4.2 第3课时 定理，推论（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年八年级数学上册同步备课（湘教版·新教材）

该初中数学课件聚焦定理、推论及逆定理概念，通过复习真命题判断与互逆命题导入，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生逐步理解三角形外角和定理的证明及简单运用。 其亮点在于以探究活动（如三角形外角和猜测）培养数学眼光，通过严谨证明过程（如外角和定理推导）发展推理能力，用流程图小结梳理知识结构提升数学语言表达。采用探究式与案例教学，学生能增强逻辑思维与应用意识，教师可借助清晰脉络与实例提高教学效果。

4.2 命题与证明 第4章 三角形 4.2.3 定理、推论 ÷ 八年级上册数学（湘教版） 学习目标 1. 理解定理、推论的概念；（重点） 2. 掌握三角形外角和定理的证明，并能进行简单的运用.（重点、难点） 3. 了解逆定理和互逆定理的概念.（重点） 1.如何判断一个命题是真命题呢? 2.什么是互逆命题? 判断一个命题是真命题，通常需从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题，进行逻辑推理、计算，得出这个命题的结论成立. 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这样的两个命题称为互逆命题. 其中一个叫作原命题，另一个叫作它的逆命题. 复习导入 3 定理、推论 1 知识要点 经过证明为真的命题叫作定理. 例如：“三角形的内角和等于180°”称为“三角形的内角和定理”. 探究新知 利用某个定理直接推导出的真命题叫作这个定理的推论. 知识要点 例如：利用“三角形的内角和定理”可直接推出“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，于是可将这一结论称为“三角形的内角和定理的推论”，通常将该推论简称为“三角形外角定理”. 探究：如图，在△ABC 中，已知∠BAC = 80°， ∠ABC = 60°，∠BCA = 40°，∠ACE，∠CBD，∠BAF 是△ABC 的三个外角，问：这三个外角的和等于多少度？由此你能猜测出什么结论？ A B C D F E 80° 60° 40° 解：因为∠ACE = 180°－40° = 140°，∠CBD = 180°－60° = 120°， ∠BAF = 180°－80° = 100°， 所以∠ACE +∠CBD +∠BAF = 140° + 120° + 100° = 360°. 猜测：三角形的三个外角之和等于 360°. 已知：如图，∠BAF，∠CBD 和∠ACE 分别是△ABC 的三个外角. 求证：∠BAF +∠CBD +∠ACE = 360°. 证明猜想 A B C D F E 证明：如图： 所以 ∠BAF +∠CBD +∠ACE = (180°－∠BAC) + (180°－∠ABC) + (180°－∠ACB) = 540°－(∠BAC +∠ABC +∠ACB) = 540°－180° = 360°. A B C D F E 因为∠BAF = 180°－∠BAC，∠CBD = 180°－∠ABC，∠ACE = 180°－∠ACB， 推论：三角形的外角和等于 360°. 判一判：命题“两直线平行，同位角相等”是真命题吗？写出它的逆命题并判断真假. 解：原命题是真命题. 它的逆命题是“同位角相等，两直线平行” 逆命题是真命题. 总结：如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就称它为原定理的逆定理，并将这两个定理称为互逆定理. 平行线的性质定理1 平行线的判定定理1 判断一个定理是否有逆定理，应写出这个定理的逆命题，再分析是否为真命题，若是真命题，则它就是原定理的逆定理；若逆命题是假命题，则原定理没有逆定理． 知识要点 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C， AE 是外角∠CAD 的平分线. 求证：AE∥BC. 例1 证明：在一个三角形中有两个角相等，则与第三个角相邻的外角平分线平行于第三个角的对边. 分析：对于文字证明题，一般先画出图形，再写出已知、求证，然后进行证明. 典例精析 证明：根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”可得， ∠CAD =∠B +∠C. 又∠B =∠C， 于是∠CAD = 2∠B. 由于 AE 是∠CAD 的平分线， 因此∠CAD = 2∠DAE， 从而 2∠B = 2∠DAE， 即∠B =∠DAE. 所以 AE∥BC (同位角相等，两直线平行). 归纳总结 证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤： 第一步，先根据命题的条件画出图形，写出已知条件； 第二步，根据命题的结论写出求证； 第三步，从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及定理进行逻辑推理、计算，得出需要求证的结论；或者运用反证法证明. 1. 在括号内填上理由. 已知：如图，∠A +∠B = 180°. 求证：∠C +∠D = 180°. 证明：∵∠A +∠B = 180° (已知)， ∴ AD∥BC ( ). ∴ ∠C +∠D = 180° ( ). 同旁内角互补，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补 课堂练习 2. 试着判断下列定理没有逆定理： （1）对顶角相等； （2）等角的补角相等； （3）两直线平行，同旁内角互补. 解：（1）其逆命题是：相等的角是对顶角，这个逆命题不正确，原定理没有逆定理． （2）其逆命题是：如果两个角的补角相等，那么这两个角相等，这个逆命题正确，原定理有逆定理． （3）其逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，这个逆命题正确，原定理有逆定理． 3. 已知：如图，直线 AB，CD 被直线 MN 所截，∠1 =∠2. 求证：∠2 =∠3，∠3 +∠4 = 180°. 证明： ∵ ∠1 =∠2， ∴∠2 =∠3（两直线平行，内错角相等）， ∠3 +∠4 = 180°（两直线平行，同旁内角互补）. ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）. 4. 已知：如图，AB 与 CD 相交于点 E. 求证：∠A +∠C =∠B +∠D. 证明：∵ AB 与 CD 相交于点 E， ∴∠AEC =∠BED (对顶角相等). 又 ∵∠A +∠C +∠AEC =∠B +∠D +∠BED = 180° （三角形内角和定理）， ∴∠A +∠C =∠B +∠D. 定理 逆定理 推论 证明 ↓ 举反例 基本事实 少数 假命题 真命题 → 命题 课堂小结 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $