3.3 第2课时 二次根式的混合运算（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年八年级数学上册同步备课（湘教版·新教材）

该初中数学课件聚焦二次根式的混合运算，通过复习整式运算的乘法、除法法则，引导学生将字母替换为二次根式对比归纳，建立新旧知识联系，为混合运算学习搭建支架。 其亮点在于结合实际问题（如路基土石方计算）培养数学眼光，通过乘法公式（平方差、完全平方）应用和整体代入法提升运算能力与推理意识，总结先化简再运算的方法。学生能深化理解，教师可高效教学。

3.3 二次根式的加法和减法 第2课时 二次根式的混合运算 第3章 二次根式 ÷ 八年级上册数学（湘教版） 学习目标 1. 掌握二次根式的混合运算及其应用； （重点、难点） 2. 掌握乘法公式在二次根式混合运算中的作用． 问题1 单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则分别是什么? 问题2 多项式与单项式的除法法则是什么? m(a + b + c) = ma + mb + mc； (m + n)(a + b) = ma + mb + na + nb (ma + mb + mc)÷m = a + b + c (m≠0) 复习导入 分配律 单（多）×多 转化 前面两个问题的思路是： 思考 若把字母 a，b，c，m 都用二次根式代替(每个同学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？ 单×单 二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用. 引例：甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路， 其中有一段路基的横断面设计为上底宽 ，下底宽 ，高 的梯形，这段路基长 500 m，那么这段路基的土石方 (路基的土石方即路基的体积)为多少立方米呢？ 二次根式的混合运算 1 探究新知 解：路基的土石方等于路基横断面面积乘以路基的长度，所以这段路基的土石方为： 答：这段路基的土石方为 从上面的解答过程可以看到，二次根式的混合运算是根据实数的运算律进行的. 例1 计算： 典例精析 例2 计算： (1) (2) 解：(1) 由平方差公式得 ＝9×2－5＝13. (2) 由完全平方公式得 = = =. 可以利用乘法公式，对某些二次根式的乘法进行简便运算. 1. 已知 试求 x2 + 2xy + y2 的值. 解：x2 + 2xy + y2 = (x + y)2. 把 代入上式得 原式= 练一练 用整体代入法求代数式值的方法：求关于x，y的对称式(即交换任意两个字母的位置后，代数式不变)的值，一般先求x+y,xy,x－y, 等的值，然后将所求代数式适当变形成只含x+y,xy,x－y, 等式子，再代入求值. 归纳 解：因为 ， 所以 所以 x3y + xy3 = xy(x2 + y2) = xy[(x + y)2 - 2xy] 【变式题】 已知 ，求 x3y + xy3. 2.已知 的整数部分是 a，小数部分是 b，求 a2 - b2 的值. 解： 二次根式的混合运算，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再灵活运用乘法公式等知识来简化计算. 总结归纳 例3 计算： . 解： ＝ ＝ ＝ 例4 计算： (1) ； ＝ ＝ ＝ ＝ 解：(1) 原式 分子与分母同乘 ，然后利用平方差公式把分母中的根号去掉. (2) = = (2) 原式 = = . 解法一： 你还有其他解法吗？ 2.计算： 练一练 解法二： 原式 = 3. 计算: 解: 分母形如 的式子，将分子、分母同乘 ，构造平方差公式，可使分母不含根号. 归纳 1.下列计算中正确的是（ ） B 2. 计算： 5 课堂练习 3. 计算. 解：(1) 原式 = (2) 原式 = 解：(3) ＝10 . ＝12 - 2 4.在一个边长为 cm 的正方形内部，挖去一个边长为 cm 的正方形，求剩余部分的面积. 解：由题意得剩余部分面积为 即剩余部分的面积是 5. 阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式 的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简： 方法一： 方法二： 能力提升： ② (1)请用两种不同的方法化简： (2)化简： 解：(1)① 二次根式的混合运算 乘除法则 加减法则 乘除公式 课堂小结 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $