5.2.2勾股定理的应用（课件）2026-2027学年湘教版数学八年级上册

# 湘教版数学八年级上册 \(\boldsymbol{5}\).2.2 勾股定理的应用 专项练习 ## 知识点回顾 勾股定理：在$Rt\triangle ABC$\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)$\angle C=90^\circ$\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)两直角边$a\(a\(3、4\)b\)b$\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)斜边$c$\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)$\boldsy\(\mathrm{m}\)bol{a^2+b^2=c^2}$。 解题核心思路： 1. 把实际问题抽象成**直角三角形模型**； 2. 找出直角\(a\(3、4\)b\)两条直角边与斜边； 3. 代入公式计算\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)最后还原成实际问题答案。 ✅常见模型 - 梯子下滑问题； - 航海方向（方位角）； - 折叠问题； - 最短路径（立体图形展开）； - 测高度\(a\(3、4\)b\)测距离。 满分：100分 时间：40分钟 ## 一\(a\(3、4\)b\)选择题（每题4分\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)共20分） 1. 一架梯子靠在竖直墙上\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)梯子\(a\(3、4\)b\)墙面\(a\(3、4\)b\)地面构成（） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 2. 一棵树折断\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)树顶落地\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)树干剩余部分\(a\(3、4\)b\)地面\(a\(3、4\)b\)折断部分构成直角三角形\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)树干剩余高$3\\(\mathrm{m}\)athr\(\mathrm{m}\){\(\mathrm{m}\)}$\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)落地点距离树根$4\\(\mathrm{m}\)athr\(\mathrm{m}\){\(\mathrm{m}\)}$\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)折断的树干长（） A.$\(\boldsymbol{5}\)\\(\mathrm{m}\)athr\(\mathrm{m}\){\(\mathrm{m}\)}$ B.$7\\(\mathrm{m}\)athr\(\mathrm{m}\){\(\mathrm{m}\)}$ C.$2\(\boldsymbol{5}\)\\(\mathrm{m}\)athr\(\mathrm{m}\){\(\mathrm{m}\)}$ D.$1\\(\mathrm{m}\)athr\(\mathrm{m}\){\(\mathrm{m}\)}$ 3. 一艘船先向正东航行$8\\(\mathrm{m}\)athr\(\mathrm{m}\){k\(\mathrm{m}\)}$\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)再向正北航行$6\\(\mathrm{m}\)athr\(\mathrm{m}\){k\(\mathrm{m}\)}$\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)此时船距离出发点（） A.$14\\(\mathrm{m}\)athr\(\mathrm{m}\){k\(\mathrm{m}\)}$ B.$10\\(\mathrm{m}\)athr\(\mathrm{m}\){k\(\mathrm{m}\)}$ C.$2\\(\mathrm{m}\)athr\(\mathrm{m}\){k\(\mathrm{m}\)}$ D.$48\\(\mathrm{m}\)athr\(\mathrm{m}\){k\(\mathrm{m}\)}$ 4. 长方形长$12$\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)宽$\(\boldsymbol{5}\)$\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)则长方形对角线长（） A.$17$ B.$\(\boldsymbol{13}\)$ C.$7$ D.$60$ \(\boldsymbol{5}\). 梯子长$10\\(\mathrm{m}\)athr\(\mathrm{m}\){\(\mathrm{m}\)}$\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)底端离墙$6\\(\mathrm{m}\)athr\(\mathrm{m}\){\(\mathrm{m}\)}$\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)则梯子顶端距离地面高度为（） A.$16\\(\mathrm{m}\)athr\(\mathrm{m}\){\(\mathrm{m}\)}$ B.$8\\(\mathrm{m}\)athr\(\mathrm{m}\){\(\mathrm{m}\)}$ C.$4\\(\mathrm{m}\)athr\(\mathrm{m}\){\(\mathrm{m}\)}$ D.$10\\(\mathrm{m}\)athr\(\mathrm{m}\){\(\mathrm{m}\)}$ ## 二\(a\(3、4\)b\)填空题（每题4分\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)共20分） 1. 运用勾股定理解决实际问题\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)关键是把实际问题转化为________三角形。 2. 长方形两边长$3\(a\(3、4\)b\)4$\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)对角线长为________。 3. 梯子长$\(\boldsymbol{13}\)\\(\mathrm{m}\)athr\(\mathrm{m}\){\(\mathrm{m}\)}$\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)顶端离地$12\\(\mathrm{m}\)athr\(\mathrm{m}\){\(\mathrm{m}\)}$\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)梯子底端离墙________$\\(\mathrm{m}\)athr\(\mathrm{m}\){\(\mathrm{m}\)}$。 4. 直角三角形\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)两直角边$\(\boldsymbol{5}\)\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)12$\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)斜边长________。 \(\boldsymbol{5}\). 求立体图形表面最短路径\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)一般需要把立体图形________为平面图形\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)再用勾股定理。 ## 三\(a\(3、4\)b\)基础解答题（每题8分\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)共32分） 1. 一架梯子长$10\\(\mathrm{m}\)athr\(\mathrm{m}\){\(\mathrm{m}\)}$\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)梯子底端离墙$6\\(\mathrm{m}\)athr\(\mathrm{m}\){\(\mathrm{m}\)}$\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)求梯子顶端到地面的高度。 2. 一棵树在离地面$\(\boldsymbol{5}\)\\(\mathrm{m}\)athr\(\mathrm{m}\){\(\mathrm{m}\)}$处折断\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)树顶落在距离树根$12\\(\mathrm{m}\)athr\(\mathrm{m}\){\(\mathrm{m}\)}$地面处\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)求折断部分的长度。 3. 一个长方形门框\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)宽$1.\(\boldsymbol{5}\)\\(\mathrm{m}\)athr\(\mathrm{m}\){\(\mathrm{m}\)}$\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)高$2\\(\mathrm{m}\)athr\(\mathrm{m}\){\(\mathrm{m}\)}$\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)求门框对角线长度。 4. 一艘小船从码头出发\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)向东走$120$米\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)再向北走$90$米\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)求此时小船与码头的直线距离。 ## 四\(a\(3、4\)b\)拓展提升题（每题14分\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)共28分） 1. 梯子长$10\\(\mathrm{m}\)athr\(\mathrm{m}\){\(\mathrm{m}\)}$\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)原来底端距墙$6\\(\mathrm{m}\)athr\(\mathrm{m}\){\(\mathrm{m}\)}$\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)现将梯子底端向外移动$2\\(\mathrm{m}\)athr\(\mathrm{m}\){\(\mathrm{m}\)}$\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)问梯子顶端向下滑动多少米？ 2. 如图\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)有一长方体\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)长$4$\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)宽$3$\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)高$12$\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)求长方体下底面一点到上底面对角顶点的最短表面距离。 --- # 参考答案与解析 ## 一\(a\(3、4\)b\)选择题 1.B 2.A 3.B 4.B \(\boldsymbol{5}\).B ## 二\(a\(3、4\)b\)填空题 1. **直角** 2.$\boldsy\(\mathrm{m}\)bol{\(\boldsymbol{5}\)}$ 3.$\boldsy\(\mathrm{m}\)bol{\(\boldsymbol{5}\)}$ 4.$\boldsy\(\mathrm{m}\)bol{\(\boldsymbol{13}\)}$ \(\boldsymbol{5}\). **展开** ## 三\(a\(3、4\)b\)基础解答题 1. 解：设顶端高$h$\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)构成直角三角形\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)斜边为梯子长 $h^2+6^2=10^2$ $h^2=100-36=64$ $\(h=8\)$ 答：梯子顶端到地面高度为$\boldsy\(\mathrm{m}\)bol{8\\(\mathrm{m}\)athr\(\mathrm{m}\){\(\mathrm{m}\)}}$。 2. 解：设折断部分长$x$\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)两直角边$\(\boldsymbol{5}\)\\(\mathrm{m}\)athr\(\mathrm{m}\){\(\mathrm{m}\)}$\(a\(3、4\)b\)$12\\(\mathrm{m}\)athr\(\mathrm{m}\){\(\mathrm{m}\)}$ $x^2=\(\boldsymbol{5}\)^2+12^2=2\(\boldsymbol{5}\)+144=169$ $x=\(\boldsymbol{13}\)$ 答：折断部分长$\boldsy\(\mathrm{m}\)bol{\(\boldsymbol{13}\)\\(\mathrm{m}\)athr\(\mathrm{m}\){\(\mathrm{m}\)}}$。 3. 解：设对角线长为$x$ $x^2=1.\(\boldsymbol{5}\)^2+2^2=2.2\(\boldsymbol{5}\)+4=6.2\(\boldsymbol{5}\)$ $x=2.\(\boldsymbol{5}\)$ 答：对角线长$\boldsy\(\mathrm{m}\)bol{2.\(\boldsymbol{5}\)\\(\mathrm{m}\)athr\(\mathrm{m}\){\(\mathrm{m}\)}}$。 4. 解：设直线距离为$x$ $x^2=120^2+90^2=14400+8100=22\(\boldsymbol{5}\)00$ $x=1\(\boldsymbol{5}\)0$ 答：直线距离$\boldsy\(\mathrm{m}\)bol{1\(\boldsymbol{5}\)0}$米。 ## 四\(a\(3、4\)b\)拓展提升题 1. 解： 原来：梯子长$10$\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)底距墙$6$\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)原来高度$h_1=\sqrt{10^2-6^2}=8\\(\mathrm{m}\)athr\(\mathrm{m}\){\(\mathrm{m}\)}$ 移动后：底端离墙$6+2=8\\(\mathrm{m}\)athr\(\mathrm{m}\){\(\mathrm{m}\)}$ 新高度$h_2=\sqrt{10^2-8^2}=6\\(\mathrm{m}\)athr\(\mathrm{m}\){\(\mathrm{m}\)}$ 下滑距离：$8-6=2\\(\mathrm{m}\)athr\(\mathrm{m}\){\(\mathrm{m}\)}$ 答：顶端向下滑动$\boldsy\(\mathrm{m}\)bol{2\\(\mathrm{m}\)athr\(\mathrm{m}\){\(\mathrm{m}\)}}$。 2. 解：展开后\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)两条直角边：$\(4+3=7\)$\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)高$12$ 斜边$=\sqrt{7^2+12^2}=\sqrt{49+144}=\sqrt{193}$ 答：最短距离为$\boldsy\(\mathrm{m}\)bol{\sqrt{193}}$。 ## 易错警示 1. 实际应用题一定要**写答句**\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)考试不写答扣分； 2. 分清斜边\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)梯子\(a\(3、4\)b\)折断的树干都是斜边； 3. 立体最短路径\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)要**展开成平面**\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)不能直接在立体内部计算； 4. 计算结果长度取正数\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)舍去负根。 下一节：**\(\boldsymbol{5}\).3 直角三角形全等的判定（HL）**\(\(\boldsymbol{5}\)，12\)继续同模板出题吗？ 湘教版（新教材）数学八年级上册 5.2.2勾股定理的应用 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/8 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第5章 直角三角形 1 2 3 能运用勾股定理解决简单的实际问题。（重点） 通过例题的分析和解决，感受勾股定理在实际生活中的应用（重点） 能运用转化思想将实际问题转化为数学模型，再运用勾股定理来解（难点） 学习目标 导入新课 勾股定理: a 2 + b 2 = c 2 c b a 注意:运用勾股定理必须满足前提条件：在直角三角形中.同时还要明确直角三角形的直角边与斜边. 直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方. 02 新知导入 回顾 什么是勾股定理？ 任意直角三角形三边的长度之间是否存在数量关系？ 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边分别为，斜边为，那么. 几何语言 ∵在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴。（或） 4 03 新知探究 议一议 我们已经知道，实数与数轴上的点一一对应，如何在数轴上作出表示实数和的点？ 你能在数轴上作出表示的点吗？ 5 03 新知探究 运用勾股定理作长为的线段 ①构造：构造直角三角形，使其以无理数瓜为斜边，两直角边都是整数 ②画图：借助数轴画出上述直角三角形，其中一条直角边在数轴上，另一条直角边与数轴垂直 ③定点：以原点为圆心，为半径画弧 与数轴正半轴的交点即为对应的点 与数轴负半轴的交点即为对应的点 6 03 新知探究 思考 图中是一位电工师傅准备利用梯子在墙上安装电灯的示意图 . 假设梯子长4m，他将梯子靠在墙上，此时梯脚离墙脚的距离为1.5m.他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近了0.5m，那么，梯子顶端是否也上移0.5m？（已知≈3.71，≈3. 87） 你能抽象出几何图形吗？ 7 03 新知探究 在Rt△ABC中，AC=4m，BC=1.5m， 于是，AB==≈3. 71(m). 在Rt△A'BC'中，A'C'=4m，BC'= 1m， 由勾股定理得，A'B= ≈3.87(m)， 因此A'A=A'BAB≈3.873.71=0. 16(m). 即梯子顶端A点大约向上移动了0.16m，而不是向上移动0.5m. 8 返回 A 举一反三 9 13S 举一反三 10 返回 举一反三 03 新知探究 (古代数学问题)“今有池方一丈，葭(jiā)生其中央，出水一尺 . 例3 引葭赴岸，适与岸齐 . 问水深、葭长各几何？”①意思是：有一个池塘，其水面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分为1尺 . 如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面 .问水深与芦苇长各为多少？ 武英殿聚珍版《九章算术》 03 新知探究 分析：根据题意，先画出水池截面示意图，如右图所示 . 设AB为芦苇，BC为芦苇出水部分，长1尺，将芦苇拉向岸边，其顶部B点恰好碰到岸边B'. 03 新知探究 解：如图，设水深尺，则AC=尺，AB=AB'=尺. 因为池塘的水面是边长为10尺的正方形， 所以B'C=5尺. 在Rt△ACB'中，根据勾股定理得， ， 解得=12. 故芦苇长为13尺. 答：水深为12尺，芦苇长为13尺. 03 新知探究 运用勾股定理求解线段长度问题 1.找直角：找出图中的直角三角形，或作辅助线构造直角三角形. 2.定关系：找出所求线段与直角三角形三边的关系. 3.求值:根据勾股定理计算相关线段的长度. 注意：如果没有几何图形则需根据题意抽象出图形。 15 新知应用 基础巩固题 1.如图,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行 米． 8 6 10 A B C 2.如图，数轴上的点A所表示的数为（    ） A． B． C． D． C 新知应用 基础巩固题 3．强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆12m处，旗杆折断之前的高度是（   ）m． A．12 B．13 C．17 D．18 D 4.如图，一艘轮船在小岛A的北偏东600方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行2小时后到达小岛的北偏西450的C处，则该船行驶的速度为 海里/小时. +20) 新知应用 基础巩固题 5.在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程AC比河的宽度AB多2米，则河的宽度AB是（   ） A．6米 B．9米 C．12米 D．15米 D 新知应用 基础巩固题 6.在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争踣，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几？”译文为：如图，秋千OA静止时踏板离地面CD的距离为1尺，将它往前面推送两步（即CD的长为10尺），秋千的踏板B就和人一样高，已知这个人的身高为5尺，则绳索OA的长度为（   ）尺. A．10 B．12.5 C．14.5 D．16 C 返回 A 举一反三 20 4．[东营市中考]如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳OA与地面垂直，摆绳长2 m，向前荡起到最高点B处时距地面的高度为1.3 m，摆动的水平距离BD为1.6 m，然后向后摆到最高点C处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且OB与OC成90°角，则小丽在C处时距离地面的高度是(　　) A．0.9 m B．1.3 m C．1.6 m D．2 m A 返回 举一反三 21 5.如图，嘉琪一家自驾到风景区 游玩，到达 地后，导航显示车辆应沿北偏西 方向行 驶4千米至地，再沿北偏东 方向行驶一 段距离到达风景区，嘉琪发现风景区在 地的北偏东 方向，那么， 两地之间的 距离为_____千米. 举一反三 22 【点拨】如图所示，过点作于点 . 由题意得千米, ， ，所以 .因为 ，所以 .所以 ，.所以 千 米，.所以 千米.所以 千米. 返回 举一反三 23 6．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20 dm、3 dm、2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是________dm. 25 返回 举一反三 24 7. 在我国古代数学 著作《九章算术》“勾股”中有一题： “今有开门去阃 一尺，不合二 寸，问门广几何？”大意是说：如图， 推开两扇门和，且，门边缘， 两点到门 槛的距离为1尺（1尺寸），两扇门的间隙 为2寸， 那么门的宽度AB为________寸． 101 举一反三 25 课堂小结 1.数学思想： 实际问题 数学问题 转化 建模 (2).在直角三角形中，知道一边及另两边关系，可以求出未知的两边. (1).在直角三角形中，已知两边，可以求出第三边. 2.两种情形： 谢谢观看 THANKS 1.如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则AC边上的高为(　　) A. B. C. D. 2．我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图，后人称其为“赵爽弦图”. 弦图由四个全等的直角三角形按如图所示方式围成正方形ABCD，然后分别过较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH(阴影部分)．已知AM为Rt△ABM较长的直角边，若AM＝2EF，则正方形ABCD的面积为________(用含S的式子表示)． 【点拨】如图，在图中标出P，Q.设AM＝2a，BM＝AQ＝b，则AP＝AM＝a，AB＝＝＝，所以正方形ABCD的面积为4a2＋b2.易得EF＝MQ－2PQ＝(AM－AQ)－2(AP－AQ)＝(2a－b)－2(a－b)＝b.因为AM＝2EF，所以2a＝2b，即a＝b.因为小正方形EFGH的面积为S，所以b2＝S，所以正方形ABCD的面积为4a2＋b2＝4(b)2＋b2＝13b2＝13S. 3.象棋是中国的传统棋种，如图所示的象棋棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，按照“马走日”的规则，走一步之后的落点与“帅”的最大距离是(　　) A．5 B. C. D. $