第十五章 轴对称（单元自测卷·内蒙古专用）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 本卷为八年级上册第十五章轴对称单元卷，覆盖轴对称性质、等腰三角形、尺规作图等核心知识，通过基础巩固与综合应用梯度设计，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|轴对称与中心对称判断、等腰三角形内角计算、垂直平分线应用|结合抢凳子游戏情境（第5题），体现应用意识| |填空题|4/12|垂直平分线性质、对称点应用、角平分线性质|蝶几图设计（第12题）渗透文化传承，培养空间观念| |解答题|6/64|等腰三角形证明、轴对称作图、几何综合推理|第18题结合等腰三角形旋转，综合考查推理能力与创新意识，契合核心素养要求|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测（内蒙古专用） 第十五章轴对称（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 1 2 3 5 6 7 8 答案 D A B D B B 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 9. 23 10.24cm 11. 12 12.20 三、解答题（共6小题，共64分） 13.(10分) 【详解】 (1)证明： ·.AD平分BAC,BAC 100 .∠BAD=∠CAD-号∠BAC50 ·.·∠ADB=80°，∠ADB+∠ABD+∠BAD=180°， .∠ABD1805078050 3分 .∠ABD=∠BAD, ..DA=DB. △ABD是等腹三角形…5分 (2).·DE⊥AB,DB=DA, ∴.AB=2AE. .CD⊥AC,DE⊥AB, 1/5 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AED-ACD- 9007分 1 由(I)可知，∠EAD=∠CAD=2∠BAC50, 在△ADE和△ADC中， ∠AED=∠ACD, ∠EAD=∠CAD, AD=AD. △ADE△ADC(AAS).8分 .∴.AE=AC. AB2AC.10分 14.(7分) 【详解】 (1)解：如图，△AB1C1如图所示.4分 (2)解：如图，点P即为所求.7分 11 A 15.(10分) 【详解】 (I)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；1分 等边对等角… 2分 2/5 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 等角对等边；3分 (2).EB=AB, E=EAB.… 6分 、ABD=E+EAB=2E……7分 .∠ABD=2∠C, ∠E2C.…8分 .AE-AC9分 .AD⊥BC, DC-ED-EB+BD-AB+BD-3.5+1=4.5.. 10分 16.(12分) 【详解】 解：（们）△DEF是等边三角形.1分 理由： .'AB=AD,∠BAD=60°， △ABD是等边三角形. 2分 ∠ABD=∠ADB=60.3分 .CE//AB .∠CED=∠BAD=60°，∠DFE=∠ABD=60°.4分 ..∠CED=∠ADB=∠DFE '.△DEF是等边三角形. 6分 (2)连接AC.… 7分 .AB=AD,CB=CD, ∴.AC是线段BD的垂直平分线. 8分 3/5 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △ABD是等边三角形， ∠BAC=∠DAC=30°，9分 ·.CE/∥AB, .∠BAC=∠ACE=∠DAC=30°.10分 ∴.AE=CE=8 .DE=AD-AE=12-8=4.11分 △DEF是等边三角形， ..EF=DE=4. .∴.CF=CE-EF=8-4=4. 12分 17.(12分) 【详解】 解：(1)，‘M正是边AB的垂直平分线，NT是边AC的垂直平分线， BE-AE FA-EC.. 2分 ..AE+AF-BE+FC- 4分 (2).BE=AE,FA=FC, .∠ABE-∠BAE,人CAF=ACP …6分 .·∠ABE+∠BAE+∠EAF+∠CAF+∠ACF-180°，∠EAF=80°， :.2(∠BAE+zCAF叶80180m8分 ·BAE汁CAF=50…10分 ∠BAC∠BAE+∠CAF+∠EAF=13012分 18.(13分) 【详解】 (1)证明： .'∠ACB=∠DCE=a, 415 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ACB+∠BCD∠DCE BCD分 即∠ACD=∠BCE 在△ACD和△BCE中， CA=CB, ∠ACD=∠BCE,.4分 CD=CE, 人ACD≌人BCE (SAS).……m 5分 AD-BE 6分 (2)由(1)可知，△ACD≌△BCE, ∠CAD-LCBE 7分 设BC,AD交于点N. .·∠MINC-∠CAD+∠ACB=∠CBE+∠AMB, AB2ACBa9分 (3)证明：过点C分别作CP⊥AD于点P,CQ⊥BE于点Q10分 .'△ACD≌△BCE, 'SAACD SABCE AD-BB.... 11分 .AD-CP-IBE.CQ. 12分 2 ∴.CP=CQ .MC平分，AME 13分 5/5 2026-2027学年八年级上册数学单元自测(内蒙古专用) 第十五章 轴 对 称 建议用时：90分钟，满分：100分 1、 选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的定义，轴对称图形沿一条直线折叠后两边完全重合，中心对称图形绕中心旋转180°后与原图重合。 【详解】 A. 是轴对称图形，旋转180°无法与原图重合，不是中心对称图形，错误； B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，错误； C. 是轴对称图形，不是中心对称图形，错误； D. 沿直线折叠可重合，旋转180°也可与原图重合，既是轴对称图形又是中心对称图形，正确。 故选：D。 2.如图，与关于直线对称，为上一点三点不共线，下列结论不一定正确的是(    ) A. B. 直线垂直平分线段， C. 与的面积相等 D. 是等腰三角形 【答案】A 【分析】本题考查轴对称的性质，成轴对称的两个图形全等、面积相等，对称轴垂直平分对应点连线，对称轴上的点到对应点距离相等。 【详解】 A. 成轴对称的图形对应角相等，∠ABC与∠A'B'C'为对应角，选项角度表述错误，结论不一定正确； B. 轴对称图形的对称轴垂直平分各组对应点连线，故直线MN垂直平分AA'、CC'，正确； C. 成轴对称的两个图形全等，全等图形面积相等，正确； D. MN垂直平分AA'，P在对称轴上，故PA=PA'，△AA'P为等腰三角形，正确。 故选：A。 3.已知等腰三角形的一内角度数为，则它的顶角的度数为(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形角度分类讨论，已知内角未明确顶角或底角，需分两种情况计算，同时满足三角形内角和定理。 【详解】 ① 若20°为顶角，则底角=(180°−20°)÷2=80°，符合三角形角度规则； ② 若20°为底角，则顶角=180°−20°×2=140°，符合三角形角度规则； 综上，顶角度数为20°或140°。 故选：C。 4.如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，则的度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的尺规作图与性质，垂直平分线上的点到线段两端距离相等，结合直角三角形内角和计算角度。 【详解】 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴ ∠BAC=180°−90°−30°=60°， 由作图可知，直线MN是AB的垂直平分线，∴ DA=DB， 根据等边对等角，∠DAB=∠B=30°， ∴ ∠CAD=∠BAC−∠DAB=60°−30°=30°。 故选：B。 5.在联欢晚会上，有，，三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜．为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的  (    ) A. 三边中线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C. 三边高的交点处 D. 三边垂直平分线的交点处 【答案】D 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等，以此保证游戏公平。 【详解】 要使凳子到A、B、C三名同学的距离相等，需找到到三角形三个顶点距离相等的点， 三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点距离相等，满足公平游戏条件。 故选：D。 6.如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，与交于点，连接若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形性质与线段垂直平分线综合计算，先求底角度数，再利用垂直平分线性质转化角度求解。 【详解】 ∵ AB=AC，∠A=42°，∴ △ABC为等腰三角形， ∠ABC=∠ACB=(180°−42°)÷2=69°， 由作图知MN是AB的垂直平分线，∴ AD=BD，∠ABD=∠A=42°， ∴ ∠CBD=∠ABC−∠ABD=69°−42°=27°。 故选：B。 7.如图，在中，，，在同一平面内，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，若，则的大小是(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查图形旋转性质与等腰三角形、平行线性质综合，利用旋转前后边长、角度不变，结合平行线内错角相等推导旋转角。 【详解】 ∵ AB=AC，∠BAC=100°，∴ ∠ABC=∠ACB=40°， 由旋转性质得AB=AB₁，∠B₁AC₁=∠BAC=100°， ∵ BB₁∥AC₁，∴ ∠BB₁A=180°−100°=80°， △ABB₁中，AB=AB₁，∴ ∠BAB₁=180°−80°×2=20°， ∴ ∠CAC₁=∠BAB₁=20°。 故选：B。 8.如图，已知在等边三角形中，点，分别是，上的点，且，连接，交于点，过点作于点，，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形全等判定与含30°直角三角形性质，先证三角形全等推导角度，再利用直角三角形边角关系求线段长。 【详解】 ∵ △ABC是等边三角形，∴ AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°， 在△BAE和△ACD中，AB=CA，∠BAE=∠ACD，AE=CD， ∴ △BAE≌△ACD（SAS），∴ ∠ABE=∠CAD， ∴ ∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°， ∵ BQ⊥AD，∴ △BPQ为直角三角形，∠PBQ=30°， 根据含30°直角三角形性质，BP=2PQ=2×2=4。 故选：C。 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.在中，已知，，的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为          ． 【答案】23 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端距离相等，转化三角形周长即可求解。 【详解】 ∵ DE是AB的垂直平分线，∴ AE=BE， △BCE的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC， 代入AC=13，BC=10，得周长=13+10=23。 10.如图，，是内部的一点，点关于的对称点是，点关于的对称点是，连接若，则的周长是          ． 【答案】24cm 【分析】本题考查轴对称的性质，点关于直线对称，对称轴垂直平分对应点连线，对应线段相等，结合角度判定等边三角形求解周长。 【详解】 ∵ P、M关于OA对称，P、N关于OB对称，∴ OM=OP，ON=OP，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB， ∴ OM=ON，∠MON=2∠AOB=2×30°=60°， ∴ △MON为等边三角形，边长MN=8cm， ∴ △MON周长=8×3=24cm。 11.如图，在中，，和的平分线分别交于点，若，，则          ． 【答案】12 【分析】本题考查平行线性质与角平分线性质综合，利用等角对等边转化线段，整体代换求解线段和。 【详解】 ∵ BG平分∠EBC，∴ ∠EBG=∠GBC， ∵ ED∥BC，∴ ∠EGB=∠GBC，∴ ∠EBG=∠EGB，∴ EB=EG， 同理可证：DF=DC， ∴ EB+DC=EG+DF=ED+FG=8+4=12。 12.蝶几图是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图如图图为某蝶几设计图，其中与为两个全等的等腰直角三角形，已知点与点关于直线对称，连接，若，则          ． 【答案】20 【分析】本题考查轴对称性质与等腰直角三角形角度计算，利用对称性质得等角、等边，逐步推导角度关系。 【详解】 ∵ △ABD、△CBD为全等等腰直角三角形，∴ ∠ADB=∠CDB=45°，AD=CD， ∵ 点P、A关于DQ对称，∴ ∠ADQ=∠PDQ=25°，AD=PD， ∴ ∠PDC=∠ADB+∠CDB−∠ADP=90°−50°=40°，CD=PD， ∴ △PDC为等腰三角形，∠DCP=(180°−40°)÷2=20°。 三、解答题：本题共6小题，共64分。 13.10分 如图，在四边形中，，连接，且平分，，是的高． 求证：是等腰三角形． 若，求证：． 【答案】(1)证明:AD平分BAC,BAC=, BAD=CAD=BAC=. ADB=,ADB+ABD+BAD=, ABD=--=. ABD=BAD. DA=DB. ABD是等腰三角形. (2)DEAB,DB=DA, AB=2AE. CDAC,DEAB, AED=ACD=. 由(1)可知,EAD=CAD=BAC=. 在ADE和ADC中, ADEADC(AAS). AE=AC. AB=2AC. 14.7分 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，， 作出关于轴对称的． 在轴上作一点，使得的值最小保留作图痕迹． 【答案】(1)解：如图，△A1B1C1如图所示.  (2)解：如图，点P即为所求.   15.10分 如图，在中，是锐角，于点，且，，，求的长． 小亮积极思考后向同学们展示了自己的解题过程，过程如下： 解：如图，在线段上取一点，使，连接． ，， 垂直平分． 依据． 依据． ，C. 又， C. C.依据． ． ． 上述解题过程中的“依据”“依据”“依据”分别指的是什么 依据           ． 依据           ． 依据           ． 看完小亮的解题过程，小创提出了自己的想法： 解：如图，延长到点，使，连接． 请根据小创的思路写出完整的解题过程． 【答案】 (1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 ; 等边对等角; 等角对等边； (2)EB=AB, E=EAB. ABD=E+EAB=2E. ABD=2C, E=C. AE=AC. ADBC, DC=ED=EB+BD=AB+BD=+1=. 16.12分 如图，在四边形中，，，，为上一点，连接，相交于点，． 判断的形状，并说明理由． 若，，求的长． 【答案】 (1) 解：△DEF是等边三角形． 理由： ∵AB＝AD，∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形． ∴∠ABD＝∠ADB＝60°． ∵CE// AB， ∴∠CED＝∠BAD＝60°，∠DFE＝∠ABD＝60°． ∴∠CED＝∠ADB＝∠DFE． ∴△DEF是等边三角形．  (2)连接AC． ∵AB＝AD，CB＝CD， ∴AC是线段BD的垂直平分线． ∵△ABD是等边三角形， ∴∠BAC＝∠DAC＝30°． ∵CE// AB， ∴∠BAC＝∠ACE＝∠DAC＝30°． ∴AE＝CE＝8． ∴DE＝AD-AE＝12-8＝4． ∵△DEF是等边三角形， ∴EF＝DE＝4． ∴CF＝CE-EF＝8-4＝4．  17.12分 如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，． 求的长． 若，求的度数． 【答案】 解:(1)ME是边AB的垂直平分线,NF是边AC的垂直平分线, BE=AE,FA=FC. AE+AF=BE+FC=. (2)BE=AE,FA=FC, ABE=BAE,CAF=ACF. ABE+BAE+EAF+CAF+ACF=,EAF=, 2(BAE+CAF)+=. BAE+CAF=. BAC=BAE+CAF+EAF=. 18.13分 如图，已知等腰三角形和等腰三角形，，，，，相交于点． 求证：． 用含的式子表示的度数． 【拓展设问】连接，求证：平分． 【答案】 (1) 证明: ACB=DCE=, ACB+BCD=DCE+BCD, 即ACD=BCE. 在ACD和BCE中, ∴(SAS). AD=BE. (2)由(1)可知,ACDBCE, CAD=CBE. 设BC,AD交于点N. MNC=CAD+ACB=CBE+AMB, AMB=ACB=. (3)证明:过点C分别作CPAD于点P,CQBE于点Q. ACDBCE, =,AD=BE. ADCP=BECQ. CP=CQ. MC平分AME. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测(内蒙古专用) 第十五章 轴 对 称 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1.下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.如图，与关于直线对称，为上一点三点不共线，下列结论不一定正确的是(    ) A. B. 直线垂直平分线段， C. 与的面积相等 D. 是等腰三角形 3.已知等腰三角形的一内角度数为，则它的顶角的度数为(    ) A. B. C. 或 D. 或 4.如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，则的度数是(    ) A. B. C. D. 5.在联欢晚会上，有，，三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜．为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的  (    ) A. 三边中线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C. 三边高的交点处 D. 三边垂直平分线的交点处 6.如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，与交于点，连接若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，，，在同一平面内，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，若，则的大小是(    ) A. B. C. D. 8.如图，已知在等边三角形中，点，分别是，上的点，且，连接，交于点，过点作于点，，则的长为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.在中，已知，，的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为           ． 10.如图，，是内部的一点，点关于的对称点是，点关于的对称点是，连接若，则的周长是           ． 11.如图，在中，，和的平分线分别交于点，若，，则           ． 12.蝶几图是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图如图图为某蝶几设计图，其中与为两个全等的等腰直角三角形，已知点与点关于直线对称，连接，若，则           ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。 13.10分如图，在四边形中，，连接，且平分，，是的高． 求证：是等腰三角形． 若，求证：． 14.7分如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，， 作出关于轴对称的． 在轴上作一点，使得的值最小保留作图痕迹． 15.10分如图，在中，是锐角，于点，且，，，求的长．小亮积极思考后向同学们展示了自己的解题过程，过程如下： 解：如图，在线段上取一点，使，连接． ，， 垂直平分． 依据． 依据． ，C. 又， C. C.依据． ． ． 上述解题过程中的“依据”“依据”“依据”分别指的是什么 依据           ． 依据           ． 依据           ． 看完小亮的解题过程，小创提出了自己的想法： 解：如图，延长到点，使，连接． 请根据小创的思路写出完整的解题过程． 16.12分如图，在四边形中，，，，为上一点，连接，相交于点，． 判断的形状，并说明理由． 若，，求的长． 17.12分 如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，． 求的长． 若，求的度数． 18.13分如图，已知等腰三角形和等腰三角形，，，，，相交于点． 求证：． 用含的式子表示的度数． 【拓展设问】连接，求证：平分． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试卷 第1页（共4页） 试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测(内蒙古专用) 第十五章 轴 对 称 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1.下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.如图，与关于直线对称，为上一点三点不共线，下列结论不一定正确的是(    ) A. B. 直线垂直平分线段， C. 与的面积相等 D. 是等腰三角形 3.已知等腰三角形的一内角度数为，则它的顶角的度数为(    ) A. B. C. 或 D. 或 4.如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，则的度数是(    ) A. B. C. D. 5.在联欢晚会上，有，，三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜．为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的  (    ) A. 三边中线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C. 三边高的交点处 D. 三边垂直平分线的交点处 6.如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，与交于点，连接若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，，，在同一平面内，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，若，则的大小是(    ) A. B. C. D. 8.如图，已知在等边三角形中，点，分别是，上的点，且，连接，交于点，过点作于点，，则的长为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.在中，已知，，的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为           ． 10.如图，，是内部的一点，点关于的对称点是，点关于的对称点是，连接若，则的周长是           ． 11.如图，在中，，和的平分线分别交于点，若，，则           ． 12.蝶几图是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图如图图为某蝶几设计图，其中与为两个全等的等腰直角三角形，已知点与点关于直线对称，连接，若，则           ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。 13.10分 如图，在四边形中，，连接，且平分，，是的高． 求证：是等腰三角形． 若，求证：． 14.7分 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，， 作出关于轴对称的． 在轴上作一点，使得的值最小保留作图痕迹． 15.10分如图，在中，是锐角，于点，且，，，求的长．小亮积极思考后向同学们展示了自己的解题过程，过程如下： 解：如图，在线段上取一点，使，连接． ，， 垂直平分． 依据． 依据． ，C. 又， C. C.依据． ． ． 上述解题过程中的“依据”“依据”“依据”分别指的是什么 依据           ． 依据           ． 依据           ． 看完小亮的解题过程，小创提出了自己的想法： 解：如图，延长到点，使，连接． 请根据小创的思路写出完整的解题过程． 16.12分如图，在四边形中，，，，为上一点，连接，相交于点，． 判断的形状，并说明理由． 若，，求的长． 17.12分 如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，． 求的长． 若，求的度数． 18.13分如图，已知等腰三角形和等腰三角形，，，，，相交于点． 求证：． 用含的式子表示的度数． 【拓展设问】连接，求证：平分． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $