专题06 二次根式的运算（专项训练）数学新教材湘教版八年级上册

专题06 二次根式的运算 常考题型·精准突破 题型1 二次根式的乘法（重） 题型2 二次根式的除法（重） 题型3 二次根式的乘除混合运算（高频） 题型4 能合并的二次根式 题型5 二次根式的加减运算（重） 题型6 二次根式的混合运算（高频） 题型7 分母有理化（难） 题型8 化简求值（难） 题型9 二次根式的整数部分、小数部分（高频） 题型10 已知条件式化简求值 题型11 二次根式的应用（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 二次根式的乘法 1．计算：______． 【答案】 【分析】利用二次根式乘法法则计算，即可得出答案． 【详解】解：． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用二次根式的乘法法则计算，再将结果化简为最简二次根式． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． ◆题型2 二次根式的除法 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用二次根式的除法法则，逐步计算得各小题结果，且结果要化为最简二次根式． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据二次根式除法运算及逐题计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． ◆题型3 二次根式的乘除混合运算 8．计算． 【答案】 【分析】直接利用二次根式的乘除法运算法则计算即可得出答案． 【详解】解： ． 9．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 10．计算：． 【答案】当 时，原式；当 时，原式． 【分析】利用二次根式的乘除法则以及二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解：原式 当 时，原式；当 时，原式． 11．计算： 【答案】 【分析】先得出，，再计算二次根式的乘除法即可． 【详解】解：由二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得：，， 则原式 ． 12．计算： 【答案】 【分析】先化简二次根式，再计算二次根式的乘法，然后计算二次根式的除法即可． 【详解】解：原式 ． 13．计算：． 【答案】 【详解】解：． 14．计算：． 【答案】 【分析】利用二次根式乘除运算法则，分别计算系数部分和被开方数部分，再化简即可得到结果． 【详解】解： ． ◆题型4 能合并的二次根式 15．下列二次根式中，不能与合并的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据二次根式的性质进行化简，再根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A．，能与合并，不符合题意； B．，不能与合并，符合题意； C．，能与合并，不符合题意； D．，能与合并，不符合题意． 16．与最简二次根式是同类二次根式，则（     ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先化简为最简二次根式，再结合同类二次根式的定义求的值． 【详解】解：， ∵是最简二次根式，且与是同类二次根式， ∴． 17．若能与最简二次根式合并，则的值为________． 【答案】5 【分析】先化简，根据同类二次根式可以合并的性质，得到最简二次根式的被开方数与化简后的被开方数相等，列方程求解即可． 【详解】解：∵，能与最简二次根式合并， ∴与是同类二次根式，被开方数相等， ∴， ． 18．若最简二次根式与是同类二次根式，则_________． 【答案】 【分析】已知两个最简二次根式是同类二次根式，根据同类二次根式定义可得被开方数相等，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：． ◆题型5 二次根式的加减运算 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 20．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据二次根式的加减法则：先将每一个根式化成最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式，即可得出答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 21．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 22．计算： 【答案】 【分析】化简二次根式，然后合并即可． 【详解】解： ． ◆题型6 二次根式的混合运算 23．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法则计算即可得出结果； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先化简各二次根式，再算除法． （2）化简后去括号、合并同类二次根式． （3）用平方差公式与完全平方公式展开． （4）化简各二次根式，除法转化为乘法后合并． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 25．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： . 26．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)3 (4)3 【分析】（1）先利用算术平方根化简，然后再合并同类二次根式即可； （2）先利用二次根式的性质化简，再利用二次根式的混合运算法则求解即可； （3）直接运用二次根式的混合运算法则求解即可； （4）先利用二次根式的性质化简，再利用二次根式的混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 27．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． ◆题型7 分母有理化 28．我们知道，；如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式．如与互为有理化因式，与互为有理化因式．利用这种方法，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化．例如： ，． (1)按上面的方法将分母有理化． (2)按上面的方法将分母有理化． (3)利用以上知识计算： ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分子分母同乘以即可求解； （2）分子分母同乘以即可求解； （3）先将原式分母有理化得到，再进行加减即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ． 29．材料一：由可以看出，如果两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，那么我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： 。 材料二：根式化简，例如： ； ； 材料三： 根据以上材料，请完成下列问题： (1)_______________（直接写结果）； (2)计算：； (3)计算： (4)计算： （直接写结果）． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）用有理化因式直接写结果． （2）裂项相消求和． （3）仿照材料二裂项相消． （4）分母因式分解后裂项相消． 【详解】（1）解：， ∴． （2）解：， ∴原式 ． （3）解：， ∴． ∴原式 ． （4）解：， ∴． 同理，其余各项裂项后中间全部相消， ∴原式． 【点睛】本题考查二次根式的运算与裂项相消：利用平方差构造有理化因式（材料一），分母因式分解后裂项（材料二、三）；裂项时每项拆成两项的差，首尾保留、中间相消，从而求出结论． ◆题型8 化简求值 30．若，，求下列式子的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】先求出与的值，再对所求代数式变形，整体代入求值． 【详解】（1）解： ∵，， ∴ ． （2）解： ∵，， ∴ ． 【点睛】本题考查二次根式化简求值，运用整体思想，先求、，再将所求式子配方变形代入，简化计算，避免直接代入复杂根式运算． 31．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：， ， 原式 ． 32．化简求值：已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先将的值进行分母有理化，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 33．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】根据分式的混合运算先进行化简，然后再根据二次根式的运算进行求值即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴原式． 34．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】先通分化简括号内的分式，再将除法转化为乘法，分解因式后约分得到最简结果，最后代入，计算求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 35．先化简，再求值：．其中． 【答案】，8 【分析】先根据乘法公式和二次根式的乘法法则计算，再计算加减法，然后把已知字母的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ． 将代入得：原式． ◆题型9 二次根式的整数部分、小数部分 36．已知实数，则的整数部分为________． 【答案】 【分析】先根据二次根式的乘法进行计算得出，再估算的大小，即可求解． 【详解】解：， ∵ ∴， ∴， ∴的整数部分为． 37．若的整数部分是，小数部分是，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算、二次根式运算的应用，熟练掌握以上知识点求出、的值是解题的关键．根据，求出、的值，代入即可求解． 【详解】， ， ， ， 的整数部分，小数部分， ； 故答案为4． 38．若的小数部分是，的小数部分是，求的值． 【答案】 【分析】先估算的取值范围，再分别确定和的小数部分、，最后代入代数式计算求值． 【详解】解： ∵， ∴， ∴的整数部分为， ∴ ∵， ∴， ∴的整数部分为， ∴ 将，代入， 得 ． ◆题型10已知条件式化简求值 39．已知，，求的值． 【答案】 【分析】先根据，判断的取值范围，再化简，最后代入、的值即可． 【详解】解：∵， ∴，或，， ∵， ∴，， ∵ ， 将，代入， 原式． 40．给条件求值： (1)若，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式变形成，根据二次根式的乘法，减法法则计算 和，代入即可得出答案； （2）原式变形成，再代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ， 原式； （2）解： ， 当，即时， 原式 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式的变形，熟练掌握二次根式的运算顺序和运算法则是解题关键． 41．阅读材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 又， ． 这种方法称为“构造对偶式”． 已知，解答问题： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方差公式，结合已知条件即可求出； （2）对和进行求和，通过化简平方即可求出． 【详解】（1）解：已知， ， ． （2）解：据（1）可知，， 则， 可得，即， 解得． ◆题型11二次根式的应用 42．广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广，已知广播电视塔的高（单位：）与电视节目信号的传播半径（单位：）之间存在近似关系，其中是地球半径，．已知某地广播电视塔的高约为，求该广播电视塔发射电视节目信号的传播半径． 【答案】该广播电视塔发射电视节目信号的传播半径为． 【分析】直接把已知地球半径、塔高代入关系式，先计算根号内的算式，再求算术平方根，得到传播半径． 【详解】解：当，时， ， 故该广播电视塔发射电视节目信号的传播半径为． 43．某文化公园内有一块矩形艺术作品展示墙，如图，矩形艺术作品展示墙的长，宽，现要在艺术作品展示墙中绘出一幅矩形的“丝绸之路”图画（即图中阴影部分），矩形图画的长为，宽为，除去图画部分，其余部分都要涂上彩色的油漆． (1)求矩形艺术作品展示墙的周长（结果化为最简二次根式）； (2)若一桶彩色油漆可以涂的展示墙，那么除去图画部分，涂满其余部分需要多少桶彩色油漆？ 【答案】(1) (2)涂满其余部分需要3桶彩色油漆． 【分析】（1）根据矩形周长公式列式计算即可； （2）用需要涂色的面积除以即可得到答案． 【详解】（1）解：矩形的周长为 ． 即矩形艺术作品展示墙的周长为； （2）解：涂满其余部分需要彩色油漆的桶数为 （桶）． 答：涂满其余部分需要3桶彩色油漆． 44．如图①，小明在做浮力实验时，用一根细线将一个底面为正方形的长方体铁块完全浸入到原本盛满水的圆柱体烧杯中（烧杯中有水溢出）．如图②，在拿出铁块后，烧杯中水面下降了．（取3） (1)设溢出的水的体积为，求烧杯的底面半径r的长（用含V的代数式表示）； (2)已知铁块底面的边长为，高为，求烧杯的底面半径r的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）溢出的水的体积等于烧杯中水面下降部分的水的体积，结合圆柱体积公式代入数值推导即可． （2）因为铁块完全浸入水中，所以溢出的水的体积等于铁块的体积，结合长方体体积公式（体积＝底面积×高）计算出铁块的体积，代入到（1）得到的公式中求解． 【详解】（1）解：，即， ． （2）长方体的底面边长为，高为， ∴溢出的水的体积为， 烧杯的底面半径． 45．根据以下材料，探索完成任务： 材料1 妈妈的生日快到了，小颖自制了一块圆柱形蛋糕准备送给妈妈来表达自己的爱意．已知这块蛋糕的底面积为，高为． 材料2 为了美观又增加仪式感，小颖想要用礼品盒来装这块蛋糕，现有两个礼品盒：一个是体积为的正方体礼品盒，另一个是长为，宽为，高为的长方体礼品盒．（礼品盒的厚度忽略不计） (1)任务1：根据材料1可知，这块圆柱形蛋糕的底面半径为 ； (2)任务2：哪个礼品盒能装下这块蛋糕？请说明理由． 【答案】(1) (2)解：长方体礼品盒能装下这块蛋糕．理由如下： ∵体积为的正方体礼品盒， ∴正方体礼品盒的棱长为， ∵这块圆柱形蛋糕的底面半径为，直径为，高为， 而， ∴正方体礼品盒放不下圆柱形蛋糕， ∵长方体礼品盒的长为，宽为，高为， 而，，， ∴长方体礼品盒可以放下圆柱形蛋糕． 【分析】（1）利用等面积公式建立方程求解即可． （2）求解正方体礼品盒的棱长为，结合已知的长方体的长、宽、高，再进一步进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，， 解得：， ∴这块圆柱形蛋糕的底面半径为． （2）略 46．某班将在学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了图①样式的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积是2，每个B类正方形的面积是4． (1)A类正方形的边长是_________； (2)求图①长方形邀请函的周长； (3)小李建议将图①正中间的正方形去掉，以中间的“工”形代表“工作之星”的含义，如图②所示，求修改后的阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由A类正方形的面积为2，可知A类正方形的边长是； （2）由B类正方形的面积是4，可知B类正方形的边长是，则长方形的长为，宽为，根据周长公式计算求解即可； （3）利用大长方形面积减去A和B的面积即可求解． 【详解】（1）解：∵A类正方形的面积为2， ∴A类正方形的边长是； （2）解：∵B类正方形的面积是4， ∴B类正方形的边长是， ∴长方形的长为，宽为， ∵， ∴长方形邀请函的周长为； （3）解： ． 综合攻坚·知能拔高 1．下列是同类二次根式的一组是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项的二次根式化为最简二次根式，再比较化简后的被开方数是否相同，即可求解． 【详解】解：A、，，和不是同类二次根式，故选项A不符合题意； B、，，和是同类二次根式，故选项B符合题意； C、的被开方数为，的被开方数为，不相同，和不是同类二次根式，故选项C不符合题意； D、的被开方数为，，被开方数为，和不是同类二次根式，故选项D不符合题意． 2．若，，则下列表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次根式的乘法法则即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴． 3．对于任意的正数、定义运算：计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将变形为，结合的值利用平方差公式简化计算． 【详解】解：， ， ， 原式 5．已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，结合已知条件即可求解． 【详解】解：设 ∵， ， ∴， 解得：， 即． 6．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式．称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．在中，，，所对的边分别记为a，b，c，若，，，则的面积为（     ） A． B．6 C．18 D． 【答案】A 【分析】首先根据题目给出的三边长，，，利用公式计算半周长的值，再将计算得到的以及三边长代入海伦—秦九韶公式，计算三角形的面积． 【详解】解：∵，，， ∴， 把、、、代入面积公式得： 因此△ABC的面积为． 7．计算____________． 【答案】 【分析】先根据积的乘方得到，然后利用平方差公式计算． 【详解】解： ． 8．比较大小：________． 【答案】 【分析】两个式子均为正数，直接作差不易比较，采用倒数比较法，正数的倒数越大，原数越小． 【详解】解：∵，， ∴分别对两个数求倒数并分母有理化，得，， ∵， ∴，即， ∵两个正数比较，倒数越大，原数越小， ∴． 9．已知，， ___________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 10．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简与求值，估算无理数的大小，利用算术平方根的意义求得值是解题的关键． 利用算术平方根的意义求得值，再利用二次根式的性质解答即可． 【详解】解：∵， ， ， ∴的整数部分为 1 ，小数部分为．即， 则． 故答案为：． 11．已知、为实数，且，求的值． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，可得，，再化简，代入计算即可． 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得：且， 解得且， 所以， 将代入，得：． 当，时， 原式 ． 12．计算： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： . （2）解： . （3）解： . （4）解： . 13．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法则以及二次根式的性质计算即可得出结果； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2)4 (3) (4)1 (5)1 (6) 【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，然后再计算即可； （2）先利用零次幂、算术平方根、立方根化简，然后再计算即可； （3）先利用二次根式的性质、平方差公式化简，然后合并同类二次根式即可； （4）直接利用二次根式的混合运算法则求解即可； （5）先利用二次根式的性质化简，再利用二次根式混合运算法则求解即可； （6）先利用二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． （6）解： ． 15．先化简，再求值：，其中． 【答案】，原式 【分析】根据分式四则混合运算的顺序先算括号内的减法，再算括号外的除法依次对原分式进行化简，再代入的值计算求值即可． 【详解】解：， ， ， ， 当时，原式． 16．已知，， (1)直接写答案：________；________；________． (2)根据以上的计算结果，利用整体代入的数学方法，计算下列式子的值：. 【答案】(1)；2；2 (2) 【分析】（1）根据二次根式的加减法计算和的值，利用平方差公式计算的值； （2）先因式分解得出，然后再利用整体代入法计算． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解： 把，，代入得， 原式= = 17．阅读材料，解答下列问题：在对部分二次根式进行分母有理化时，我们将“”和“”称为一对“对偶式”，如，像这样构造“对偶式”可以将根号去掉，从而进行根式的化简． (1)的“对偶式”为__________； (2)化简：； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据“对偶式”的定义，两个含二次根式的式子相乘后不含根号，因为的对偶式为，所以直接对应构造即可． （2）因为分母是，属于带根号的差的形式，所以可以给分子分母同乘它的对偶式，利用平方差公式去掉分母的根号，完成分母有理化． （3）设所求式子为，已知式子为，因为两个式子相乘可以用平方差公式消去根号，得到只含常数的结果，且已知的值，所以通过计算的结果即可求出的值． 【详解】（1）解：根据材料定义：与互为对偶式，只需改变原式中间的符号， 因此的对偶式为． （2）解：利用对偶式分母有理化化简： ． （3）解：设， ， 根据平方差公式计算：， 因此． 18．高空抛物现象被称为悬在城市上空的痛，是我们必须杜绝的行为．据研究，物体从高度为（单位：）的高空抛出，其下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）． (1)物体从高空抛出到落地所需时间是多少？ (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量（）高度（），一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 【答案】(1)． (2)能量为；启示：高空抛物危害极大，需坚决杜绝． 【分析】（1）将代入公式计算落地时间． （2）先由下落时间求出下落高度，再代入能量公式计算能量，结合杀伤人体所需能量得出结论． 【详解】（1）解：由题意得， 将代入，得 ． 答：物体从高空抛出到落地所需时间为． （2）解：下落时间，且， ， 解得． 将物体质量，高度代入能量公式，得 ， 高空抛物具有很大危险性，必须杜绝． 答：这串钥匙下落过程中所带能量为，启示为高空抛物危害大，需坚决杜绝． 19．阅读下面计算过程： ； ； ． 试求： (1)的值为 ． (2)比较大小： ． (3)求的值． (4)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)44 (4) 【分析】（1）原式根据阅读材料中的方法变形即可得到结果； （2）利用分子有理化，再比较即可得到结果； （3）原式各项变形后，抵消合并即可得到结果； （4）先化简a，然后代入所求式子计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：原式 ； （4）解：∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06二次根式的运算 内容概览 目常考题型精准突破 题型1二次根式的乘法（重） 题型2二次根式的除法（重） 题型3二次根式的乘除混合运算（高频） 题型4能合并的二次根式 题型5二次根式的加减运算（重） 题型6二次根式的混合运算（高频） 题型7分母有理化（难） 题型8化筒求值（难） 题型9二次根式的整数部分、小数部分（高频） 题型10已知条件式化简求值 题型11二次根式的应用（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1二次根式的乘法 1. 【答案】3 2.【答案】(1)V42 (2)4 【详解】 (1)解：√7×V6=7x6=42: (2)解： 5-2=i6-4. 3. 【答案】(1)18√2 (2)-3v10 (3)30√30 1/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4)3N2 【分析】利用二次根式的乘法法则计算，再将结果化简为最简二次根式 【详解】(1)解：原式=V24×27=√648=V324×2=18√2 (2)解：原式=-√6x15=-V90=-9x10=-30 (3)解：原式=V18×20×75=√27000=√900×30=30√30， 3 (4)解：原式=√42×号=18=32 7 ◆题型2二次根式的除法 4. 【答案】(1)V3 号 4)-√D 【详解】(1)解： 应25-5： 2 2 33xV6_36_V6 (2)解：66x√662 2 V2V2x10255 (3)解： 3√403×2106W10×√106030 (4)解： -45呼3-g-5.5 35y 35y vy vyvy y 5.【答案】(1)3 (2)2V3 )25 (4)2ld 【分析】利用三次根式的除法法则%a20,力>0，逐步计算得各小题结果，且结果要化为最简 次根式 2/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：V18÷2=18÷2-√9=3： (2)解： 匝2-2-25： 4v15 3 (3)解： V20 4 b bb b20a2 (4)解：5V20aV520a=5xb =v4a=2d. 3 6. 【答案】( 2)V3 吗 号 【详解】(1)解：V18÷√⑧ 8 =V8 =4 2 √15 (2)解： 得 =3: T.2 (3)解： 25 12 =25 得 5 2 3/30 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 V4x2y (4)解： 9xy 4x2y 4x 9 2 3 7.【答案】(1)3 (2)2 (3)1 (4)5a 【分析】根据二次根式除法运算及V云=a逐题计算即可. 【详解】(1)解：V54÷V6=N54÷6-9=3: 2,12.1 (2)解： V9V18V518V5x18=4=2: 2√6V24 (3)解：√24√24 1 (4)解：Vab2÷ 1 ab÷1」 25a Vab'x25a =125a"b2 =5ab. ◆题型3二次根式的乘除混合运算 8. 【答案15 【分析】直接利用二次根式的乘除法运算法则计算即可得出答案. 【详解】解：2v20×V5÷45 =2x2N5x25x, 1 4 4v5 1 =5× 45 4 4/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9. 【答案】2 【详解】解：原式=2× xx2÷5 43 2 2 √12÷2 2 6 2 10. 【省160味原式一，气60M,赋= b 【分析】利用二次根式的乘除法则以及二次根式的性质，进行化简即可， b a 【详解】解：原式=a×b 一X ÷Wab =√a÷√ab ab -层 ab 当6<0时原式= 6:当6>0时，原式= Jab b 11.【答案】3y 【分析】先得出x>0,y>0,再计算二次根式的乘除法即可. 【详解】解：由二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得：x>0,y>0, y 3x2 x 则原式=2x2y12y 3x12y2 =4x V9 =3川 =3y 5/30 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12. 【答案】4 【分析】先化简二次根式，再计算二次根式的乘法，然后计算二次根式的除法即可. 【详解】解：原式=3x32×5÷2V6 6 -36÷26 2 3 *2 31 -22 3 = 4 3v2 13.【答案】- 2 【详解】解：22×2=xv2x32= 2 2v8- x32=-3V2 2 2 14. 【答案】2V6 【分析】利用二次根式乘除运算法则，分别计算系数部分和被开方数部分，再化简即可得到结果. 【详解】解： 23×22÷8E 5 5V8 3 3×12÷ 8 1 8 =2×V36×3 1 ×V96 2 1 =×4V6 2 =2√6 ◆题型4能合并的二次根式 15.【答案】B 6130 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.【答案】B 17.【答案】5 18.【答案】5 ◆题型5二次根式的加减运算 19.【答案】(1) 4v5-5√2 (2) 3v5 (3) 152 2 (4) 76 6 【详解】(1)解：3V5-V2+5-4V2 =(3√5+V5)+(-V2-4V2) =4V5-5√2 (2)解：2√75-327+V12 =2×5V5-3x3V5+2V5 =10V5-9W5+25 =3V3. (3)解：V72+18-32 2 =6N2+3V2-3V2 9V2-32 -152 2· 7/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =2xV -3xy6 2W6 -26_36+26 32 -4v6-9V6+126 6 _76 6 20. 【答案】(1)v5 (2)8Va (3)14W3 【分析】根据二次根式的加减法则：先将每一个根式化成最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式， 即可得出答案。 【详解】(1)解：V80-V45 =V16x5-9x5 =45-3V5 =5. (2)解：v9a+√25a =9xva+/25x/a =3Va+5/a =8Va. (3)解： +348 22-63 =2x2V3-6x5 +3×4V3 =45-2W3+125 =143 21. 【答案】7V2+25 【详解】解：V8+V48-(2-√5⑩) =2W2+43-(25-52) =2V2+4W5-2√5+52 8/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =72+25 172,23 22.【答案】 4 3 【分析】化简二次根式，然后合并即可. 【详解】解： 175,25 43 ◆题型6二次根式的混合运算 23. 【答案】()4 (2)7 【分析】(1)根据二次根式的乘除运算法则计算即可得出结果： (2)根据二次根式的混合运算法则计算即可得出结果。 【样】4第，3926 -x2i8x36 1 =-×3 4 3 4 (2)解：(（12+6)V12-V6)+(V48-27)÷v3 =12-6+(43-33)÷3 =6+5÷√3 =6+1 =7 24.【答案】(1)-2 9130 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2v6-3v2 4 (3)25-12 (4)2V2+1 【分析】(1)先化简各二次根式，再算除法. (2)化简后去括号、合并同类二次根式。 (3)用平方差公式与完全平方公式展开 (4)化简各二次根式，除法转化为乘法后合并， 【详解】(1)解：原式 =(22-42)÷V2 =-2W2÷V2 =-2 a照式6-6 =26-55-6 2 4 v6、3V2 4 3)解：原式-(2-(32-[（5-25+1 =12-18-(6-25) =2W5-12. (4)解：原式=V8-V2+35-22 √2 w将 =2W2+1. 25. 【答案】(1)2W3+2√2 (2)2√2+1 【详解】(1)解：V2+V32-2√2 10/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =2V3+4V2-2W2 =23+2W2: ②解厚而+52 2 =2x-i05+5-a =3√2-V2+3-2 =2N2+1. 26. 【答案】(1)3V5-3 (2)5V3-2 (3)3 (4)3 【分析】(1)先利用算术平方根化简，然后再合并同类二次根式即可： (2)先利用二次根式的性质化简，再利用二次根式的混合运算法则求解即可： (3)直接运用二次根式的混合运算法则求解即可； (4)先利用二次根式的性质化简，再利用二次根式的混合运算法则求解即可. 【详解】(1)解：原式=V3-3+2V3 =35-3」 2解：原武=45+5-8 =5W3-4 =5V3-2 (3)解：原式=3-2+√4 =3-2+2 =3 (4)解：原式=(V8-o)÷2+5 =9-5+√5 =3-V5+5 =3 11/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 27. 【答案】(V5+2 (2)2V2 3)V105-6 (4)1 (5)22 (6)-8+4V5 7 【详解】④)解：27-亚+ =33-25+2 3+ 3: (2)解：18-√6÷V5 =32-V2 =22: (3)解：历× 万48+12 3 7 =V75× 45+25 3 =V105-6v3 =√105-6： (4)解：27-2xV6 3 32 √3 323 =3-2 =l; (5)解： 12/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 62-2 ×22 112×22 2 =22: (6)解：(2+5)2-5)-(5-2月 =4-5-(3-45+4) =4-5-3+4V3-4 =-8+43. ◆题型7分母有理化 28. 【12 2)7-6 (3)V2027-1 【分析】(1)分子分母同乘以V5即可求解： (2)分子分母同乘以V7-V6即可求解： (3)先将原式分母有理化得到V2-1+5-√2+√4-V5+…+V2027-√2026，再进行加减即可求解 44v545 【详解】(1)解：55x55 万-6 2解：万+67+6N-67-6, 11 1 (3)解：1+2+2+5+5+4+.+2026+V2027 =√2-1+√5-V2+4-V5+..+√2027-√2026 =√2027-1. 29.【答案】(1)v6-V5: (2)9: a5 13/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4)233-24 46 【分析】(1)用有理化因式直接写结果. (2)裂项相消求和， (3)仿照材料二裂项相消。 (4)分母因式分解后裂项相消， 【详解】(1)解：(6+5)6-V5)=6-5=1, 6+56-v5 (2)解：n+1+ ==/n+1-/n 原式=(2-1+3-2)+(N4-5)+…+(100-v9） =V100-1 =9 (3)解：'aN历+ba=vab(Va+vb) s品eda 照心店店方 ) 》 (4)解：1+3+5+3×5=1+5)1+5). 5-5 5-5 11 1+3+5+3x5+V51+V51+51+V5. 同理，其余各项裂项后中间全部相消， 1-3-11_235-24 ÷原式1+51+V202524646 14130 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【点睛】本题考查二次根式的运算与裂项相消：利用平方差构造有理化因式（材料一），分母因式分解后 裂项（材料二、三）；裂项时每项拆成两项的差，首尾保留、中间相消，从而求出结论 ◆题型8化简求值 30.【答案】(114 (214 【分析】先求出a+b与ab的值，再对所求代数式变形，整体代入求值. 【详解】(1)解： :a+b=(2+5)+2-V3)=4,ab=(2+52-3)=4-3=1, a b b2+a2 ab (a+b)2-2ab ab =42-2x1 1 =16-2 =14. (2)解： a+b=(2+5)+(2-3)=4,b=(2+5)(2-5=4-3=1, ..a'b+ab =ab(a2+b2） =ab(a+b)'-2ab =1×(4-2×1) =1×(16-2) =14 【点睛】本题考查二次根式化简求值，运用整体思想，先求a+b、ab,再将所求式子配方变形代入，简 化计算，避免直接代入复杂根式运算。 31.【答案】√5(a+b),2 15/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 √7+V5 +56=55 【详解1解：a=7-万7-37+万4 4 a+6=7+5,5-万5 4 4 原式 a2+2ab,b2a+b (a+b.y5b-5(a+b) 3x3 2 3 45 32. 【答案】 3 【分析】先将a的值进行分母有理化，再代入计算即可. 1 2+√3 【详解】解：：a= =2+V3 2-5(2+5)2-3 a2-4a+5_(a-2}2+1 V(a-2)2 a-2 (2+5-2+1 2+5-2 3+1 4 4v3 3 332 33.【答案】 a-2’2 【分析】根据分式的混合运算先进行化简，然后再根据二次根式的运算进行求值即可. 【详解】解：原式=3a-6(a-2 aa 16/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3(a-2）a a (a-22 3 a-29 ,a=V2+2, 3 3v2 “原式2+2-2 2. 34.【答案】V2 【分析】先通分化简括号内的分式，再将除法转化为乘法，分解因式后约分得到最简结果，最后代入 x=√2，计算求值即可. x2-2x 【详解】解： x+2x2-4 X+2 - x2-4 x+2 x+2× x2-2X 2 (x+2)(x-2) x+2 x(x-2) 2 =2时， 当 原式 22=22-252 x22×22 35. 【答案】2b,8 【分析】先根据乘法公式和二次根式的乘法法则计算，再计算加减法，然后把已知字母的值代入计算即可， 【详解】解：原式=a+2Wab+b-(a-b)-2√ab =a+2/ab+b-a+b-2/ab =2b 将b=4代入得：原式=2b=2×4=8. ◆题型9二次根式的整数部分、小数部分 36. 【答案】5 37.【答案】4 38.【答案】13V17-49 17/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】先估算V17的取值范围，再分别确定5+V17和5-√17的小数部分a、b,最后代入代数式计算求 值 【详解】解：，4<V17<5, .9<5+17<10, :.5+V17的整数部分为9， ∴.a=5+V17-9=17-4 .4<17<5, .0<5-17<1, :.5-7的整数部分为0， .b=5-V17-0=5-17 将a=V17-4,b=5-V17代入2ab+5b 得2ab+5b=2×(W17-4)×(5-V17)+5×(5-√17) =2×(5V17-17-20+4V17)+25-5V17 =2×(9W17-37)+25-5√7 =18V17-74+25-5V17 =13V17-49 ◆题型10已知条件式化筒求值 39. 【答案】22 a 【分析】先根据a+h-42:b=4判断a、6的取值范围，再化简V号+后，最后代入a+6b的值 即可 【详解】解：，ab=4>0, ∴.a>0,b>0或a<0,b<0, a+b=-4v2<0, .a<0,b<0, a b “+a 18/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =-小 =_(a+b)Vab ab 将a+b=-4V2,ab=4代入， 原式=-4v2×V4 4 25 40. 【容案】2对 2)2 【分析】(1)原式变形成(a-b)'+b,根据二次根式的乘法，减法法则计算a-b和ab,代入即可得出 答案： （2)原式变形酸x-2少-只。再代入计单即可得出答案 【详解】(1)解：a2-ab+b2 =a2-2ab+b2+ab =(a-b)+ab, 分9}5 （9分- 原武(5-2分 2解-2x-号 19/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 e-树3 -e-+4到召2 x-2或 当x+V10=2,即x=2-10时， 原式0-0-2-号 2 1 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式的变形，熟练掌握二次根式的运算顺序和运算法则 是解题关键 41.【答案】(1)3 (2)x=2 【分析】(1)利用平方差公式，结合已知条件即可求出V6-x+V3-x: (2)对V6-x+3-x和V6-x-V3-x进行求和，通过化简平方即可求出x. 【详解】(1)解：已知V6-x-V3-x=1, .(（6-x-3-x(6-x+3-x=(6-x-（3-x=6-x-(3-x)=3, .V6-x+V3-x=3. (2)解：据(1)可知V6-x-3-x=1,V6-x+V3-x=3, 则(N6-x-V3-x+V6-x+3-x)=1+3=4, 可得2V6-x=4,即V6-x=2, 解得x=2. ◆题型11二次根式的应用 42.【答案】该广播电视塔发射电视节目信号的传播半径为80m, 【分析】直接把已知地球半径R、塔高h代入关系式，先计算根号内的算式，再求算术平方根，得到传播 20130 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 半径r. 【详解】解：当h=0.5km,R≈6400km时， r=V2Rh≈√2×6400×0.5=V6400=80(km)」 故该广播电视塔发射电视节目信号的传播半径为80km 43. 【答案】(1)24v3m (2)涂满其余部分需要3桶彩色油漆， 【分析】(1)根据矩形周长公式列式计算即可： (2)用需要涂色的面积除以13即可得到答案， 【详解】(1)解：矩形ABCD的周长为 2(AD+AB)=2×N147+V75 =2×(7V3+55) =2×12V5 =243(m) 即矩形艺术作品展示墙ABCD的周长为24V3m: (2)解：涂满其余部分需要彩色油漆的桶数为 [(147×√75)-(67+10(67-1)]÷13 [（73x55)-(67-]13 =(105-66)÷13 =3(桶)。 答：涂满其余部分需要3桶彩色油漆。 44. 【答案】()r=6 (2)6cm 【分析】(1)溢出的水的体积等于烧杯中水面下降部分的水的体积，结合圆柱体积公式V=πh代入数 值推导即可 (2)因为铁块完全浸入水中，所以溢出的水的体积等于铁块的体积，结合长方体体积公式（体积=底面 积×高)计算出铁块的体积，代入到(1)得到的公式中求解. 【详解】(1)解：2r2=V,即6r2=V, 21/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .r6 (2):长方体的底面边长为3W6cm,高为4cm, ∴溢出的水的体积为3V⑥)2×4=216(cm), W 烧杯的底面半径r一V6=v36=6cm)。 45.【答案】(1)V3 (2)解：长方体礼品盒能装下这块蛋糕.理由如下： :体积为64dm3的正方体礼品盒， ∴.正方体礼品盒的棱长为64=4dm, :这块圆柱形蛋糕的底面半径为V3dm,直径为2V3dm,高为2W5dm, 而25>4， 正方体礼品盒放不下圆柱形蛋糕， ,长方体礼品盒的长为3W2dm,宽为V15dm,高为5dm, 而32>23,25<5,25<5， ∴长方体礼品盒可以放下圆柱形蛋糕。 【分析】(1)利用等面积公式建立方程求解即可： (2)求解正方体礼品盒的棱长为4dm,结合已知的长方体的长、宽、高，再进一步进行比较即可. 【详解】(1)解：由题意可得：w2=3π，r>0, 解得：r=V3, ∴这块圆柱形蛋糕的底面半径为√3dm (2)略 46.【答案】(1)2 (2)16+8v2 (3)16V2+2 【分析】(1)由A类正方形的面积为2，可知A类正方形的边长是V2: (2)由B类正方形的面积是4，可知B类正方形的边长是V4=2,则长方形的长为2×2+3、2，宽为 2×2+√2，根据周长公式计算求解即可： 22/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)利用大长方形面积减去A和B的面积即可求解， 【详解】(1)解：：A类正方形的面积为2， ∴.A类正方形的边长是V2: (2)解：，B类正方形的面积是4， ∴.B类正方形的边长是V4=2, ∴长方形的长为2×2+3V2=4+3W2，,宽为2×2+√2=4+√2， 24+32+4+V2)=16+8V2. ∴长方形邀请函的周长为16+8V2: (3)解：(4+32)4+V2)-4×4-2×2 =16+4V2+12W2+6-16-4 =16N2+2. 综合攻坚·知能拔高 1.【答案】B 2.【答案】A 3.【答案】B 4.【答案】A 5.【答案】C 6.【答案】A 7.【答案】-2-5 8.【答案】< 9.【答案】V14 10.【答案】-13 6 11.【答案】 6 【分析】根据二次根式有意义的条件，可得a=2,b=3,再化简，代入计算即可. 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得：2-a≥0且a-2≥0， 解得a≤2且a之2， 23/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以a=2, 将a=2代入b=V2-a+Va-2+3,得：b=0+0+3=3. 当a=2,b=3时， ab÷ab 原式= =f÷√ab =1÷v6 12. 【答案】(1)-5 (2)6V2 3)-43+65 (4)5-5 【详解】(1)解： 2x6-2 √24 23×V6 -25 26 =V5-2W5 =-5 2)解：2i8-2g+05 =622+2 22 =62 (3)解：(2V5-7)2V5+7)-(N5-3}2 =(25-72-（5-65+9) =20-49-5+6V5-9 =-43+6√5 #得w5西 5 24/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =5-W4+⑨) =√5-2-3 =5-5. 13.【答案】(1)25-2 (2)2-V6 【分析】(1)根据二次根式的乘除运算法则以及二次根式的性质计算即可得出结果； (2)根据二次根式的混合运算法则计算即可得出结果 【详解1④解：45-否E+s =-2-V4+45 =-25-2+4V3 =2W3-2: (2)解：(26+36--(6+1 =12-26+36-3-(6+2V6+1) =12-26+3√6-3-6-2√6-1 =2-6 14. 【答案】1)7V5 (2)4 3)3-V5 (4)1 (5)1 606 3 【分析】(1)先根据二次根式的性质化简，然后再计算即可； (2)先利用零次幂、算术平方根、立方根化简，然后再计算即可： (3)先利用二次根式的性质、平方差公式化简，然后合并同类二次根式即可： (4)直接利用二次根式的混合运算法则求解即可： (5)先利用二次根式的性质化简，再利用二次根式混合运算法则求解即可： 25/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (6)先利用二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可. V27×V48 【详解】(1)解： 5 3 33×4V5 3 53 =123-55 =75 2)解：(1-2°×-2+8 =1×2+2 =2+2 =4. (3)解： 3-2-(22+322-3) =2-5-[22-3] =2-V3-(8-9) =2-V3+1 =3-V3. (4)解： 5+亚（5-2 =(（5+2(W5-2 =(5-22 =5-4 =1. 5解2-6得-25 25-69}2 =(43-2W5)÷23 =2W5÷2√3 =1. 26/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 O解8426+4得 √2 5 -4x6N6+42x6 -V6 -24V6+7N6 3 =-50v6 3 1 15.【答案】 x-2, 原式= 【分析】根据分式四则混合运算的顺序先算括号内的减法，再算括号外的除法依次对原分式进行化简，再 代入x的值计算求值即可 4）.x2-4x+4 【详解】解： x+2 x+2 x+2-4x+2 x+2（x-2)2, x-2x+2 x+2(x-22, 1 x-2’ 115 当x=2+5时，原武2+5-255 16.【答案】(1)25：2：2 (2)8V5 【分析】(1)根据二次根式的加减法计算x+y和x一y的值，利用平方差公式计算y的值： (2)先因式分解得出y-y=y(x-y(x+),然后再利用整体代入法计算. 【详解】(1)解：x=5+1,y=3-1, ,x+y=(5++(3-=23, x-y=(5+1-(3-)=2, y=(3+13-=3-P=3-1=2: 27/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：x3y-y =y(x2-y2） =xy(x-y)(x+y) 把y=2,x+y=23，x-y=2代入得， 原式=2×2V5×2 =85 17.【答案】(1) √5+2 (2) √7+V5 (3) 1 【分析】(1)根据“对偶式”的定义，两个含二次根式的式子相乘后不含根号，因为Vā-√b的对偶式为 √ā+Vb,所以直接对应构造即可， (2)因为分母是√7-√5，属于带根号的差的形式，所以可以给分子分母同乘它的对偶式，利用平方差公 式去掉分母的根号，完成分母有理化 (3)设所求式子为A,已知式子为V5-x-V8-x,因为两个式子相乘可以用平方差公式消去根号，得到 只含常数的结果，且已知5-x-V8-x的值，所以通过计算A(5-x-V8-x)的结果即可求出A的值 【详解】(1)解：根据材料定义：a+V历与Vā-V历互为对偶式，只需改变原式中间的符号， 因此√5-V2的对偶式为5+V2 (2)解：利用对偶式分母有理化化简： 2 2万+5) 2万+5-万+5 7-5(7-57+57-5 (3)解：设A=V15-x+V8-x, :V15-x-V8-x=1, 根据平方差公式计算：A(V5-x-V8-x)=(5-x+8-x)15-x-V8-x=(15-x)-(8-x)=7, 因此V15-x+V8-x=7, 28/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18. 【答案】(1)4s 2)能量为0J:启示：高空抛物危害极大，需坚决杜绝。 h 【分析】1)将h=80代入公式1=5计算落地时间。 (2)先由下落时间求出下落高度，再代入能量公式计算能量，结合杀伤人体所需能量得出结论. 【详解】(1)解：由题意得h=80, 将h=80代入1=5，得 /80 1V5=16=4s). 答：物体从80m高空抛出到落地所需时间为4s (2)解：下落时间(=3’且1=V5 h 53, 解得h=45 将物体质量m=0.2,高度h=45代入能量公式，得 E=10×0.2×45=90(J) .90>65 ∴高空抛物具有很大危险性，必须杜绝. 答：这串钥匙下落过程中所带能量为0J,启示为高空抛物危害大，需坚决杜绝. 19.【答案】(1)V7-V6 (2)< (3)44 (4)2V5+8 【分析】(1)原式根据阅读材料中的方法变形即可得到结果： (2)利用分子有理化，再比较即可得到结果： (3)原式各项变形后，抵消合并即可得到结果： (4)先化简4，然后代入所求式子计算即可. 29130 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 1x7-6) 【详解】(1)解：7+67+67-6) =万-6 (V2025-√2024)V2025+V2024) (2)解：√2025-√2024= 1 V2025+√2024 V2025+V2024 V2024-√2023)V2024+V2023) √2024-V2023 1 √2024+√2023 √2024+√2023 :√2025+√2024>2024+√2023. 1 V2025+V2024<J2024+V2023, ：.V2025-V2024<V2024-√2023， 故答案为：<： (3)解：原式=V2-1+V5-V2+V4-3+…+√2024-√2023+√2025-√2024 =√2025-1 =45-1 =44； 1 √5+2 4)解：a=5-25-25+2 =5+2, a-2=V5, .(a-2)}=5, .d2-4a=1, “d-4a2+a+4=a(c-4a)+a+4=2a+4=25+2+4=2W5+8 30130 专题06 二次根式的运算 常考题型·精准突破 题型1 二次根式的乘法（重） 题型2 二次根式的除法（重） 题型3 二次根式的乘除混合运算（高频） 题型4 能合并的二次根式 题型5 二次根式的加减运算（重） 题型6 二次根式的混合运算（高频） 题型7 分母有理化（难） 题型8 化简求值（难） 题型9 二次根式的整数部分、小数部分（高频） 题型10 已知条件式化简求值 题型11 二次根式的应用（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 二次根式的乘法 1．计算：______． 2．计算： (1)； (2)． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． ◆题型2 二次根式的除法 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． ◆题型3 二次根式的乘除混合运算 8．计算． 9．计算：． 10．计算：． 11．计算： 12．计算： 13．计算：． 14．计算：． ◆题型4 能合并的二次根式 15．下列二次根式中，不能与合并的是（     ） A． B． C． D． 16．与最简二次根式是同类二次根式，则（     ） A．2 B．3 C．5 D．6 17．若能与最简二次根式合并，则的值为________． 18．若最简二次根式与是同类二次根式，则_________． ◆题型5 二次根式的加减运算 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．计算： (1)； (2)； (3)． 21．计算：． 22．计算： ◆题型6 二次根式的混合运算 23．计算： (1)； (2)． 24．计算： (1) (2) (3) (4) 25．计算： (1) (2) 26．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 27．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． ◆题型7 分母有理化 28．我们知道，；如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式．如与互为有理化因式，与互为有理化因式．利用这种方法，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化．例如： ，． (1)按上面的方法将分母有理化． (2)按上面的方法将分母有理化． (3)利用以上知识计算： ． 29．材料一：由可以看出，如果两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，那么我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： 。 材料二：根式化简，例如： ； ； 材料三： 根据以上材料，请完成下列问题： (1)_______________（直接写结果）； (2)计算：； (3)计算： (4)计算： （直接写结果）． ◆题型8 化简求值 30．若，，求下列式子的值： (1)； (2)． 31．先化简，再求值：，其中． 32．化简求值：已知，求代数式的值． 33．先化简，再求值：，其中． 34．先化简，再求值：，其中． 35．先化简，再求值：．其中． ◆题型9 二次根式的整数部分、小数部分 36．已知实数，则的整数部分为________． 37．若的整数部分是，小数部分是，则的值是_____． 38．若的小数部分是，的小数部分是，求的值． ◆题型10已知条件式化简求值 39．已知，，求的值． 40．给条件求值： (1)若，求的值； (2)已知，求的值． 41．阅读材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 又， ． 这种方法称为“构造对偶式”． 已知，解答问题： (1)求的值； (2)求的值． ◆题型11二次根式的应用 42．广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广，已知广播电视塔的高（单位：）与电视节目信号的传播半径（单位：）之间存在近似关系，其中是地球半径，．已知某地广播电视塔的高约为，求该广播电视塔发射电视节目信号的传播半径． 43．某文化公园内有一块矩形艺术作品展示墙，如图，矩形艺术作品展示墙的长，宽，现要在艺术作品展示墙中绘出一幅矩形的“丝绸之路”图画（即图中阴影部分），矩形图画的长为，宽为，除去图画部分，其余部分都要涂上彩色的油漆． (1)求矩形艺术作品展示墙的周长（结果化为最简二次根式）； (2)若一桶彩色油漆可以涂的展示墙，那么除去图画部分，涂满其余部分需要多少桶彩色油漆？ 44．如图①，小明在做浮力实验时，用一根细线将一个底面为正方形的长方体铁块完全浸入到原本盛满水的圆柱体烧杯中（烧杯中有水溢出）．如图②，在拿出铁块后，烧杯中水面下降了．（取3） (1)设溢出的水的体积为，求烧杯的底面半径r的长（用含V的代数式表示）； (2)已知铁块底面的边长为，高为，求烧杯的底面半径r的长． 45．根据以下材料，探索完成任务： 材料1 妈妈的生日快到了，小颖自制了一块圆柱形蛋糕准备送给妈妈来表达自己的爱意．已知这块蛋糕的底面积为，高为． 材料2 为了美观又增加仪式感，小颖想要用礼品盒来装这块蛋糕，现有两个礼品盒：一个是体积为的正方体礼品盒，另一个是长为，宽为，高为的长方体礼品盒．（礼品盒的厚度忽略不计） (1)任务1：根据材料1可知，这块圆柱形蛋糕的底面半径为 ； (2)任务2：哪个礼品盒能装下这块蛋糕？请说明理由． 46．某班将在学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了图①样式的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积是2，每个B类正方形的面积是4． (1)A类正方形的边长是_________； (2)求图①长方形邀请函的周长； (3)小李建议将图①正中间的正方形去掉，以中间的“工”形代表“工作之星”的含义，如图②所示，求修改后的阴影部分的面积． 综合攻坚·知能拔高 1．下列是同类二次根式的一组是（     ） A．， B．， C．， D．， 2．若，，则下列表示正确的是（     ） A． B． C． D． 3．对于任意的正数、定义运算：计算的结果是（     ） A． B． C． D． 4．已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 5．已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 6．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式．称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．在中，，，所对的边分别记为a，b，c，若，，，则的面积为（     ） A． B．6 C．18 D． 7．计算____________． 8．比较大小：________． 9．已知，， ___________． 10．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是_______． 11．已知、为实数，且，求的值． 12．计算： (1) (2) (3) (4)． 13．计算： (1)； (2)． 14．计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 15．先化简，再求值：，其中． 16．已知，， (1)直接写答案：________；________；________． (2)根据以上的计算结果，利用整体代入的数学方法，计算下列式子的值：. 17．阅读材料，解答下列问题：在对部分二次根式进行分母有理化时，我们将“”和“”称为一对“对偶式”，如，像这样构造“对偶式”可以将根号去掉，从而进行根式的化简． (1)的“对偶式”为__________； (2)化简：； (3)已知，求的值． 18．高空抛物现象被称为悬在城市上空的痛，是我们必须杜绝的行为．据研究，物体从高度为（单位：）的高空抛出，其下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）． (1)物体从高空抛出到落地所需时间是多少？ (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量（）高度（），一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 19．阅读下面计算过程： ； ； ． 试求： (1)的值为 ． (2)比较大小： ． (3)求的值． (4)若，求的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $