4.1 第3课时 三角形内角和与外角（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年八年级数学上册同步备课（湘教版·新教材）

该初中数学课件聚焦三角形内角和定理及外角性质，通过折叠、测量、撕拼等操作导入，引导学生从直观感知过渡到多种方法证明，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以操作探究培养几何直观与创新意识，多种证法发展推理能力，典例练习融入方程与转化思想，总结模型助于数学表达。如撕拼发现内角和，三种证法深化理解，“燕尾蝶”形模型简化问题。学生提升探究与推理能力，教师获得结构化教学素材。

4.1 三角形 第4章 三角形 第3课时 三角形内角和与外角 ÷ 八年级上册数学（湘教版） 1. 通过操作活动，发现三角形的内角和是 180°； 2. 会利用三角形的内角和求三角形中未知角的度数；（重点、难点） 3. 了解三角形的外角及其性质. 学习目标 思考： 任意三角形的内角和都是180° 吗？为什么？ 折叠 复习导入 锐角三角形 测量 40° 68° 72° 40°＋68°＋72°＝180° （请同学们运用学科工具——量角器测量演示） 还有其他的方法吗？ 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来证明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？ 还有其他的拼接方法吗？ 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角撕下来拼合在一起. 三角形的内角和定理的证明 1 探究新知 三角形内角的和等于 180°. 求证：∠A +∠B +∠C = 180°. 已知：△ABC . 证法1：过点 A 作 l∥BC， 则∠B =∠1，∠C =∠2 (两直线平行，内错角相等). ∵∠1 +∠2 +∠BAC = 180°， ∴∠B +∠C +∠BAC = 180°. 1 2 验证结论 证法2：延长 BC 到 D，过点 C 作 CE∥BA， 则∠A =∠1 (两直线平行，内错角相等)， ∠B =∠2 (两直线平行，同位角相等). 又∵∠1 +∠2 +∠ACB = 180°， ∴∠A +∠B +∠ACB = 180°. C B A E D 1 2 C B A E D F 证法3：过 D 作 DE∥AC，DF∥AB. ∴∠C = ∠EDB，∠B = ∠FDC (两直线平行，同位角相等)， ∠A +∠AED = 180°， ∠EDF +∠AED = 180° (两直线平行，同旁内角相补). ∴∠A = ∠EDF. ∵∠EDB +∠EDF +∠FDC = 180°， ∴∠C +∠A +∠B = 180°. 想一想：同学们还有其他的证法吗？ 思考：多种方法证明三角形内角和等于 180° 的核心是什么？ 借助平行线“移角”的功能，将三个角转化到一个平角上. C A B 1 2 3 4 5 l A C B 1 2 3 4 5 l P 6 m A B C D E 例1 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的 3 倍，∠C 比∠B 大 15°，求∠A，∠B，∠C 的度数. 解：设∠B 为 x°，则∠A 为 (3x)°，∠C 为 (x + 15)°， 从而 3x + x + (x + 15)＝180， 解得 x＝33. 所以 3x＝99，x + 15＝48. 答：∠A，∠B，∠C 的度数分别为 99°，33°，48°. 几何问题借助方程来解， 这是一个重要的数学思想. 典例精析 解：已知 DE⊥AB，则∠FEA＝90°． 因为 在△AEF 中，∠FEA＝90°，∠A＝30°， 所以∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°. 又 ∠CFD＝∠AFE， 所以∠CFD＝60°. 则在△CDF 中，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°. 1.如图，△ABC 中，D 在 BC 的延长线上，过 D 作 DE⊥AB 于 E，交 AC 于 F. 已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D. 练一练 一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？ 因为三角形的内角和等于 180°，因此最多有一个直角或一个钝角. 说一说 1.三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形； 锐角三角形 3.有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形. 钝角三角形 2.有一个角是直角的三角形叫作直角三角形， 直角三角形 直角边 直角边 斜边 A B C 直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC； 两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形. 定义 如图，把△ABC 的一边 BC 延长，可得到∠ACD.像这样，把三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫作三角形的外角. ∠ACD 是△ABC 的一个外角 C B A D 三角形的外角的概念 2 A B C 画一画 画出△ABC 的所有外角，共有几个呢? 每一个三角形都有 6 个外角． 每一个顶点相对应的外角都有 2 个，且这 2 个角为对顶角. 三角形的外角应具备的条件： ① 角的顶点是三角形的顶点； ② 角的一边是三角形的一边； ③ 另一边是三角形中一边的延长线. ∠ACD 是△ABC 的一个外角， C B A D 每一个三角形都有 6 个外角． 归纳总结 F A B C D E 2. 如图，∠BEC 是哪个三角形的外角？∠AEC 是哪个三角形的外角？∠EFD 是哪个三角形的外角？ ∠BEC 是△AEC 的外角； ∠AEC 是△BEC 和△BEF 的外角； ∠EFD 是△BEF 和△DCF的外角. 练一练 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 问题1 如图，△ABC 的外角∠BCD 与其相邻的内角 ∠ACB 有什么关系？ ∠BCD 与∠ACB 互补. 三角形的外角的性质 3 问题2 如图，△ABC 的外角∠BCD 与其不相邻的两内角 (∠A，∠B ) 有什么关系？ 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 ∵∠A +∠B +∠ACB = 180°，∠BCD +∠ACB = 180°， ∴∠BCD =∠A +∠B. 你能用作平行线的方法证明此结论吗？ 三角形内角和定理的推论 A B C D ( ( ( 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 应用格式： 因为∠ACD 是△ABC 的一个外角， 所以∠ACD =∠A +∠B. 知识要点 例2 如图，已知 AD 是∠ABC 的角平分线， ∠ADB = 98°，∠C = 70°，求∠B 的度数. 解 因为∠ADB =∠C + ∠CAD， 所以∠CAD =∠ADB－∠C = 98°－70° = 28°. 又∠BAD =∠CAD， 所以∠BAD = 28°. 因此，∠B = 180°－∠ADB－∠BAD = 54°. 3.(一题多解) 如图，∠A = 51°，∠B = 20°， ∠C = 30°，求∠BDC 的度数. A B C D ( ( ( 51° 20° 30° 思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题. 练一练 解法一：连接 AD 并延长到点 E. 在△ABD 中，∠1 +∠B =∠3， 在△ACD 中，∠2 +∠C =∠4. ∵∠BDC =∠3 +∠4， ∠BAC =∠1 +∠2， ∴∠BDC =∠BAC +∠B +∠C = 51° + 20° + 30° = 101°. A B C D ( ( 20° 30° E ) ) 1 2 ) 3 ) 4 你发现了什么结论？ 解法二：延长 BD 交 AC 于点 E. 在△ABE 中，∠1 =∠B +∠A， 在△ECD 中，∠BDC =∠1 +∠C. ∴∠BDC =∠A +∠B +∠C = 51° + 20° + 30° = 101°. A B C D ( ( ( 51° 20° 30° E ) 1 解法三：连接 CD 并延长交 AB 于 F (方法同解法二). ) 2 F 解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解. 总结 如图①，试比较∠2 、∠1的大小； 如图②，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小. 图① 图② 解：因为∠2 =∠1 +∠B， 所以∠2＞∠1. 解：因为∠2 =∠1 +∠B， ∠3 =∠2 +∠D， 所以∠3＞∠2＞∠1. 拓展探究 三角形的外角大于与它不相邻的内角. A B C D ( ( 1 2 3 A B C D ( ( ( 1 2 E 由三角形的内角和定理易得 ∠A +∠B =∠C +∠D. 归纳总结 A B C D 由三角形的外角和定理易得 ∠BDC = ∠A +∠B +∠C. “8”字形 “燕尾蝶”形 1. 求出下列各图中的 x 值. x = 70 x = 60 x = 30 x = 50 课堂练习 2. (1) 如图，∠BDC 是_______的 外角，也是 的外角； (2) 若∠B = 45°， ∠BAE = 36°， ∠BCE = 20°，求∠AEC 的度数. A B C D E △ADE △ADC 解：根据三角形外角的性质有 ∠ADC =∠B +∠BCE， ∠AEC =∠ADC +∠BAE， 所以∠AEC =∠B +∠BCE +∠BAE = 45° + 20° + 36° = 101°. 解：因为∠ADC 是△ABD 的外角， 3. 如图，D 是△ABC 的 BC 边上一点，∠B = ∠BAD， ∠ADC = 80°，∠BAC = 70°，求： （1）∠B 的度数； （2）∠C 的度数. 因为在△ABC 中，∠B +∠BAC +∠C = 180°， 所以∠C = 180° - 40° - 70° = 70°. 所以∠ADC =∠B +∠BAD = 80°. 又因为∠B =∠BAD， A B C D 所以 三角形 三角形内角和定理 三角形外角的性质 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 三个内角的和为180° ↑ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 ↓ 课堂小结 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $同学们明天的数学课我们要研究三角形内角和定理。我们在小学的时候就知道三角形的内角和是180度，但是只记住了数字，不知道如何来证明。首先我们看到180度，我们会想到什么几何概念呢？同学们可以按下暂停键思考一下，我相信聪明的同学们一定会想出来，我们会想到平角。换句话说，把三角形三个内角组成一个平角就是我们的证明思路。下面老师用一个剪纸的方法来验证一下，把一个任意的三角形放在这里，目标就是看这个三个内角能不能组成一个平角。接下来我们用简单粗暴的方法，直接司把角2和角三拼到角一的左右两侧。一看果然可以拼成一个平角。同学们你们还能想出哪些拼法能验证出三角形的内角和是180度呢？老师期待你们明天上课的精彩表现。