4.5 第3课时 等边三角形的性质和判定（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年八年级数学上册同步备课（湘教版·新教材）

该初中数学课件聚焦等边三角形的性质与判定，通过“一般三角形→等腰三角形→等边三角形”的复习导入，构建知识脉络，以定义为起点引导学生从已知等腰三角形过渡到特殊等边三角形，搭建学习支架。 其亮点在于采用类比探究与分层变式训练，通过问题驱动学生推理性质（如三线合一、三内角60°），结合例1求角度、例2及变式（DE位置变化）培养推理能力与几何直观，课堂小结用表格对比和题目巩固，助学生系统掌握，教师可提升教学效率。

4.5 等腰三角形 第4章 三角形 第3课时 等边三角形的性质与判定 ÷ 八年级上册数学（湘教版） 1．探索等边三角形的性质和判定；（重点） 2．能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明.（难点） 学习目标 等腰三角形 等边三角形 一般三角形 在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫等边三角形. 复习导入 名称 图 形 定 义 性 质 判 定 等 腰 三 角 形 等边对等角 三线合一 等角对等边 两边相等 两腰相等 轴对称图形 A B C 有两条边相等的三角形叫等腰三角形 类比探究 A B C A B C 问题1 等边三角形的三个内角之间有什么关系？ 等腰三角形 AB = AC ∠B =∠C 等边三角形 AB = AC = BC AB = AC ∠B =∠C AC = BC ∠A =∠B 1 等边三角形的性质 探究新知 等边三角形的性质定理：等边三角形的各角等于 60°. A B C 推理证明 如图，△ABC 是等边三角形，则 AB = AC = BC. 由于 AB＝AC，则根据等腰三角形的性质定理得， ∠B＝∠C. 同理，由于AC＝BC，因此∠A＝∠B， 从而∠A＝∠B＝∠C. 根据三角形内角和定理得， ∠A+∠B+∠C＝180°， 因此∠A＝∠B＝∠C＝60°. A B C A B C 问题2 等边三角形有“三线合一”的性质吗？等边三角形有几条对称轴？ 结论：等边三角形每条边上的中线，高和所对角的平分线都“三线合一”. 顶角的平分线、底边上的高、 底边的中线 三线合一 一条对称轴 三条对称轴 图形 等腰三角形 性 质 每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 3 条对称轴 等边三角形 1 条对称轴 两个底角相等 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合 且都是 60° 两条边相等 三条边都相等 知识要点 三个角都相等， 例1 如图，△ABC 是等边三角形，E 是 AC 上一点，D 是 BC 延长线上一点，连接 BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED 的度数． 解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵∠ABE＝40°， ∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°. ∵ BE＝DE， ∴∠D＝∠EBC＝20°. ∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°. A B C D E 方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是 60°，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质等知识求解. 方法总结 如图，△ABC 是等边三角形，BD 平分∠ABC，延长 BC 到 E，使得 CE = CD．求证：BD = DE. 变式训练： 证明：∵△ABC 是等边三角形，BD 平分∠ABC， ∴∠ABC =∠ACB = 60°，∠DBC = 30°． 又∵ CE = CD， ∴∠CDE =∠CED． 又∵∠BCD =∠CDE +∠CED = 60°， ∴∠CDE =∠CED = 30°． ∴∠DBC =∠DEC． ∴ BD = DE (等角对等边)． A B C E D 2 等边三角形的判定 说一说 由上可知，等边三角形的三个角相等，其逆命题成立吗？ 逆命题成立. 如图，在△ABC 中，由于∠A =∠B，则 AC = BC. 同理可由∠B =∠C 得 AB = AC. 于是AB = AC = BC. 因此△ABC 是等边三角形. A B C 等边三角形的判定定理1： 三个角都相等的三角形是等边三角形. 知识要点 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形吗? 思考 如图，在△ABC 中，AB＝AC. 情形1 设∠A＝60°. 根据三角形内角和定理得 ∠B+∠C＝180°－∠A=180°－60°＝120°. 由于AB＝AC，因此∠B＝∠C＝60° 于是△ABC 是等边三角形. 情形2 设∠B＝60°. 由于AB＝AC，因此∠C＝∠B＝60°， 从而∠A＝180°－∠B－∠C=180°－60°－60°＝60° 因此△ABC 是等边三角形. A B C 情形3 设∠C＝60°. 与情形2 类似， 同理可证△ABC 是等边三角形. A B C 等边三角形的判定定理2： 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形. 例2 如图，在等边三角形 ABC 中，DE∥BC. 求证：△ADE 是等边三角形. A C B D E 证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =∠C. ∵ DE∥BC， ∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C. ∴∠A =∠ADE =∠AED. ∴△ADE 是等边三角形. 想一想：本题还有其他证法吗？ 证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠ABC =∠ACB = 60°． ∵ DE∥BC， ∴∠ABC =∠ADE， ∠ACB =∠AED. ∴∠A =∠ADE =∠AED. ∴△ADE 是等边三角形. 变式1　若点 D、E 分别在边 AB、AC 的延长线上，且 DE∥BC，结论还成立吗？ A D E B C 变式2 若点 D、E 分别在边 AB、AC 的反向延长线上，且 DE∥BC，结论依然成立吗？ 证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC =∠B =∠C = 60°． ∵ DE∥BC， ∴∠B =∠D，∠C =∠E． ∴∠EAD =∠BAC =∠D =∠E． ∴△ADE 是等边三角形． A D E B C 变式3 上题中，若将条件 DE∥BC 改为 BD = CE，△ADE 还是等边三角形吗? 试说明理由. A C B D E 证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A = 60°，AB = AC. ∵ BD = CE， ∴ AB－BD = AC－CE，即 AD = AE. 又∵∠A = 60°， ∴△ADE 是等边三角形. 例3 等边△ABC 中，点 P 在△ABC 内，点 Q 在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ 是什么形状的三角形？试证明你的结论． 解：△APQ 为等边三角形．证明如下： ∵△ABC 为等边三角形，∴ AB＝AC，∠BAC＝60°. ∵ BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ， ∴△ABP≌△ACQ (SAS). ∴ AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ. ∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°， ∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°. ∴△APQ 是等边三角形. B C Q A P 方法总结：判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等 (或两个内角等于 60°)；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于 60°. 方法总结 证明：∵ △ABC 为等边三角形，且 AD = BE = CF， ∴ AF = BD = CE，∠A =∠B =∠C = 60°. ∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS）. ∴ DF = ED = FE. ∴△DEF 是等边三角形. 针对训练：如图，等边△ABC 中，D、E、F 分别是各边上的点，且 AD = BE = CF． 求证：△DEF 是等边三角形． A C B D E F 2. 如图，等边三角形 ABC 的三条角平分线交于点 O，过点 O 作 DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有 ( ) A. 4 个 B. 5 个 C. 6 个 D. 7 个 D A C B D E O 1. 等边三角形的两条高线相交所成钝角的度数是 ( ) A．105° B．120° C．135° D．150° B 课堂小结 3. 如图，在等边△ABC 中，BD 平分∠ABC，BD = BF，则∠CDF 的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 4. 如图，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，已知△ABC 的周长为 18 cm，EC = 2 cm，则△ADE 的周长是 cm. A C B D E 12 B B C D A F 证明：∵△ABD 是等边三角形，∴∠DAB＝60°. ∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°， ∴∠CBE＝180°－90°－30°＝60°． ∴∠FAE＝∠CBE． ∵ E 为 AB 的中点，∴ AE＝BE． 又∵∠AEF＝∠BEC， ∴△AEF≌△BEC (ASA)． 5. 如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，∠CAB = 30°，以 AB 为边在△ABC 外作等边△ABD，E 是 AB 的中点，连接 CE 并延长交 AD 于 F． 求证：△AEF≌△BEC． B C D A F E 6. 如图，A、O、D 三点共线，△OAB 和△OCD 是两 个全等的等边三角形，求∠AEB 的大小. C B O D A E 解： ∵△OAB 和△OCD 是两个全等的等边三角形. ∴ AO = BO，CO = DO，∠AOB =∠COD = 60°. ∵ A、O、D 三点共线， ∴∠DOB =∠COA = 120°. ∴△COA≌△DOB (边角边). ∴∠DBO =∠CAO. 设 OB 与 EA 相交于点 F. ∵∠EFB =∠AFO， ∴∠AEB =∠AOB = 60°. F 等边 三角形 定义 底 = 腰 特殊性 性质 特殊性 边 三边相等 角 三个角都等于 60° 轴对称性 轴对称图形，每条边上都具有“三线合一”性质 判定 特殊性 三边法 三角法 等腰三角形+60°角 课堂小结 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $null