5.2 第2课时 勾股定理的实际应用（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年八年级数学上册同步备课（湘教版·新教材）

该初中数学课件聚焦勾股定理的实际应用，核心内容包括运用勾股定理求线段长、解决实际问题及最短距离问题。课堂导入通过复习在数轴上作√2、√3、√5的点，衔接勾股定理与实数知识，搭建从理论到应用的学习支架。 其亮点在于结合梯子移动、树折断等生活实例及圆柱、牛奶盒等立体图形最短路径问题，培养学生数学眼光（抽象几何模型）、数学思维（推理计算）和数学语言（模型构建）。总结步骤清晰，融入古代芦苇问题激发兴趣，助力学生发展空间观念与应用意识，教师可高效开展教学。

第5章 直角三角形 第2课时 勾股定理的实际应用 5.2 勾股定理及其逆定理 ÷ 八年级上册数学（湘教版） 1. 会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题. （重点） 2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型， 利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联 系，并进一步求出未知边长.（难点） 学习目标 我们已经知道，实数与数轴上的点一一对应，如何在数轴上作出表示实数 和 的点? O A1 A2 1 1 1 你能在数轴上作出表示 的点吗? 复习导入 思考：如图是一位电工师傅准备利用梯子在墙上安装电灯的示意图.假设梯子长 4 m，他将梯子靠在墙上，此时梯脚离墙脚的距离为 1.5 m. 他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近了 0.5 m，那么，梯子顶端是否也上移 0.5m？ 勾股定理的简单实际应用 1 (已知 ) 探究新知 抽象成数学问题 解决实际问题 实际问题：梯子顶端往上移动的距离. A' C' C A B 墙面 地面 梯子 几何问题： 利用_________， 求_________的长. 勾股定理 AB，A'B 解：在 Rt△ABC 中，AC = 4 m，BC = 1.5 m， 由勾股定理得，A'B = 因此 A'A = A'B－AB≈3.87－3.71 = 0.16 (m). 即梯子顶端 A 点大约向上移动了 0.16 m，而不是向上移动 0.5 m. A' C' C A B 于是，AB = = 3.71(m). 在Rt△A'BC' 中，A'C = 4 m，BC' = 1 m， 例1 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面 6 米处断裂，树的顶部落在离树根底部 8 米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？ 8 米 6米 8 米 6米 A C B 解：根据题意可以构建一直角三角形模型，如图. 在 Rt△ABC 中， AC = 6 米，BC = 8 米， 由勾股定理得 ∴这棵树在折断之前的高度是10+6 = 16（米）. 例2 (古代数学问题) “今有池方一丈，葭(jia) 生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”意思是：有一个池塘，其水面是边长为 10 尺的正方形，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分为1尺，如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面， 问水深与芦苇长各为多少？ 武英殿聚珍版《九章算术》 分析 根据题意，先画出水池截面示意图，如图所示. 设 AB 为芦苇，BC 为芦苇出水部分，长 1 尺，将芦苇拉向岸边，其顶部 B 点恰好碰到岸边 B'. A B B' 1 尺 5尺 C 解：如图，设水深 x 尺，则 AC = x 尺， 因为池塘的水面是边长为10尺的正方形， 在Rt△ACB' 中，根据勾股定理得， 52 + x2 = (x+1)2， 故芦苇长为 13 尺. 解得 x = 12. 答：水池的水深 12 尺. AB = AB' = (x + 1) 尺. 所以 B'C = 5 尺. 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）读懂题意，分析已知、未知间的关系； （2）构造直角三角形； （3）利用勾股定理等列方程； （4）解决实际问题. 数学问题 直角三角形 勾股定理 实际问题 转化 构建 利用 决解 要点归纳 解：(1) 在 Rt△ ABC 中，根据勾股定理得 ∴这条“近路”的长为 5 米. C A B 练一练 如图，学校教学楼前有一块长为 4 米，宽为 3 米的长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“近路”，却踩伤了花草. (1) 求这条“近路”的长； (2) 他们仅仅少走了几步(假设 2 步为 1 米)？ 别踩我,我怕疼! (2) 他们仅仅少走了 (3 + 4 - 5)×2 = 4 (步). C B A 问题 在 A 点的小狗，为了尽快吃到 B 点的香肠，它选择 A B 路线，而不选择 A C B 路线，难道小狗也懂数学？ AC+CB ＞AB（两点之间线段最短） 思考 在立体图形中，怎么寻找最短线路呢？ 利用勾股定理求最短距离 2 A B 蚂蚁 A→B 的路线 问题：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在 B 处，恰好一只在 A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想沿侧面从 A 处爬向 B 处，蚂蚁怎么走最近？ B A 根据两点之间线段最短易知上面路线最近. 若已知圆柱体高为 12 cm，底面半径为 3 cm，π 取 3. B A 3 O 12 侧面展开图 12 3π A B A' A' 解：在 Rt△ABA′ 中，由勾股定理得 立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线. 归纳 例3 有一个圆柱形油罐，要以 A 点环绕油罐建梯子，正好建在 A 点的正上方点 B 处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是 2 m，高 AB 是 5 m，π 取 3)? A B A B A' B' 解：油罐的展开图如图，则 AB' 为梯子的最短距离. AA' = 2×3×2 = 12， A'B' = 5，根据勾股定理得 即梯子最短需 13 米. 数学思想： 立体图形 平面图形 转化 展开 B 牛奶盒 A 【变式题】看到小蚂蚁终于找到食物的兴奋劲儿，小明又灵光乍现，拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放在了点 A 处，并在点 B 处放了一滴蜂蜜，你能帮小蚂蚁求出找到蜂蜜的最短路程么？ 6 cm 8 cm 10 cm B B1 8 A B2 6 10 B3 AB12 =102 + (6+8)2 = 296， AB22= 82 + (10+6)2 = 320， AB32= 62 + (10+8)2 = 360， 解：由题意知有三种展开方法， 如图.由勾股定理得 ∴ AB1＜AB2＜AB3. ∴小蚂蚁找到蜂蜜的最短路程为 AB1，长为 cm . 如图是一个边长为 1 的正方体硬纸盒，现在 A 处有一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面爬到 B 处吃食物，求蚂蚁爬行的最短路程是多少？ A B 解：由题意得 AC = 2，BC = 1.在 Rt△ABC 中，由勾股定理得AB2 = AC2 + BC2 = 22+ 12 = 5.∴ AB = ， 即最短路程为 . 2 1 A B C 练一练 1. 从电线杆上离地面 5 m 的 C 处向地面拉一条长为 7 m的钢缆，则地面钢缆 A 到电线杆底部 B 的距离是(　　) A. 24 m B. 12 m C. m D. m D 课堂练习 2. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是 9 cm，内壁高 12 cm，则这只铅笔的长度可能是(　　) A.9 cm B.12 cm C.15 cm D.18 cm D 3. 如图，有两棵树，一棵高 8 米，另一棵高 2 米，两棵树相距 8 米. 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的 树梢，问小鸟至少飞行多少米？ A B C 解：如图，过点 A 作 AC⊥BC 于点 C. 由题意得 AC = 8 (米)，BC = 8 - 2 = 6 (米)， 答：小鸟至少飞行 10 米. 4. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于 55 cm，10 cm 和 6 cm，A 和 B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物. 这只蚂蚁爬行的最短路程是多少？ B A A B C 解：台阶的展开图如图，连接 AB. 在 Rt△ABC 中，根据勾股定理得 AB2 = BC2＋AC2＝552＋482 ＝ 5329= 732. ∴AB = 73 cm. 勾股定理 的应用 用勾股定理解决实际问题 用勾股定理解决点的距离及路径最短问题 课堂小结 声 明 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $