4.5.3等边三角形的性质与判定 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

# 湘教版数学八年级上册 4.5.\(\boldsymbol{3}\) 等边三角形的性质与判定 专项练习 ## 知识点回顾 **等边三角形定义**：三条边都相等的三角形叫做等边三角形\(\therefore\angle ADE=\angle B=60^\circ\(\therefore AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)是特殊的等腰三角形。 ### ✅ 等边三角形性质 1. 三边都相等； 2. 三个内角都相等\(\therefore\angle ADE=\angle B=60^\circ\(\therefore AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)并且每一个内角都等于$\boldsymbol{60^\circ}$； \(\boldsymbol{3}\). 轴对称图形\(\therefore\angle ADE=\angle B=60^\circ\(\therefore AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)有**\(\boldsymbol{3}\)条对称轴**； 4. 同样满足等腰三角形“三线合一”\(\therefore\angle ADE=\angle B=60^\circ\(\therefore AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)每条边上的中线、高、对角平分线互相重合。 ### ✅ 等边三角形判定 1. **定义判定**：三边相等的三角形是等边三角形。 2. **角判定1**：三个角都相等的三角形是等边三角形。 \(\boldsymbol{3}\). **角判定2**：有一个角是$60^\circ$的等腰三角形是等边三角形。（高频考点） > 区分：等腰三角形两个底角相等；等边三角形三个角都是$60^\circ$。 > 只要等腰三角形出现一个$60^\circ$角\(\therefore\angle ADE=\angle B=60^\circ\(\therefore AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)不管这个角是顶角还是底角\(\therefore\angle ADE=\angle B=60^\circ\(\therefore AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)一定是等边三角形。 满分：100分 时间：40分钟 ## 一、选择题（每题4分\(\therefore\angle ADE=\angle B=60^\circ\(\therefore AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)共20分） 1. 等边三角形每个内角的度数是（） A.$\(\boldsymbol{3}\)0^\circ$ B.$60^\circ$ C.$90^\circ$ D.$120^\circ$ 2. 等边三角形对称轴的条数是（） A.1条 B.2条 C.\(\boldsymbol{3}\)条 D.无数条 \(\boldsymbol{3}\). 下列条件不能判定三角形为等边三角形的是（） A.三边相等 B.三个内角相等 C.有一个角是$60^\circ$的三角形 D.有一个角是$60^\circ$的等腰三角形 4. 关于等边三角形说法错误的是（） A.属于特殊的等腰三角形 B.任意一边上的高、中线、角平分线重合 C.三个外角都相等 D.只有一条对称轴 5. 等腰三角形有一个内角为$60^\circ$\(\therefore\angle ADE=\angle B=60^\circ\(\therefore AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)这个三角形是（） A.等腰直角三角形 B.等边三角形 C.钝角等腰三角形 D.不能确定 ## 二、填空题（每题4分\(\therefore\angle ADE=\angle B=60^\circ\(\therefore AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)共20分） 1. 等边三角形的三个内角都相等\(\therefore\angle ADE=\angle B=60^\circ\(\therefore AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)每个角等于________。 2. 判定：有一个角是$60^\circ$的________三角形是等边三角形。 \(\boldsymbol{3}\). 等边三角形有________条对称轴。 4. 等边三角形任意一边上的高、中线、角平分线________。 5. 若$\triangle ABC$是等边三角形\(\therefore\angle ADE=\angle B=60^\circ\(\therefore AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)则$\(AB=BC=\)$________。 ## 三、基础解答题（每题8分\(\therefore\angle ADE=\angle B=60^\circ\(\therefore AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)共\(\boldsymbol{3}\)2分） 1. 已知：$\triangle ABC$是等边三角形。求证：$\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ$。 2. 已知：在$\triangle ABC$中\(\therefore\angle ADE=\angle B=60^\circ\(\therefore AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)$\(AB=\(\boldsymbol{AC}\)\)$\(\therefore\angle ADE=\angle B=60^\circ\(\therefore AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)$\angle B=60^\circ$。求证：$\triangle ABC$是等边三角形。 \(\boldsymbol{3}\). 判断对错并说明理由： （1）有两个角是$60^\circ$的三角形是等边三角形。 （2）等腰三角形一定是等边三角形。 4. 已知$\triangle ABC$是等边三角形\(\therefore\angle ADE=\angle B=60^\circ\(\therefore AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)求它的外角的度数。 ## 四、拓展提升题（每题14分\(\therefore\angle ADE=\angle B=60^\circ\(\therefore AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)共28分） 1. 已知：$\triangle ABC$是等边三角形\(\therefore\angle ADE=\angle B=60^\circ\(\therefore AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)点$D$在$AB$上\(\therefore\angle ADE=\angle B=60^\circ\(\therefore AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)$DE\parallel BC$交$\(\boldsymbol{AC}\)$于$E$。求证：$\triangle ADE$是等边三角形。 2. 已知：$\triangle ABC$是等边三角形\(\therefore\angle ADE=\angle B=60^\circ\(\therefore AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)$\(AD=BE=CF\)$。求证：$\triangle DEF$是等边三角形。 --- # 参考答案与解析 ## 一、选择题 1.B 2.C \(\boldsymbol{3}\).C 4.D 5.B ## 二、填空题 1.$\boldsymbol{60^\circ}$ 2. **等腰** \(\boldsymbol{3}\).$\boldsymbol{\(\boldsymbol{3}\)}$ 4. **互相重合** 5.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{AC}\)}$ ## 三、基础解答题 1. 证明： $\because \triangle ABC$是等边三角形\(\therefore\angle ADE=\angle B=60^\circ\(\therefore AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)$\therefore \(AB=BC=\)\(\boldsymbol{AC}\)$ $\therefore \angle B=\angle C=\angle A$（等边对等角） 又$\because \angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$ $\therefore \angle A=\angle B=\angle C=60^\circ$ 2. 证明： $\because \(AB=\(\boldsymbol{AC}\)\)$\(\therefore\angle ADE=\angle B=60^\circ\(\therefore AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)$\therefore \angle B=\angle C=60^\circ$（等边对等角） $\therefore \angle A=180^\circ-60^\circ-60^\circ=60^\circ$ $\therefore \angle A=\angle B=\angle C$ $\therefore\triangle ABC$是等边三角形。 （也可直接用判定定理：有一个角是$60^\circ$的等腰三角形是等边三角形） \(\boldsymbol{3}\).（1）√；两个角$60^\circ$\(\therefore\angle ADE=\angle B=60^\circ\(\therefore AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)第三个角也一定是$60^\circ$\(\therefore\angle ADE=\angle B=60^\circ\(\therefore AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)三角相等\(\therefore\angle ADE=\angle B=60^\circ\(\therefore AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)是等边三角形。 （2）×；等腰三角形只要两边相等即可\(\therefore\angle ADE=\angle B=60^\circ\(\therefore AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)不一定三个角都是$60^\circ$\(\therefore\angle ADE=\angle B=60^\circ\(\therefore AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)不一定是等边三角形。 4. 解： 等边三角形内角$60^\circ$\(\therefore\angle ADE=\angle B=60^\circ\(\therefore AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)外角与内角互补\(\therefore\angle ADE=\angle B=60^\circ\(\therefore AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)外角$=180^\circ-60^\circ=\boldsymbol{120^\circ}$。 ## 四、拓展提升题 1. 证明： $\because\triangle ABC$是等边三角形\(\therefore\angle ADE=\angle B=60^\circ\(\therefore AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)$\therefore\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ$ $\because DE\parallel BC$\(\therefore\angle ADE=\angle B=60^\circ\(\therefore AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)$\therefore\angle ADE=\angle B=60^\circ\(\therefore\angle ADE=\angle B=60^\circ\(\therefore AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ$ $\therefore \angle A=\angle ADE=\angle AED=60^\circ$ $\therefore\triangle ADE$是等边三角形。 2. 证明： $\because\triangle ABC$是等边三角形 $\therefore \(AB=BC=\)\(\boldsymbol{AC}\)\(\therefore\angle ADE=\angle B=60^\circ\(\therefore AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ$ $\because \(AD=BE=CF\)$ $\therefore AB-AD=BC-BE=\(\boldsymbol{AC}\)-CF$\(\therefore\angle ADE=\angle B=60^\circ\(\therefore AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)即$\(BD=CE=AF\)$ 在$\triangle ADF、\triangle BED、\triangle CFE$中 $\begin{cases} \(AD=BE=CF\)\\ \angle A=\angle B=\angle C\\ AF=BD=CE \end{cases}$ $\therefore\triangle ADF\cong\triangle BED\cong\triangle CFE(\text{SAS})$ $\therefore DF=ED=FE$ $\therefore\triangle DEF$是等边三角形。 ## 易错警示 1. 判定“有一个角$60^\circ$的等腰三角形是等边三角形”\(\therefore\angle ADE=\angle B=60^\circ\(\therefore AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)**前提必须是等腰三角形**\(\therefore\angle ADE=\angle B=60^\circ\(\therefore AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)单独一个角$60^\circ$不能判定； 2. 等边三角形是等腰三角形\(\therefore\angle ADE=\angle B=60^\circ\(\therefore AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)但等腰三角形不一定是等边三角形； \(\boldsymbol{3}\). 平行线遇到等边三角形\(\therefore\angle ADE=\angle B=60^\circ\(\therefore AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)经常得到新的等边三角形； 4. 三线合一在等边三角形中\(\therefore\angle ADE=\angle B=60^\circ\(\therefore AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)三条边上都成立。 本章第4章三角形到此全部完成！下一章：**5.1 轴对称图形**\(\therefore\angle ADE=\angle B=60^\circ\(\therefore AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)继续同格式出题吗？ 湘教版（新教材）数学八年级上册 4.5.3等边三角形的性质与判定 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/8 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第4章 三角形 1 2 3 掌握等边三角形的性质定理.（重点） 掌握等边三角形的判定定理（重点） 会利用等边三角形的性质和判定定理进行简单的推理和计算（重点） 学习目标 导入新课 名称 图 形 定 义 性 质 判 定 等 腰 三 角 形 等边对等角 三线合一 等角对等边 两边相等 两腰相等 轴对称图形 A B C 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 02 新知导入 回顾1：等腰三角形的性质定理和判定定理是什么？ 等腰三角形的性质定理： 1.等腰三角形的两个底角相等（简称 “等边对等角”). 2.底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”). 3.等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线. 4 02 新知导入 等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “ 等角对等边”）. 5 02 新知导入 回顾2：什么是等边三角形？ 三边都相等的三角形叫作等边三角形（或正三角形）. 回顾3:等边三角形是等腰三角形吗？ 等边三角形是特殊的等腰三角形——腰和底边相等的等腰三角形. 等边三角形具有等腰三角形的全部性质 6 02 新知导入 等腰三角形是轴对称图形 等边三角形具有三条对称轴 等边三角形是轴对称图形 思考：等边三角形有多少条对称轴？ 7 03 新知探究 探究 等边三角形的三个内角的大小之间有什么关系呢？ 猜想：三个内角相等 三个内角都为60° 你能进行证明吗？ 03 新知探究 已知：△ABC是等边三角形. 求证：∠A=∠B=∠C=60°. 证明：∵△ABC是等边三角形 ∴AB=AC=BC. ∵AB=AC，AC=BC， ∴∠B=∠C，∠A=∠B (等边对等角). ∴∠A=∠B=∠C. 又∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和为180°)， ∴∠A=∠B=∠C=60°. 03 新知探究 等边三角形的性质定理:等边三角形的各角都等于60°. 几何语言 ∵△ABC是等边三角形, ∴∠A=∠B=∠C=60°(等边三角形的性质定理). 03 新知探究 说一说 由上可知，等边三角形的三个角相等，其逆命题成立吗？ 等边三角形的三个角相等的逆命题是什么？ 三个角都相等的三角形是等边三角形 03 新知探究 解：逆命题成立. 如图，在△ABC中，由于∠A=∠B， 则AC=BC. 同理可由∠B=∠C得AB=AC. 于是AB=AC=BC. 因此△ABC 是等边三角形. 03 新知探究 等边三角形的判定定理1:三个角都相等的三角形是等边三角形. 几何语言 ∵∠A=∠B=∠C, ∴ △ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形). 1. 如图，直线 ，等边 三角形的两个顶点， 分别落在直 线，上，若 ，则 的度数是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 14 105° 举一反三 返回 举一反三 03 新知探究 思考 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？ 三角形有三个角，你能确定哪个角是60°吗？ 所以应该怎么做？ 分类讨论 03 新知探究 解：如图，在△ABC中，AB=AC. 情形1 设∠A＝60°. 根据三角形内角和定理得 ∠B+∠C＝180°－∠A=180°－60°＝120°. 由于AB＝AC，因此∠B＝∠C＝60° 于是△ABC 是等边三角形. 03 新知探究 情形2 设∠B＝60°. 由于AB＝AC，因此∠C＝∠B＝60°， 从而∠A＝180°－∠B－∠C=180°－60°－60°＝60° 因此△ABC 是等边三角形. 情形3 设∠C＝60°. 与情形2类似， 同理可证△ABC 是等边三角形. 综上所述，△ABC 是等边三角形. 03 新知探究 等边三角形的判定定理2:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 几何语言 ∵△ABC是等腰三角形，∠A=60°, ∴ △ABC是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形). 03 新知探究 如图，△ABC 是等边三角形，点D，E分别在BA，CA的延长 例4 证明：因为△ABC是等边三角形， 所以∠BAC=60°（等边三角形的性质定理）. 因为∠EAD=∠BAC=60°，AD=AE， 所以△ADE是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形） 线上，且AD=AE. 求证：△ADE是等边三角形. 新知应用 基础巩固题 1.如图，BD是等边三角形ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝(　　) A．20° B．25° C．30° D．35° C 2.如图，已知等边三角形ABC的周长为18 cm，△ADE是等边三角形，EC＝2 cm，则△ADE的周长为________. 12cm 等边三角形的各角都等于60º. 等边三角形的三条边都相等 三线合一 新知应用 基础巩固题 3.如图，在等边△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AC上，且AE＝AD，则∠BAD的度数为____，∠CDE的度数为____.　 30° 15° 4.如图，等边三角形ABC与互相平行的直线a，b相交，若∠1＝15°，则∠2的度数为(　　) A．25° B．55° C．45° D．35° C 新知应用 基础巩固题 5.根据条件判断下列三角形是否为等边三角形. （1） （2） （6） （5） 不 是 是 是 是 是 （4） （3） 不一定 是 新知应用 基础巩固题 6.在等边三角形ABC内任取一点0，作OE// AB,OF // AC，分别交BC于点E，F，△OEF是等边三角形吗?为什么? 解:△OEF是等边三角形. 理由:如图.因为△ABC是等边三角形， 所以∠B=∠C=60° 因为OE// AB,OF // AC, 所以∠1=∠B=60°,∠2=∠C=60°， 所以∠0=180°-∠1-∠2=60°， 所以△OEF是等边三角形. 等边三角形的各角都等于60º. 找同位角、内错角、同旁内角. 3．如图，已知等边三角形ABC的高为7 cm，P为△ABC内一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则PD＋PE＋PF＝________. 举一反三 26 返回 举一反三 4．如图，在等边三角形ABC的边AC上任取一点D，以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BD，AE.求证： (1)△BCD≌△ACE； 【解】因为△ABC和△CDE都是等边三角形，所以BC＝AC，DC＝EC，∠BCD＝∠DCE＝60°.所以△BCD≌△ACE(SAS)． 举一反三 28 返回 (2)∠ABD＝∠AED. 【证明】因为△BCD≌△ACE，所以∠BDC＝∠AEC. 因为∠BDC＝∠BAC＋∠ABD，∠AEC＝∠DEC＋∠AED， 所以∠BAC＋∠ABD＝∠DEC＋∠AED. 因为△ABC和△CDE都是等边三角形， 所以∠BAC＝∠DEC＝60°，所以∠ABD＝∠AED. 举一反三 29 5.将含 角的直角三角板和直尺按如图 所示的方式放置，已知 ，点 ，表示的刻度分别为， ，则 线段的长为(　　) A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm A 举一反三 30 【点拨】因为直尺的两对边相互平行， 所以 .因为 ， 所以 ，所以 ，所以 是等 边三角形，所以 . 返回 举一反三 31 6.如图，已知等边三角形的高为,为 内一 点，于点,于点,于点 ,则 ______. 2.5 举一反三 32 课堂小结 名称 图形 概念 性质 判定 等 边 三 角 形 三边相等的三角形是等边三角形 1.等边三角形的三边相等 2.等边三角形的三个内角相等，每个内角等于60° 3.三线合一 4.是轴对称图形 1. 三边相等的三角形是等边三角形 2. 三个角相等的三角形是等边三角形 3. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 谢谢观看 THANKS 2．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且DE＝BC，连接CE并延长，交AB于点F，则∠AFE的度数为________． 【点拨】因为△ABC是等边三角形，所以∠B＝60°.因为AD是BC边上的中线，所以AD⊥BC，BD＝CD＝BC，所以∠CDE＝90°.因为DE＝BC，所以DE＝DC，所以∠DEC＝∠DCE＝45°，所以∠AFE＝∠B＋∠DCE＝105°. 【点拨】连接PA，PB，PC，作AB边上的高CG，如图所示，则CG＝7 cm.因为S△ABP＋S△BCP＋S△ACP＝S△ABC，所以AB·PD＋BC·PF＋AC·PE＝AB·CG.因为△ABC是等边三角形， 所以AB＝BC＝AC，所以AB(PE＋PF＋PD)＝AB·CG，所以PD＋PE＋PF＝CG＝7 cm. $