【第四章 三角形 02讲 命题与证明】【四大知识点+六大题型+巩固练习】2025-2026学年八年级上册数学（新版湘教版专用）

第四章 三角形 02讲 命题与证明 题型归纳 【题型1. 判断是否为命题】…………………………………………………………… 4 【题型2. 写出命题的题设与结论】…………………………………………………… 5 【题型3. 判断命题真假】……………………………………………………………… 7 【题型4. 写出命题的逆命题】………………………………………………………… 10 【题型5. 举反例】……………………………………………………………………… 12 【题型6. 利用反证法证明】…………………………………………………………… 13 【巩固练习】……………………………………………………………………………… 16 知识清单 知识点1 定义与命题 1.定义：对一个概念的含义加以描述说明，或者作出明确规定的语句，叫作这个概念的定义. 2.命题：叙述一件事情的句子（陈述句）要么是真的，要么是假的，两者必居其一，我们称这个陈述句是一个命题. （可以判断真假的陈述句一定是命题） 3.真命题：如果一个命题叙述的事情是真的，就说它是真命题. 4.假命题：如果一个命题叙述的事情是假的，就说它是假命题. 5.命题的元素：对于“如果……，那么……”形式的命题，通常把“如果”引出的部分称为条件，把“那么”引出的部分称为结论. 如果一个三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形. 条件 结论 6.互逆命题、原命题、逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作它的逆命题. 如果一个三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形. 互逆 命题 如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形中有一个角是直角. 知识点2 证明、举反例 1.举反例：一般地，对于一个命题，如果能举出一个例子，使之符合命题条件，但不满足命题结论，就可判断该命题为假命题，这种做法称为举反例. 2.证明：判断一个命题是真命题，通常需从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题，进行逻辑推理、计算，得出这个命题的结论成立.这一过程就是通常所说的证明. 3.反证法：如例4，当直接从条件出发证明一个命题比较困难时，可以先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出与已知条件、定义、基本事实、真命题等产生矛盾，得出假设不成立，从而判断所求证明题正确.这种证明方法叫作反证法. 【提示】反证法基本步骤： （1）假设命题不成立； （2）导出矛盾； （3）肯定结论. 知识点3 定理与推论 1.定理：经过证明为真的命题叫作定理. 如“三角形的内角和等于180°”称为“三角形的内角和定理.” 2.推论：利用某个定理直接推导出的真命题叫作这个定理的推论. 如利用“三角形的内角和定理”可直接推出“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，于是可将这一结论称为“三角形的内角和定理的推论”，通常将该推论简称为“三角形外角定理”. 3.逆定理与互逆定理：如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就称它为原定理的逆定理，并将这两个定理称为互逆定理. 三角形的外角和等于360° 知识点4 证明与图形有关的命题 1.步骤：（1） 先根据命题的条件画出图形、写出已知条件； （2） 根据命题的结论写出求证； （3） 从命题的条件除法，运用定义、基本事实以及定理进行逻辑推理、计算，得出需要求证的结论，或者运用反证法证明. 题型专练 题型1. 判断是否为命题 【例1】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）下列句子中，属于命题的是（　　） A．画一条线段等于已知线段 B．垂线段最短 C．利用三角板画出的角 D．直角都相等吗？ 【分析】本题考查了命题的定义，熟记能够判断一件事情的语句叫做命题是解题关键．根据命题的定义，逐一分析各选项是否为陈述句且可判断真假即可． 【详解】解：A、“画一条线段等于已知线段”是祈使句，描述动作而非陈述事实，无法判断真假，不属于命题； B、“垂线段最短”是陈述句，且根据几何基本性质，垂线段是点到直线的最短距离，可判断为真，属于命题； C、“利用三角板画出的角”是操作指令，属于祈使句，无法判断真假，不是命题； D、“直角都相等吗？”是疑问句，非陈述句，不属于命题； 故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·甘肃天水·期中）下列语句是命题的是（    ） A．画 B．三条直线两两相交，有几个交点呢？ C．今天真冷呀！ D．天水是中国历史文化名城． 【详解】此题考查了命题的定义， 根据命题的定义，能够判断真假的陈述句称为命题．需逐一分析各选项是否为陈述句且可判断真假． 【分析】A．“画”是祈使句，描述动作而非陈述事实，无法判断真假，故不是命题． B．“三条直线两两相交，有几个交点呢？”是疑问句，未陈述事实，无法判断真假，故不是命题． C．“今天真冷呀！”是感叹句，且“冷”是主观感受，无法客观判断真假，故不是命题． D．“天水是中国历史文化名城”是陈述句，且天水确为中国历史文化名城（事实为真），可明确判断真假，因此是命题． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·山东东营·期中）下列句子中是命题的是（   ） ①三个角对应相等的两个三角形全等； ②负数都小于0； ③过直线l外一点作l的平行线； ④如果，，那么． A．①②④ B．②③④ C．①② D．②④ 【分析】本题考查命题的定义，表示对一件事情进行判断的语句叫命题，关键是能根据命题的定义对每一项进行判断．根据命题的定义即表示对一件事情进行判断的语句叫命题，分别对每一项是否是命题进行判断即可． 【详解】解：①“三个角对应相等的两个三角形全等”是陈述句，是命题； ②“负数都小于0”是陈述句，负数定义为小于0的数，是命题； ③“过直线l外一点作l的平行线”是祈使句，描述动作而非陈述事实，不是命题； ④“如果，，那么”是条件陈述句，是命题； 命题为①②④， 故选：A． 题型2. 写出命题的题设与结论 【例1】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）命题“两个锐角相等”的条件是（    ）． A．两个角 B．相等 C．两个角是锐角 D．锐角相等 【分析】本题考查命题，命题由条件和结论组成，通常形式为“如果条件，那么结论”，题目中的命题“两个锐角相等”可还原为“如果两个角是锐角，那么它们相等”，因此条件为“两个角是锐角”． 【详解】解：命题“两个锐角相等”的条件是两个角是锐角． 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·北京朝阳·期末）写出命题“如果，那么”的题设和结论，题设是 ，结论是 ． 【分析】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握其定义．根据题设和结论的定义进行区分“如果”后是题设，“那么”后是结论，即可． 【详解】解：根据题意可知：题设是，结论是， 故答案为：，． 【变式1】（24-25七年级下·上海金山·期末）将命题“在三角形中，大边对大角”改写成“如果……，那么……”的形式是 ． 【分析】本题主要考查的知识点是如何将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解题关键是找到命题中相应的条件和结论．命题中的条件是一个三角形中一边大于另一边，放在“如果”的后面，结论是该边所对的角大于另一边所对的角，应放在“那么”的后面． 【详解】解：如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角 故答案为：如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角． 【变式2】（24-25七年级下·江西上饶·期末）命题“同位角相等”的题设是 ；结论是 ；这是一个 命题（填“真或假”）． 【分析】本题考查了命题。解题的关键是会判断命题的真假． 对命题进行分析，写出题设和结论，判断真假即可． 【详解】解：命题“同位角相等”可写成“如果两个角是同位角，那么这两个角相等”，题设是“两个角是同位角”，结论是“这两个角相等”， ∵同位角不一定相等， ∴这是一个假命题， 故答案为： 两个角是同位角，这两个角相等，假． 题型3. 判断命题真假 【例1】（24-25七年级下·河北廊坊·期末）下列是真命题的是（   ） A．的相反数是 B．同位角相等 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据相反数的定义判断A；根据同位角的定义判断B；根据平行公理判断C；根据垂线的性质判断D． 【详解】解：A：的相反数应为，而选项A中为，符号错误，故A是假命题； B：同位角相等的前提是两直线平行，若两直线不平行，同位角不一定相等，故B是假命题； C：根据平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故C是真命题； D：在平面几何中，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，但需明确“同一平面内”这一前提，若未限定平面，则存在无数条垂线，故D为假命题． 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·山西晋中·期末）关于命题“同旁内角互补，两直线平行”的说法：其中正确的是（  　） A．原命题、逆命题都是真命题 B．原命题为假命题，逆命题为真命题 C．原命题为真命题，逆命题为假命题 D．原命题、逆命题都是假命题 【分析】题目主要考查命题真假判断，逆命题的书写，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键 写出命题的逆命题，然后根据平行线的判定和性质进行判断即可 【详解】解：命题“同旁内角互补，两直线平行”，根据平行线的判定定理，若同旁内角互补，则两直线平行，故原命题为真命题； 逆命题为：若两直线平行，则它们被第三条直线所截形成的同旁内角互补，根据平行线的性质定理，逆命题也为真命题， 综上，原命题和逆命题均为真命题， 故选：A 【例3】（24-25七年级下·河北邯郸·期末）下列命题中真命题是（   ） A．若两个角的和为，则这两个角互为邻补角 B．相等的角是对顶角 C．互为相反数的两个数和为0 D．同位角相等 【分析】本题考查命题真假的判断，涉及相反数、邻补角、对顶角、同位角等概念，解题的关键是熟练掌握相关的性质和概念． 逐一分析各选项是否符合定义或定理即可． 【详解】解：选项A：两个角的和为，则它们互补，但邻补角还需满足相邻且有一条公共边，若两角不相邻，则不是邻补角，故A错误，不符合题意； 选项B：对顶角相等，但相等的角未必是对顶角（如平行线中的同位角），故B错误，不符合题意； 选项C：互为相反数的两数符号相反、绝对值相等，其和必为0，符合定义，故C正确，符合题意； 选项D：同位角相等的前提是两直线平行，否则不一定相等，故D错误，不符合题意； 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）下列命题是假命题的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．同位角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查了判断命题的真假．根据对顶角，垂线段最短，两点之间线段最短，平行线的判定，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A．相等的角不一定是对顶角，例如平行线中的同位角相等，但并非对顶角，故A是假命题，故本选项符合题意； B．垂线段最短是垂线段定理，是真命题，故本选项不符合题意； C．两点之间线段最短是基本事实，是真命题，故本选项不符合题意； D．同位角相等则两直线平行，是平行线判定定理，是真命题，故本选项不符合题意． 故选：A 【变式2】（24-25七年级下·新疆·期末）下列命题中，①垂线段最短；②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；③0的平方根与算术平方根都是0；④内错角相等．其中是真命题的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查了判断命题真假，掌握相关知识点是解题关键．根据垂线段的性质、平行公理、平方根与算术平方根的定义、平行线的性质逐一判断命题的真假即可． 【详解】解：①垂线段最短，原命题是真命题； ②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，原命题是真命题； ③0的平方根与算术平方根都是0，原命题是真命题； ④两直线平行，内错角相等，原命题是假命题； 综上，真命题为①、②、③，共3个， 故选：C． 【变式3】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）给出下列命题：①同角的补角相等；②对顶角相等；③偶数能被4整除；④同位角相等，两直线平行．其中，假命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】本题考查了判断真假命题；逐一判断各命题的真假：①根据补角的性质判断；②根据对顶角的性质判断；③根据偶数的定义判断；④根据平行线的判定定理判断． 【详解】解：命题①：同角的补角指的是同一个角的所有补角，它们的度数均为180°减去原角，因此必相等．此命题为真． 命题②：对顶角的定义是两边互为反向延长线的角，根据几何基本定理，对顶角相等．此命题为真． 命题③：偶数是能被2整除的整数，如2、6等，但并非所有偶数都能被4整除（如）．此命题为假． 命题④：根据平行线判定定理，同位角相等时两直线平行．此命题为真． 综上，假命题仅有③，共1个． 故选：A． 题型4. 写出命题的逆命题 【例1】（24-25八年级下·云南曲靖·期末）下列选项中，是命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题的是（   ） A．两直线平行，同位角不相等 B．同位角相等，两直线平行 C．同位角不相等，两直线不平行 D．以上都不对 【分析】本题考查命题的逆命题的概念．逆命题是将原命题的条件和结论互换后的命题，据此解答即可． 【详解】解：“两直线平行，同位角相等”的逆命题为“同位角相等，两直线平行”． 故选：B 【例2】（24-25八年级下·云南曲靖·期末）下列选项中，是命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题的是（   ） A．两直线平行，同位角不相等 B．同位角相等，两直线平行 C．同位角不相等，两直线不平行 D．以上都不对 【分析】本题考查逆命题的概念，熟练掌握概念是解题的关键．先把命题写成“如果……，那么……”的形式，然后把“如果”引出的条件与“那么”引出的结论互换位置，即可得到其逆命题，据此判断各选项即可． 【详解】解：原命题“两直线平行，同位角相等”可以写成“如果两直线平行，那么同位角相等”，逆命题需将条件与结论交换，即“如果同位角相等，那么两直线平行”． 故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）下列命题的逆命题成立的是（   ） A．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 B．两直线平行，同旁内角互补 C．如果两个角是直角，那么它们相等 D．等边三角形是锐角三角形 【分析】本题主要考查逆命题，命题真假的判定，分别写出各选项的逆命题，并判断其正确性． 【详解】解：A、原命题：“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”， 逆命题：“如果两个实数的平方相等，那么它们相等”， 反例：和的平方相等但本身不相等，逆命题不成立； B、原命题：“两直线平行，同旁内角互补”， 逆命题：“如果同旁内角互补，那么两直线平行”， 根据平行线的判定定理，同旁内角互补可推出两直线平行，逆命题成立； C、原命题：“如果两个角是直角，那么它们相等”， 逆命题：“如果两个角相等，那么它们是直角”， 反例：两个的角相等但不是直角，逆命题不成立； D、原命题：“等边三角形是锐角三角形”， 逆命题：“锐角三角形是等边三角形”， 反例：存在锐角三角形不是等边三角形（如三内角分别为的三角形），逆命题不成立； 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·福建厦门·期中）命题“如果，那么”的逆命题是 ，该逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 【分析】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．注意，判定一个命题是假命题举反例． 先根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，再根据有理数的平方判断即可． 【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是如果，那么，是假命题， 例如：当时，， 故答案为：如果，那么，假． 题型5. 举反例 【例1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【分析】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题，理解题意是解题关键 要说明命题“若，则”是假命题，需找到满足但的例子． 【详解】A．当，时，，此时，，，即 ，不能说明命题为假命题． B．当，时，，此时，，，即 ，不能说明命题为假命题． C．当，时，，此时，，，即 ，说明“若，则”是假命题，该选项符合要求． D．当，时，，不满足，不能作为该命题的反例． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）若要说明命题是假命题，则a的值可以是 ．（写出一个即可） 【分析】本题主要考查假命题，绝对值的性质，要说明命题是假命题，那么根据负数的绝对值是它的相反数，据此可得答案． 【详解】解：由是假命题，负数的绝对值是它的相反数，得 a为负数，如． 故答案为：（答案不唯一，为负数即可） 【变式2】（24-25八年级下·全国·假期作业）判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例加以说明： (1)两个钝角的和大于平角； (2)两条直线被第三条直线所截，同位角相等． 【分析】本题考查了判断命题的真假. （1）直接判断即可； （2）举出反例即可. 【详解】（1）解：两个钝角的和大于平角，是真命题； （2）解：两条直线被第三条直线所截，同位角相等，是假命题，反例如下： 如图，两条不平行直线被第三条直线所截，同位角不相等. 题型6. 利用反证法证明 【例1】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）用反证法证明“在中，若，则”时，应先假设（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的知识点是反证法的应用，解题关键是明确反证法的第一步是假设原命题结论不成立． 根据反证法的步骤，第一步先假设原命题结论不成立，即假设结论的反面成立，即可得解． 【详解】解：原命题为“在中，若，则”， 其中结论是， 根据反证法的步骤，需假设结论不成立， 即“不大于”，也就是“”． 故选：． 【例2】（2025·江苏无锡·模拟预测）用反证法证明命题“如果，，那么”时，第一步应假设 ． 【分析】本题主要考查反证法，熟练掌握反证法是解题的关键． 根据反证法得到第一步假设即可得到答案． 【详解】解：“如果，那么”的第一步应假设， 故答案为：． 【变式1】（2025·山东聊城·三模）下列命题是真命题的是（    ） A．有一个角是的三角形是等边三角形 B．若，则 C．角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 D．用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设 【分析】本题主要考查了判断命题真假，等边三角形的判定，角平分线的性质，反证法中的假设，根据等边三角形的判定定理可判断A；根据时，满足，但不满足可判断B；根据角平分线的性质可判断C；反证法中第一步应假设结论不成立，即假设，据此可判断D． 【详解】解：A、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，原命题是假命题，不符合题意； B、由，不能得到，例如时，满足，但不满足，原命题是假命题，不符合题意； C、角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等，原命题是真命题，符合题意； D、用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设，原命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）用反证法证明：已知a，b，c是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 【分析】此题考查反证法，反证法是一种论证方式，它首先假设某命题不成立（即在原命题的题设下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说假设不成立，原命题得证，反证法的步骤：1、假设命题反面成立；2、从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾；3、得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立．根据反证法的步骤解答． 【详解】解：假设与不平行，那么它们相交于一点． ，， 过点的两条直线，都与直线垂直． 这与基本事实“过一点有且只有一条直线与这条直线垂直”矛盾． 假设不成立． ． 【变式3】（2025七年级下·全国·专题练习）求证：在中，中至少有一个角大于或等于． 【详解】证明：假设中每个内角都小于60°，则， 这与三角形内角和定理矛盾，故假设错误， 所以在中，中至少有一个角大于或等于60°． 巩固练习 一、单选题 1．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）下列命题中，属于真命题的是（ ） A．两个锐角互余 B．若，则 C．内错角相等，两直线平行 D．若，则 【详解】本题考查了真假命题的判断，涉及互余角、有理数加法、平行线判定及性质等知识点，掌握相关知识点是解题关键．根据互余角、有理数加法、平行线判定及性质逐项判定即可． 【分析】解：A. 两个锐角之和不一定为，如和均为锐角，但和为，故A为假命题。 B. 若，可能存在而（如，，和为），故B为假命题。 C. 根据平行线判定定理，内错角相等则两直线平行，故C为真命题。 D. 平行于同一直线的两直线互相平行，因此时，，而非垂直，故D为假命题， 故选：C． 2．（24-25七年级下·贵州黔东南·期末）下列命题中，是假命题的是（   ） A．等角的补角相等 B．两锐角的和是钝角 C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查真假命题的判断，涉及补角性质、锐角与钝角的定义、垂线段性质及平行公理． 根据相关性质定理逐项判断，即可解题． 【详解】解：A. 等角的补角相等：若两角相等，则它们的补角均为减去该角度数，必相等．故A为真命题，不符合题意． B. 两锐角的和是钝角：锐角小于，但两锐角之和可能小于（如），此时和为锐角，故B为假命题，符合题意． C. 垂线段最短：直线外一点到直线的所有连线中，垂线段长度最短，此为几何基本性质．故C为真命题，不符合题意． D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行：平行公理明确指出过直线外一点存在唯一一条平行线与这条直线平行．故D为真命题，不符合题意． 故选：B． 3．（24-25七年级下·广东广州·期中）下列命题中是真命题的是（ ） A．相等的角是对顶角 B．是无理数 C．平方根等于本身的数有1和0 D．同一平面内，若，，则 【分析】本题主要考查了真、假命题的判断，对顶角、平方根、垂线段最短，根据定义和性质逐项判断即可． 【详解】解：因为相等的角不一定是对顶角，所以A不是真命题； 因为是无理数，所以B是真命题； 因为平方根等于本身的数只有0，所以C不是真命题； 同一平面内，若，，则，所以D不是真命题． 故选：B． 4．（24-25七年级下·广东东莞·期末）对命题“同位角相等”的描述正确的是（  ） A．是真命题 B．题设：两个角是同位角 C．是定理 D．结论：是同位角 【分析】本题考查命题的结构及真假判断，解题的关键是掌握原命题“同位角相等”需明确其题设与结论，并判断其正确性． 根据命题的结构以及平行线的性质定理逐项进行判断即可． 【详解】解：选项A：同位角相等仅在两条直线平行时成立，原命题缺少条件，故为假命题，该选项错误，不符合题意； 选项B：命题“同位角相等”可改写为“如果两个角是同位角，那么它们相等”，题设是“两个角是同位角”，结论是“这两个角相等”， 该选项正确，符合题意； 选项C：定理需为真命题，但原命题未限定条件，不成立，该选项错误，不符合题意； 选项D：结论应为“两个角相等”，而非“是同位角”， 该选项错误，不符合题意； 故选：B． 5．（24-25七年级下·湖北恩施·期末）下列命题：①对顶角相等；②如果，那么；③内错角相等；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑤过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．其中真命题的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 逐一判断各命题的真假：①对顶角相等，正确；②等量代换，正确；③内错角相等需两直线平行，错误；④在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，错误；⑤过直线外一点有且只有一条平行线，正确． 【详解】解：命题①：对顶角相等。根据几何基本性质，对顶角一定相等，故为真命题，符合题意； 命题②：若，则，这是等量代换的传递性，正确，为真命题，符合题意； 命题③：内错角相等。内错角相等的前提是两直线平行，未说明条件，故为假命题，不符合题意； 命题④：垂直于同一直线的两条直线互相平行，缺少前提“在同一平面内”，故为假命题，不符合题意； 命题⑤：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，此为平行公理，正确，为真命题，符合题意； 综上，真命题为①、②、⑤，共3个， 故选：C． 6．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）下列命题中是假命题的是（   ） A．两个角的和等于平角时，这两个角互为补角 B．如果，那么 C．同旁内角相等，两直线平行 D．如果，，那么 【分析】本题考查真假命题的判断，涉及补角定义、不等式性质、平行线判定及等式传递性．根据相关定义解答即可． 【详解】解：选项A：补角定义为两角和为，即平角，是真命题，故A不符合题意． 选项B：由不等式性质，若，则，是真命题，故B不符合题意． 选项C：平行线判定中，同旁内角需互补（和为）才可判定平行，而非“相等”．若同旁内角相等，则和为该角度，仅当该角为时和为，但此属特殊情况，不能作为普遍结论，是假命题，故C符合题意． 选项D：等式具有传递性，若且，则是真命题，故D不符合题意． 故选：C． 7．（24-25七年级下·河南安阳·期末）下列命题是真命题的是（   ） A．0没有平方根 B．的算术平方根是－2 C．如果，那么 D．在同一平面内，经过直线上一点，有无数条直线与这条直线垂直 【分析】此题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理．根据平方根的定义，实数的性质，垂线的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、0的平方根为0，则原命题是假命题，不符合题意； B、的算术平方根是2，则原命题是假命题，不符合题意； C、如果，那么，则原命题是真命题，符合题意； D、在同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直，则原命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 8．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．对顶角相等 B．两直线平行，内错角相等 C．如果，那么 D．如果，，那么 【分析】本题主要考查逆命题的真假．分别写出四个命题的逆命题，然后判断真假即可． 【详解】解：A、逆命题为“若两角相等，则它们是对顶角”，但相等的角不一定是对顶角，故逆命题不成立，本选项不符合题意； B、逆命题为“若内错角相等，则两直线平行”，逆命题成立，本选项符合题意； C逆命题为“若，则”，但时，与可能相等或互为相反数，故逆命题不成立，本选项不符合题意； D、逆命题为“若，则且”，但时，和也可能同为负数，逆命题不成立，本选项不符合题意； 综上，只有选项B的逆命题成立， 故选：B． 9．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）用反证法证明“中至少有一个内角大于或等于”时，应先假设（　　） A．这个三角形中有一个内角大于 B．这个三角形中有一个内角大于等于 C．这个三角形中每一个内角都大于 D．这个三角形中每一个内角都小于 【分析】本题考查了反证法，明确反证法的意义和反证法的步骤是解答的关键．根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，据此解答即可． 【详解】解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立， 即假设这个三角形中每一个内角都小于． 故选：D． 10．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期末）如图，在三角形中，点，，分别在边，，上，连接，．下列四个命题中，是真命题的是（   ） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【分析】本题考查平行线的判定定理，本题中每组条件都可判断直线平行，但是有三个不能判断题目所需的直线平行，所以依据平行线的判定定理，要找准截线和被截线． 先观察已知角的位置关系，根据平行线的判定定理判断通过已知角可得哪两条直线平行，可得出结论． 【详解】解：①，则，是真命题； ②若，则，是真命题； ③若，则，是真命题； ④若，无法判断，是假命题； 故选：C． 二、填空题 11．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）用反证法证明“任意三角形的三个外角中至多有一个直角”时，应假设 ． 【分析】本题考查了反证法：假设命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．根据“至多有一个”的反面“至少有两个”假设即可； 【详解】解：由题意应假设：三角形的三个内角中至少有两个直角， 故答案为：三角形的三个内角中至少有两个直角； 12．（24-25七年级下·北京密云·期末）用一个的值说明命题“若，则”是假命题，这个值可以是 ． 【分析】本题考查的是命题的证明和判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 任意举一个负数即可． 【详解】解：当时，满足，但不满足， 故答案为：（答案不唯一）． 13．（24-25七年级下·全国·假期作业）（1）命题“如果m是有理数，那么m一定是整数”是 命题（填“真”或“假”）． （2）“如果m，n互为相反数，那么”的逆命题是 （填“真”或“假”）命题． 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据有理数和整数的关系及相反数的概念判断即可． 【详解】解：（1）如果m是有理数，那么m不一定是整数，如是有理数，不是整数，所以原命题是假命题； 故答案为：假； （2）“如果m，n互为相反数，那么”的逆命题是“如果，那么m，n互为相反数”，是真命题， 故答案为：真． 14．（24-25七年级下·陕西·期末）下面命题中，是真命题的是 ．（填序号） ①两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③互为补角的两个角都是锐角． 【分析】本题考查了命题真假的判断，掌握相关知识是解题的关键；根据平行线的性质，平行公理，互补角的特点去判断即可． 【详解】解：①是假命题，正确的应该是：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等； ②是真命题； ③是假命题，互为补角的角，若其中一个为锐角，则另一个必是钝角；或者两个角都为直角； 故答案为：②． 15．（24-25七年级下·北京朝阳·期末）写出命题“如果，，那么”的题设和结论，题设是 ，结论是 ． 【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是明确命题的定义，知道题设和结论分别是哪部分． 根据命题的组成可知如果后面是题设，那么后面是结论． 【详解】解：命题：“如果，，那么”， 题设是如果，，结论是， 故答案为：，，． 16．（24-25七年级下·上海·期末）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：如图，“已知：在同一平面内，，求证：与不平行”时，应先应假设 ． 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：反证法证明命题“已知：在同一平面内，，求证：与不平行”时，首先应假设与平行，即． 故答案为：． 17．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）命题：“如果，那么”的逆命题是 ．（填“真命题”或“假命题”） 【分析】本题主要考查了逆命题的概念，真假命题的概念，理解命题的相关概念是解决此题的关键；先根据题意交换题设和结论得到逆命题，再根据绝对值的概念得到结果即可； 【详解】解：由题意可知：逆命题为如果，那么， 绝对值相等的两个数，有可能相等也有可能互为相反数，故逆命题为假命题； 故答案为：假命题. 18．（24-25八年级下·全国·假期作业）把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果那么”的形式：如果 ，那么 ． 【分析】本题考查了命题，根据命题的题设和结论写出即可，找出命题的题设和结论是解题的关键． 【详解】解：把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果那么”的形式：如果三个角是三角形的内角，那么它们的和等于， 故答案为：三个角是三角形的内角，它们的和等于． 19．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）下列命题：①若，则；②同旁内角可能相等；③任何数的平方都大于这个数，其中是真命题的是 ．（填序号） 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．根据等式的性质对①进行判断；根据平行线性质对②进行判断；根据实数平方性质对③进行判断． 【详解】解：①等式两边除以不为的数，等式成立，当时，可为任意数，故①是假命题； ②当互为同旁内角的两个角为时，命题成立，故②是真命题； ③，的平方等于它本身，故③是假命题； 故答案为：②． 20．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）下列命题： ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ④平行于同一条直线的两条直线互相平行． 其中假命题有 （填序号）． 【分析】本题主要考查了平行公理、垂直的性质、平行线的性质，熟练掌握这些知识的准确内容及适用条件是解题的关键．依次分析每个命题，根据所学的平行公理、垂直的性质、平行线的性质等知识判断真假． 【详解】解： ∵ 必须是过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线， ∴ ①是假命题． ∵ 在空间中，过一点与已知直线垂直的直线有无数条；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这里没限定同一平面， ∴ ②是假命题． ∵ 两条平行直线被第三条直线所截，内错角才相等，若两条直线不平行，内错角不相等， ∴ ③是假命题． ∵ 平行于同一条直线的两条直线互相平行，这是平行公理的推论， ∴ ④是真命题．故答案为：①②③． 三、解答题 21．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，请你从三个选项①，②平分，③． (1)请你用其中两个作为条件，另一个作为结论，写出一个命题； (2)判断这个命题是否为真命题，并说明理由． 【分析】此题考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义、三角形外角的性质等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是关键． （1）根据题意写出答案即可； （2）根据条件分别进行证明即可． 【详解】（1）解：条件：①，②平分，结论：③； 条件：①，③，结论：②平分 条件：②平分，③，结论：① （2）条件：①，②平分，结论：③； 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故该命题为真命题； 条件：①，③，结论：②平分 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分，故该命题为真命题； 条件：②平分，③，结论：① 证明：∵平分， ∴， ∵． ∴， ∴ ∴，故该命题为真命题. 22．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，有如下四个论断：①，②，③，④． (1)若，则，试判断命题的真假__________（选“真”或“假”） (2)若（1）中命题为真命题，请说明理由，若上述命题为假命题，请你在原条件的四个论断中再选择一合适的条件_________，使该命题成为真命题，并说明理由． 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键． （1）利用平行线的判定方法进而判断即可； （2）利用平行线的判定方法添加，根据平行线的性质得出，利用角的和差关系即可求出，根据平行线的判定定理即可得结论． 【详解】（1）解：∵、不是、被第三条直线所截的角， ∴若，无法判定， ∴若，则是假命题， 故答案为：假 （2）解：添加条件， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 23．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）命题：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直． (1)请写出该命题的逆命题； (2)判断（1）中的命题是否是真命题？如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明：如果是假命题，请举反例画图说明． 【分析】本题主要考查逆命题，平行线的判定，三角形内角和定理，掌握平行线的判定是关键． （1）根据逆命题的书写方法即可求解； （2）根据角平分线的定义得到，，根据三角形内角和定理得到，结合平行线的判定方法即可求解． 【详解】（1）解：逆命题：如果两条直线被第三条直线所截形成的同旁内角的平分线互相垂直，那么这两条直线互相平行． （2）解：已知：如图，直线、被直线所截，平分，平分，． 求证：， 证明：∵平分，平分， ∴， （角平分线的定义）， ∵， ∴， ∵（ 三角形内角和定理 ）， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 24．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知、、分别是线段、、上的点，，． (1)求证：； (2)若把原题设中“”与结论“”互换，所得命题是真命题吗？请说明理由． 【分析】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质． （1）直接利用平行线的性质以及结合平行线的判定方法分析得出答案； （2）直接利用平行线的性质以及结合平行线的判定方法分析得出答案； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （2）解：所得命题是真命题，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 25．（24-25七年级下·上海普陀·期末）用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 如图，已知：在中，． 求证：． 证明：假设， ________（___________）． 假设________， ________（___________）． （完成以下说理过程） 【分析】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 利用等腰三角形的性质和大边对大角进行分析作答． 【详解】证明：假设， （等边对等角）． 假设， （大边对大角）． 上述无论哪种情况，都与已知矛盾，所以假设不成立． ． 26．（24-25八年级下·全国·假期作业）把下列命题改写成 “如果……，那么……” 的形式： (1)全等三角形的对应角相等； (2)有一个角等于的等腰三角形是等边三角形． 【分析】本题考查了改写命题.将命题改写成 “如果……，那么……” 形式，关键是准确区分命题的条件和结论，使改写后的语句逻辑清晰、表意明确． “如果” 后面接的是命题的条件，“那么” 后面接的是命题的结论．对于 (1)，条件是两个三角形全等，结论是对应角相等；对于 (2)，条件是等腰三角形有一个角为，结论是该三角形是等边三角形． 【详解】（1）将全等三角形的对应角相等改写成“如果……，那么……” 的形式：如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应角相等； （2）将有一个角等于的等腰三角形是等边三角形改写成“如果……，那么……” 的形式：如果一个等腰三角形有一个角等于，那么这个等腰三角形是等边三角形． 27．（24-25七年级下·全国·课后作业）指出下列命题的题设和结论，并判断它们是正确的还是错误的．如果是错误的，举出一个反例． (1)两个角的和等于平角时，这两个角互为补角； (2)同旁内角相等，两直线平行； (3)两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等． 【分析】本题考查了命题，根据命题的结构特征写出命题的题设和结论，再根据补角的定义、平行线的判定和性质判断即可求解.掌握命题的结构特征是解题的关键． 【详解】（1）解：题设：两个角的和等于平角，结论：这两个角互为补角，该命题正确； （2）解：题设：同旁内角相等，结论：两直线平行，该命题错误，反例：“与是同旁内角，且，但两直线相交； （3）解：题设：两条平行直线被第三条直线所截，结论：内错角相等，该命题正确． 28．（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图，已知直线，直线与直线，分别相交于点，，平分，平分． (1)求证：； (2)结合（1）的证明过程，用文字语言描述（1）中的结论； (3)判断以下命题是真命题还是假命题： ①两条平行直线被第三条直线所截，同位角的角平分线相互平行； ②两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线相互平行． 【分析】题考查了平行线的判定与性质，判断命题的真假，解题的关键是： （1）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，，则，然后根据平行线的判定即可得证； （2）根据（1）证明即可得出结论； （3）①、②类似（1）判断即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相平行； （3）解：①如图， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； 故两条平行直线被第三条直线所截，同位角的角平分线相互平行是真命题； ②如图， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线相互垂直，则原命题是假命题． 29．（2025七年级下·上海·专题练习）如图，已知点、分别在、上，连接、交于点、．有以下三个论断：①；②，③． (1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； (2)选择（1）中的一个真命题加以证明． 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质与判定： （1）任选两个条件作为题设，另外一个条件作为结论写出对应的命题，再判断真假即可； （2）根据（1）所求结合平行线的性质与判定条件证明即可． 【详解】（1）解：选择①②为题设，③为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； 选择①③为题设，②为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； 选择②③为题设，①为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； （2）证明：选择①②为题设，③为结论， ，， ， ， ， ， ， ； 选择①③为题设，②为结论， ，， ， ， ， ∴， ， ； 选择②③为题设，①为结论， ， ， ， ， ， ， 又， ． 30．（2025·福建泉州·二模）已知实数a、b、c、m、n满足，． (1)当时，求证：； (2)若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数． 【分析】本题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力． （1）先得出，，求出，再根据证明结论； （2）假设m，n没有一个奇数，则，都为偶数，所以为偶数，找出矛盾进而证明结论． 【详解】（1）解：因为，， 所以，， 所以， 因为，， 所以， 所以，即． （2）解：假设m，n没有一个奇数，即m，n都为偶数， 所以，都为偶数，即，都为偶数， 所以为偶数， 这与为奇数矛盾， 所以假设不成立， 所以m，n至少有一个为奇数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 三角形 02讲 命题与证明 题型归纳 【题型1. 判断是否为命题】…………………………………………………………… 4 【题型2. 写出命题的题设与结论】…………………………………………………… 4 【题型3. 判断命题真假】……………………………………………………………… 5 【题型4. 写出命题的逆命题】………………………………………………………… 6 【题型5. 举反例】……………………………………………………………………… 6 【题型6. 利用反证法证明】…………………………………………………………… 7 【巩固练习】……………………………………………………………………………… 8 知识清单 知识点1 定义与命题 1.定义：对一个概念的含义加以描述说明，或者作出明确规定的语句，叫作这个概念的定义. 2.命题：叙述一件事情的句子（陈述句）要么是真的，要么是假的，两者必居其一，我们称这个陈述句是一个命题. （可以判断真假的陈述句一定是命题） 3.真命题：如果一个命题叙述的事情是真的，就说它是真命题. 4.假命题：如果一个命题叙述的事情是假的，就说它是假命题. 5.命题的元素：对于“如果……，那么……”形式的命题，通常把“如果”引出的部分称为条件，把“那么”引出的部分称为结论. 如果一个三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形. 条件 结论 6.互逆命题、原命题、逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作它的逆命题. 如果一个三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形. 互逆 命题 如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形中有一个角是直角. 知识点2 证明、举反例 1.举反例：一般地，对于一个命题，如果能举出一个例子，使之符合命题条件，但不满足命题结论，就可判断该命题为假命题，这种做法称为举反例. 2.证明：判断一个命题是真命题，通常需从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题，进行逻辑推理、计算，得出这个命题的结论成立.这一过程就是通常所说的证明. 3.反证法：如例4，当直接从条件出发证明一个命题比较困难时，可以先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出与已知条件、定义、基本事实、真命题等产生矛盾，得出假设不成立，从而判断所求证明题正确.这种证明方法叫作反证法. 【提示】反证法基本步骤： （1）假设命题不成立； （2）导出矛盾； （3）肯定结论. 知识点3 定理与推论 1.定理：经过证明为真的命题叫作定理. 如“三角形的内角和等于180°”称为“三角形的内角和定理.” 2.推论：利用某个定理直接推导出的真命题叫作这个定理的推论. 如利用“三角形的内角和定理”可直接推出“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，于是可将这一结论称为“三角形的内角和定理的推论”，通常将该推论简称为“三角形外角定理”. 3.逆定理与互逆定理：如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就称它为原定理的逆定理，并将这两个定理称为互逆定理. 三角形的外角和等于360° 知识点4 证明与图形有关的命题 1.步骤：（1） 先根据命题的条件画出图形、写出已知条件； （2） 根据命题的结论写出求证； （3） 从命题的条件除法，运用定义、基本事实以及定理进行逻辑推理、计算，得出需要求证的结论，或者运用反证法证明. 题型专练 题型1. 判断是否为命题 【例1】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）下列句子中，属于命题的是（　　） A．画一条线段等于已知线段 B．垂线段最短 C．利用三角板画出的角 D．直角都相等吗？ 【变式1】（24-25八年级上·甘肃天水·期中）下列语句是命题的是（    ） A．画 B．三条直线两两相交，有几个交点呢？ C．今天真冷呀！ D．天水是中国历史文化名城． 【变式2】（24-25七年级下·山东东营·期中）下列句子中是命题的是（   ） ①三个角对应相等的两个三角形全等； ②负数都小于0； ③过直线l外一点作l的平行线； ④如果，，那么． A．①②④ B．②③④ C．①② D．②④ 题型2. 写出命题的题设与结论 【例1】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）命题“两个锐角相等”的条件是（    ）． A．两个角 B．相等 C．两个角是锐角 D．锐角相等 【例2】（24-25七年级下·北京朝阳·期末）写出命题“如果，那么”的题设和结论，题设是 ，结论是 ． 【变式1】（24-25七年级下·上海金山·期末）将命题“在三角形中，大边对大角”改写成“如果……，那么……”的形式是 ． 【变式2】（24-25七年级下·江西上饶·期末）命题“同位角相等”的题设是 ；结论是 ；这是一个 命题（填“真或假”）． 题型3. 判断命题真假 【例1】（24-25七年级下·河北廊坊·期末）下列是真命题的是（   ） A．的相反数是 B．同位角相等 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【例2】（24-25八年级下·山西晋中·期末）关于命题“同旁内角互补，两直线平行”的说法：其中正确的是（  　） A．原命题、逆命题都是真命题 B．原命题为假命题，逆命题为真命题 C．原命题为真命题，逆命题为假命题 D．原命题、逆命题都是假命题 【例3】（24-25七年级下·河北邯郸·期末）下列命题中真命题是（   ） A．若两个角的和为，则这两个角互为邻补角 B．相等的角是对顶角 C．互为相反数的两个数和为0 D．同位角相等 【变式1】（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）下列命题是假命题的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．同位角相等，两直线平行 【变式2】（24-25七年级下·新疆·期末）下列命题中，①垂线段最短；②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；③0的平方根与算术平方根都是0；④内错角相等．其中是真命题的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）给出下列命题：①同角的补角相等；②对顶角相等；③偶数能被4整除；④同位角相等，两直线平行．其中，假命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型4. 写出命题的逆命题 【例1】（24-25八年级下·云南曲靖·期末）下列选项中，是命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题的是（   ） A．两直线平行，同位角不相等 B．同位角相等，两直线平行 C．同位角不相等，两直线不平行 D．以上都不对 【例2】（24-25八年级下·云南曲靖·期末）下列选项中，是命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题的是（   ） A．两直线平行，同位角不相等 B．同位角相等，两直线平行 C．同位角不相等，两直线不平行 D．以上都不对 【变式1】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）下列命题的逆命题成立的是（   ） A．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 B．两直线平行，同旁内角互补 C．如果两个角是直角，那么它们相等 D．等边三角形是锐角三角形 【变式2】（24-25八年级下·福建厦门·期中）命题“如果，那么”的逆命题是 ，该逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 题型5. 举反例 【例1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）若要说明命题是假命题，则a的值可以是 ．（写出一个即可） 【变式2】（24-25八年级下·全国·假期作业）判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例加以说明： (1)两个钝角的和大于平角； (2)两条直线被第三条直线所截，同位角相等． 题型6. 利用反证法证明 【例1】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）用反证法证明“在中，若，则”时，应先假设（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·江苏无锡·模拟预测）用反证法证明命题“如果，，那么”时，第一步应假设 ． 【变式1】（2025·山东聊城·三模）下列命题是真命题的是（    ） A．有一个角是的三角形是等边三角形 B．若，则 C．角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 D．用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）用反证法证明：已知a，b，c是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 【变式3】（2025七年级下·全国·专题练习）求证：在中，中至少有一个角大于或等于． 巩固练习 一、单选题 1．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）下列命题中，属于真命题的是（ ） A．两个锐角互余 B．若，则 C．内错角相等，两直线平行 D．若，则 2．（24-25七年级下·贵州黔东南·期末）下列命题中，是假命题的是（   ） A．等角的补角相等 B．两锐角的和是钝角 C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 3．（24-25七年级下·广东广州·期中）下列命题中是真命题的是（ ） A．相等的角是对顶角 B．是无理数 C．平方根等于本身的数有1和0 D．同一平面内，若，，则 4．（24-25七年级下·广东东莞·期末）对命题“同位角相等”的描述正确的是（  ） A．是真命题 B．题设：两个角是同位角 C．是定理 D．结论：是同位角 5．（24-25七年级下·湖北恩施·期末）下列命题：①对顶角相等；②如果，那么；③内错角相等；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑤过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．其中真命题的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）下列命题中是假命题的是（   ） A．两个角的和等于平角时，这两个角互为补角 B．如果，那么 C．同旁内角相等，两直线平行 D．如果，，那么 7．（24-25七年级下·河南安阳·期末）下列命题是真命题的是（   ） A．0没有平方根 B．的算术平方根是－2 C．如果，那么 D．在同一平面内，经过直线上一点，有无数条直线与这条直线垂直 8．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．对顶角相等 B．两直线平行，内错角相等 C．如果，那么 D．如果，，那么 9．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）用反证法证明“中至少有一个内角大于或等于”时，应先假设（　　） A．这个三角形中有一个内角大于 B．这个三角形中有一个内角大于等于 C．这个三角形中每一个内角都大于 D．这个三角形中每一个内角都小于 10．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期末）如图，在三角形中，点，，分别在边，，上，连接，．下列四个命题中，是真命题的是（   ） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 二、填空题 11．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）用反证法证明“任意三角形的三个外角中至多有一个直角”时，应假设 ． 12．（24-25七年级下·北京密云·期末）用一个的值说明命题“若，则”是假命题，这个值可以是 ． 13．（24-25七年级下·全国·假期作业）（1）命题“如果m是有理数，那么m一定是整数”是 命题（填“真”或“假”）． （2）“如果m，n互为相反数，那么”的逆命题是 （填“真”或“假”）命题． 14．（24-25七年级下·陕西·期末）下面命题中，是真命题的是 ．（填序号） ①两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③互为补角的两个角都是锐角． 15．（24-25七年级下·北京朝阳·期末）写出命题“如果，，那么”的题设和结论，题设是 ，结论是 ． 16．（24-25七年级下·上海·期末）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：如图，“已知：在同一平面内，，求证：与不平行”时，应先应假设 ． 17．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）命题：“如果，那么”的逆命题是 ．（填“真命题”或“假命题”） 18．（24-25八年级下·全国·假期作业）把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果那么”的形式：如果 ，那么 ． 19．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）下列命题：①若，则；②同旁内角可能相等；③任何数的平方都大于这个数，其中是真命题的是 ．（填序号） 20．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）下列命题： ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ④平行于同一条直线的两条直线互相平行． 其中假命题有 （填序号）． 三、解答题 21．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，请你从三个选项①，②平分，③． (1)请你用其中两个作为条件，另一个作为结论，写出一个命题； (2)判断这个命题是否为真命题，并说明理由． 22．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，有如下四个论断：①，②，③，④． (1)若，则，试判断命题的真假__________（选“真”或“假”） (2)若（1）中命题为真命题，请说明理由，若上述命题为假命题，请你在原条件的四个论断中再选择一合适的条件_________，使该命题成为真命题，并说明理由． 23．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）命题：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直． (1)请写出该命题的逆命题； (2)判断（1）中的命题是否是真命题？如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明：如果是假命题，请举反例画图说明． 24．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知、、分别是线段、、上的点，，． (1)求证：； (2)若把原题设中“”与结论“”互换，所得命题是真命题吗？请说明理由． 25．（24-25七年级下·上海普陀·期末）用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 如图，已知：在中，． 求证：． 证明：假设， ________（___________）． 假设________， ________（___________）． （完成以下说理过程） 26．（24-25八年级下·全国·假期作业）把下列命题改写成 “如果……，那么……” 的形式： (1)全等三角形的对应角相等； (2)有一个角等于的等腰三角形是等边三角形． 27．（24-25七年级下·全国·课后作业）指出下列命题的题设和结论，并判断它们是正确的还是错误的．如果是错误的，举出一个反例． (1)两个角的和等于平角时，这两个角互为补角； (2)同旁内角相等，两直线平行； (3)两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等． 28．（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图，已知直线，直线与直线，分别相交于点，，平分，平分． (1)求证：； (2)结合（1）的证明过程，用文字语言描述（1）中的结论； (3)判断以下命题是真命题还是假命题： ①两条平行直线被第三条直线所截，同位角的角平分线相互平行； ②两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线相互平行． 29．（2025七年级下·上海·专题练习）如图，已知点、分别在、上，连接、交于点、．有以下三个论断：①；②，③． (1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； (2)选择（1）中的一个真命题加以证明． 30．（2025·福建泉州·二模）已知实数a、b、c、m、n满足，． (1)当时，求证：； (2)若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$