第4章 三角形（高效培优单元测试·强化卷）数学湘教版2024八年级上册

第四章 三角形（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．一副三角板如图摆放，，，，若点E恰好在上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．根据平行线的性质可得的度数，再由三角形外角的性质可得答案啊． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2．如图，在中，为延长线上一点，于，交于，若，，则的度数等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，先利用三角形的内角和求出，再利用三角形的内角和定理得结论． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴ ． 故选：C． 3．如图，为了估计池塘两岸，间的距离，在池塘的一侧选取点，测得米，米，那么间的距离不可能是（   ） A．11米 B．15.8米 C．26米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵米，米， ∴， ∴， 观察四个选项，唯有不满足这个范围， 故选：D 4．已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，三角形内角和定理应用，利用三角形内角和定理求出的度数，再根据全等三角形的对应角相等，得到的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 5．如图，中，，于点，于点，于点，，则的长是（   ） A．5 B． C．12 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由，则，又，故，因此，从而得出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选A． 6．中，，，所对的边分别为，，，根据下列选项不能判定是等腰三角形的是（   ） A． B． C．， D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的判定和三角形内角和定理，熟练掌握判定条件是解题关键． 根据等腰三角形的判定条件有两个角相等或两条边相等，结合三角形内角和定理，逐一分析各选项即可． 【详解】解：根据有两角相等或两边相等的三角形是等腰三角形分析，得 A、，，是等腰三角形，故选项A不符合题目要求； B、，，是等腰三角形，故选项B不符合题目要求； C、，，即，是等腰三角形，故选项C不符合题目要求； D、，且，，，不能判定是等腰三角形，故选项D符合题目要求． 故选：D． 7．如图，在中，，．点D、E、C在同一条直线上，，，其中，，则的长度为（    ） A．14 B．20 C．28 D．34 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的应用，根据证明，再利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，， ∴， 在与中， ． ∴， ∴， 又∵， ∴． 故选：D． 8．如图，在和中，已知，还需添加两个条件才能使，不能添加的一组条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的全等判定，关键在熟练掌握各判定定理的条件和方法．依据三角形全等判定的定理（、、、），即可． 【详解】解：，， ，故A不符合题意； ， ， ， ，， ，故B不符合题意； ，， ，故C不符合题意； 根据，，不能使得，故D符合题意； 故选：D． 9．如图，已知，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，连接，根据三角形内角和定理可知，因为，可得：，即可求出． 【详解】解：如下图所示，连接， ， ， 在中，， ， 知，，， ， ， ． 故选： C． 10．如图，在中，，的垂直平分线交于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键． 连接，由线段垂直平分线的性质得出，由三角形外角的性质得出，再由可知，故，进而可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ∵，的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，已知，若直接运用 “”判定，则补充的一个条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 利用公共边以及，依据两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等，即可得到需要的条件． 【详解】解：∵，， ∴添加时，， 故答案为：． 12．如图，在中，，垂直平分，，则的度数是 ． 【答案】/66度 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握这些性质和定理是解题的关键．利用线段垂直平分线得，即可求出，利用，即可求出的度数． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13．如图，在中，于点，是上的一点．若，，，则的周长为 ．    【答案】16 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 由全等三角形的性质可得，，即可得的周长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的周长， ∵，， ∴的周长为 ． 故答案为：． 14．如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形， ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键．先证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：如图所示， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 15．如图，等边中，平分，点P、Q分别为上的点，且，，在上有一动点E，则的最小值为 ． 【答案】11 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识． 作点关于的对称点，连接交于，此时的值最小，最小值为，然后根据等边三角形的性质可得是等边三角形，即可求得． 【详解】解：是等边三角形，平分， ，，为中点， ，， ， 作点关于的对称点，则，连接交于，如图， 则， 此时的值最小，最小值为， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， 的最小值为11． 故答案为： 16．在中，，，D为中点且，E、F分别是边上的动点（点不与，重合，点不与，重合），且，下列结论：①；②的度数不变；③的面积存在最小值；④的面积存在最小值；⑤四边形的面积为，其中正确的结论有 ． 【答案】①②④⑤ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、点到直线之间、垂线段最短等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 先利用等腰三角形的判定与性质可得、是等腰直角三角形，易证可得、，，即可判断①；易得即可判定②；，当最小时，的面积存在最小值，可判断④；由可得，的面积不存在最大值、则的面积不存在最小值，即可判断③． 【详解】解：，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 、是等腰直角三角形， ，， 又， ， ， 在和中， ， ， ，，，故①正确， ， ， 的度数不变，故②正确， ，， ， 当时，最小， 当最小时，的面积存在最小值，故④正确， ， ， 是中点， ， ， 四边形的面积为，故⑤正确， ， ， ∴要使的面积最小，则需最大， 由题点不与，重合，则无最大值， 的面积不存在最小值，故③错误． 故答案为：①②④⑤． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，点A、B、C、D在一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】该题考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定，根据，得出．根据角边角证明，即可解答． 【详解】证明：∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． 18．如图，在中，点，分别在，的延长线上，若，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键；由题意易得，然后根据三角形外角的性质可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 19．如图，在中，是中线，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查三角形中线的相关计算，理解图示，掌握周长的计算是关键． （1）根据中线得到，由周长的计算公式及周长的计算得到周长差为，代入计算即可； （2）根据周长的计算，结合题意得到，根据，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴， ∵的周长为，的周长为，是中线， ∴ ； （2）解：的周长为，四边形的周长为， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 20．已知，，是的三边长． (1)若，，求的取值范围； (2)若，，满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2)是等边三角形 【分析】本题考查的知识点是三角形三边关系、等边三角形的判定，解题关键是熟练掌握三角形三边关系． （1）结合三角形三边关系即可求的取值范围； （2）结合非负性可得，即可判断的形状． 【详解】（1）解：已知，， 所以第三边需要满足 代入可得：，即； （2）解：是等边三角形，理由如下： ， ，， ， 是等边三角形． 21．如图，在中，，，是边上的高，是的角平分线． (1)求的度数； (2)若平分，与交于点，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角形的高线、角平分线、三角形内角和及三角形外角的性质，熟练掌握三角形的高线、角平分线、三角形内角和及三角形外角的性质是解题的关键； （1）由题意易得，，然后可得，进而问题可求解； （2）由题意易得，由（1）可知：，然后根据三角形外角的性质可进行求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， 由（1）可知：， ∴． 22．如图，在中，，是的中点，在的延长线上找一点，连接并延长交的延长线于点，连接．    (1)若，的周长为8，求的周长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)20 (2)60度 【分析】本题主要考查垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及三角形外角的性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）证明垂直平分，得,可求的周长为． （2）由三角形内角和定理可求，证明，得，再运用三角形外角性质可得结论． 【详解】（1）解：，是的中点， 垂直平分， ． ，的周长为8， ，． 的周长为． （2）解：，， ， 在和中， ， ， ， ． 23．在中，，，E为直线上一点，D为直线上一点，且． （1）当点D在线段上时，如图①，易证：（不需证明）； （2）当点D在线段的延长线上时，如图②、图③，猜想线段，和之间又有怎样的数量关系，写出你的猜想，并证明图②． 【答案】图②中，结论：，图③中，结论：，证明图②见解析； 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，注意形变证明方法基本不变． 图②中，结论：，作交BC于M，先证明是等边三角形得，再证明，得由此可以对称结论．图③中，结论：，证明方法类似． 【详解】如图②中，结论：． 如图③中，结论：． 证明如图②中，结论：． 作交于M， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴． 24．【问题初探】 （1）如图，在中，，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．猜想，，有何数量关系，并给予说明； 【变式探究】 （2）如图，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图所示，以的边为一边向外作和，其中，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由． ． 【答案】（1）；说明见详解（2），证明见详解（3），理由见详解 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角全等模型，是解题的关键： （1）利用证明，再利用全等三角形的性质以及线段的和差关系即可求解； （2）利用证明，即可得出结论； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，证明，，推出，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：（1）直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； ∴，， ∵， ∴． （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： 是的外角， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， ∴； （3）大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ． 25．当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题． 【小试牛刀】 （1）如图1，在中，，，则边上的中线的取值范围是______； 【尝试运用】 （2）如图2，，点D为中点，点F在的延长线上，，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，是中线，点E是上一点，，，若，则的大小是______（角含的式子表示） 【答案】（1）  （2）6  （3） 【分析】（1）延长到E，使，连接，由是边上的中线，可得，证明，得到，再根据三角形的三边关系得到，即可求解； （2）延长，交的延长线于点，证明，得到，结合，可得，根据，得到，即可求解； （3）如图，延长至点N，使得，在上取点M，使得，连接，，证明，得出，，结合，得出，，证明，得出，根据，得出，结合，证明是等边三角形，得出，最后根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：（1）如图，延长到E，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形三边关系得， ， ， ， 故答案为：． （2）延长，交的延长线于点G， 点D为中点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）如图，延长至点N，使得，在上取点M，使得，连接，， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 即的大小是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与与性质，三角形的中线，三角形的外角性质，等边三角形的判定与性质，三角形的三边关系，解题的关键是掌握相关知识并正确作出辅助线． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第四章三角形（高效培优单元测试·强化卷） (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.一副三角板如图摆放，AB‖CD,∠B=30°，∠D=45°，若点E恰好在AB上，则LEFC的度数是() B D A.75 B.70° C.659 D.60° 2.如图，在ABC中，D为BC延长线上一点，DE1AB于F,交AC于E,若∠A=40°，∠D=45°，则 ∠ACB的度数等于() A.75° B.85° C.95 D.105° 3.如图，为了估计池塘两岸A,B间的距离，在池塘的一侧选取点P,测得PA=19米，PB=10米，那么 A,B间的距离不可能是() B A.11米 B.15.8米 C.26米 D.30.5米 4.已知△ABC≌△DEF,LA=80°，∠B=40°，则∠F的度数是() A.40° B.50 C.60° D.80° 5.如图，ABC中，∠ABC=∠ACB,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,BF=10, 则DE的长是() 1/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.5 B.7.5 C.12 D.12.5 6.ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,C,根据下列选项不能判定ABC是等腰三角形的 是() A.∠A:∠B:∠C=2:2:3 B.a:b:c=2:2:3 C.∠B=50°，LC=80° D.2∠A=LB+LC 7.如图，在Rt△BAE中，AE=BE,LAEB=90°，点D、E、C在同一条直线上，AD⊥DC,BC⊥DC, 其中AD=10,BC=24,则DC的长度为() A.14 B.20 C.28 D.34 8.如图，在ABC和△DEC中，已知CB=CE,还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC,不能添加的一组 条件是() 9 B A.AC=DC,AB=DE B.∠ACD=∠BCE,∠B=∠E C.AB=DE,∠B=∠E D.AC=DC,∠A=∠D 9.如图，己知∠A=60°，∠B=40°，∠C=30°，则∠D+∠E等于() 2/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.30° B.40° C.50 D.60° 10.如图，在ABC中，∠A=25°，AC的垂直平分线交AB于点D,BC+BD=AB,则∠B的度数为() B A. 450 B.50° C.55° D.60° 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.如图，已知∠DAB=∠CAB,若直接运用“ASA”判定△ABD≌△ABC，,则补充的一个条件是 D 12.如图，在ABC中，AB=AC,DE垂直平分AB,∠ABD=48°，则∠DCB的度数是 A B 13.如图，在ABC中，CD⊥AB于点D,E是CD上的一点.若△BDE≌△CDA,AB=10,AC=6,则 BDE的周长为」 D 14.如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，∠1+∠2+∠3= 3/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在 ABC和△DEA中， D 3 E B AB=DE ∠ABC=∠DEA=90°， BC=EA .△ABC≌△DEA(SAS), .∠1=∠4， .∠3+∠4=90， .∠1+∠3=90°， 又：∠2=45°， .∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°. 故答案为：135°. 15.如图，等边ABC中，BD平分∠ABC,点P、Q分别为AB、AD上的点，且QD=3,BP=AQ=5, 在BD上有一动点E,则PE+QE的最小值为 ○ D B C 16.在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6cm,D为BC中点且AD⊥BC,E、F分别是AB、AC边上的 动点（点E不与A,B重合，点口F不与A,C重合），且∠EDF=90°，下列结论：①BE=AF;② ∠BED+∠CFD的度数不变；③△AEF的面积存在最小值；④△DEF的面积存在最小值；⑤四边形AEDF的 面积为9cm2,其中正确的结论有 B 4/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) I7.如图，点A、B、C、D在一条直线上，AE∥DF,AE=DF,∠E=∠F,求证：BE=CF, E o 18.如图，在ABC中，点D,E分别在BC,AB的延长线上，若∠DBE=105°，∠CAD=25°，∠D=40°， 求∠BAC的度数， D 19.如图，在△ABC中，AD是中线，AB=10cm,AC=6cm, A E B D (I)求△ABD与△ACD的周长差， (②)点E在边AB上，连接ED,若△BDE与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长. 20.已知a,b,C是ABC的三边长. (1)若a=4,b=6,求c的取值范围； (2)若a,b,c满足(a-b)2+(b-c2=0,试判断ABC的形状. 21.如图，在ABC中，∠BAC=58°，∠ACB=70°，AD是BC边上的高，AE是ABC的角平分线. E D 5/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求∠DAE的度数； (2)若CF平分∠ACB,与AE交于点G,求∠EGF的度数. 22.如图，在△ABE中，BA=BE,F是AE的中点，在BF的延长线上找一点D,连接AD并延长交BE的 延长线于点C,连接DE. B E (I)若BA=6,△CDE的周长为8，求ABC的周长； (2)若∠ABC=30°，∠C=45°，求LCDE的度数， 23.在ABC中，AB=AC,∠BAC=60°，E为直线AC上一点，D为直线BC上一点，且DA=DE. B B 图① 图② 图③ (1)当点D在线段BC上时，如图①，易证：BD+AB=AE(不需证明)； (2)当点D在线段CB的延长线上时，如图②、图③，猜想线段BD,AB和AE之间又有怎样的数量关系， 写出你的猜想，并证明图② 24.【问题初探】 (1)如图，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线1经过点A,分别从点B,C向直线1作垂线，垂 足分别为D,E.猜想DE,BD,CE有何数量关系，并给予说明； B A 【变式探究】 (2)如图，在ABC中，AB=AC,直线1经过点A,点D,E分别在直线1上，如果 ∠CEA=∠ADB=∠BAC,猜想DE,BD,CE有何数量关系，并给予证明； 6/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A 【拓展应用】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图所示，以ABC的边AB,AC为一边向 外作△BAD和△CAE,其中∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,AG是边BC上的高.延长GA交DE于 点H,设△ADH的面积为S,△AEH的面积为S2,猜想S,S2大小关系，并说明理由 H B GC 25.当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题， ) 图1 图2 图3 【小试牛刀】 (1)如图1，在ABC中，AB=7,AC=5,则BC边上的中线AD的取值范围是； 【尝试运用】 (2)如图2，AB∥CE,点D为BC中点，点F在DA的延长线上，∠DAB=∠F,若AB=8,CE=2,求 EF的长； 【拓展延伸】 (3)如图3，在ABC中，AD是中线，点E是AD上一点，BE=AC,AE=BD,若LCAD=Q,则 LDBE的大小是（角含a的式子表示）· 7/7