第4章 三角形 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年八年级数学上册同步备课（湘教版·新教材）

该初中数学课件系统梳理了三角形的分类、三边关系、三线（高、中线、角平分线）、内角和与外角性质，以及全等三角形、等腰三角形、线段垂直平分线等核心知识点，通过要点梳理构建从概念到性质再到应用的逻辑支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于采用“要点梳理-考点解析-针对训练-归纳总结”的递进结构，结合实例（如等腰三角形边长分类讨论、全等三角形隐含条件挖掘）培养学生的抽象能力（数学眼光）和推理意识（数学思维），规范证明过程的数学语言表达。学生能构建知识体系提升解题能力，教师可获得系统复习框架与实用教学资源。

第4章 三角形 小结与复习 ÷ 八年级上册数学（湘教版） 底边和腰不相等的等腰三角形 2. 三角形的三边关系： 1. 三角形的分类 三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 按边分 按角分 三边各不相等的三角形 等腰三角形 等边三角形 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 一、三角形 要点梳理 3. 三角形的高、中线与角平分线 高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段.三条高或其延长线相交于一点，如图①. 中线：连接一个顶点和它的对边中点的线段.三条中线相交于一点（重心），如图②. 角平分线：一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段.三条角平分线相交于一点，如图③. 图① 图② 图③ 4. 三角形的内角和定理与外角的性质 (1) 三角形的内角和等于 180°； (2) 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； (3) 三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角. 1. 命题 2. 逆命题 (1) 定义：对某一件事情作出判断的语句 (陈述句) 叫作命题. 将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，便可以得到原命题的逆命题. (2) 结构形式： 命题都可以写成“如果……，那么……” 的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论. 二、命题与证明 (3) 表达形式： 命题都是由条件和结论两部分组成. 4. 证明与图形有关的命题的步骤： (1) 画出图形；(2) 写出已知、求证；(3) 写出证明过程. 正确的命题为真命题，错误的命题为假命题. 3. 真命题和假命题 5. 反证法的步骤 (1) 假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； (2) 从假设出发，经过推理，得出矛盾； (3) 由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确. 1. 全等三角形的性质 2. 全等三角形的判定方法 3. 三角形的稳定性 对应角相等，对应边相等 角边角 边边边 边角边 角角边 依据：边边边 三、全等三角形 2. 作一个角等于已知角 1. 作一个角的平分线 3. 作三角形 (1) 根据 SAS、ASA、SSS 作三角形； (2) 已知底边及底边上的高作等腰三角形. 四、用尺规作三角形 1. 等腰（边）三角形的性质 2. 等腰（边）三角形的判定方法 轴对称图形 三线合一 两底角相等(等边对等角) 60° 60° 60° 有两个角相等(等角对等边) 三边相等 三个角都是60° 有一个角是60°的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 有两条边相等 五、等腰三角形 等边三角形 等腰三角形 1. 线段垂直平分线的性质定理 2. 线段垂直平分线性质定理的逆定理 (判定) 3. 线段垂直平分线的作法 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 六、线段的垂直平分线 · · A B C D E 例1 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 1 cm，2 cm，4 cm B. 4 cm，6 cm，8 cm C. 5 cm，6 cm，12 cm D. 2 cm，3 cm，5 cm B 考点一 三角形的三边关系 【解析】根据三角形的三边关系进行判断即可. A. 1 + 2 < 4，不能组成三角形； B. 4 + 6 > 8，能组成三角形； C. 5 + 6 < 12，不能组成三角形； D. 2 + 3 = 5，不能组成三角形. 故选 B. 考点讲练 1. 已知三角形两边长分别为 3 和 8，则该三角形的第三边长可能是（ ） A. 5 B. 10 C. 11 D. 12 B 2. 有 3 cm，6 cm，8 cm，9 cm 的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 C 针对训练 例2 等腰三角形的周长为 16，其一边长为 6，则另两边长为 . 5，5 或 6，4 【解析】由于题中没有指明边长为 6 的边是底还是腰，∴分两种情况讨论.①当 6 为底边长时，腰长为(16 - 6) ÷2 = 5，这时另两边长分别为 5，5；②当 6 为腰长时，底边长为16 - 6 - 6 = 4，这时另两边长分别为 6，4. 故填 5，5 或 6，4. 当已知等腰三角形的周长和一边时，要分两种情况讨论：已知边是底边和已知边是腰.还要注意三边是否构成三角形. 方法总结 4. 若 (a - 1)2 + |b - 2| = 0，则以 a，b 为边长的等腰三角形的周长为 . 5 3. 已知等腰三角形的一边长为 4，另一边长为 8，则这个等腰三角形的周长为 ( ) A. 16 B. 20 或 16 C. 20 D. 12 C 针对训练 考点二 有关三角形内、外角的计算 例3 ∠A，∠B ，∠C 是△ABC 的三个内角，且分别满足下列条件，求∠A，∠B，∠C 中未知角的度数. (1)∠A－∠B＝16°，∠C＝54°； (2)∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4. 【解析】利用三角形的内角和等于180°，列方程求解. 解：(1) 由∠C＝54°知∠A＋∠B＝180°－54°＝126° ①， 又知∠A－∠B＝16°②，由①②解得∠A＝71°，∠B＝55°. (2) 设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C＝4x， 则 2x + 3x + 4x＝180° ，解得 x＝20°. ∴∠A＝40°，∠B＝60°，∠C＝80°. 6. 如图，在△ABC 中，CE，BF 是两条高， 若∠A = 70°，∠BCE = 30°，则∠EBF 的度数是 ，∠FBC 的度数是 . 7. 如图，在△ABC 中，两条角平分线 BD 和 CE 相交于点 O，若∠BOC = 132°， 则∠A 的度数是 . A B C E F A B C D E O 20° 40° 84° 5. 在△ABC 中，三个内角∠A，∠B，∠C满足∠B -∠A = ∠C -∠B，则∠B = °. 90 针对训练 考点三 命 题 例4 写出下列命题的逆命题，并判断其逆命题的真假： (1) 全等三角形的对应角相等； (2) 线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 解：(1) 该命题的逆命题是对应角相等的两个三角形全等.是假命题. (2) 该命题的逆命题是到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.是真命题. 8. 下列命题的逆命题不正确的是（ ） A. 1 和 -1 的倒数是其本身 B. 两直线平行，内错角相等 C. 等腰三角形的两底角相等 D. 对顶角相等 9. 下列选项中，可以用来证明命题“若 a2 >1，则 a > 1 ”是假命题的反例是（ ） A. a = -2 B. a = -1 C. a = 1 D. a = 2 A D 针对训练 例5 如图，已知 AE = CF，∠AFD =∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE 的是( ) A.∠A =∠C B. AD = CB C. BE = DF D. AD∥BC A D B E F C B 考点四 全等三角形的证明 【解析】由 AE = CF 可得 AE + EF = CF + EF， 即 AF = CE. 注意：“SSA”“AAA”不能判定两个三角形全等. A.∠A =∠C，可利用“ASA”判定△ADF≌△CBE； C. BE = DF，可利用“SAS”判定△ADF≌△CBE； D. 由 AD∥BC 得∠A =∠C，同选项 A； B. AD = CB 不能判定△ADF≌△CBE. 故选 B. 10. 如图 A、B 分别为 OM、ON 上的点，点 P 在∠AOB 的平分线上，且∠PAM＝∠PBN. 求证：AO＝BO. 证明：∵∠PAM＝∠PBN， ∴∠PAO＝∠PBO. ∵ 点 P 在∠AOB 的平分线上， ∴∠AOP＝∠BOP. 在△AOP 和△BOP 中， ∠PAO＝∠PBO， ∠AOP＝∠BOP， OP＝OP， ∴△AOP≌△BOP (AAS). ∴ AO＝BO. 针对训练 A B C D A B C D B A C D E A B C D E 在证明三角形全等中，几种常见的隐含条件： 公共边相等 公共角(对顶角)相等 归纳总结 例6 如图所示，△ACM 和△BCN 都为等边三角形，连接 AN、BM，求证：AN = MB. 证明：∵△ACM 和△BCN 都为等边三角形， ∴∠1＝∠3＝60°. ∴∠1＋∠2＝∠3＋ ∠2， 即∠ACN＝∠MCB. ∵ CA＝CM，CN＝CB， ∴△CAN≌△CMB(SAS). ∴ AN＝MB. 11. 已知：△ABC 和△ECD 都是等边三角形，且点 B，C，D 在一条直线上. BE、AC 相交于点 F，AD、CE 相交于点 G. 求证：(1)△CAD≌△CBE；(2)△CFG是等边三角形. 证明：(1) 证明略. (2) 由 (1) 知∠CDA =∠CEB. ∵∠ACB +∠ACE +∠DCE = 180°， ∠ACB =∠DCE = 60°， ∴∠ACE =∠DCE = 60°. 又∵CE = CD， ∴△CEF≌△CDG (ASA). ∴ CF = CG，即△CFG 是等腰三角形. 又∵∠ACE = 60°， ∴△CFG 是等边三角形. E D C A B F G 考点五 线段垂直平分线的性质和判定 例7 在△ABC 中，AD 是高，在线段 DC 上取一点 E，使 BD = DE，连接 AE，已知 AB + BD = DC. 求证：点 E 在线段 AC 的垂直平分线上. 解析：要证明点 E 在线段 AC 的垂直平分线上，即要证明 AE = EC. 根据题意及线段垂直平分线的定义，得出 AB = AE. 而后根据 AB + BD = DC，进行等量变换，可到 AE = EC. A B C D E 24 24 证明：∵ AD 是高，∴ AD⊥BC. 又∵ BD = DE， ∴ AD 所在的直线是线段 BE 的垂直平分线. ∴ AB = AE. ∴ AB + BD = AE + DE. 又∵ AB + BD = DC， ∴ DC = AE + DE， 即 DE + EC = AE + DE. ∴ EC = AE. ∴ 点 E 在线段 AC 的垂直平分线上. A B C D E 线段的垂直平分线常与中点、90° 角、等腰三角形一同出现，在求角度、三角形的周长，或证明线段之间的等量关系时，要注意角或线段之间的转化. 12. 如图，△ABC 中，MN 是 AC 的垂直平分线，若 CM = 3 cm，△ABC 的周长是 22 cm，则△ABN 的周长是 . 16 cm 方法总结 A B C M N 针对训练 三 角 形 高、中线、角平分线 等腰(等边)三角形的性质与判定 性质：对应边角相等 判定：SAS、ASA、 AAS、SSS 全等三角形 用尺规作三角形 性质 任意两边之和大于第三边， 任意两边差小于第三边 内角和为180° 线段的垂直平分线 命题与证明 课后作业 见教材章末练习 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $