第一节三角形的三边关系几何综合题2026-2027学年数学八年级上册湘教版

**基本信息** 聚焦三角形三边关系，通过基础应用、综合拓展、原理推导三级递进，融合代数方法与几何推理，提炼分类讨论、公式迁移等解题策略，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|题1-4,7|三边关系直接判断、等腰三角形分类讨论|从概念辨析到简单应用，建立“两边之和大于第三边”的直观认知| |综合拓展|题5-6,8-14|绝对值化简、完全平方公式求最值、代数几何综合|结合代数运算深化三边关系应用，形成“几何约束→代数表达→逻辑推理”的思维链| |原理推导|题15|结论推导思路构建|通过证明过程理解三边关系本质，发展数学思维的严谨性与创新意识|

初中数学八年级上册几何综合题 第1节 三角形的三边关系 （难度系数：✭✭） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．三条线段的长度分别为、、，其中，且这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． (1)、、只需要满足条件_________即可．（只填一个序号） ①；    ②；   ③． (2)若，，为整数，求构成的三角形的周长． 【答案】(1)② (2)构成三角形的周长为13或14 【详解】（1）解：∵， ∴①和③不管构不构成三角形一定成立， 只有满足②时，这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． （2）解：∵，，， ∴， 由（1）得，即，解得， ∴， ∵为整数， ∴或， 当时，三角形的周长为； 当时，三角形的周长为． 2．有四根细木棒，长度分别为，，，，哪三根木棒可以摆成一个三角形？有几种可能的情况？实际摆一摆，验证你的结论． 【答案】共有3种符合要求的情况，分别为：、、；、、；、、， 从四根细木棒中随机抽出三根木棒，有四种可能： 证明：①、、；∵，∴可以摆成一个三角形； ②、、，∵，∴不能摆成一个三角形； ③、、，∵，∴可以摆成一个三角形； ④、、，∵，∴可以摆成一个三角形； 【分析】根据三角形三边关系求解即可． 【详解】解：略 3．等腰三角形一边长，另一边长，它的第三边的长是多少？为什么？ 【答案】解：分两种情况讨论： 当腰长为时，三边长分别为 ， ，，第三边长为 因为，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去这种情况． 当腰长为时，三边长分别为 ，，，第三边长为 因为，，满足三角形三边关系，可以构成三角形． 因此，第三边的长为 【分析】题目未明确等腰三角形的腰长和底边长，需要分情况讨论，再结合三角形三边关系验证能否构成三角形，即可得到第三边的长度． 【详解】略 4．已知三边，是边上的中线． (1)求的取值范围； (2)若，求的长度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，即； （2）解：是边上的中线， ∴． 5．阅读理解并解答： 【方法呈现】 (1)我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：， ∵， ∴． 则这个代数式的最小值是_____，这时相应的的值是_______． 【尝试应用】 (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的的值， 【拓展提高】 (3)已知a，b，c是的三边长，满足，且c是中最长的边，求c的取值范围． 【答案】(1)2， (2)最大值为84， (3) 【分析】（1）根据实数的非负性，解答即可； （2）根据文中提供的解题方法解答即可； （3）根据，根据配方法，非负性，三角形三边关系，解答即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴． 且时即，取得最小值， 故这个代数式的最小值是2，这时相应的的值是． （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为84，且时取得最大值，此时； （3）解：， ， ， ， ， ， 解得， 由c是中最长的边， 故c的取值范围为即． 6．按要求完成下列各小题． (1)在中，，，的长为偶数，求的周长； (2)已知的三边长分别为3，7，m，化简． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的取值范围，结合为偶数确定的长度，再计算三角形周长； （2）先根据三角形三边关系得到的取值范围，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，化简整式得到结果． 【详解】（1）解：∵ ，，， ∴ ，即． 又∵为偶数， ∴． ∴的周长为． （2）解：∵的三边长分别为，，， ∴，即． ∴，，． ∴原式 ． 7．小亮想用长度均为奇数（单位：）的三根小棒摆成一个三角形，其中两根小棒的长度分别为9和3，第三根小棒的长度可以是多少厘米？ 【答案】 第三根小棒的长度可以是、或 【分析】先利用三角形三边关系求出第三根小棒的取值范围，再结合第三根长度为奇数的条件，筛选出符合要求的长度． 【详解】解：设第三根小棒的长度为， 根据三角形三边关系，得， 所以， 又因为为奇数， 所以可取、、， 答：第三根小棒的长度可以是、或． 8．已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数． (1)若，，且c是奇数，试判断的形状； (2)化简：． 【答案】(1)等腰三角形 (2) 【分析】(1) 根据三角形三边关系确定的取值范围为，结合为奇数得，从而，判定为等腰三角形． (2) 利用三角形两边之和大于第三边判定三个绝对值内的代数式均为负数，去绝对值后合并同类项化简得． 【详解】（1）解：∵a，b，c是的三边长 且，， ∴，即， ∵c是奇数， ∴， ∴ ∴是等腰三角形； （2）解：∵a，b，c是的三边长 ∴，，， ∴， ∴原式 ． 9．已知的三边长为，且都是整数． (1)化简：； (2)若．且为等腰的边长，求的周长． 【答案】(1) (2)17 【分析】（1）根据三角形的三边关系可得，进而化简绝对值即可求解； （2）根据完全平方公式以及非负数的性质求得的值，根据等腰三角形的三边关系求得的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵的三边长为，，， ∴， ∴ ； （2） 即， ∴， ∴， 解得：， 设第三条边长为c， ∴， 即， ∵为等腰的边长， ∴， ∴的周长为． 10．已知，，是的三边长． (1)若，试判断的形状． (2)化简：． 【答案】(1) 等边三角形 (2) 【分析】（1）根据非负数的性质，可得出，进而得出结论； （2）利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可． 【详解】（1）解：∵， ，且， ， 为等边三角形． （2）解：∵，，是的三边长， ∴，，， ∴：． 11．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为整数，求周长的最大值． (2)化简：． 【答案】(1)27 (2) 【分析】（1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而求得c的最大值，最后求周长即可； （2）先根据三角形的三边关系确定、、的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ，即， ∵c为整数， ∴当，周长的最大值为； （2）解：的三边长为a，b，c， ，，， ∴ ． 12．已知在中，，，求三角形周长的取值范围． 【答案】 【分析】设，，结合三角形的三边关系列出不等式，进而求出周长的取值范围即可解答． 【详解】解：， 设， ， 这个三角形的周长， 由三角形三边关系定理得到：， ， ， ， ， ． 13．已知的三边长分别是a，b，c． (1)若a、b、c满足．判断的形状； (2)若，且为等腰三角形．求的周长． 【答案】(1) 是等边三角形 (2) 的周长为或 【分析】（1）直接根据，得出，整理得，进行判断即可； （2）由题意可得或，再结合三角形的三边关系分类求解即可． 【详解】（1）解：是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵为等腰三角形，， ∴或， 当时，三角形的三边为3，3，5， 由，此时能构成三角形，此时的周长为； 当时，三角形的三边为5，5，3， 由，此时能构成三角形，此时的周长为； 综上，的周长为或． 14．【阅读材料】 我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们通常在保证原式值不变的情况下，通过添加或拆分一项的方法，使其成为完全平方式，然后进行因式分解． 例如：（此处可看作在原式上添加“”，也可看作将拆分为 “”）． 【解决问题】 (1)根据上述方法对多项式进行因式分解； (2)已知、为等腰三角形的边，且满足，求该等腰三角形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用配方法将原式凑成完全平方式，再用平方差公式分解因式； （2）先对等式配方，根据平方的非负性求出的值，再分情况结合三角形三边关系判断，计算出符合条件的周长． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵ ∴ ∴ ∵， ∴， 即 若等腰三角形腰长为，底边长为，三边长为 ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去 若等腰三角形腰长为，底边长为，三边长为 ∵，，满足三角形三边关系，可以构成三角形此时周长为 答：该等腰三角形的周长为． 15．在第一阶段质量监测的选择题中，我们发现在三边长分别为a，b，c（）的三角形中，有． (1)推导该结论的一种思路可以用如下的框图表示，请填写其中的空格． (2)推导该结论的其他思路还有： ①利用，，，再配方，…… ②利用，使用平方差公式，…… 上述思路都不完整，请写出一种完整的推导思路． 【答案】(1)①；②；③ (2)①∵是三角形三边长， ∴，． ∴， 配方，得， ∴， ∴， ∴． ②∵是三角形三边长， ∴， 即． ∵，且，， ∴． 由平方差公式，得， ∵， ∴， 即． 【分析】（1）针对框图推导：先利用完全平方公式分别展开、计算，再比较两个展开式的大小，结合正数开方后大小关系与平方后大小关系一致，得到​和的大小关系．再根据三角形三边关系，得到，通过不等式的传递性推导最终结论． （2）①以为基础，将写成、的形式，对配方，得到其与的大小关系，结合，通过比较平方的大小推导原式．②以为基础，对用完全平方公式展开，根据各部分的符号判断整体符号，再用平方差公式变形，可得变形后式子的符号，推导原式． 【详解】（1）解：∵​； ； ，且​、​都是正数，平方越大，原数越大， ∴． （2）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中数学八年级上册几何综合题 第1节 三角形的三边关系 （难度系数：✭✭） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．三条线段的长度分别为、、，其中，且这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． (1)、、只需要满足条件_________即可．（只填一个序号） ①；    ②；   ③． (2)若，，为整数，求构成的三角形的周长． 2．有四根细木棒，长度分别为，，，，哪三根木棒可以摆成一个三角形？有几种可能的情况？实际摆一摆，验证你的结论． 3．等腰三角形一边长，另一边长，它的第三边的长是多少？为什么？ 4．已知三边，是边上的中线． (1)求的取值范围； (2)若，求的长度． 5．阅读理解并解答： 【方法呈现】 (1)我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：， ∵， ∴． 则这个代数式的最小值是_____，这时相应的的值是_______． 【尝试应用】 (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的的值， 【拓展提高】 (3)已知a，b，c是的三边长，满足，且c是中最长的边，求c的取值范围． 6．按要求完成下列各小题． (1)在中，，，的长为偶数，求的周长； (2)已知的三边长分别为3，7，m，化简． 7．小亮想用长度均为奇数（单位：）的三根小棒摆成一个三角形，其中两根小棒的长度分别为9和3，第三根小棒的长度可以是多少厘米？ 8．已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数． (1)若，，且c是奇数，试判断的形状； (2)化简：． 9．已知的三边长为，且都是整数． (1)化简：； (2)若．且为等腰的边长，求的周长． 10．已知，，是的三边长． (1)若，试判断的形状． (2)化简：． 11．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为整数，求周长的最大值． (2)化简：． 12．已知在中，，，求三角形周长的取值范围． 13．已知的三边长分别是a，b，c． (1)若a、b、c满足．判断的形状； (2)若，且为等腰三角形．求的周长． 14．【阅读材料】 我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们通常在保证原式值不变的情况下，通过添加或拆分一项的方法，使其成为完全平方式，然后进行因式分解． 例如：（此处可看作在原式上添加“”，也可看作将拆分为 “”）． 【解决问题】 (1)根据上述方法对多项式进行因式分解； (2)已知、为等腰三角形的边，且满足，求该等腰三角形的周长． 15．在第一阶段质量监测的选择题中，我们发现在三边长分别为a，b，c（）的三角形中，有． (1)推导该结论的一种思路可以用如下的框图表示，请填写其中的空格． (2)推导该结论的其他思路还有： ①利用，，，再配方，…… ②利用，使用平方差公式，…… 上述思路都不完整，请写出一种完整的推导思路． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $