专题4.1 认识三角形之三角形三边关系（高效培优讲义）数学湘教版2024八年级上册

学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题4.1认识三角形之三角形三边关系 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点1三角形的定义 知识清单 知识点2三角形的三边关系 题型1三角形的识别及有关概念 题型2三角形的分类 认识三角形一 题型3利用三边关系判断能否组成三角形 题型4利用三边关系求参数范围 题型精讲 题型5利用三边关系化简 题型6利用三边关系求最值 题型7利用三边关系证明 题型8三边关系的应用 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解三角形的定义，明确边、角、顶点等基本概念，能规范用符号语言表示三角形， 并掌握按边分类的方法。 教学目标 2.探索并掌握“三角形任意两边之和大于第三边”的定理，能运用该定理判断三条线 段能否构成三角形。 3.初步学会运用三角形边角相关知识分析问题，培养几何直观与简单的逻辑推理能力。 1.重点 (1)扎实掌握三角形的定义、基本要素、按边分类等基础概念，能准确识别三角形及 其类型。 教学重难点 (2)深刻理解并熟练运用三角形三边关系定理，解决线段能否构成三角形等基础问题。 2.难点 (1)灵活运用三角形三边关系定理解决较为复杂的实际问题，尤其是在条件隐蔽时准 确提取和应用知识。 1/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)理解三边关系定理的本质，能结合绝对值化简等代数知识进行综合运算，实现几 何与代数的初步结合。 知识清单 知识点01三角形的定义 三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形. 【即学即练2】1.(25-26八年级上·全国阶段练习)如图，两个含30°角的三角尺拼成的三角形是三 角形.（填“锐角"“直角"或"钝角”) 2.(25-26八年级上新疆和田阶段练习)如图，在ABC中，点D在边BC上，BD=AD=DC=AC. D (1)写出以点C为顶点的三角形； (2)写出以AB为边的三角形； (3)找出图中的等腰三角形和等边三角形. 知识点02三角形的三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边： 【即学即练3】3.(25-26八年级上·甘肃武威阶段练习)在ABC中，AB=5cm,AC=10cm,那么BC长 的取值范围是 4.(24-25七年级下河南开封期末)下列数据是三根小棒的长度，用它们能组成三角形的是() A.5cm、5cm、12cm B.12cm、13cm、25cm C.9cm、15cm、6cm D.2cm、3cm、4cm 题型精讲 2/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型01三角形的识别及有关概念 【典例1】(25-26八年级上·云南昆明·阶段练习)下列图形中，是三角形的是() 【变式1】(25-26八年级上山西朔州阶段练习)小华用三根火柴搭成下列图形，其中是三角形的是() 入人“ 【变式2】(25-26八年级上·陕西渭南·阶段练习)如图，下面以AB为边的三角形是() D E A.ABC B.△ADC C.△AEC D.ADE 【变式3】(25-26八年级上·全国·课后作业)[教材习题变式]如图所示： B (1)图中一共有」 个三角形，它们分别是 (2)ACDE和△BCD的公共角是 ，公共边是 (3)在ABC中，∠A的对边是 ； (4)在ABC和BEC中，∠ACB是边 和 的对角. 题型02三角形的分类 【典例2】(24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习)在ABC中，已知∠A=65°，LB=25°，则这个三角形是 () A,锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 【变式1(25-26八年级上·全国·期中)如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为() A.钝角三角形B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 【变式2】(25-26八年级上·云南昆明·阶段练习)已知：如图，在△ABE中，∠BAE=90°，AD⊥BE,垂足 为D,点C在线段BD上，试回答下列问题： 3/9 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D (1)图中有 个三角形，其中直角三角形有 个 (2)锐角三角形是 (3)CE边所对的角是 【变式3】(25-26八年级上·全国·课后作业)在ABC中：（下列所填三角形按角分类） (1)若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则此三角形是 三角形： (2)若∠A-∠B=∠C,则此三角形是 三角形； (3)若∠A=2∠B=3LC,则此三角形是三角形： (4)若∠A=∠B=∠C,则此三角形是三角形. 1 2 3 题型O3利用三边关系判断能否组成三角形 【典例3】(2024年湖南省三湘大联考中考模拟数学试题)下列各组数，可以作为三角形的三边长的是() A.1,2,3 B.2,3,5 C.6,8,20 D.5,13,15 【变式1】(2012七年级下江苏学业考试)有四根长度分别为4、5、6、9的木棒，从中任意选取三根木棒 首尾顺次连接围成三角形，则能围成的三角形个数为() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式2】(25-26八年级上·福建福州·开学考试)已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的 长可能是() A.11 B.8 C.3 D.1 【变式3】(25-26八年级上·江西南昌·阶段练习)等腰三角形的两边长分别为5和10，则它的周长为」 题型04利用三边关系求参数范围 【典例4】(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨阶段练习)将三根木棒首尾相连围成一个三角形，其中两根木棒 的长分别为8cm、2cm,则该三角形的周长可能是() A.13cm B.14cm C.15cm D.17cm 【变式1】(25-26八年级上·全国期中)若在ABC中，AB=5,BC=2a+3,AC=12.则a的取值范围 是 【变式2】(25-26八年级上·河南信阳·阶段练习)已知等腰三角形的一条腰长为5，底边长为x,则x的取值 范围为」 【变式3】(25-26八年级上陕西西安阶段练习)已知ABC的三边长分别为a,b,c,若a=2,b=5,且 c为奇数，求c的值 4/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型05利用三边关系化简 【典例5】(24-25八年级下·广西钦州阶段练习)已知三角形的三条边长为3,5，k,化简： |9-k1+V-k)2=() A.8 B.-8 C.2k-10 D.10-2k 【变式1】己知a,b,c是三角形的三边长，化简：a-b+c-a-b-c= 【变式2】(25-26八年级上，全国阶段练习)已知ABC的三边长分别为a,b,c,其中a=6,b=7. (1)求边长c的取值范围. (2)化简：|a-b-c|-a+b-c. 【变式3】(25-26八年级上江西赣州阶段练习)a,b,c分别为ABC的三边， (1)当a=4,b=8时，求c的取值范围： (2)化简a-b-c+lb-c-a-lc+a-b. 题型06利用三边关系求最值 【典例6】(24-25八年级上·青海西宁·期末)已知三条线段的长分别是4,8，m,若它们能构成三角形，则 偶数m的最大值是() A.9 B.10 C.11 D.12 【变式1】(22-23七年级下·陕西汉中·期末)已知三条线段的长分别是3,7，m.若它们能构成三角形，求整 数m的最大值和最小值， 【变式2】(24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习)已知三角形的两边长为6和8，第三边长为x(x取整数)， 当x的值是多少时，三角形的周长最小，最小值是多少？ 【变式3】(24-25七年级下.甘肃天水·期末)【代数推理】设ABC的三边长是Q、b、c,周长是x,其中 0=4,b=6. (I)直接写出c及x的取值范围： (2)当C为奇数时，求x的最大值和最小值. (3)若x小于18的偶数，判断ABC的形状. 题型07利用三边关系证明 【典例7】（24-25八年级上·福建福州阶段练习)己知三条线段a=4mn,b=2m2+2n2,c=(m-n (mn>0,且m≠n. (①)证明：线段b是这三条线段中最长的线段； (②)请说明是否能以这三条线段长为边构造三角形. 【变式1】（25-26八年级上·全国课后作业)阅读下面的分解因式的过程： p2-1+q2+2pq=p2+2pq+g2)-1 =(p+q)2-1 =(p+q+10(p+9-1). 5/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 利用上述分解因式的方法证明： 如果a,b,c是ABC的三条边的长，那么a2-b2+c2-2ac<0. 【变式2】(24-25八年级上·浙江期末)如图，己知O为ABC内任意一点，求证 B (104+0B+OC>(AB+BC+CA): (2)0A+0B+0C<AB+AC+BC 【变式3】(25-26八年级上全国课后作业)已知P是ABC内任意一点 图① 图② (I)如图①，求证：AB+AC>PB+PC. 图②，连接PA,比较PA+PB+PC与AB+BC+AC的大小关系，并说明理由 题型08三边关系的应用 【典例8】(24-25八年级上·陕西宝鸡阶段练习)现有两根长分别为5分米和4分米的直铁丝Q和b,要用它 们做一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以折成两段的铁丝是() A.a,b都可以B.只有a可以 C.只有b可以 D.a,b都不可以 【变式1】(25-26八年级上河南信阳·阶段练习)如图是马扎及其模型图，若A0=B0=25cm,则马扎的宽 AB可能为() B D A.64cm B.55cm C.50cm D.38cm 【变式2】(25-26八年级上·陕西榆林阶段练习)在等腰三角形ABC中，AB=22,BC=10,AC=2m+2.求 ABC的周长及m的值 【变式3】(25-26七年级上·河南信阳·开学考试)华华想制作一个三角形框架，他找到了这样的两根木条： 6/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ☐6厘米 口13厘米 ()华华应该锯断哪根木条？写出你的理由. (②)华华将这根木条锯成长度各是多少厘米的两段（取整厘米数），才能和另一根组成一个三角形呢？（写出 一种即可) 强化训练 一、单选题 1.(10-11七年级下·辽宁辽阳期末)下列各组线段能组成三角形的是(). A.1厘米，2厘米，4厘米 B.8厘米，6厘米，4厘米 C.12厘米，6厘米，5厘米 D.2厘米，3厘米，6厘米 2.(25-26八年级上·全国·课后作业)下面是小航用三根火柴组成的图形，其中符合三角形的概念的是() A. D 3.(25-26八年级上·甘肃定西·阶段练习)李师傅做了一个三角形工件，其中两边长分别为2cm和3cm,则 第三边的长度可能是() A.Icm B.2cm C.5cm D.6cm 4.(25-26八年级上·云南昆明阶段练习)图中直角三角形的个数有() D E F A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 5.(25-26八年级上陕西延安阶段练习)下列选项能确定ABC为钝角三角形的是() A.AB+AC>BC B.AB-AC<BC C.∠A+∠B>∠C D.LA+∠B<∠C 二、填空题 7/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6.(2023七年级上浙江绍兴.专题练习)一个三角形三个内角度数的比是2：2：5，这个三角形中，最小的角 是 度，按角分这个三角形叫 三角形. 7.(25-26八年级上江苏南京·阶段练习)一个等腰三角形的两边长分别是4cm和8cm,则它的周长 是 8.(25-26七年级上山东泰安阶段练习)若a,b,c是ABC的三边，则 a-b-c+a-c+b+a+b+c=_ 9.(25-26八年级上江苏常州阶段练习)若长度分别为3,6，a的三条线段能组成一个三角形，则a的取 值范围是 10.(24-25七年级下辽宁盘锦·期末)设ABC的三边分别为a,b,c,其中a,b满足 a+b-14+(a-b+2)=0,则最长边c的取值范围是 三、解答题 11.(25-26八年级上·福建龙岩阶段练习)在ABC中，己知AB=14,BC=8,AC=2m-2. (1)求m的取值范围. (②)若ABC是等腰三角形，求ABC的周长 12.(25-26八年级上·吉林松原阶段练习)己知三角形的两边长分别为4和6，第三边的边长为x. (I)求x的取值范围； (2)若x为整数，当x为何值时，组成的三角形周长最大？最大值是多少？ 13.(25-26八年级上·全国·随堂练习)如图，在ABC中，∠BAC是直角，AD⊥BC,垂足为D,点E在 线段BD上，找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形. R E 14.(2025八年级上·内蒙古·专题练习)用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形. (1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边长是4cm的等腰三角形吗？为什么？ 15.(25-26八年级上新疆和田·阶段练习)已知ABC的三边长分别为a,b,c. (I)化简：a-b-c-b-c-d+a+b-c; (2)若a=5,b=2,且三角形的周长为偶数 ①求c的值；②判断ABC的形状， 16.(24-25七年级下·四川达州阶段练习)己知a,b,c是ABC的三边. (1)若a=2,b=5.求第三边c的取值范围； (2)若a=2,b=5,第三边c为奇数，判断ABC的形状； 8/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)化简la+b-c-la-b-c-a-b+c. 9/9 专题4.1 认识三角形之三角形三边关系 教学目标 1. 理解三角形的定义，明确边、角、顶点等基本概念，能规范用符号语言表示三角形，并掌握按边分类的方法。 2. 探索并掌握“三角形任意两边之和大于第三边”的定理，能运用该定理判断三条线段能否构成三角形。 3. 初步学会运用三角形边角相关知识分析问题，培养几何直观与简单的逻辑推理能力。 教学重难点 1.重点 （1）扎实掌握三角形的定义、基本要素、按边分类等基础概念，能准确识别三角形及其类型。 （2）深刻理解并熟练运用三角形三边关系定理，解决线段能否构成三角形等基础问题。 2.难点 （1）灵活运用三角形三边关系定理解决较为复杂的实际问题，尤其是在条件隐蔽时准确提取和应用知识。 （2）理解三边关系定理的本质，能结合绝对值化简等代数知识进行综合运算，实现几何与代数的初步结合。 知识点01 三角形的定义 三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形. 【即学即练2】1．（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，两个含角的三角尺拼成的三角形是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【答案】锐角 【分析】本题考查了三角尺和三角形按角分类，熟练掌握知识点是解题的关键． 先求出拼成的三角形的三个内角度数，再判断即可． 【详解】解：如图，两个含角的三角尺拼成的三角形的三个内角分别为， ∴该三角形为锐角三角形， 故答案为：锐角． 2．（25-26八年级上·新疆和田·阶段练习）如图，在中，点D在边上，． (1)写出以点C为顶点的三角形； (2)写出以为边的三角形； (3)找出图中的等腰三角形和等边三角形． 【答案】(1)， (2)， (3)等腰三角形是，；等边三角形是 【分析】本题考查三角形的定义、三角形的分类： （1）根据三角形的定义，找出以点C为顶点的三角形即可； （2）根据三角形的定义，找出以为边的三角形即可； （3）根据题中边长关系，找出有两条边相等的三角形为等腰三角形，三边均相等的三角形为等边三角形． 【详解】（1）解：以点C为顶点的三角形有，； （2）解：以为边的三角形有，； （3）解：∵， ∴等腰三角形有，， 等边三角形有． 知识点02 三角形的三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边. 【即学即练3】3．（25-26八年级上·甘肃武威·阶段练习）在中，，，那么长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．根据三角形三边之间的关系列不等式求解即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得， 即． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·河南开封·期末）下列数据是三根小棒的长度，用它们能组成三角形的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，灵活运用“两边之和大于第三边”是解题的关键． 根据两边之和大于第三边逐项判断即可． 【详解】解：A．由，与两边之和大于第三边矛盾，故A不符合题意； B．由，与两边之和大于第三边矛盾，故B不符合题意； C．由，与两边之和大于第三边矛盾，故C不符合题意； D．由，符合两边之和大于第三边，故D符合题意． 故选：D． 题型01 三角形的识别及有关概念 【典例1】（25-26八年级上·云南昆明·阶段练习）下列图形中，是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的定义，三角形是由同一平面内，不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形，据此可得答案． 【详解】解：由三角形的定义可知，四个选项中，只有B选项中的图形是三角形， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·山西朔州·阶段练习）小华用三根火柴搭成下列图形，其中是三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的定义．三角形的定义为：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．据此求解即可 【详解】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形． 用三根火柴搭成下列图形，其中是三角形的是 ， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，下面以为边的三角形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的认识．根据三角形的边的含义可得答案． 【详解】解：以为边的三角形有，，． 故选：A 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）[教材习题T1变式]如图所示： (1)图中一共有______个三角形，它们分别是______； (2)和的公共角是______，公共边是______； (3)在中，的对边是______； (4)在和中，是边______和______的对角． 【答案】(1)5，，，，， (2)， (3) (4)， 【分析】本题主要考查了三角形的定义，解题的关键是掌握三角形的相关定义． （1）利用三角形的定义进行求解即可； （2）利用三角形的相关概念进行求解即可； （3）利用三角形的相关概念进行求解即可； （4）利用三角形的相关概念进行求解即可． 【详解】（1）解：图中一共有5个三角形，分别是： ，，，，， 故答案为：5，，，，，； （2）解：和的公共角是，公共边是， 故答案为：，； （3）解：的对边是， 故答案为：； （4）解：是边和的对边， 故答案为：，． 题型02 三角形的分类 【典例2】（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）在中，已知，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的分类，三角形内角和定理的应用，掌握三角形的内角和定理：三角形的内角和为是解决问题的关键． 根据三角形内角和定理，求出第三个角即可作出判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形． 故选B． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期中）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的分类，根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形和钝角三角形进行判断即可． 【详解】解：露出的角是钝角，因此是钝角三角形， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·云南昆明·阶段练习）已知：如图，在中，，，垂足为D，点C在线段上，试回答下列问题： (1)图中有______个三角形，其中直角三角形有______个． (2)锐角三角形是______． (3)边所对的角是______． 【答案】(1)6；4 (2) (3) 【分析】本题主要考查三角形的识别，熟练掌握三角形的基本概念是解题的关键． （1）直接观察图形可找出三角形和其中有一个角是直角的三角形； （2）观察图形可找到锐角三角形； （3）观察图形可知线段所在的三角形，然后可以找到边所对的角； 【详解】（1）解：由图可知， 图中三角形有，，，，，， ∴图中有6个三角形， ∵，， ∴， ∴图中直角三角形有，，，，共4个， 故答案为：6；4； （2）解：观察图形可得：为钝角三角形，，，，为直角三角形， ∴锐角三角形是， 故答案为：； （3）解：由图可知，线段所在的三角形是， ∴边所对的角是； 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）在中：（下列所填三角形按角分类） （1）若，则此三角形是 三角形； （2）若，则此三角形是 三角形； （3）若，则此三角形是 三角形； （4）若，则此三角形是 三角形． 【答案】 直角 直角 钝角 直角 【分析】本题考查了三角形内角和，三角形的分类，熟练掌握三角形内角和180度是解题的关键．依次求出每个三角形最大的角，然后即可判断． 【详解】解：（1），， 此三角形是直角三角形； 故答案为：直角； （2），， ， ， 此三角形是直角三角形； 故答案为：直角； （3），， ， ， 此三角形是钝角三角形； 故答案为：钝角； （4），， ， ， ， 此三角形是直角三角形； 故答案为：直角； 题型03 利用三边关系判断能否组成三角形 【典例3】（2024年湖南省三湘大联考中考模拟数学试题）下列各组数，可以作为三角形的三边长的是（    ） A．1，2，3 B．2，3，5 C．6，8，20 D．5，13，15 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟知“两边和大于第三边，两边差小于第三边”是解本题的关键． 根据两边和大于第三边，两边差小于第三边进行判断即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边， A、，故不能构成三角形，不符合题意； B、，故不能构成三角形，不符合题意； C、，故不能构成三角形，不符合题意； D、，可以构成三角形，符合题意； 故选：D． 【变式1】（2012七年级下·江苏·学业考试）有四根长度分别为4、5、6、9的木棒，从中任意选取三根木棒首尾顺次连接围成三角形，则能围成的三角形个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三条线段构成三角形的条件，“三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，据此分四种情况逐类判断即可求解﹒ 【详解】解：当三根木棍长度分别为4、5、6时，因为，所以可以围成三角形； 当三根木棍长度分别为4、5、9时，因为，所以不能围成三角形； 当三根木棍长度分别为4、6、9时，因为，所以可以围成三角形； 当三根木棍长度分别为5、6、9时，因为，所以可以围成三角形． 故选：C 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·开学考试）已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（    ） A．11 B．8 C．3 D．1 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系，根据三角形的三边满足“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”即可判断求解． 【详解】解：∵三角形两边的长分别是3和7， ∴第三边大于，小于， 故选：B． 【变式3】（25-26八年级上·江西南昌·阶段练习）等腰三角形的两边长分别为5和10，则它的周长为 ． 【答案】25 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，结合三角形的三边关系分情况讨论是解题的关键；分两种情况：当等腰三角形的腰长为5，底边长为10时；当等腰三角形的腰长为10，底边长为5时，然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：当腰长为5时，三边长分别为5，5，10，因为，所以不满足三角形三边关系； 当腰长为10时，三边长分别为10，10，5，因为，所以可以构成三角形，三角形的周长为：； 综上可知，等腰三角形的两边长分别为5和10，它的周长为25； 故答案为：25． 题型04 利用三边关系求参数范围 【典例4】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）将三根木棒首尾相连围成一个三角形，其中两根木棒的长分别为、，则该三角形的周长可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，掌握两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键．设第三边长为，根据三角形的三边关系可得，进而得该三角形的周长的取值范围，即可解答． 【详解】解：设第三边长为， 根据三角形的三边关系得，，即， ∴该三角形周长， 即该三角形周长， ∴四个选项中，三角形的周长可能是，只有D选项符合， 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期中）若在中，，，．则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查三角形三边之间的关系．根据三角形三边之间的关系，任一边都小于另两边之和，同时大于另两边之差，列出关于a的不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：∵中，，，， ∴，， 解得， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·河南信阳·阶段练习）已知等腰三角形的一条腰长为5，底边长为x，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．根据三角形三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，结合等腰三角形两腰相等的性质来确定底边长的取值范围． 【详解】解：根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 在等腰三角形中，两腰长均为，底边长为． 所以，即； 且，即． 故． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）已知的三边长分别为a，b，c，若，，且c为奇数，求c的值． 【答案】5 【分析】本题考查三角形的三边关系，三角形的任意两边之和大于第三边．根据三角形的三边关系求出c的取值范围，再结合c为奇数即可解答． 【详解】解：∵，即， ∴， ∵c为奇数， ∴． 题型05 利用三边关系化简 【典例5】（24-25八年级下·广西钦州·阶段练习）已知三角形的三条边长为3，5，k，化简：（   ） A．8 B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查三角形的三边关系，化简绝对值及二次根式，熟练掌握三角形三边关系得到k的取值范围是解题的关键， 先根据三角形三边关系得到，再根据绝对值及二次根式的性质化简计算即可． 【详解】解：∵三角形的三条边长为3，5，k， ∴，即， ∴ 故选A． 【变式1】已知，，是三角形的三边长，化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，绝对值的性质，熟练掌握三角形的三边关系，绝对值的性质是解题的关键． 先根据三角形的三边关系可得，然后根据绝对值的性质，即可求解． 【详解】解：∵，，是三角形的三边长， ∴， ∴ 故答案为： 【变式2】（25-26八年级上·全国·阶段练习）已知的三边长分别为a，b，c，其中． (1)求边长c的取值范围． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，熟练掌握三角形三边关系和绝对值的化简是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系，进行求解即可； （2）根据三角形的三边关系和绝对值的意义，进行化简即可． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理得到：， ∵， ∴， ∴． （2）由三角形三边关系定理得到：， ∴， ∴ ． 【变式3】（25-26八年级上·江西赣州·阶段练习），，分别为的三边， (1)当，时，求的取值范围； (2)化简． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值意义，整式加减，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据三角形的三边关系，进行求解即可； （）根据三角形的三边关系和绝对值的意义，进行整式化简即可． 【详解】（1）解：∵，，分别为的三边， ∴， ∴， ∴， ∴的取值范围是； （2）解：∵，，分别为的三边， ∴，，， ∴ ． 题型06 利用三边关系求最值 【典例6】（24-25八年级上·青海西宁·期末）已知三条线段的长分别是4，8，，若它们能构成三角形，则偶数的最大值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边，由此得到，即可得到答案． 【详解】解：由三角形三边关系定理得：， ∴， ∴偶数m的最大值是10． 故选：B． 【变式1】（22-23七年级下·陕西汉中·期末）已知三条线段的长分别是．若它们能构成三角形，求整数的最大值和最小值． 【答案】整数的最大值是9，最小值5 【分析】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．利用三角形三边关系求出的取值范围，从中找出最大的和最小的整数即可． 【详解】解：∵三条线段的长分别是，能构成三角形， ，即， 因此整数的最大值是9，最小值5． 【变式2】（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）已知三角形的两边长为6和8，第三边长为（取整数），当的值是多少时，三角形的周长最小，最小值是多少？ 【答案】，三角形的周长最小值为 【分析】本题考查了求三角形第三边的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围，再根据周长取最小即为能取到的最小整数，由此解出本题． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：， ∵为整数， ∴值可为3，且此时三角形周长最小, ∴三角形的最小周长为． 【变式3】（24-25七年级下·甘肃天水·期末）【代数推理】设的三边长是、、，周长是，其中，． (1)直接写出及的取值范围； (2)当为奇数时，求的最大值和最小值． (3)若小于的偶数，判断的形状． 【答案】(1)，； (2)最大为，最小为 (3)是等腰三角形，理由见解析过程． 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形的分类等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）利用三角形三边关系进而得出的取值范围，进而得出答案； （2）根据奇数的定义和的取值范围，可求解； （3）根据偶数的定义，以及的取值范围即可求的值，利用等腰三角形的定义得出即可． 【详解】（1）解：因为，， 所以． 故周长的范围为． （2），，为奇数， ， 最大为，最小为． （3）周长为小于的偶数， 或． 当为时，； 当为时，． 当时，，为等腰三角形； 当时，，为等腰三角形． 综上所述，是等腰三角形． 题型07 利用三边关系证明 【典例7】（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）已知三条线段，，（，且）． (1)证明：线段b是这三条线段中最长的线段； (2)请说明是否能以这三条线段长为边构造三角形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了的代数化简与比较以及三角形的构造条件，通过作差比较和根据三角形三边关系判断能否构成三角形是解题的关键． （1）先比较与的大小，与的大小就可以证明线段b是这三条线段中最长的线段； （2）通过计算，利用三角形三边关系来判断即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，即； ， ， 同号且非零， ，即， 综上，线段b是这三条线段中最长的线段． （2） ， ， ， ， ， ， ，即，不满足三角形三边关系， 以这三条线段长为边无法构造三角形。 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下面的分解因式的过程： ． 利用上述分解因式的方法证明： 如果a，b，c是的三条边的长，那么． 【答案】见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，三角形的三边关系以及不等式的性质，掌握因式分解是解本题的关键． 先对进行因式分解，得到，再利用三角形的三边关系判定其正负性即可． 【详解】解： 根据三角形三边关系： ，即； ，即； 所以：． 【变式2】（24-25八年级上·浙江·期末）如图，已知O为内任意一点，求证 (1) ； (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查三角形的三边关系．解题的关键是构造三角形，利用三角形的三边关系进行证明． （1）在、和中，利用三角形三边关系列式即可证明； （2）延长交于点D．在和中，得到，推出；同理，，据此即可证明结论成立． 【详解】（1）证明：在中，①， 在中，②， 在中，③， 得2， 即； （2）证明：如图，延长交于点D． 在中，①， 在中，②， ，得； ∵，， ∴， ∴③， 同理可证④，⑤， ，得， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知P是内任意一点． (1)如图①，求证：． (2)如图②，连接，比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边是解答此题的关键. （1）延长，交于D，在中，根据三角形两边之和大于第三边可得同理中，可得再根据不等式的性质得到进而证明； （2）在三个三角形中分别利用三边关系列出三个不等式，相加后即可得到正确的结论. 【详解】（1）（1）证明：如图，延长，交于点D． 在中，． 在中，， 即． （2）（2）． 理由：在中，． 同理可得，． 以上三式左、右两边分别相加，得， 即． 题型08 三边关系的应用 【典例8】（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）现有两根长分别为分米和分米的直铁丝和，要用它们做一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以折成两段的铁丝是（    ） A．都可以 B．只有可以 C．只有可以 D．都不可以 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据三角形两边之和大于第三边．即可判断求解． 【详解】解：∵三角形两边之和大于第三边，， ∴两根长度分别为分米和分米的细木条做一个三角形的框架，可以把分米的细木条分为两截． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·河南信阳·阶段练习）如图是马扎及其模型图，若，则马扎的宽可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系．确定第三边的取值范围是解题的关键．由题意知，，即，然后判断作答即可． 【详解】解：根据题意，由三角形的三边关系得，， 综上所述，只有选项D正确， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·陕西榆林·阶段练习）在等腰三角形中，，，．求的周长及的值 【答案】的周长为， 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，利用三角形的三边关系验证是解答本题的关键． 分和22两种情况利用三角形的三边关系验证后求得等腰三角形的周长即可． 【详解】解：当时，，不能组成三角形； 当时，，可以组成三角形， 可得， 解得 的周长为． 【变式3】（25-26七年级上·河南信阳·开学考试）华华想制作一个三角形框架，他找到了这样的两根木条： (1)华华应该锯断哪根木条？写出你的理由． (2)华华将这根木条锯成长度各是多少厘米的两段（取整厘米数），才能和另一根组成一个三角形呢？（写出一种即可） 【答案】(1)华华应该锯断B木条，因为三角形两边之和要大于第三边 (2)华华把这根木条锯成6厘米和7厘米的两段，能和另一根木条围成一个三角形（答案不唯一） 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握“任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边”是解题的关键． （1）根据三角形三边关系分析求解； （2）只要符合三角形三边关系即可． 【详解】（1）解：华华应该锯断B木条，理由如下： 由于，那么锯断长的木条，则锯断后的两根木条之和始终为，不能满足三角形三边关系， 而锯断长的木条，则锯断后的两根木条之和始终为，，能满足三角形三边关系， 所以华华应该锯断B木条，因为三角形两边之和要大于第三边． （2）解：华华把这根木条锯成6厘米和7厘米的两段，能和另一根木条围成一个三角形（答案不唯一）． 一、单选题 1．（10-11七年级下·辽宁辽阳·期末）下列各组线段能组成三角形的是（   ）． A．1厘米，2厘米，4厘米 B．8厘米，6厘米，4厘米 C．12厘米，6厘米，5厘米 D．2厘米，3厘米，6厘米 【答案】B 【分析】本题考查了能够组成三角形三边的条件．注意：用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形． 根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断即可． 【详解】解：A、，不能组成三角形；不符合题意； B、，能组成三角形；符合题意； C、，不能够组成三角形；不符合题意； D、，不能组成三角形，不符合题意； 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下面是小航用三根火柴组成的图形，其中符合三角形的概念的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，解题的关键是熟练记住定义. 根据三角形的定义进行判断即可. 【详解】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形， 所以选项C符合题意. 故选： C． 3．（25-26八年级上·甘肃定西·阶段练习）李师傅做了一个三角形工件，其中两边长分别为和，则第三边的长度可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟知三角形的三边关系． 根据三角形的三边关系求出第三边的取值范围即可判断得出解． 【详解】三角形的两边长分别为和，设第三边为x， 则,即， 所以第三边可能是， 故选B． 4．（25-26八年级上·云南昆明·阶段练习）图中直角三角形的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的定义：直角三角形的三个内角中一个角等于90度． 根据直角三角形的定义判断即可． 【详解】图中直角三角形的个数有共4个， 故选：C． 5．（25-26八年级上·陕西延安·阶段练习）下列选项能确定为钝角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的分类，三角形的三边关系，三角形内角和定理，掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的内角和为是解题的关键．根据三角形三边关系和三角形内角和定理逐个判定即可． 【详解】解：A、根据三角形的三边关系可知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都满足，故不能确定为钝角三角形； B、根据三角形的三边关系可知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都满足，故不能确定为钝角三角形； C、由得，所以，则，而不一定是最大角，故不能确定为钝角三角形； D、由得，所以，则，所以为钝角三角形； 故选：D． 二、填空题 6．（2023七年级上·浙江绍兴·专题练习）一个三角形三个内角度数的比是，这个三角形中，最小的角是 度，按角分这个三角形叫 三角形． 【答案】 40 钝角 【分析】本题主要考查三角形的内角和，首先根据按比例分配的方法，求出最小、最大内角的度数，再根据三角形按照角的大小分类情况，确定这个三角形是哪一种三角形． 【详解】解：， ， ， 的角是钝角， 所以，最小的角是40度，按角分类这个三角形是钝角三角形， 故答案为：40、钝角． 7．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．题目给出等腰三角形有两边长为4和8，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：①为腰，为底，此时周长为； ②为底，为腰， ∵， ∴两边之和等于第三边无法构成三角形，故舍去． 综上所述：它的周长是． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·山东泰安·阶段练习）若a，b，c是的三边，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系的理解及运用，化简绝对值，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负，然后去绝对值进行计算即可． 【详解】解：a，b，c是的三边， ， ， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·江苏常州·阶段练习）若长度分别为3，6，a的三条线段能组成一个三角形，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形三条边的关系作答即可． 【详解】∵长度分别为3，6，a的三条线段能组成一个三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）设的三边分别为a，b，c，其中a，b满足，则最长边c的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据三角形三边的关系进行求解即可． 本题主要考查了非负数的性质，三角形三边的关系，解二元一次方程组，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 【详解】解：∵，且，， ∴， 解得， ∴，即， ∴， 又∵c为最长边， ∴ 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段练习）在中，已知． (1)求m 的取值范围． (2)若是等腰三角形，求的周长． 【答案】(1) (2)36或30 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边即可解题． （1）根据三角形的三边关系列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可； （2）分，两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵且， ∴， 解得：； （2）解：当时，， 解得：， 此时的周长为； 当时，， 解得：， 此时的周长为； 综上所述，的周长为36或30． 12．（25-26八年级上·吉林松原·阶段练习）已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的边长为x． (1)求x的取值范围； (2)若x为整数，当x为何值时，组成的三角形周长最大?最大值是多少? 【答案】(1) (2)当时，组成的三角形周长最大，最大值是19 【分析】本题考查三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （1）根据三角形三边关系，已知三角形的两边长分别为4和6，即可确定x的取值范围； （2）在（1）所求的取值范围内，找到最大的整数即为所求，计算出周长即可． 【详解】（1）解：∵三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， ∴， 即. 故答案为：. （2）解：由（1）得 ∵x为整数且要求周长最大， ∴， 此时周长． 故答案为：当时，组成的三角形周长最大，最大值是19． 13．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，是直角，，垂足为D，点E在线段上，找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 【答案】是锐角三角形；，，，是直角三角形；是钝角三角形 【分析】本题考查了锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的定义； 根据是直角，，可得，，是锐角，是锐角，是钝角，然后进行分类即可． 【详解】解：∵是直角， ∴，，是锐角， ∵，点E在线段上， ∴是锐角，是钝角， ∴是锐角三角形；，，，是直角三角形；是钝角三角形． 14．（2025八年级上·内蒙古·专题练习）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边长是的等腰三角形吗？为什么？ 【答案】(1)，， (2)能构成有一边长为的等腰三角形，另两边长为， 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系，解一元一次方程等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）设底边长为，则腰长为，则，求解即可； （2）分已知当为底时，当为腰时，两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：设底边长为， 腰长是底边的2倍， 腰长为， ， 解得， ， 各边长为：，，． （2）解：①当为底时，腰长； ②当为腰时，底边， ， 不能构成三角形，故舍去； 能构成有一边长为的等腰三角形，另两边长为，． 15．（25-26八年级上·新疆和田·阶段练习）已知的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若，，且三角形的周长为偶数． ①求c的值；②判断的形状． 【答案】(1) (2)；等腰三角形 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用： （1）先根据三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再去绝对值符号，最后合并同类项化简； （2）①根据三角形三边关系确定c的取值范围，再结合周长为偶数求出c的值；②通过比较三边长度判断三角形形状． 【详解】（1）解：根据三角形的三边关系可知， 原式 ； （2）解：①∵，， ∴， 故， 又∵，且三角形的周长为偶数， ∴； ②∵， ∴为等腰三角形． 16．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）已知，，是的三边． (1)若，．求第三边的取值范围； (2)若，，第三边为奇数，判断的形状； (3)化简． 【答案】(1) (2)为等腰三角形 (3) 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，整式的加减，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． （）根据三角形的三边关系即可求解； （）根据三角形的三边关系得，然后求出，最后通过等腰三角形定义即可求解； （）根据三角形的三边关系得，，，然后化简即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：由（）得，， ∵第三边为奇数， ∴， ∴三边为，，， ∴为等腰三角形； （3）解：∵，，， ∴ ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $