式. （2）先对不等式进行化简，然后分离参数，将问题转化为求函数的最值问题. 【详解】（1）的定义域为且在单调递增. ，，解得. 故不等式的解集为. （2）. 恒成立等价于恒成立，，. 令，. 令，则，在单调递减. 又，时，，即，在单调递增，时，，即，在单调递减. ，，即的取值范围是 （2026·上海金山·二模）已知函数，其中． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，其中，若存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、求已知函数的极值、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据函数的单调性及函数的定义域列出不等式组求解即可； （2）求出函数导数，分类讨论，利用导数可得函数的单调性及极值，结合单调性及极值即可得解. 【详解】（1）由可得， 又为严格单调递增函数，且， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. （2）因为， 所以，， 由可得，， 当时，，在上单调递增，不合题意； 当时，，故当或时，， 当时，， 在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值， 此时，不存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点； 当时，，故当或时，， 当时，， 在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值， 故的极小值，又当时，， 所以存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点. 综上，实数的取值范围. （2026·上海·模拟预测）已知（且）． (1)若，解方程； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、对数的运算性质的应用 【分析】（1）将代入函数，再代入方程中，结合对数函数的运算化简即可得关于的方程,解方程即可求解； （2）根据对数函数的性质，分和两种情况讨论，由单调性解不等式即可求得的取值范围. 【详解】（1）当时，则， 因为， 所以， 化简可得， 即， 化简得， 所以， 所以或，解得或； （2）由，且， 若，则，， 若，则，， 综上，的取值范围是． 重点14 根据函数零点的个数求参数范围 方法总结：由零点个数求参数范围：①分离参数，转化为两函数图象交点个数问题；②结合单调性与极值建立不等式；③注意检验边界等号能否取到。 （2026·上海嘉定·二模）已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______ 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【详解】由，得或， 由函数有三个不同的零点，得方程有两个不等的非零根， 则，解得且， 所以实数a的取值范围是. （2026·上海·三模）已知，函数在区间有10个零点与10个极值点，则的取值范围是________． 【答案】 【知识点】利用导数研究函数的零点、根据函数零点的个数求参数范围、三角函数图象的综合应用、正弦函数图象的应用 【分析】利用正弦型函数性质，函数的导数，结合函数在给定区间的零点个数以及极值点个数建立不等式求解即可. 【详解】令， 令，因为，所以， 即，所以方程变为：， 若函数在区间有10个零点， 则等价于函数与函数在上有10个交点， 则需满足，解得：， 由，令 ， 即，由，则， 又，所以要使函数在区间有10个极值点， 即方程在上有10个实数解， 则需满足，解得：， 所以函数在区间要有10个零点与10个极值点，则的取值范围是. （2026·上海浦东新·三模）已知 (1)若函数在区间上的最大值比最小值大3，求实数的值； (2)若，函数与函数恰有两个不同交点，求实数的取值范围． 【答案】(1)2 (2)． 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据对数函数的最值求参数或范围 【分析】（1）根据函数在区间上是严格增函数，由求解； （2）转化为方程在有两个不同的实数解求解. 【详解】（1）因为函数在区间上是严格增函数， 所以其最大值在右端点处取到，其最小值在左端点处取到， 即， 化简得，即， 解得． 因此，实数的值为2． （2）由题意得；即关于的方程在有两个不同的实数解， 即关于的方程在有两个不同的实数解， 因为， 因此． 由题意得，即 综上，实数的取值范围为． 方法点拨01 对数型函数图象过定点问题 方法技巧：对数型函数过定点：令真数，解出，定点为；若再加常数b，定点为。核心是令真数等于1。 已知函数恒过定点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【分析】令，即可求解恒过定点，进而求解. 【详解】令，解得，此时， 所以恒过定点，则， 所以. 故选：C （2026·上海松江·模拟预测）已知函数且的图像过定点，正实数m､n满足n，则的最小值为__________. 【答案】 【知识点】对数型函数图象过定点问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由对数函数性质确定，，进而得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】当时，，所以函数的图象过定点， 所以，，代入得. 所以， 当且仅当时等号成立，即，时等号成立. 设且，则函数的图像恒过的定点坐标为_______． 【答案】 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【分析】令，求得恒成立，进而得到函数恒过定点，得到答案. 【详解】令，可得恒成立， 所以函数的图象恒过定点. 故答案为：. 方法点拨02 求对数型复合函数的定义域 方法技巧：求对数型复合函数定义域需满足：①真数大于0；②根式被开方数非负；③分母不为0。各条件取交集，用区间表示。含参数时分类讨论。 （2026·上海·模拟预测）已知函数，则的定义域是________． 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域 【详解】由题意，得，即， 则的定义域是. （2025·上海嘉定·一模）已知，且，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据题意求函数的定义域，并判断的奇偶性和单调性，结合函数性质解不等式即可. 【详解】令，等价于，可得，解得， 可知函数的定义域为， 因为，即， 可知函数为奇函数， 且， 因为在内单调递增，则在内单调递减， 且在定义域内单调递增，可知函数在内单调递减， 若，则， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. （2025·上海闵行·一模）当且仅当时，函数有意义，则实数a的取值集合是_____. 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域、函数不等式恒成立问题 【分析】由题意得的解集为，分、两种情况讨论即可. 【详解】由题意可知，的解集为， 当时，有，则，，不符合题意； 当时，在上单调递减，则，得. 则实数a的取值集合是. 故答案为： 方法点拨03 求对数型复合函数的值域 方法技巧：求值域：①先求真数（内层函数）的取值范围；②结合对数函数单调性确定值域；③真数范围复杂时，用换元法转化为二次函数求值域。 函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求对数型复合函数的值域、对数的运算性质的应用 【详解】由，得函数的定义域为， 所以， 所以为增函数，因此， 所以函数的值域为，故C正确. 已知函数是偶函数，则函数的值域为__________． 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的值域、由奇偶性求参数 【分析】由偶函数的定义，求出，再确定函数值域即可． 【详解】， 即， ，解得， ， 则，解得， 的定义域为， 又因为，， 即函数的取值范围是． （2025·上海金山·二模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)若，求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【知识点】函数奇偶性的应用、求对数型复合函数的值域 【分析】（1）根据函数的奇偶性求解即可； （2）计算表达式，利用换元法把问题转化为二次函数在区间上的值域问题即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 所以； （2）， 令，问题等价于求的值域， 函数图象开口向上，对称轴为直线， ， 函数的值域为． 易错点01 函数与方程的综合应用 易混易错：①数形结合时注意图象交点准确性，勿遗漏特殊位置；②零点个数问题易忽略定义域限制；③含参数方程需逐一检验增根与重根；④新定义题准确理解条件，防止偷换概念。 （2026·上海普陀·二模）设x、y、，若，则下列结论中不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数与方程的综合应用 【分析】在同一坐标系中作出的图象，利用函数零点思想，结合图象逐一判断即得. 【详解】如图在同一坐标系中分别作出函数的图象， 依题意直线与三个函数都有交点，设交点的横坐标依次为， 则需判断这些交点的横坐标之间有怎样的大小关系. 由图知，有三种不同的情况：当直线在①位置时，显然有：； 当直线在②位置时，显然有：； 当直线在③位置时，显然有：，故D错误. （2025·上海闵行·一模）已知函数，若函数有三个零点，且，则的取值范围是________. 【答案】 【知识点】函数与方程的综合应用、画出具体函数图象 【分析】由函数图象得到函数零点的关系，然后得到的取值范围.由等量关系化简，利用双勾函数的单调性求出的取值范围，从而得到的取值范围. 【详解】函数大致图象如下， 若，且，则 所以 ∵，当且仅当，即时取等号， 当时，，当时，， 由双勾函数的单调性可知， 即， ∴. 故答案为：. （2026·上海徐汇·二模）已知函数，其中且. (1)设，写出函数的定义域，并判断是否存在正数，使得函数为奇函数，说明理由； (2)设.若关于的方程的解集为单元素集合，求正数的值. 【答案】(1)，； (2)或或 【知识点】函数与方程的综合应用、由奇偶性求参数 【分析】（1）由分母不等于解出定义域，由奇函数的定义域关于原点对称求出的值，再利用奇函数的定义检验即可； （2）令，则原命题可等价于方程的解集为单元素集合，分一元二次方程有两相等实根且不等于与一元二次方程有两不相等实根且有一个根等于，分别求出的值即可. 【详解】（1）由题意知：， 分母不等于得：， 解得：， 所以函数的定义域为， 要使函数为奇函数，则定义域关于原点对称， 则，解得， 当时，，定义域为， 此时，满足奇函数的定义， 所以存在正数，使得函数为奇函数. （2）由题意知：， 则等价于，其中且， 化简得：， 令，， 原命题等价于：的解集为单元素集合， ①方程有两相等实根，且不等于， 所以， 化简得：， 解得：， 验证根是否等于， 当时，根，满足题意， 当时，根，满足题意， ②方程有两不等实根，且其中一个根为， 则将代入方程：， 当时，此时方程为， 解得：（舍）或，满足题意. 综上所述：正数的取值为或或. 优题精练·专题实战通关 （2025·上海市青浦区一模）已知 且满足 ，则下列关系式恒成立的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较对数式的大小、由已知条件判断所给不等式是否正确、比较指数幂的大小、比较正弦值的大小 【分析】利用不等式的性质，以及对数函数的性质、幂函数的性质、正弦函数的图象性质求解. 【详解】对A，取，则，A错误； 对B，取，则，即，B错误； 对C，取，满足，但，C错误； 对D，因为幂函数在定义域上单调递增，且，所以，D正确； 故选：D. （2026·上海·一模）设函数的定义域集合为，值域集合为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】具体函数的定义域、判断一般幂函数的单调性、判断两个集合是否相等、求幂函数的值域 【分析】先将函数化为根式，即可得到其定义域，再结合幂函数的单调性即可求出其值域，进而即可得到答案． 【详解】由，则，解得，所以， 又是幂函数，且，即在上单调递减， 当时，；当时，，所以， 所以． （2025·上海·三模）下列函数中是奇函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求正弦（型）函数的奇偶性、对数的运算、求余弦（型）函数的奇偶性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】利用奇函数的定义，逐项判断即可. 【详解】对于A，，即取时的函数值不互为相反数，A不是； 对于B，，即取时的函数值不互为相反数，B不是； 对于C，是偶函数，且，即不恒为0，C不是； 对于D，函数的定义域为，而， 函数是奇函数，D是. 故选：D （2026·上海黄浦·二模）若无穷数列的首项为1，且对任意的，的前n项和都可以表示成的两项之差，则称为T数列，所有T数列组成的集合为T集．下列结论正确的是（    ）． A．任意一个T数列均不是等差数列 B．任意一个T数列均不是等比数列 C．T集中含有且仅含有有限个等差数列 D．T集中含有无穷多个等比数列 【答案】D 【知识点】零点存在性定理的应用、求等比数列前n项和、数列新定义 【分析】对于AC：举例说明即可，例如等差数列的公差为，结合题意分析判断；对于BD：设等比数列的公比为，结合零点存在性定理可知存在使得，结合题意分析判断即可. 【详解】对于选项AC：例如等差数列的公差为， 则，， 注意到能表示大于的所有正整数， 且为整数，必能用两个大于的整数之差表示， 所以等差数列为T数列，且有无数个，故AC错误； 对于选项BD：设等比数列的公比为，则， 对于确定的，令，， 令， 因为，则，可知函数在内单调递增， 且，，可知函数在内有且仅有一个零点. 即存在使得，即， 此时， 对于不同的，的零点可以看出方程的解， 即与在交点的横坐标， 当变化时，由幂函数的图像可得交点的横坐标相异，故等比数列有无数个， 所以T集中含有无穷多个等比数列，故B错误，D正确； 故选：D. （2025·上海虹口·一模）若，则实数的取值范围是：___________ 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域、简单的对数方程、利用导数研究方程的根、利用导数研究函数图象及性质 【分析】将问题转化为函数在上的值域，利用导数结合函数图像即可求解. 【详解】由题意可知：方程有解，可化为， 并且或，令，，， 当时，，单调递增， 当或时，在上单调递减， 且当时，，，， 所以的大致图像如图所示，因为，，， 所以在上的值域为， 即的取值范围是. 故答案为： （2026·上海浦东新·三模）设，．若函数有最大值，则的取值范围是______________． 【答案】 【知识点】根据指数函数的最值求参数 【分析】根据指数函数的性质，分类讨论函数值情况，根据最值定义，求解不等式即可. 【详解】当时，函数为，该函数在上单调递增， 因此此时函数最大值为，当时，函数为， 若，则函数在上单调递增， 此时函数不存在最大值， 当时，函数在上单调递减， 则此时，取不到最大值， 此时若该函数有最大值，应有，解得. （2026·上海浦东新·三模）已知，若幂函数是偶函数，则______________． 【答案】2 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由奇偶性求参数 【分析】根据幂函数的定义求参数的值，然后依次检验是否为偶函数即可 【详解】因为为幂函数，所以，解得或. 当时, ,该函数定义域为，定义域不关于原点对称，故不是偶函数. 当时,,因为,故该函数为偶函数. 综上,. （2026·上海浦东新·三模）若幂函数的图象经过点，则实数的值为___________． 【答案】/0.25 【知识点】幂函数图象过定点问题 【分析】将已知点坐标代入幂函数解析式，即可求解参数. 【详解】由题意， 在中，图象经过点， ∴， 解得：. （2026·上海松江·模拟预测）已知函数为奇函数，则的值为__________. 【答案】 【知识点】指数幂的运算、求指数函数解析式、由奇偶性求参数 【分析】根据题意，得到，求得，再由，求得，即可求解. 【详解】由函数为奇函数，可得，即，解得， 又由，可得，即，解得， 当时，函数， 当时，，， 当时，，，且， 所以函数为奇函数，符合题意，所以. （2025届上海市宝山区高考二模）已知函数，（且） (1)若，求方程的解； (2)已知，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】由幂函数的单调性解不等式、简单的指数方程、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）先由求出幂函数解析式，再利用换元法，结合一元二次方程和指数与对数函数的关系求解即可； （2）由幂函数的单调性得到关于的不等式再分离参数，结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）即解得，于是 ， 方程即为， 令，则有即， 求得（舍负） ， 所以方程的解为 . （2）由已知得， 整理得 ， 因为，所以 ， 从而对任意恒成立， 因为（当且仅当取等号）， 所以， 即实数的最大值为. （2026·上海黄浦·三模）已知函数． (1)判断函数的奇偶性并说明理由； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； 【答案】(1)当时，为偶函数； 当时，为奇函数； 当时，既不是奇函数也不是偶函数. (2) 【知识点】求指数型复合函数的值域、由指数函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）利用奇函数，偶函数的基本性质进行判断，分类讨论参数的取值即可求解； （2）通过参变分离，构建辅助函数，将参数的取值范围转化为函数的值域从而进行求解. 【详解】（1），所以， 当时，，为偶函数， 当时，，为奇函数， 当时，，所以既不是奇函数也不是偶函数. （2）当时，，存在，使得成立， 化简可得，即在上有解， 令，因为，所以，即在上有解， 故实数的取值范围为函数的值域， ，因为，所以， 即实数的取值范围为. （25-26高三下·上海·阶段检测）已知，． (1)当时，解关于的不等式； (2)若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】简单的对数方程、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）利用对数函数的单调性和真数大于零来解不等式； （2）解一元一次或一元二次方程，使满足的根只有一个即可. 【详解】（1）当时，， 则，得， 故不等式的解集为. （2），则， 得且， 若，则，得满足； 若，则或且， 若，即，此时方程的根为，满足； 若即， 因为，所以由题意可知，得， 综上，的取值范围为. （2025·上海闵行·一模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)若，求函数的值域. 【答案】(1)； (2). 【知识点】求对数函数的最值、函数奇偶性的应用 【分析】（1）利用奇函数的定义求解； （2）由的表达式求出的表达式，利用换元法将设为，求出的取值范围，利用二次函数的图象求值域即可得解. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数， ， 当时，，， ； （2）当时，，， ， 令， ，， ， 函数图象开口向上，对称轴为， ，   函数的值域为. （2025·上海闵行·一模）已知幂函数满足. (1)求函数的解析式； (2)已知函数定义域内的满足，求证：； (3)设函数的定义域为 ，如果存在区间，使得在上的值域也为，试求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明：， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 又，所以. (3) 【知识点】条件等式求最值、求幂函数的解析式、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）根据幂函数的定义求出或，再根据即可求出答案； （2）利用基本不等式得到，解不等式即可证明； （3）根据题意得到，将代入得到，令，，则，求二次函数的值域即可求出答案. 【详解】（1）因为为幂函数， 所以，解得或， 因为，所以， 故. （2）略 （3）因为在上单调递减， 所以， 两式相减得：， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，则，所以， 将代入， 得，， 令，，则，，所以， 所以实数的取值范围是. （2026·上海杨浦·二模）设函数的定义域为D，值域.若且满足，则称与构成“函数的线性对”. (1)若，判断与π是否构成函数的线性对，并说明理由； (2)若，.若对于任意（常数），都存在，使得与构成函数的线性对，求的取值范围； (3)函数是定义在上的奇函数，且满足：若与构成函数的线性对，则与也构成函数的线性对.求证：对任意，. 【答案】(1)是，理由： 因为，， 所以，满足值域且， 即与π是构成函数的线性对； (2)； (3) 由是上的奇函数，可得，； 则，即是线性对， 由是线性对，则也是线性对，可得也是线性对， 所以有， 因为定义在上，所以通过迭代可得：， 又由题设大前提，的值域， 若值域内存在正数，必存在，使得， 此时，而，显然， 即值域内不存在正数； 若值域内存在负数，必存在，使得， 此时，而，显然， 即值域不存在负数， 因此对任意，，问题得证. 【知识点】函数新定义、求含sinx(型)函数的值域和最值、函数奇偶性的应用、判断指数函数的单调性 【分析】利用赋值即可求证； 利用分离变量求值域，即可求得参数范围； 利用恒等式变形，结合值域分析，即可得证. 【详解】（1）略 （2）由题意，，需满足， 代入 ​整理得： ， 因为，所以要求， 又，故，由等式可得：， 对任意都存在满足条件的，故， 所以的取值范围； （3）略 试卷第1页，共3页 1 / 58 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指对幂函数及其函数的应用 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 基础梳理・自主夯基 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 考点01 幂函数与二次函数 考点02 指数与指数函数 考点03 对数与对数函数 考点04 函数的综合应用 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 高考解密・母题探究 题型01 求幂函数的解析式 题型02 有理数指数幂及根式化简运算求值 题型03 指数函数图象特征与底数的关系 题型04 求对数函数的定义域 题型05 函数的零点与方程根的关系 题型06 函数与方程的综合运用 题型07 分段函数的应用 重点突破・考法深研 重点01 幂函数的定义 重点02 幂函数的单调性 重点03 比较指数幂的大小 重点04 指数与指数幂的运算 重点05 指数函数的图象 重点06 指数函数的单调性 重点07 对数的运算 重点08 运用换底公式化简计算 重点09 指数式与对数式的互化 重点10 求函数的零点 重点11 求函数零点或方程根的个数 重点12 利用给定函数模型解决实际问题 重点13 由对数函数的单调性解不等式 重点14 根据函数零点的个数求参数范围 技法提炼・审题点拨 方法点拨01 对数型函数图象过定点问题 方法点拨02 求对数型复合函数的定义域 方法点拨03 求对数型复合函数的值域 易错剖析・避坑攻略 易错点01 函数与方程的综合应用 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 幂函数与二次函数 1.幂函数的概念 一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数. 幂函数表达式的特征： （1）自变量 处在幂底数的位置，幂指数 为常数； （2） 的系数为 1； （3）只有一项. 2.五种常见幂函数的图像与性质 函数 图像 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 严格增 严格减 严格增 严格增 严格增 和 严格减 公共点 3.有关幂函数的几个结论 对于形如 （其中 且 ，， 与 互质）的幂函数： （1）当 为偶数时， 为偶函数，图像关于 轴对称； （2）当 、 都为奇数时， 为奇函数，图像关于原点对称； （3）当 为偶数时，（或 ）， 是非奇非偶函数，图像只在第一象限（或第一象限及原点处）. 4.二次函数的图像和性质 图像 开口向上抛物线 开口向下抛物线 定义域 值域 单调性 在 上严格减，在 上严格增 在 上严格增，在 上严格减 奇偶性 时为偶函数， 时既不是奇函数也不是偶函数 时为偶函数， 时既不是奇函数也不是偶函数 图像特点 ① 对称轴方程：；② 顶点坐标： ① 对称轴方程：；② 顶点坐标： 5.二次函数最值问题的三种类型及解题思路 （1）类型：① 对称轴、区间都是给定的；② 对称轴动、区间固定；③ 对称轴定、区间变动； （2）思路：抓“三点一轴”，三点——区间两个端点和中点，一轴——对称轴. 6.由不等式恒成立求参数取值范围的两大思路及一个关键 （1）思路：一是分离参数；二是不分离参数； （2）关键：两种思路都是将问题归结为求函数的值域或最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.在函数 能取到最值的情况下，其依据是：，. （2026·上海·一模）若存在定义域为的幂函数和有意义的对数，则整数n的取值集合为______. 考点02 指数与指数函数 1.根式与指数幂的运算 （1）（ 且 ）； （2） 2.指数幂的运算性质 （1）（，）； （2）（，）； （3）（，，）. 3.指数函数的图像与性质 y=ax 图像 定义域 值域 性质 过定点 当 时，；当 时，； 在区间 上是严格增函数 当 时，；当 时，； 在区间 上是严格减函数 （2025·上海·三模）设集合，则__________. （2025·上海嘉定·二模）已知实数a，b满足，则下列不等式中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 考点03 对数与对数函数 1.对数的概念及运算性质 一般地，如果 （，且 ）的 次幂等于 ，即 ，那么，数 叫做以 为底 的对数，记作：. 概念 如果 （，且 ），那么数 叫做以 为底 的对数，记作 ，其中 叫做对数的底数， 叫做真数， 叫做对数式 性质 对数式与指数式的互化：（，且 ，）；，，（，且 ，） 运算法则 ； ； （）；（，且 ，，） 换底公式 （，且 ，，且 ，） 2.对数函数的图像与性质 图像 性质 定义域为 ； 值域为 ； 过定点 ； 当 时，；当 时，； 在区间 上是严格增函数 定义域为 ； 值域为 ； 过定点 ； 当 时，；当 时，； 在区间 上是严格减函数 说明：正数 、 均不为 1 时，当 时，；当 时，. 3.反函数 指数函数 （，且 ）与对数函数 （，且 ）互为反函数，它们的图像关于直线 对称. （2025·上海崇明·三模）已知函数，则__________. （2025·上海·三模）函数的定义域为______. 考点04 函数的综合应用 1.图像及应用 （1）幂函数的图像记忆，可记住（或描绘）第一象限图像，并结合定义域与奇偶性确定第二或第三象限上的图像特征； （2）指数函数的图像，可以联合对数函数图像以反函数对称性进行成对记忆； （3）图像的应用，建议从五大部分入手：定义域、值域（最值、有界性）、特殊的点线（坐标轴上的点、恒过定点、最值点、零点及渐近线、对称轴等）、性质（奇偶性、单调性、对称性、周期性）、方程与不等式. 2.范围与最值 以图像为依托考查幂、指、对函数有关的最值问题或值域问题，考题或以复合函数通过换元来分析，或以分段函数通过两个图像综合考虑来分析，要求掌握图像，不能混淆. 3.方程与不等式 以图像为依托考查幂、指、对函数有关的方程与不等式问题，考题或以复合函数通过换元来分析，或以分段函数通过两个图像综合考虑来分析，要求能通过方程与不等式的等价变形来发现并转化. 考点05 函数应用题 1.几种常见的函数模型 函数模型 函数表达式 一次函数模型 （、 为常数，） 二次函数模型 （、、 为常数，） 指数函数模型 （、、 为常数， 且 ，） 对数函数模型 （、、 为常数， 且 ，） 幂函数模型 （、、 为常数，，） 2.三种函数模型性质比较 （） （） （） 在 上的单调性 严格增函数 严格增函数 严格增函数 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图像的变化 随 值增大，图像与 轴接近平行 随 值增大，图像与 轴接近平行 随 值变化而不同 3.解答应用问题的步骤 （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； （2）建模：把自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； （3）解模（求模）：求解数学模型，得出数学结论； 素养进阶·答题技法突破 题型01 求幂函数的解析式 考情定位：上海高考幂函数基础题型，常以选择题考查，难度偏低，分值约4分，属必拿得分点。 核心考法：①由幂函数定义（系数为1）求参数值；②结合单调性确定指数取值范围；③利用过定点条件验证并排除选项。 解题要点：①紧扣幂函数系数为1列方程求参数；②由单调递增或递减判定指数正负；③将已知点代入验证，排除不符选项。 （2025•上海）幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（　　） A． B． C． D．3 题型02 有理数指数幂及根式化简运算求值 考情定位：上海高考基础运算题型，多以选择题考查，难度偏低，分值约4分，考查根式与指数幂互化。 核心考法：①根式与分数指数幂的互化公式应用；②利用指数幂运算性质化简求值；③结合变量取值讨论根式正负。 解题要点：①熟记n次方根与分数指数幂互化公式；②运算时注意底数为负时n的奇偶性影响；③优先统一为指数形式再化简计算。 （2026•上海）已知为不为1的任意实数，则（　　） A． B． C． D． 题型03 指数函数图象特征与底数的关系 考情定位：上海高考常考题型，以选择题为主，难度中等偏下，分值约4-5分，考查底数与单调性的关系。 核心考法：①由底数或判断函数单调性；②结合特殊值法判断不等式是否成立；③利用指数函数图象比较函数值大小。 解题要点：①优先用特殊值代入排除错误选项；②注意时递增、时递减；③比较函数值时统一底数或借助中间值0或1。 （2025•上海）设，．下列各项中，能推出的一项是（　　） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 题型04 求对数函数的定义域 考情定位：上海高考填空题基础题型，年年常考，难度偏低，分值约4分，属必拿送分点。 核心考法：①由对数真数大于0列不等式求定义域；②结合二次根式、分式等限制条件联立求解；③含参数时分类讨论定义域。 解题要点：①真数大于0是核心约束，不可遗漏；②多个限制条件取交集，用数轴辅助判断端点；③含参数时讨论参数对解集的影响。 （2024•上海）的定义域 　 　． 题型05 函数的零点与方程根的关系 考情定位：上海高考中档题型，填空题与解答题均可能出现，分值4-12分，考查方程与函数转化思想。 核心考法：①将方程根问题转化为函数零点问题；②利用零点存在性定理判断零点个数；③结合函数图象数形结合求零点或参数范围。 解题要点：①零点问题优先转化为的方程根；②利用函数单调性与端点值符号判断零点个数；③含参数时分离参数或分类讨论，结合图象分析。 （2025•上海）关于的方程的解集为_________. （2025•上海）已知函数的定义域为．对于正实数，定义集合． （1）若，判断是否是中的元素，并说明理由； （2）若，，求的取值范围； （3）设是偶函数，当，时，，且对任意，均有．写出，的解析式，并证明：对任意实数，函数在，上至多有9个零点． 题型06 函数与方程的综合运用 考情定位：上海高考压轴题型，常以解答题出现，难度较高，分值12-18分，考查新定义与函数综合。 核心考法：①理解新定义并转化为函数性质分析；②利用导数研究函数单调性与最值；③结合充要条件进行证明与推理。 解题要点：①新定义题先理解定义再转化为已知函数模型；②综合题优先用导数分析单调性、极值与最值；③证明题注意充分性与必要性分别论证。 （2026•上海）对于函数，，设，，．对于点集，若存在，，使得任取，总有，则称，为“最低点”．对于函数和，以下说法中正确的是（　　） A．若和都有最小值，则有最低点 B．若有最低点，则和都有最小值 C．若或有最小值，则有最低点 D．若有最低点，则或有最小值 （2024•上海）现定义如下：当时，若，则称为延展函数．现有，当时，与均为延展函数，则以下结论（　　） （1）存在，；，与有无穷个交点 （2）存在，；，与有无穷个交点 A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立 C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立 （2024•上海）记（a）（a），，（a）（a），． （1）若，求（1）和（1）； （2）若，求证：对于任意，都有（a），，且存在，使得（a）． （3）已知定义在上有最小值，求证“是偶函数“的充要条件是“对于任意正实数，均有（c）”． 题型07 分段函数的应用 考情定位：上海高考中档题型，填空题与解答题均可出现，分值4-14分，考查分段函数性质与不等式求解。 核心考法：①分段函数解析式求值与解不等式；②结合新定义分析分段函数的性质；③利用函数奇偶性、单调性研究分段函数综合问题。 解题要点：①解分段函数不等式需分段讨论再取并集；②注意各段定义域的边界与端点取舍；③新定义题将条件转化为分段函数各段间的关系式。 （2024•上海）已知，求的的取值范围 　 　． （2026•上海）设是定义在上的函数．定义性质：若对任意，，当时，，则称函数具有“性质”． （1）判断函数是否具有“性质”； （2）若分段函数具有“性质”，求所有满足条件的实数和的解； （3）已知的值域为，，且在，上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是：具有“性质”． 重点01 幂函数的定义 方法总结：幂函数的特征是系数为1、指数为常数。求解析式时，将已知点坐标代入，解方程求出即可。 （2026·上海市杨浦区·模拟）若幂函数的图像经过点，则实数______. （2024·上海市青浦区·一模）若幂函数 的图象经过，则此幂函数的表达式为___________. （2026·上海市闵行区二模）数学试卷）已知，若是幂函数，且，则______. 重点02 幂函数的单调性 方法总结：幂函数在上：时递增，时递减。结合奇偶性可判断在R上的整体单调性，用于比较大小、解不等式及判断充要条件。 （2026·上海市黄浦区一模）下列函数中，既是偶函数、又在上严格减的函数是（   ） A． B． C． D． （2026·上海市虹口区一模）已知、为实数，则“”是“”的（ ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分又非必要 若幂函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是________. 重点03 比较指数幂的大小 方法总结：比较指数幂大小：①化为同底数，用单调性判断；②化为同指数，用幂函数单调性判断；③借助中间值0或1作桥；④特殊值法排除选项。 （2025·上海市宝山区二模）“”的一个必要非充分条件是（    ） A． B． C． D． （2026·上海市徐汇区模拟）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 （2026·上海市奉贤区一模）设、为实数，且，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C．时， D． 重点04 指数与指数幂的运算 方法总结：根式与分数指数幂互化是核心：。n为偶数时注意结果非负。运算时统一化为指数形式，再运用幂的运算性质化简求值。 将化成有理数指数幂的形式为___________． （2026·上海市静安区一模）已知函数，则___________． （2026·上海市奉贤区一模）若函数是偶函数，则实数______． 重点05 指数函数的图象 方法总结：指数函数恒过定点。复合函数过定点问题，令指数位置整体为0，解出x即得定点坐标，与底数a无关。 （2025·上海市宝山区二模）已知函数且)的图像经过定点，则点的坐标为____ （2026·上海·三模）已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ 函数必经过（    ） A． B． C． D． 重点06 指数函数的单调性 方法总结：指数函数单调性由底数a决定：递增，递减。解指数不等式先统一底数，再按单调性转化为代数不等式；复合函数遵循“同增异减”。 （2024·上海闵行·一模）下列函数中，在区间上是严格减函数的为（    ） A． B． C． D． （2024·上海宝山·一模）下列函数中，在区间上是严格增函数且存在零点的是（   ） A． B． C． D． （2025·上海闵行·一模）全集是实数集，则集合，则__________. 重点07 对数的运算 方法总结：对数运算法则：；；。运算时先化为同底再套用法则。 （2026·上海·三模）已知，则等比数列的公比为（     ） A． B． C． D． （2026·上海·三模）已知实数，，若，，则____________. （2025·上海闵行·一模）已知，用表示___________. 重点08 运用换底公式化简计算 方法总结：换底公式将异底对数统一为同底。常用推论：。化简目标是用已知对数表示未知对数。 （2025·上海金山·一模）已知，则___________．（用和表示） （24-25高三下·上海静安·期中）已知，则______．（请用含的代数式表达） （2025·上海闵行·一模）若（，），且，则_______. 重点09 指数式与对数式的互化 方法总结：等价于，是指对互化的桥梁。常用于求值、比较大小时统一变量形式，以及将指数方程转化为对数方程求解。 （2025·上海嘉定·一模）若实数x、y、z满足，则x、y、z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． （2025·上海杨浦·一模）已知定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，则______. （2025·上海崇明·三模）已知，则___________． 重点10 求函数的零点 方法总结：函数零点即方程的实根。求法：①直接解方程；②转化为两函数图象交点，数形结合；③利用零点存在性定理结合单调性判断。 （2025·上海·三模）函数的零点个数为______ （2025·上海·三模）函数，的零点是______． （2026·上海徐汇·二模）函数的零点是__________. 重点11 求函数零点或方程根的个数 方法总结：判断零点个数：①解方程直接求解；②转化为两函数图象交点个数，数形结合；③零点存在性定理结合单调性确定。含参数时需分类讨论。 （2026·上海杨浦·模拟预测）函数的零点个数为（    ） A．1013 B．2026 C．3039 D．4052 （2026·上海奉贤·二模）已知函数的表达式为，，则下列命题正确的是（   ） A．函数的零点的个数一定是3个 B．若集合的解集是，则实数对有2对 C．函数必存在极值 D．函数在处的切线方程为，则 （2025·上海黄浦·三模）已知函数是定义在D上的连续函数，其导函数为，函数的导函数为，定义函数运算：． (1)若，求出函数的极值点，并判断的符号； (2)若，，讨论方程解的个数； (3)若，当，，记与中较大者为．证明：． 重点12 利用给定函数模型解决实际问题 方法总结：解应用题步骤：①审题设变量；②建立函数模型（指对、幂函数等）；③用基本不等式或导数求最值；④检验并还原为实际答案，注意单位。 （2026·上海·模拟预测）如图所示，地在地的正东方向，相距，地在地的北偏东方向，相距，河流沿岸曲线上任意一点到的距离比它到的距离远，现要在曲线上选一处建一座码头，向A、B、C三地转运货物．经测算，从到、两地修建公路费用都是10万元/，从到地修建公路的费用是20万元/．选择合适的点，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低为__________万元．（精确到0.01） （2025·上海青浦·模拟预测）道路通行能力指单位时间（1小时）内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力的指标.同时为了行驶安全，车辆之间必须保持一定的安全距离.为了研究某城市道路通行能力，现给出如下假设： 假设1：车身长度均为4.8米； 假设2：所有车辆以相同的速度（单位：千米／小时）匀速行驶； 假设3：安全距离（单位：米）与车辆速度近似满足. 该城市道路通行能力的最大值约为_________.（结果保留整数） （2026·上海杨浦·模拟预测）某区连续几年的GDP（国内生产总值）情况，如下表所示： 年份 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 GDP（百亿元） 10.0 11.0 12.4 13.5 ■ (1)表中前4年数据的极差为_________，方差为_________，第20百分位数为_________； (2)我们将这些数据，在平面直角坐标系内，用坐标形式表示出来，它们分别为点：、、、．如果运用函数与统计等知识预测该区下一年的GDP，可以尝试选择直线AB、直线AC等函数模型来进行分析． 假设经济发展环境和条件不变，要预测该区第五年的GDP情况，可以参考方差等相关知识，分析选用哪一函数模型进行预测较为合适． （说明：在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜，这是数学建模中拟合函数的思想．我们可通过计算一组GDP所有实际值偏离图像上对应点纵坐标值的程度，即拟合误差，来进行模型分析，一般拟合误差越小越适宜．） 例如，分析直线AB，即上的点：可知，求得拟合误差． ①：请依据以上方式，求出关于直线的拟合方差值：______； ②：请你在直线与直线进行预测的两个方案中选择合适的那个预估，预估该区第五年的GDP． 重点13 由对数函数的单调性解不等式 方法总结：解对数不等式：①先求定义域；②时等价于；③时等价于；④含参数时分离参数或分类讨论。 （2026·上海虹口·三模）设． (1)解不等式：； (2)若恒成立，求实数的取值范围． （2026·上海金山·二模）已知函数，其中． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，其中，若存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点，求实数的取值范围． （2026·上海·模拟预测）已知（且）． (1)若，解方程； (2)若，求的取值范围． 重点14 根据函数零点的个数求参数范围 方法总结：由零点个数求参数范围：①分离参数，转化为两函数图象交点个数问题；②结合单调性与极值建立不等式；③注意检验边界等号能否取到。 （2026·上海嘉定·二模）已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______ （2026·上海·三模）已知，函数在区间有10个零点与10个极值点，则的取值范围是________． （2026·上海浦东新·三模）已知 (1)若函数在区间上的最大值比最小值大3，求实数的值； (2)若，函数与函数恰有两个不同交点，求实数的取值范围． 方法点拨01 对数型函数图象过定点问题 方法技巧：对数型函数过定点：令真数，解出，定点为；若再加常数b，定点为。核心是令真数等于1。 已知函数恒过定点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 （2026·上海松江·模拟预测）已知函数且的图像过定点，正实数m､n满足n，则的最小值为__________. 设且，则函数的图像恒过的定点坐标为_______． 方法点拨02 求对数型复合函数的定义域 方法技巧：求对数型复合函数定义域需满足：①真数大于0；②根式被开方数非负；③分母不为0。各条件取交集，用区间表示。含参数时分类讨论。 （2026·上海·模拟预测）已知函数，则的定义域是________． （2025·上海嘉定·一模）已知，且，则实数的取值范围是_____. （2025·上海闵行·一模）当且仅当时，函数有意义，则实数a的取值集合是_____. 方法点拨03 求对数型复合函数的值域 方法技巧：求值域：①先求真数（内层函数）的取值范围；②结合对数函数单调性确定值域；③真数范围复杂时，用换元法转化为二次函数求值域。 函数的值域为（   ） A． B． C． D． 已知函数是偶函数，则函数的值域为__________． （2025·上海金山·二模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)若，求函数的值域. 易错点01 函数与方程的综合应用 易混易错：①数形结合时注意图象交点准确性，勿遗漏特殊位置；②零点个数问题易忽略定义域限制；③含参数方程需逐一检验增根与重根；④新定义题准确理解条件，防止偷换概念。 （2026·上海普陀·二模）设x、y、，若，则下列结论中不可能成立的是（   ） A． B． C． D． （2025·上海闵行·一模）已知函数，若函数有三个零点，且，则的取值范围是________. （2026·上海徐汇·二模）已知函数，其中且. (1)设，写出函数的定义域，并判断是否存在正数，使得函数为奇函数，说明理由； (2)设.若关于的方程的解集为单元素集合，求正数的值. 优题精练·专题实战通关 （2025·上海市青浦区一模）已知 且满足 ，则下列关系式恒成立的是（    ）. A． B． C． D． （2026·上海·一模）设函数的定义域集合为，值域集合为，则（    ） A． B． C． D． （2025·上海·三模）下列函数中是奇函数的为（   ） A． B． C． D． （2026·上海黄浦·二模）若无穷数列的首项为1，且对任意的，的前n项和都可以表示成的两项之差，则称为T数列，所有T数列组成的集合为T集．下列结论正确的是（    ）． A．任意一个T数列均不是等差数列 B．任意一个T数列均不是等比数列 C．T集中含有且仅含有有限个等差数列 D．T集中含有无穷多个等比数列 （2025·上海虹口·一模）若，则实数的取值范围是：___________ （2026·上海浦东新·三模）设，．若函数有最大值，则的取值范围是______________． （2026·上海浦东新·三模）已知，若幂函数是偶函数，则______________． （2026·上海浦东新·三模）若幂函数的图象经过点，则实数的值为___________． （2026·上海松江·模拟预测）已知函数为奇函数，则的值为__________. （2025届上海市宝山区高考二模）已知函数，（且） (1)若，求方程的解； (2)已知，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的最大值. （2026·上海黄浦·三模）已知函数． (1)判断函数的奇偶性并说明理由； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； （25-26高三下·上海·阶段检测）已知，． (1)当时，解关于的不等式； (2)若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围． （2025·上海闵行·一模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)若，求函数的值域. （2025·上海闵行·一模）已知幂函数满足. (1)求函数的解析式； (2)已知函数定义域内的满足，求证：； (3)设函数的定义域为 ，如果存在区间，使得在上的值域也为，试求实数的取值范围. （2026·上海杨浦·二模）设函数的定义域为D，值域.若且满足，则称与构成“函数的线性对”. (1)若，判断与π是否构成函数的线性对，并说明理由； (2)若，.若对于任意（常数），都存在，使得与构成函数的线性对，求的取值范围； (3)函数是定义在上的奇函数，且满足：若与构成函数的线性对，则与也构成函数的线性对.求证：对任意，. 试卷第1页，共3页 1 / 58 学科网（北京）股份有限公司 $