4.2 命题与证明 第2课时 教学设计 2026--2027学年湘教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦命题与证明，核心内容包括判断命题真假、举反例及证明（含反证法）的步骤与格式。课堂导入通过复习命题及真/假命题定义，巩固旧知，为新知学习搭建自然衔接的支架。 资料亮点在于探究环节引导学生通过“做一做”“议一议”自主判断命题，培养抽象能力（数学眼光）。证明与反证法教学注重逻辑推理步骤，如用反证法证明三角形内角至少有一个≥60°，发展推理能力（数学思维）。例题和练习规范书写证明过程，强化数学语言表达。思维导图总结知识，帮助学生系统梳理，提升学习效率，为教师提供清晰教学流程。

第四章 三角形 4.2命题与证明 第2课时 一、教学目标 1.能判断命题的真假并会对假命题举反例； 2.掌握证明的基本步骤和书写格式，掌握反证法证明的基本步骤和格式； 3.通过操作、观察、交流、逻辑推理、总结归纳等活动学习判定一个命题是假命题的方法与技巧，掌握证明的两种方法与技巧； 4.培养学生的观察能力、逻辑推理能力、总结归纳能力，建模和套模能力，获得必需的数学知识，激发学生的学习兴趣. 二、教学重难点 重点：能判断命题的真假并会对假命题举反例. 难点：掌握证明的基本步骤和书写格式，掌握反证法证明的基本步骤和格式. 三、教学用具 电脑、多媒体、课件、教学用具等． 四、教学过程设计 【复习回顾】 教师活动：教师提出问题，学生思考后回答. 1.什么是命题？ 预设：叙述一件事情的句子(陈述句)要么是真的，要么是假的，两者必居其一，我们称这个陈述句是一个命题. 2.什么是真命题和假命题？ 预设：如果一个命题叙述的事情是真的，就说它是真命题； 如果一个命题叙述的事情是假的，就说它是假命题. 设计意图：通过复习命题、真命题、假命题的定义，巩固旧知，为后续学习铺垫. 【探究新知】 【做一做】 下列命题是真命题还是假命题? (1)若a是有理数，则a是整数； (2)有理数的绝对值是正数. 预设：(1)由“0.1是有理数，但不是整数”可知，命题“若a是有理数，则a是整数”是假命题； (2)由“0的绝对值是0，不是正数”可判断“有理数的绝对值是正数”是假命题. 【议一议】 如何判断一个命题是假命题呢? 预设：举出一个例子，使之符合命题条件，但不满足命题结论. 一般地，对于一个命题，如果能举出一个例子，使之符合命题条件，但不满足命题结论，就可判断该命题为假命题，这种做法称为举反例. 【做一做】 用举反例的方法说明下列命题是假命题. (1)若a²=b²，则a=b； (2)一个角的余角大于这个角； (3)若a，b是有理数，则|a+b|=|a|+|b|； (4)如果∠A=∠B，那么∠A与∠B是对顶角. 预设：(1)当a=1，b=-1时，a²=b²，但a≠b，则此命题是假命题； (2)取一个角为60°，则这个角的余角为30°不满足大于这个角，则此命题是假命题； (3)当a=2，b=-1时，|a+b|≠|a|+|b|，则此命题是假命题； (4)当∠A=∠B=60°，且是三角形的内角时，∠A与∠B不是对顶角，则此命题是假命题. 设计意图：通过“做一做”“议一议”，让学生判断命题真假，掌握举反例判断假命题的方法，加深对真、假命题的理解，提升逻辑判断与举例论证的能力. 【思考】 如何判断一个命题是真命题呢？ 判断一个命题是真命题，通常需从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题，进行逻辑推理、计算，得出这个命题的结论成立，这一过程就是通常所说的证明. 【做一做】 试着证明：如果实数a≠0或实数b≠0，那么a²+b²≠0. 证明：若a≠0，则a2为正数， 又b²为正数或0，从而a²+b²是正数， 因此a²+b²≠0. 同理可得，若b≠0，则a²+b²≠0. 【思考】 如何证明：△ABC的三个内角中至少有一个角大于或等于60°. 分析：“至少有一个”意味着“有一个”“有两个”“有三个”，因而应分三种情况进行证明，我们可以假设没有一个满足条件，若能推出一个与已知条件或已有定义、基本事实、已经证明了的真命题等矛盾的结论，就可否定假设从而得出所要证明的结论. 证明：假设△ABC的三个内角中没有一个角大于或等于60°， 则∠A<60°，∠B<60°，∠C<60°，从而∠A+∠B+∠C<60°+60°+60°=180° 这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，故假设不成立. 因此，△ABC的三个内角中至少有一个角大于或等于60°. 【抽象】 像上题这样，当直接从条件出发证明一个命题比较困难时，可以先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出与已知条件，定义、基本事实、真命题等产生矛盾，得出假设不成立，从而判断所求证命题正确，这种证明方法叫作反证法. 【说一说】 反证法的基本步骤？ 预设：(1)假设命题不成立；(2)导出矛盾；(3)肯定结论. 【做一做】 用反证法证明“如果实数a≠0或实数b≠0，那么a²+b²≠0.” 证明：假设如果实数a≠0或实数b≠0，那么a²+b²=0， 因为a²+b²=0，且a²≥0，b²≥0， 根据几个非负数的和为0，则每个非负数为0. 所以a²=0，b²=0，因此a=0，b=0，与已知条件矛盾. 所以假设不成立，原命题成立. 设计意图：通过思考、做一做、抽象等环节，先引导学生明确真命题的证明方法，再借助三角形内角和相关证明引出反证法，接着阐述反证法步骤并举例应用，帮助学生理解反证法的原理与操作，掌握这一重要的数学证明方法，提升逻辑推理与证明能力. 【应用新知】 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 教材例题 例1 命题“如果ab=0，那么a=0”是真命题还是假命题？ 分析：先举个例子，看是否能使命题不成立，如果不成立就是假命题. 解：取a=1，b=0，1×0=0，但是1≠0， 因此“如果ab=0，那么a=0”是假命题. 注意：判断一个命题是假命题，可以举反例. 经典例题 例2 如图，若∠1=∠2，则∠3=∠4，判断它是一个真命题． 分析：由∠1=∠2得到l1∥l2，再由两直线平行，内错角相等即可. 证明：因为∠1=∠2(已知) 所以l1∥l2(同位角相等，两直线平行) 所以∠3=∠4(两直线平行，内错角相等) 所以此命题是个真命题. 注意：从已知条件出发，进行逻辑推理，得到命题成立. 例3 用反证法证明：任意三角形的三个外角中至多有一个直角． 分析：按照反证法的基本步骤进行证明即可. 证明：假设△ABC的三个外角中至少有两个直角， 则不妨设∠B=∠C=90°，所以∠A+∠B+∠C>180°， 这与三角形内角和等于180°相矛盾， 所以任意三角形的三个外角中至多有一个直角. 注意：正确写出假设命题是关键，可通过枚举的方法列出原命题满足的情况，然后从反面写出假设命题. 设计意图：通过例1让学生掌握举反例判断假命题的方法，例2让学生学会从已知条件出发逻辑推理证明真命题，例3通过反证法进一步学会证明命题真假，巩固学生判断命题真假的知识与技能. 【课堂练习】 自选习题 1.下列命题是真命题的是(     ) A. 同位角相等 B. 内错角相等 C. 同旁内角互补 D. 邻补角互补 答案：D. 2.用反证法证明命题：“已知△ABC，AB =AC，求证：∠B<90°.”第一步应先假设( ) A.∠B ≥90° B.∠B>90° C.∠B<90° D. AB + AC 答案：A. 教材习题 3.命题“两条直线被第三条直线所截，同位角相等”是真命题还是假命题? 解：如图，直线l1，l2被直线l3所截，∠1与∠2是同位角，但是∠1≠∠2. 4.证明：在同一平面内，如果直线a∥b，l⊥a，那么l⊥b. 证明：因为a∥b，所以∠1=∠2(两直线平行，同位角相等) 因为l⊥a，所以∠1=∠2=90°，所以l⊥b. 5.用反证法证明：如果ab=0，那么a=0或b=0. 证明：假设a≠0且b≠0. 因为a≠0，b≠0，根据乘法的性质，两个非零实数相乘的积一定不为0，所以ab ≠ 0. 但已知ab = 0，矛盾 所以假设不成立，即如果ab =0，那么a= 0或b= 0. 自选习题 6.证明：两个奇数的和是偶数. 证明：设两个奇数分别为m=2k+1，n=2s+1(其中h，s都为整数) 则m+n=2k+1+2s+1=2(k+s+1)， 因为k，s都是整数，所以k+s+1是整数， 所以2(k+s+1)一定能被2整除， 所以m+n一定能被2整除， 即两个奇数的和是偶数. 7.用反证法证明：已知直线a//c，b//c，则a//b. 证明：假设a与b相交于点M， 则过M点有两条直线平行于直线c， 这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾， 故假设不成立，所以a//b. 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 【总结归纳】 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识. 学科网（北京）股份有限公司 $