5.3实际问题与一元一次方程（工程问题）同步练习2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦工程问题，通过基础选择、中档填空、综合解答三级分层，构建从单一模型到实际应用的知识巩固路径，培养符号意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础（单选6题）|单人/合作工作总量计算|考查列方程核心技能，如第1题分阶段工作模型| |中档（填空8题）|中途增减人数、效率差异问题|融入变量关系分析，如第11题乙中途离开情境| |综合（解答6题）|多阶段工程、费用分配等实际应用|结合芯片研发等真实情境，如第16题团队合作时间计算，培养应用意识|

5.3实际问题与一元一次方程（工程问题）同步练习 一、单选题 1．整理一批图书，由一个人做要40小时完成，现在计划由一部分人先做3小时，再增加2人和他们一起做8小时，完成这项工作的，假设每个人的工作效率相同，具体先安排x人工作，则列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．有9人14天完成了一件工作的，而剩下的工作要在4天内完成，则需增加的人数是（ ） A．12 B．11 C．10 D．8 3．某仓库进了一批货物，整理这批货物，由一个人整理要 30 小时完成， 现在计划由一部分人先整理 2 小时，再增加 3 人和他们一起整理 4 小时，完成了这项工作，假设每个人的工作效率 相同，具体先安排 人工作，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 4．某工程需20人工作，每人每小时能挖土3m3或运土2m3， 为使挖土和运土工作同时结束，安排了y人挖土，则y应满足的方程（    ） A．2y=3 (20-y) B．3y=2(20-y) C．20-2y=3y D．3y-2y=20 5．某车间原计划用13小时生产一批零件，实际每小时多生产了10件，用了12小时不但完成了任务，而且还多生产了60件，设原计划每小时生产个零件，那么下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 6．一件工作，由甲、乙合作12小时可完成，若甲单独做20小时可完成，现由甲、乙合作4小时后，甲被调走，剩下的部分由乙继续完成，那么乙还需的时间为（    ）小时． A．12 B．15 C．20 D．30 二、填空题 7．整理一批图书，由一个人做要30h完成．现计划由一部分人先做1h，然后增加6人与他们一起做3h，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，应先安排___________人工作． 8．整理一批图书，若由一个人独做需要完成，假设每人的工作效率相同．若限定完成，一个人先做，则还需要增加_____人才能在规定的时间内完成． 9．一项工程甲队单独完成此项工程需60天，乙队单独完成此项工程需90天．若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作________天可以完成此项工程． 10．甲组有20人，乙组有15人．现在另增调19人加入到甲组和乙组，要使甲组人数是乙组人数的2倍，则应调入甲组______人． 11．一件工程，甲独做18天可完，乙独做24天可完．现在两个人合作，但是中途乙因有事离开几天，从开工后12天两人把这件工程做完，则乙中途离开了________天． 12．一项工程，甲队单独完成需要12天，乙队单独完成需要24天，现在由甲、乙两队共同工作3天后甲队另有任务离开，剩下的工程由乙队完成，求完成这项工程所用的时间．若设完成此项工程共用x天，则可列得方程是______． 13．为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为170米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米．按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作__________天． 14．有9个人用14天完成了一件工作的，而剩下的工作要求在4天内完成，在他们工作效率不变的前提下，则至少需要增加______人． 三、解答题 15．某企业聘用甲、乙两队完成一项工程，已知乙队单独完成这项工程需天，甲队单独完成所需天数是乙队单独完成所需天数的倍．如果甲、乙两队先合作天，接着甲队因故停工天（乙队不停工），后继续与乙队合作完成剩下的工程． (1)甲队单独完成这项工程需要 天． (2)完成这项工程总共用了多少天？ (3)该企业为了这项工程一共支付万元的费用．如果你是决策者，你会将这笔费用如何分配给甲、乙两队？请设计一个分配的方案，并说明分配的依据． 16．在科技飞速发展的当下，芯片作为信息技术产业的核心，其研发水平直接关系到国家科技竞争力与产业话语权．为突破关键核心技术瓶颈，甲、乙两个科研团队携手开展一款高端芯片的研发工作．已知甲科研团队单独完成这款芯片的研发需要20个月，乙科研团队单独完成这项研发需要30个月． (1)若甲科研团队先做5个月，剩余部分再由甲、乙两个团队合作，还需要多少个月才能完成？ (2)甲、乙两个科研团队共同完成，若甲科研团队工作的总月数是乙科研团队工作的总月数的，求甲、乙科研团队各工作了多少个月． 17．某市需要铺设一段排水管道，甲施工队单独完成需要天，乙施工队单独完成需要天．现安排两队合作完成此项工程． (1)若两队合作施工，多少天可以完成？ (2)实际施工中，甲队先单独工作若干天后，乙队加入，两队再共同工作天恰好完成任务．求甲队先单独工作了多少天？ 18．通榆某工程队修缮向海景区周边步道，甲队单独修需66天完成，乙队单独修需53天完成．若甲队先修21天，剩下的由甲乙两队合作完成，还需多少天能修完？ 19．某服装厂计划若干天完成一批服装的订单任务，如果每天生产服装25套，那么就会超过3天完成，如果每天生产服装28套，那么就会超额完成30套．问这批服装的订单是多少套？计划时间是多少天？ 20．为了更好的完成某小区绿化带改造任务，甲、乙两个施工队合作施工．已知甲队单独施工9天可以完成，乙队单独施工6天可以完成．如果甲、乙两队先合作施工几天后，余下的工作由乙队单独完成，已知在整个施工过程中乙队一共工作了4天．请问甲、乙两队合作施工了几天？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D A D B B C 1．D 【分析】整理一批图书，由一个人做要40小时完成，则工效为，具体先安排人工作，则先做3小时完成，增加2人和他们一起做8小时完成，二者的和等于完成的工作量，列出等式即可． 【详解】解：具体先安排人工作，由题意得， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，总量各部分量的和是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程． 2．A 【详解】试题分析：设需增加的人数是x人，根据“9人14天完成了，剩下的工作要在4天内完成” 即可列方程求解. 设需增加的人数是x人，由题意得 解得 则需增加的人数是12 故选A. 考点：一元一次方程的应用 点评：解题的关键是读懂题意，找到量与量的关系，正确列出一元一次方程，再求解. 3．D 【分析】设具体先安排 人工作，根据一部分人先 整理 2 小时，再增加 3 人和他们一起整理 4 小时，完成了这项工作，列出方程即可． 【详解】解：假设每个人的工作效率相同， 具体先安排 人工 作， ∵一个人做要 30 小时完成， ∴每个人的工作效率为：， 由题意，得：， 故选D． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用．根据题意，正确的列出一元一次方程，是解题的关键． 4．B 【分析】安排了y人挖土，则运土（20-y）人，根据挖土和运土工作同时结束，利用工作总量一样可列方程求解． 【详解】设安排了y人挖土，则运土（20-y）人 有等量关系：挖土总量=运土总量可得： 3y=2(20-y) 故选：B 【点睛】此题考查从实际问题中抽象出一元一次方程，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键． 5．B 【分析】设原计划每小时生产个零件，根据实际生产的零件个数比计划生产的零件个数多60个列方程即可． 【详解】设原计划每小时生产个零件，则计划生产零件个，根据题意得 故选B 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题的关键． 6．C 【分析】设乙还需x小时完成，等量关系为：甲完成的工作量+乙完成的工作量=1，依此列出方程，解方程即可； 【详解】解：设乙还需x小时完成，依题意得： ， 解得：， 故选择：C 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 7．3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】解：设应先安排x人工作，根据题意得： ， 解得：， 答：应先安排3人工作． 故答案为：3． 8． 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设还需要增加人才能在规定的时间内完成，依题意可得，解方程即可求解，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：设还需要增加人才能在规定的时间内完成，依题意可得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴还需要增加人才能在规定的时间内完成， 故答案为：． 9．30 【分析】设剩下的工程再由甲乙合作x天可以完成此项工程，根据两次完成的工作量之和为1建立方程求出其解即可． 【详解】解：设剩下的工程再由甲乙合作x天可以完成此项工程，由题意得： 解得：， 故答案为：30． 【点睛】本题考查了工程问题的工作量=工作效率×工作时间的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，解答本题时根据各部分工作量之和等于工作总量建立方程是关键． 10．16 【分析】根据乙组人数甲组人数的2倍，列出一元一次方程即可求解． 【详解】解：设乙组应调来人． 根据题意，得 解得． ∴应调入甲组 答：甲组应调来16人． 故答案为16． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是找等量关系． 11．4 【分析】把这件工程看作单位“1”，则甲乙的工作效率分别是和，甲12的天工作量乙的工作量总工作量，要求乙的工作时间，设乙中途离开了x天，列方程求解． 【详解】解：设乙中途离开了x天，根据题意得： ， 解得：， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用-简单的工程问题，根据总工作量为“1”列出方程是解题关键． 12． 【分析】由设完成此项工程共用x天，根据甲完成的工程量+乙完成的工程量=总工程量，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设完成此项工程共用x天依题意得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元-次方程是解题的关键． 13．12 【分析】设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x-2）米．根据“甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米”列出方程，然后求工作时间； 【详解】设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x-2）米， 由题意得，2x+（x+x-2）=26， 解得x=7， ∴乙工程队每天掘进5米， 按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作时间为： （天）． 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键． 14．12 【分析】设至少需要增加人，由题意得：，计算求解即可． 【详解】解：设至少需要增加人 由题意得： 解得： ∴至少需要增加12人． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键在于根据题意列方程． 15．(1) (2)完成这项工程总共用了天． (3)分配方案：甲队分得万元，乙队分得万元．分配依据：按两队完成的工作量占总工作量的比例分配，多劳多得． 【分析】（1）利用甲队天数是乙队的倍，直接列式计算甲单独完成工程的天数． （2）把总工程看作单位，求出甲乙工作效率，设后续合作天数为未知数，根据各阶段工作量之和等于总工作量列方程求解，再累加全部阶段得到总天数． （3）先算出甲、乙两队各自完成的工作量，按照工作量占比对总费用万元进行分配． 【详解】（1）解：（天）， 故甲队单独完成这项工程需要天． （2）解：设甲队复工后，两队继续合作天完成剩余工程．则 ， 解得， （天）， 答：完成这项工程总共用了天． （3）解：∵甲实际工作天数（天）， ∴甲完成工作量， ∵乙实际工作天数为天， ∴乙完成工作量， ∴甲队费用（万元），乙队费用（万元）， ∴分配方案：甲队分得万元，乙队分得万元．分配依据：按两队完成的工作量占总工作量的比例分配，多劳多得． 16．(1)9个月 (2)甲科研团队工作了10个月，乙科研团队工作了15个月 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设还需要x个月才能完成，根据题意可求出甲、乙的工作效率，再根据甲、乙的工作总量之和为1建立方程求解即可； （2）设乙科研团队工作了m个月，则甲科研团队工作了个月，根据甲、乙的工作总量之和为1建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设还需要x个月才能完成， 由题意得，， 解得， 答：还需要9个月才能完成； （2）解：设乙科研团队工作了m个月，则甲科研团队工作了个月， 由题意得，， 解得， ∴， 答：甲科研团队工作了10个月，乙科研团队工作了15个月． 17．(1)天 (2)天 【分析】本题考查了工程问题的应用，核心是利用“工作效率工作时间工作量”的关系，通过设未知数建立方程求解．熟练掌握工作效率、工作时间与工作量的数量关系是解题关键． （1）先确定甲、乙两队的工作效率，再根据“两队合作的工作量之和总工作量”列方程求解合作完成时间； （2）先设甲队单独工作的时间，再结合“甲单独完成的工作量两队合作完成的工作量总工作量”列方程求解． 【详解】（1）解：甲施工队单独完成需要天，乙施工队单独完成需要天， 甲施工队每天完成，乙施工队每天完成， 设两队合作施工天可以完成， 则， 解得：， 答：若两队合作施工，天可以完成． （2）解：由（1）得，甲施工队每天完成，乙施工队每天完成， 设甲队先单独工作了天， 则， 解得：， 答：甲队先单独工作了天． 18．还需天完成 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设还需x天完成，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设还需x天完成，根据题意得： ， 解得：， 答：剩下的由甲乙两队合作完成，还需天能修完． 19．这批生产服装的计划完成任务是套，计划时间是天． 【分析】此题考查了根据题目中的数量关系列方程和解方程．设计划时间是x天，根据两种不同生产速度下服装总数的关系来列方程求解． 【详解】解：设计划时间是x天． 根据服装总数不变可列方程： 解得： 则计划完成任务的服装套数为：（套） 答：这批服装的订单是套，计划时间是天． 20．3 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． 设甲、乙两队合作施工了x天，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设甲、乙两队合作施工了x天， ∴， 解得，， ∴甲、乙两队合作施工了3天． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $