重难点培优03 一网打尽导数中的切线、公切线问题（11大题型）（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦导数中的切线与公切线问题，涵盖导数几何意义、切线方程求法、公切线判定等核心考点，按“知识重构-题型精研-实战检测”逻辑架构，通过重难梳理固根基、技巧通法提能力、分层突破验成效的教学环节，帮助学生系统构建解题框架。 讲义创新采用“题型归类+秒杀技巧”策略，如用待定切点法解决过点切线问题，对照法速解不同切点公切线问题，培养学生数学思维与解题能力。设置基础巩固与创新提升分层练习，配合真题案例解析，确保高效突破难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

重难点培优03 一网打尽导数中的切线、公切线问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型01 求切线的斜率、倾斜角、切点坐标（★★★） 2 题型02 求在曲线上一点处的切线方程（★★★） 3 题型03 求过一点的曲线的切线方程——待定切点法（★★★） 4 题型04 两条切线平行、垂直问题（★★★） 4 题型05 已知切线或切点求参——方程（组）法（★★★★） 5 题型06 切线的条数问题（★★★★） 6 题型07 与切线有关的最值问题（★★★★★） 6 题型08 利用定理秒杀共切点的公切线问题（★★★★） 7 题型09 对照法速解切点不同的公切线问题（★★★★★） 8 题型10 判断公切线的条数（★★★★★） 9 题型11 利用公切线秒解不等式恒成立问题（★★★★★） 9 03 实战检测·分层突破验成效 10 重难知识巩固 10 创新能力提升 13 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 导数的几何意义 1.导数的几何意义 函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数值． 2.函数的图象在某点处的切线方程 函数的图象在点处的切线方程为. 知识点02 求曲线的切线方程的方法 1．求曲线在点P处的切线方程 第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2．求曲线过点P的切线方程 第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【注意】区分在某点处的切线与过某点的切线 (1)在某点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条. (2)过某点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条. 知识点03 与切线有关的几大秒杀定理（大招拓展） 1．切线求和定理 函数在点处的切线方程分别为,则函数在点处的切线方程为 2．共切点公切线定理 当y＝f(x)与y＝g(x)相切于同一点，设切点为P，则有 题型精研·技巧通法提能力 题型01 求切线的斜率、倾斜角、切点坐标 【技巧通法·提分快招】 利用导数求切线的斜率、倾斜角或切点坐标的策略 核心是运用导数的几何意义：函数在某点的导数即为该点处切线的斜率. 1.已知切点：对函数求导，代入切点横坐标得斜率，再由斜率计算倾斜角. 2.已知过非切点的点：设切点为，导数得斜率，同时斜率满足两点斜率公式，联立方程求解切点与斜率. 3.已知倾斜角：先得斜率，令导数等于k，解方程得切点横坐标，代入原函数得纵坐标. 1.（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知函数，则曲线在处的切线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·黑龙江·期末）曲线在处的切线斜率为（    ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·福建·阶段检测）已知函数，则曲线在处的切线斜率为_________. 5．（25-26高二下·湖北·期末）若直线是函数图象的切线，则其切点坐标为________. 题型02 求在曲线上一点处的切线方程 【技巧通法·提分快招】 利用公式法秒求切线方程 函数的图象在点处的切线方程为，因而求在曲线上一点P处的切线方程时，先求得点P处的导数值，即得切线的斜率值，再将点P的坐标代入上述切线方程，整理即得所求. 1．（2026·全国一卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·全国·模拟预测）已知函数，则曲线在处的切线方程是（     ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北武汉·模拟预测）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·黑龙江绥化·开学考试）曲线在点处的切线方程为______． 题型03 求过一点的曲线的切线方程——待定切点法 【技巧通法·提分快招】 待定切点法求过一点的曲线的切线方程 1.求曲线的切线方程要分清“在某点处”与“过某点”的切线方程的不同.若切点未知，要先设出切点坐标，再依据条件建立方程(组)求解. 2．待定切点法的具体步骤：设出切点坐标后，由点斜式得到切线方程，再由该切线过已知点列出关于切点横坐标的方程，解方程求得切点坐标，从而即可求得切线方程. 1．过点作曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．过点且与曲线相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26高三上·山东潍坊·阶段检测）已知函数，若，函数过点的切线方程为_______________． 4．（25-26高二下·四川成都·期中）函数过的切线方程为_______________． 5．（25-26高二下·江西宜春·期中）已知曲线， (1)求函数的单调区间； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 题型04 两条切线平行、垂直问题 【技巧通法·提分快招】 两切线平行、垂直问题的求解策略 1．平行判定：令两切点处导数值相等，额外排除两条切线重合的特殊情况，即可求解切点参数. 2．垂直判定：令两切点处导数值乘积为-1，注意补充验证其中一条切线斜率为0、另一条斜率不存在（垂直x轴）的特殊场景，再求解对应参数. 1．（25-26高三上·江苏南通·期中）已知曲线在处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D．1 2．已知曲线在点处的切线与直线平行，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 3．（2026高三·全国·专题练习）若曲线的一条切线l与直线垂直，则l的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南湘潭·三模）若曲线在点处的切线与直线平行，则__________． 5．（25-26高二下·江苏无锡·期末）曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为______． 题型05 已知切线或切点求参——方程（组）法 【技巧通法·提分快招】 构造方程（组）破解已知切线或切点求参问题 处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组) ： (1)切点处的导数是切线的斜率； (2)切点在切线上，故满足切线方程； (3)切点在曲线上，故满足曲线方程.1.三次函数的极值与其导函数（二次函数）的根的判别式有关，具体情况详见知识点2. 1.（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．若曲线在处的切线经过点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2.（25-26高三·全国·一轮复习）如图，已知直线l是曲线在处的切线，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河南许昌·三模）若直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（25-26高二上·福建厦门·期末）过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·福建南平·期末）若曲线在点处的切线方程为，则（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·广东江门·期中）曲线的一条切线经过点，则该切线方程为______． 题型06 切线的条数问题 【技巧通法·提分快招】 切线的条数问题求解策略 由切线的条数求参，核心是转化为方程实根个数问题： 1．设曲线切点为(x0，f(x0))，求导得切线斜率，写出切线方程； 2．结合切线过定点等条件，整理出关于x0的方程，将切线条数等价于该方程的实根个数； 3．研究函数g(x)的单调性、极值与最值，结合图像走势，分析参数对实根个数的影响，确定参数取值范围； 4．注意排除切线重合的特殊情况，避免重复计数. 1.（2026·安徽安庆·三模）过曲线：外一点作的切线，恰好可作两条，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）已知函数，若对任意，过点均仅可作曲线的一条切线，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 3．（25-26高二下·浙江金华·期末）若曲线存在过原点的切线，则实数的取值范围为________ 4．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围为______ 5．（2026·河北雄安·三模）过点可向曲线作三条切线，则实数的取值范围为________． 题型07 与切线有关的最值问题 【技巧通法·提分快招】 与切线有关的最值问题求解策略 1.设切点(x0，f(x0))，利用导数得切线斜率，写出切线方程； 2.将切线相关目标量（如斜率、截距、定点到切线距离等）表示为关于x0的函数； 3.对求导，找导数为0的点，分析单调性确定极值点； 4.比较极值点与定义域端点的函数值，得到最值. 1.在平面直角坐标系中，，为曲线上一动点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 2．（24-25高三上·河北保定·开学考试）函数图象上的点到直线距离的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 3．（24-25高三上·江苏南通·月考）设函数.若函数在和的切线互相平行，则两平行线之间距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．已知点 P 在函数 的图象上，则P 点到直线的距离的最小值为 . 5．（24-25高三下·河南周口·开学考试）记曲线关于直线的对称曲线为，则上任意一点与上任意一点之间距离的最小值为 ． 题型08 利用定理秒杀共切点的公切线问题 【技巧通法·提分快招】 共切点公切线定理： 当y＝f(x)与y＝g(x)相切于同一点，设切点为P，则有 当两曲线的公切线切点相同时，可利用上述定理直接列方程，从而确定参数的取值. 1．（25-26高二下·甘肃·期中）已知两函数，的图象有公共点，且在一个公共点处的切线重合，则（    ） A．0 B．1 C．0或 D．0或1 2．（2026·辽宁抚顺·一模）若曲线与曲线在它们的公共点处有相同的切线，则_______． 3．（24-25高三上·河北石家庄·期末）若函数与在公共点处存在公共的切线，则 ． 4．（25-26高三·全国·一轮复习）已知两函数，的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则a的值为______． 5．（2026·江苏连云港·模拟预测）曲线与曲线在它们的某个公共点处有公切线，则正数的值为________． 题型09 对照法速解切点不同的公切线问题 【技巧通法·提分快招】 对照法速解切点不同的公切线问题 若函数y＝f(x)与y＝g(x)的公切线的切点不同，先设y＝f(x)上的切点A(x1，f(x1))，得到切线方程y－f(x1)＝f'(x1)(x－x1)；再设y＝g(x)上的切点B(x2，g(x2))，得到切线方程y－g(x2)＝g'(x2)(x－x2)，因为切线是同一条直线，故对照可得到两个等式f'(x1)＝g'(x2)，f(x1)－x1f'(x1)＝g(x2)－x2g'(x2)，再通过解方程确定公切线方程的系数，从而得到公切线方程. 1．（山东聊城市2026-2027学年高三上学期9月学习质量综合评估数学试题）已知直线与曲线和均相切，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·四川内江·期末）函数，的图象的公切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·贵州安顺·期末）若函数的图象在点处的切线与函数的图象在点处的切线相同，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南·三模）若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．e 5．（25-26高三上·江苏·开学考试）若直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，若，则线段的长度为（    ） A．2 B． C． D． 6．(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝　　　　. 7．（2025·福建福州·三模）曲线与的一条公切线的方程为 .（只需写出其中一条公切线的方程） 题型10 判断公切线的条数 【技巧通法·提分快招】 零点个数法解析公切线的条数问题 1.判断公切线的条数：运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数，通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况． 2．由公切线条数求参：利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率k的函数，转化成函数的零点问题或两函数的交点问题，利用函数的性质或图象求解． 1.(2026·广州模拟)曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝ln x公切线的条数是(　　) 2．（2025·陕西·模拟预测）曲线与的公切线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2026·湖南岳阳·三模）已知，函数的定义域为的定义域为，若与恰好有2条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河南南阳·三模）已知函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数_____. 5．（24-25高二下·河北唐山·期末）若函数与（其中）的图象有两条公共切线，则实数的取值范围是____________． 6．（2026·福建泉州·模拟预测）已知曲线和有两条公切线，其中一条为直线，则另外一条公切线的方程为________． 题型11 利用公切线秒解不等式恒成立问题 【技巧通法·提分快招】 利用公切线秒解不等式恒成立问题 核心逻辑：不等式f(x)≥g(x)恒成立等价于f(x)图象全程位于g(x)上方、无交点，公切线是两函数位置关系的临界边界，切点处两函数的函数值、导数值均相等. 求解步骤：先设公切线方程，联立两函数的切点等式解出切线参数与切点坐标，再验证公切线为两函数的共同分界，即可快速推导参数范围，规避复杂分类讨论. 1．（2026·山西运城·二模）若对恒成立，则当取得最小值时，（   ） A． B．1 C． D．2 2．（25-26高二下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知，若对任意，恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高二下·河南郑州·期末）已知不等式 在上恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·河南濮阳·期末）已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为________． 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（26-27高三上·浙江·开学考试）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·北京·期中）点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河南·模拟预测）已知曲线的一条切线的方程为，则实数（    ） A．0 B．1 C．-1 D． 4．（25-26高二下·天津蓟州·期中）过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·湖南怀化·开学考试）已知抛物线上两点，处的切线互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知点是曲线上的点，若该曲线有两条斜率为的切线，则这两条切线间的距离为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·河北承德·期末）若直线与曲线（为自然对数的底数）相切于点，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·广西·模拟预测）将曲线绕坐标原点顺时针旋转后第一次与x轴相切，则（    ）． A．e B． C．3e D． 9．（25-26高二下·广东深圳·期中）若直线是曲线与曲线的公切线，（     ） A． B．1 C．e D． 10．（2026·河北秦皇岛·三模）若直线同时是曲线和曲线的切线，则斜率的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 11．（25-26高二下·湖南·期末）设函数，，在平面直角坐标系中画出，的图象观察，使得不等式恒成立的a的值可以为（     ） A．4 B．1 C． D． 12．（多选）（25-26高三上·江西·阶段检测）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B． C．当时， D．曲线在点处的切线方程为 13．(多选)（25-26高二下·江苏南通·期末）设函数，则（   ） A．在区间上单调递增 B．直线是曲线的对称轴 C．直线是曲线的切线 D．有三个零点 14．(多选)（25-26高三上·福建·期末）已知函数，则（    ） A．有三个零点 B．有两个极值点 C．点是曲线的对称中心 D．曲线有三条过点的切线 15．（2026高三·全国·专题练习）设是可导函数，且满足，则在点处的切线的斜率为______． 16．（2026·湖北十堰·模拟预测）已知曲线在点处的切线方程为，则________． 17．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）已知函数，且曲线在点处的切线方程为.则曲线上点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为______. 18．（25-26高三下·安徽阜阳·阶段检测）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ______ ． 19．（2026·陕西咸阳·三模）已知函数（）.若，则在点处的切线方程为____________；若对于图象上的任意两点A，B，恒有直线的倾斜角成立，则a的取值范围是_____________. 20．（2025·山东青岛·一模）已知函数图象的两条切线相互垂直，并分别交轴于A，B两点，则 . 21.（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知函数，（），若曲线与曲线在公共点处的切线相同，则的值为________. 22．（26-27高三上·安徽·开学考试）若函数，且曲线在点处的切线方程为，其中，，则_________；在区间上的最大值与最小值之和为_________． 23．（25-26高二下·山东青岛·期末）已知，（其中是自然对数的底数），则的最小值为_________． 24．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知函数在处取得极小值． (1)求实数，的值； (2)若的切线过点，求的最大值． 创新能力提升 1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）过坐标原点可作曲线的切线条数为（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 2．（26-27高三上·江西吉安·开学考试）已知抛物线的焦点为，点在上，过点作在该点处的切线的垂线，交直线于点．若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线：的焦点坐标为，点，过点作直线交抛物线于，两点，过，分别作抛物线的切线，设两条切线交点为，且两切线分别交轴于，两点，则面积的最小值为（    ）． A． B． C． D． 4．已知函数，若至少存在两个实数，使得，，成等差数列，则过坐标原点作曲线的切线可以作（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 5．(多选)（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知函数分别在点，处取极大值和极小值，曲线和轴的三个交点依次为，，（），为曲线上异于，，的动点，则（    ） A． B．四边形为平行四边形 C．在曲线上存在三个不同的点的切线与直线平行 D．，，的斜率之和与曲线在处的切线斜率相等 6.（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）令，对抛物线，持续实施下面牛顿切线法的步骤： 在点处作抛物线的切线交x轴于； 在点处作抛物线的切线交x轴于； 在点处作抛物线的切线交x轴于；…… 由此能得到一个数列，它的各项就是方程的近似解，按照数列的顺序越来越精确，其中记，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．用“二分法”求方程在上的近似解，在第三步得到的结果记为m，用“牛顿切线法”在第三步得到的结果记为n；则． D．用“二分法”求方程在上的近似解，在第三步得到的结果记为m，用“牛顿切线法”在第三步得到的结果记为n，则． 7．（24-25高三下·上海松江·月考）设定义在上的函数在点处的切线方程为，当时，若在内恒成立，则称点为函数的“类对称中心点”，则函数的“类对称中心点”的坐标是 ． 8．（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数，设曲线在点处切线的斜率为．若均不相等，且，则的最小值为__________________． 9．（2026·辽宁沈阳·三模）已知函数，其中，.过点作函数图像的切线，令各切点的横坐标构成数列.则数列的所有项之和的值为______. 10．已知函数. (1)求函数的单调区间. (2)定义：若函数满足对于任意的实数k，b，直线与函数的图象总相切，则称函数具有性质. （i）证明：当时，“”是“函数具有性质”的充要条件； （ii）若函数具有性质，记，试判断是否具有性质. 11．（24-25高三上·江西·月考）定义：设函数的图象上一点处的切线为在处的垂线也与的图象相切于另一点，则称和为的一组“垂切线”，为“垂切点”．已知三次函数和为的一组“垂切线”，其中为的垂切点，与相切于点． (1)求曲线在点处的切线方程；（用和b表示） (2)若对任意都存在使，求正数的取值范围； (3)证明：点和之间连线段的长度不小于． 参考公式：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优03 一网打尽导数中的切线、公切线问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型01 求切线的斜率、倾斜角、切点坐标（★★★） 2 题型02 求在曲线上一点处的切线方程（★★★） 4 题型03 求过一点的曲线的切线方程——待定切点法（★★★） 6 题型04 两条切线平行、垂直问题（★★★） 9 题型05 已知切线或切点求参——方程（组）法（★★★★） 10 题型06 切线的条数问题（★★★★） 13 题型07 与切线有关的最值问题（★★★★★） 17 题型08 利用定理秒杀共切点的公切线问题（★★★★） 20 题型09 对照法速解切点不同的公切线问题（★★★★★） 22 题型10 判断公切线的条数（★★★★★） 26 题型11 利用公切线秒解不等式恒成立问题（★★★★★） 31 03 实战检测·分层突破验成效 35 重难知识巩固 35 创新能力提升 49 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 导数的几何意义 1.导数的几何意义 函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数值． 2.函数的图象在某点处的切线方程 函数的图象在点处的切线方程为. 知识点02 求曲线的切线方程的方法 1．求曲线在点P处的切线方程 第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2．求曲线过点P的切线方程 第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【注意】区分在某点处的切线与过某点的切线 (1)在某点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条. (2)过某点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条. 知识点03 与切线有关的几大秒杀定理（大招拓展） 1．切线求和定理 函数在点处的切线方程分别为,则函数在点处的切线方程为 2．共切点公切线定理 当y＝f(x)与y＝g(x)相切于同一点，设切点为P，则有 题型精研·技巧通法提能力 题型01 求切线的斜率、倾斜角、切点坐标 【技巧通法·提分快招】 利用导数求切线的斜率、倾斜角或切点坐标的策略 核心是运用导数的几何意义：函数在某点的导数即为该点处切线的斜率. 1.已知切点：对函数求导，代入切点横坐标得斜率，再由斜率计算倾斜角. 2.已知过非切点的点：设切点为，导数得斜率，同时斜率满足两点斜率公式，联立方程求解切点与斜率. 3.已知倾斜角：先得斜率，令导数等于k，解方程得切点横坐标，代入原函数得纵坐标. 1.（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知函数，则曲线在处的切线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，令，则，解得， 则曲线在处的切线的倾斜角为. 2．（25-26高二下·黑龙江·期末）曲线在处的切线斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】 . ，故曲线在处的切线斜率为0. 3．（2026高三·全国·专题练习）已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，结合基本不等式可得，得到答案 【详解】． 设，则， ， ， ∵，∴． 4．（25-26高二下·福建·阶段检测）已知函数，则曲线在处的切线斜率为_________. 【答案】/ 【详解】因为，则，所以， 解得，所以曲线在处的切线斜率为. 5．（25-26高二下·湖北·期末）若直线是函数图象的切线，则其切点坐标为________. 【答案】 【分析】设所求切点为，可得,解方程即可求解. 【详解】设所求切点为，由于, 所以，解得： 则其切点坐标为 题型02 求在曲线上一点处的切线方程 【技巧通法·提分快招】 利用公式法秒求切线方程 函数的图象在点处的切线方程为，因而求在曲线上一点P处的切线方程时，先求得点P处的导数值，即得切线的斜率值，再将点P的坐标代入上述切线方程，整理即得所求. 1．（2026·全国一卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 2．（2026·全国·模拟预测）已知函数，则曲线在处的切线方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对函数求导，求出的值，然后求切点坐标与切线的斜率，利用点斜式求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以，所以，故切点为， 又切线的斜率为：， 所以曲线在处的切线方程为：即. 3．（2025·湖北武汉·模拟预测）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用商的导数来求导，再利用导数的几何意义来求切线斜率，从而可求切线方程，即可求切线与两坐标轴所围成的面积. 【详解】求导得：，则， 又因为，所以曲线在点处的切线方程为， 则与轴相交于点，与轴相交于点， 所以与两坐标轴所围成的三角形的面积为， 故选：C. 4．（26-27高三上·黑龙江绥化·开学考试）曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【分析】先根据导数的几何意义，求出直线的斜率，再利用点斜式方程求出切线方程． 【详解】曲线，，切线的斜率为， 又当时，，切线过点， 曲线在处的切线方程是：，即. 5.（2026·山东聊城·二模）已知函数，若为偶函数，则在处的切线方程为_________. 【答案】 【分析】根据偶函数的定义求得，再根据导数的几何意义求解即可. 【详解】由题得，解得， 可得的定义域为. 又因为为偶函数，其定义域关于原点对称， 所以，则， 此时，满足为偶函数. 当时，，则， 所以， 则在处的切线方程为. 题型03 求过一点的曲线的切线方程——待定切点法 【技巧通法·提分快招】 待定切点法求过一点的曲线的切线方程 1.求曲线的切线方程要分清“在某点处”与“过某点”的切线方程的不同.若切点未知，要先设出切点坐标，再依据条件建立方程(组)求解. 2．待定切点法的具体步骤：设出切点坐标后，由点斜式得到切线方程，再由该切线过已知点列出关于切点横坐标的方程，解方程求得切点坐标，从而即可求得切线方程. 1．过点作曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知函数的定义域为， 设切点坐标为，则可得， 此时切线斜率为，因此切线方程为， 代入点可得，即， 解得，即切点坐标为. 故选：C 2．过点且与曲线相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】设过点的曲线的切线为： ， 有, 解得或, 代入可得或. 故选： 3．（25-26高三上·山东潍坊·阶段检测）已知函数，若，函数过点的切线方程为_______________． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义求解即可. 【详解】若，则，所以， 设过点的切线与函数的切点为， 则， 所以切线方程为， 代入点得， 即， 解得， 故切线方程为 4．（25-26高二下·四川成都·期中）函数过的切线方程为_______________． 【答案】或 【分析】分点是切点和点不是切点两种情况讨论，再分别求出这两种情况时的切线的斜率即可求出对应的切线方程． 【详解】由， 又，则点在函数的图象上， 又， 当是切点时，切线的斜率为， 此时函数的切线为，即； 当不是切点时，设切点为，， 则切线的斜率为， 整理得，解得，或（舍去）， 则切线的斜率， 此时函数的切线为，即． 综上，切线方程为或． 5．（25-26高二下·江西宜春·期中）已知曲线， (1)求函数的单调区间； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【详解】（1）函数定义域为， 由函数，可得 ， 令，得或， 令，得， 所以函数的单调递增区间为： ； 递减区间为：. （2）因为点不在曲线上， 设切点为，所以 ， 所以切线方程为 ， 又因为在切线上，所以 ， 即 ，解得或 则， 当切点为时，切线的斜率为 ，切线方程为； 当切点为时，切线的斜率为 ，此时切线方程为， 综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或 题型04 两条切线平行、垂直问题 【技巧通法·提分快招】 两切线平行、垂直问题的求解策略 1．平行判定：令两切点处导数值相等，额外排除两条切线重合的特殊情况，即可求解切点参数. 2．垂直判定：令两切点处导数值乘积为-1，注意补充验证其中一条切线斜率为0、另一条斜率不存在（垂直x轴）的特殊场景，再求解对应参数. 1．（25-26高三上·江苏南通·期中）已知曲线在处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义可得曲线在处的切线斜率，再结合直线垂直运算求解. 【详解】因为，则，可得， 即曲线在处的切线斜率， 且直线的斜率， 由题意得，解得. 故选：A. 2．已知曲线在点处的切线与直线平行，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【详解】解：由题意可知：函数的导函数为 过P点的切线与直线平行 ，解得 当时，，此时切线方程为，即； 当时，，此时切线方程为，即. 所以点P的坐标是（2，14）或（-2，-14） 故选:C 3．（2026高三·全国·专题练习）若曲线的一条切线l与直线垂直，则l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，切线对应切点为，由题设可得，据此可得答案. 【详解】设，切线对应切点为，因切线与垂直， 则，则切点为，切线方程为. 4．（2026·湖南湘潭·三模）若曲线在点处的切线与直线平行，则__________． 【答案】/ 【详解】由，可得．当时，． 因为曲线在点处的切线与直线平行， 所以． 5．（25-26高二下·江苏无锡·期末）曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为______． 【答案】 【分析】先对函数求导，进而求出切线斜率，根据两直线垂直列方程求解. 【详解】，， 在点处的切线的斜率为， 在点处的切线与直线垂直， 所以，即， 则. 题型05 已知切线或切点求参——方程（组）法 【技巧通法·提分快招】 构造方程（组）破解已知切线或切点求参问题 处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组) ： (1)切点处的导数是切线的斜率； (2)切点在切线上，故满足切线方程； (3)切点在曲线上，故满足曲线方程.1.三次函数的极值与其导函数（二次函数）的根的判别式有关，具体情况详见知识点2. 1.（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．若曲线在处的切线经过点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】由，得， 在处，，， 所以切线方程为， 即． 该切线经过点，故， 解得． 2.（25-26高三·全国·一轮复习）如图，已知直线l是曲线在处的切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知，曲线在处的切线过点和点， 则此切线的斜率为． 3．（2025·河南许昌·三模）若直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】设切点为，根据导数的几何意义求得，再由切点在直线和曲线上有，即可求. 【详解】设直线与曲线的切点为， 对求导，得，直线的斜率为1， 导数的几何意义知，在切点处，即． 又切点既在直线上又在曲线上， 且，即． 将代入，得：，即． 故选：A 4．（25-26高二上·福建厦门·期末）过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点坐标为，则，利用导数求出切线方程，将原点坐标代入切线方程，求出的值，即可得出切点坐标. 【详解】设切点坐标为，则， 对函数求导得，切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为， 将原点坐标代入切线方程得，解得，故切点坐标为. 故选：A. 5．（25-26高二下·福建南平·期末）若曲线在点处的切线方程为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，； ，，则切点， 曲线在点处的切线方程为，即； ，解得. 6．（25-26高二下·广东江门·期中）曲线的一条切线经过点，则该切线方程为______． 【答案】 【详解】已知，则， 设切点坐标为，则切线斜率为， 此时切线方程为， 因为曲线的一条切线经过点， 所以，即， 因为恒成立，所以，此时切线斜率，切点坐标为， 则该切线方程为，即. 题型06 切线的条数问题 【技巧通法·提分快招】 切线的条数问题求解策略 由切线的条数求参，核心是转化为方程实根个数问题： 1．设曲线切点为(x0，f(x0))，求导得切线斜率，写出切线方程； 2．结合切线过定点等条件，整理出关于x0的方程，将切线条数等价于该方程的实根个数； 3．研究函数g(x)的单调性、极值与最值，结合图像走势，分析参数对实根个数的影响，确定参数取值范围； 4．注意排除切线重合的特殊情况，避免重复计数. 1.（2026·安徽安庆·三模）过曲线：外一点作的切线，恰好可作两条，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义求出函数的切线方程，代入点，整理得，令，利用导数确定函数的单调区间及极值，作出图象，结合图象求解即可. 【详解】设切点为， 据题意：这样的切点有两个， 即关于的方程有且仅有两根. 因为， 所以切线方程为， 即为过切点的切线， 又在此切线上， 所以， 即， 所以， 令， 所以， 所以，则或， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值为，极小值为， 当趋于时，趋于，当趋于时，趋于， 作出函数的图象，如图所示： 又不在曲线C上，所以， 由的图象可知. 2．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）已知函数，若对任意，过点均仅可作曲线的一条切线，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】设切点坐标，求导确定切线方程，代入，得到，由方程根的个数，转换成在上单调，进而可求解. 【详解】由，定义域为， 导数，设切点为 ， 切线斜率为​， 则切线方程：，又切线过点 ， 代入整理得： 由题意对任意，方程关于仅有一个解， 即函数在上单调， 求导得： ​ ，又， 符号由分子 决定， 要让单调，需恒正或恒负对所有成立， 当时，恒成立，此时当时，恒正或恒负不成立， 当时，若恒正或恒负对所有成立， 需满足和有相同零点， 有正根​​，，得， 即，解得​； 此时 对所有恒成立， 仅处等号成立，在单调递减，且，， 故对任意，方程仅有一个解，符合要求； 因此. 3．（25-26高二下·浙江金华·期末）若曲线存在过原点的切线，则实数的取值范围为________ 【答案】 【分析】设曲线上任意一点为，将问题转化为方程有解，据此可得答案. 【详解】设曲线上任意一点为，则. 因，则曲线在的切线方程为： . 因存在切线过原点，将代入切线方程，得方程有解. 因，则方程有解或. 4．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围为______ 【答案】 【分析】设出曲线的切点坐标，写出切线方程后代入点A坐标，将切线条数转化为关于切点横坐标的一元二次方程的实根个数，利用判别式求解参数的取值范围. 【详解】由，得： ， 即切点处切线斜率为， 切线方程为：， 将代入切线方程， 整理得： ， 过点有两条切线，等价于上述关于的一元二次方程有两个不相等的实根， 计算判别式：， 解得或，即或 因此的取值范围是. 5．（2026·河北雄安·三模）过点可向曲线作三条切线，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】设切点坐标为，借助导数的几何意义计算可得切线方程为，将点代入，可得，构造相应函数，则可得该函数的图象与直线有三个不同交点，借助导数研究单调性后计算即可得解. 【详解】设曲线的切点坐标为，， 则切线方程为， 点在该直线上，有， 整理得， 由题意可得函数的图象与直线有三个不同交点， ， 则当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， ，， 又当时，，时，， 故当时，函数的图象与直线有三个不同交点， 即实数的取值范围为. 题型07 与切线有关的最值问题 【技巧通法·提分快招】 与切线有关的最值问题求解策略 1.设切点(x0，f(x0))，利用导数得切线斜率，写出切线方程； 2.将切线相关目标量（如斜率、截距、定点到切线距离等）表示为关于x0的函数； 3.对求导，找导数为0的点，分析单调性确定极值点； 4.比较极值点与定义域端点的函数值，得到最值. 1.在平面直角坐标系中，，为曲线上一动点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】依题意，当曲线在处的切线垂直于时，取得最小值， 设，求导得，则， 整理得，而函数在上单调递增， 又，因此，点，所以. 故选：D 2．（24-25高三上·河北保定·开学考试）函数图象上的点到直线距离的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】设与直线平行且与函数图象相切的直线方程为，利用导数的几何意义求得切点，再求出切点到直线的距离，即得答案. 【详解】设与直线平行且与函数图象相切的直线方程为， 设切点为， 又因为，所以，解得， 所以切点， 又因为点到直线的距离为， 所以函数图象上的点到直线的距离的最小值是. 故选：A. 3．（24-25高三上·江苏南通·月考）设函数.若函数在和的切线互相平行，则两平行线之间距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义及平行关系求出切线方程，进而求出最大距离. 【详解】函数，求导得， 依题意，，即，解得， 则两条切线的斜率为，对应的两个切点为， 切线方程为和，即和， 切线过定点，切线过定点， 所以两平行线之间距离的最大值为. 故选：C 4．已知点 P 在函数 的图象上，则P 点到直线的距离的最小值为 . 【答案】 【详解】，，得， 当，，单调递增，，，单调递减， 所以当时，取得最大值， 如图，当与直线平行的直线与的图象相切时，此时切点到直线的距离最小， ，得，即切点， 点到直线的距离为. 5．（24-25高三下·河南周口·开学考试）记曲线关于直线的对称曲线为，则上任意一点与上任意一点之间距离的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】先分析曲线与直线是否存在交点，若存在交点则距离的最小值为，若不存在交点，则问题转化为与直线平行的切线所对应的切点到直线的距离. 【详解】因为，所以与没有公共点， 则上任意一点与上任意一点之间距离的最小值为上任意一点与上任意一点之间距离最小值的2倍． 设为上的一点， 因，则过点的切线斜率为， 令，则， 故是递增函数，且当时，， 则存在唯一解，此时过点的切线与平行， 所以上任意一点与上任意一点之间距离的最小值为点到直线的距离， 即， 所以上任意一点与上任意一点之间距离的最小值为． 故答案为：. 题型08 利用定理秒杀共切点的公切线问题 【技巧通法·提分快招】 共切点公切线定理： 当y＝f(x)与y＝g(x)相切于同一点，设切点为P，则有 当两曲线的公切线切点相同时，可利用上述定理直接列方程，从而确定参数的取值. 1．（25-26高二下·甘肃·期中）已知两函数，的图象有公共点，且在一个公共点处的切线重合，则（    ） A．0 B．1 C．0或 D．0或1 【答案】D 【分析】根据切线重合列方程，求得切点的横坐标，进而求得的值. 【详解】设两函数，的图象公共点的坐标为，则有①. 分别对两函数求导可得及， 由两函数在公共点处的切线重合，可得两函数在处的斜率相等， 即，即，解得或. 将代入①可得；将代入①可得，解得， 所以的值为0或1. 2．（2026·辽宁抚顺·一模）若曲线与曲线在它们的公共点处有相同的切线，则_______． 【答案】或 【分析】设公共点为，根据公共点的导数值相等求出切点，再利用导数的几何意义即可求解. 【详解】由，所以，又由，所以， 设公共点为， 所以，由，即，解得或， 当时，，解得， 当时，，解得. 3．（24-25高三上·河北石家庄·期末）若函数与在公共点处存在公共的切线，则 ． 【答案】 【分析】设公共点坐标为，由题意可得，进而可得. 【详解】函数与的导数分别为与， 设公共点坐标为，则， 所以，又因为，故，，所以． 4．（25-26高三·全国·一轮复习）已知两函数，的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则a的值为______． 【答案】0或1 【分析】利用切线重合列方程，求得切点的横坐标，进而求得的值. 【详解】设公共的切点为，则在函数中，当时，， 则在点处的切线方程为：， 在函数中，当时，， 同理可得在P点处的切线方程为：， 又两个函数在公共点处的切线重合，所以， 解方程组可得或，所以a的值为0或1． 5．（2026·江苏连云港·模拟预测）曲线与曲线在它们的某个公共点处有公切线，则正数的值为________． 【答案】 【详解】，. 设曲线与曲线在点处有公切线， 所以，即，解得，. 所以，正数的值为5. 题型09 对照法速解切点不同的公切线问题 【技巧通法·提分快招】 对照法速解切点不同的公切线问题 若函数y＝f(x)与y＝g(x)的公切线的切点不同，先设y＝f(x)上的切点A(x1，f(x1))，得到切线方程y－f(x1)＝f'(x1)(x－x1)；再设y＝g(x)上的切点B(x2，g(x2))，得到切线方程y－g(x2)＝g'(x2)(x－x2)，因为切线是同一条直线，故对照可得到两个等式f'(x1)＝g'(x2)，f(x1)－x1f'(x1)＝g(x2)－x2g'(x2)，再通过解方程确定公切线方程的系数，从而得到公切线方程. 1．（山东聊城市2026-2027学年高三上学期9月学习质量综合评估数学试题）已知直线与曲线和均相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义，分别设直线与两条曲线的切点，结合切点同时在直线和对应曲线上列方程，求解、的值即可得到结果. 【详解】设直线与的切点为，与的切点为. 对求导得，可知，且切点在切线上，因此， 对求导得，同理得，且切点在切线上，因此， 由得，代入化简得. 由得，代入得. 将代入上式，整理得，解得，代入得，故. 2．（25-26高二下·四川内江·期末）函数，的图象的公切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义列出方程组求解. 【详解】令公切线与的图象切于点，与的图象切于点， 因，，则，解得， 因此公切线斜率为1，与的图象切于点， 则切线方程为，即. 3．（25-26高二下·贵州安顺·期末）若函数的图象在点处的切线与函数的图象在点处的切线相同，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数导数的几何意义求出两函数的切线方程，然后根据题意建立方程求解即可. 【详解】由，所以切点为， 因为，所以函数的图象在点处的切线斜率为：， 所以函数的图象在点处的切线方程为：即，① 由，所以切点为， 因为，所以函数的图象在点处的切线斜率为：， 所以函数的图象在点处的切线方程为： 即，② 由题意知①②的方程相同，所以有：，所以. 4．（2025·湖南·三模）若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．e 【答案】B 【分析】解法一：先对求导得，设与直线切点为，写出切线方程，根据直线得到关于和的方程组，求出. 再对求导，设其与直线切点为，根据导数等于切线斜率以及切点在切线上列方程，求出. 解法二：设两条曲线的切点分别为，，分别根据切点在曲线上、在切线上以及切线斜率列出方程组，求解得到，，再同理求出，进而得到. 【详解】解法一：令，，则， 设直线与的切点为， 则切线方程为，即， 又因为，所以，解得，，所以切线方程为， 令，则， 设直线与的切点为，所以  ①， 又因为切点在直线上，所以，即  ②， 由①和②可得，所以，解得． 解法二：设切点分别为，， ．∴，． 同理．∴，∴，∴． 故选：B． 5．（25-26高三上·江苏·开学考试）若直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，若，则线段的长度为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用导数的几何意义求出公切线的斜率，得到与的关系，再根据切线方程的截距相等求出与的值，最后利用两点间距离公式求得答案. 【详解】由，得曲线在点处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，令，得， 由，得曲线在处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，令，得， 所以，消去可得， 令，，则， 令，则， 令，得，即在上单调递减， 令，得，即在上单调递增， 又时，，故，即， 所以函数在上单调递减，且，所以，则， 所以，， 所以线段的长度为. 故选：C. 6．(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝　　　　. 【答案】ln2 【详解】由题，令f(x)＝ex＋x，则f'(x)＝ex＋1，所以f'＝2，所以曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1.令g(x)＝ln(x＋1)＋a，则g'(x)＝，设直线y＝2x＋1与曲线y＝g(x)相切于点(x0，y0)，则＝2，得x0＝－，则y0＝2x0＋1＝0，所以0＝ln＋a，所以a＝ln 2. 7．（2025·福建福州·三模）曲线与的一条公切线的方程为 .（只需写出其中一条公切线的方程） 【答案】或（写出其中一条即可） 【分析】方法一：分别设切点，，根据导数的几何意义写出对应切线方程，再利用公切线斜率和截距相等形成方程组，解出方程组即可求出公切线方程； 方法二：利用特殊法，发现指对函数中的一条常用斜率为1的切线，再验证是他们的公切线即可. 【详解】（方法一）设，.公切线与相切于点，与相切于点，因为，，则公切线斜率，所以公切线方程为或， 整理得或， 所以，即. 所以，解得或， 所以公切线方程为或. （方法二）由曲线与直线相切知，曲线与直线相切.由曲线与直线相切知，曲线与直线相切.所以直线为曲线与的公切线. 故答案为：或.（写出其中一条即可） 题型10 判断公切线的条数 【技巧通法·提分快招】 零点个数法解析公切线的条数问题 1.判断公切线的条数：运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数，通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况． 2．由公切线条数求参：利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率k的函数，转化成函数的零点问题或两函数的交点问题，利用函数的性质或图象求解． 1.(2026·广州模拟)曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝ln x公切线的条数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】设公切线与y＝x2的切点为(x1，x)， 与y＝ln x的切点为(x2，ln x2)， y＝x2的导数为y′＝2x，y＝ln x的导数为y′＝， 则在切点(x1，x)处的切线方程为y－x＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－x， 则在切点(x2，ln x2)处的切线方程为 y－ln x2＝(x－x2)， 即y＝x＋ln x2－1， ∴ 整理得到x－ln x1＝1＋ln 2， 令f(x)＝x2－ln x，x∈(0，＋∞)， 则f′(x)＝2x－＝， f′(x)>0⇒x>；f′(x)<0⇒0<x<， ∴f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增， f(x)min＝f ＝＋ln 2<1＋ln 2， 即函数f(x)与y＝1＋ln 2的图象如图所示， 由图可知，函数f(x)的图象与直线y＝1＋ln 2有两个交点，则方程x－ln x1＝1＋ln 2有两个不相等的正根，即曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝ln x公切线的条数是2. 2．（2025·陕西·模拟预测）曲线与的公切线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】设出切点，即可根据点斜式求解直线方程，根据公切线列方程得，令，构造，由导数求解方程根的个数即可求解. 【详解】设的切点为，的切点为， ，， 所以在处的切线方程为，即， 在处的切线方程为，即 故且， 故，即， 令，构造， 则， 当在区间单调递增， 在区间单调递减， 故，且当，， 故有两个不相等的实数根， 故公切线的条数为2， 故选：C 3．（2026·湖南岳阳·三模）已知，函数的定义域为的定义域为，若与恰好有2条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设公切线方程为，分别与的图象切于点，与的图象切于点，根据导数的几何意义得出，消去得关于的方程，两边取自然对数后令，定义函数，其定义域为（当）或（当）．利用导数求出的极小值，再根据极小值的正负讨论的解的个数得出参数范围. 【详解】，， 设公切线方程为，直线与的图象切于点，与的图象切于点， 则，，， 所以． 即，由， 得，代入，得关于的方程． 等式两边取对数得， 令，定义函数， 其定义域为（当）或（当）． 则， 当时，在单调递减，在上单调递增，此时在处取极小值； 当时，同理可得在处取极小值， 故有唯一极小值点，极小值为． 的解的个数对应公切线的条数： 若，则有两个解，即有两条公切线； 若，则有一个解，即一条公切线； 若，则无解，即无公切线． 当时，则，分子（因恒成立），故； 当时，可得，令可得，即，解得． 此外，时无公切线，时仅一条． 因此，恰好有两条公切线时的取值范围是． 4．（2026·河南南阳·三模）已知函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数_____. 【答案】 【详解】因为，所以，则， 切线斜率，切线方程：为，即， 设与相切于点， 因此，切点在切线上， ， 即. 5．（24-25高二下·河北唐山·期末）若函数与（其中）的图象有两条公共切线，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【分析】分别在两函数上取点，求出其切线方程，由两切线是同一切线，可得，且此方程有两个大于0的解，设，将问题转化为直线与的图象有两个交点，利用导数确定的单调性及最值，作出图象，利用图象求解即可. 【详解】因为，所以， 设上的点为， 则过此点的切线方程为， 即； 因为， 所以， 设上的点， 则过此点的切线方程为， 即， 由题意可得， 整理得， 即， 由题意可得此方程有2个大于0的解， 设， 则， 令，得， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减； 所以， 又当时，；当时，，且， 又因为直线与的图象有两个交点， 所以， 所以实数的取值范围为.    6．（2026·福建泉州·模拟预测）已知曲线和有两条公切线，其中一条为直线，则另外一条公切线的方程为________． 【答案】 【分析】根据两条曲线的其中一条公切线为，结合导数的几何意义求出，设出另一条切线的两条曲线的切点坐标，得到切线方程，联立方程组求解即可. 【详解】对，求导得， 设切点为，切线斜率，解得，则切点为，切线方程为，满足条件. 对，求导得. 设切点为，则切线斜率为，所以，故切点坐标为， 代入切线中得，，则. 设另一条公切线与相切于，则切线方程为， 即. 设该公切线与相切于，则切线方程为， 即. 所以，解得或. 当时，对应切线方程为，即已知切线方程； 当时，对应切线方程为. 故另外一条公切线的方程为. 题型11 利用公切线秒解不等式恒成立问题 【技巧通法·提分快招】 利用公切线秒解不等式恒成立问题 核心逻辑：不等式f(x)≥g(x)恒成立等价于f(x)图象全程位于g(x)上方、无交点，公切线是两函数位置关系的临界边界，切点处两函数的函数值、导数值均相等. 求解步骤：先设公切线方程，联立两函数的切点等式解出切线参数与切点坐标，再验证公切线为两函数的共同分界，即可快速推导参数范围，规避复杂分类讨论. 1．（2026·山西运城·二模）若对恒成立，则当取得最小值时，（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】整理原不等式得，构造函数，求导分析单调性和零点，进而作出原函数简图并结合图象分析直线截距，再求解即可. 【详解】由，得． 设函数，则，则在上单调递增． 因为，， 所以存在唯一的零点，且． 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，当时，． 作出的大致图象，如图所示，直线的斜率大于0，在轴上的截距为， 由图可知，的最小值为1，此时． 2．（25-26高二下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知，若对任意，恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把原不等式变形为，将问题转化为找一条直线恒位于函数上方，求的最小值，通过研究的单调性，发现当直线与在处相切时，横截距最大，对应最小，得到切线方程，再对比直线方程，即可得解. 【详解】任意，恒成立， 恒成立，即. 令，直线，为直线的横截距， ，在上单调递增，在上单调递减，且， 时，；时，， ∴当直线与在处相切时横截距最大，有最小值，此时，， 即此时. 下证： 令，则，, 在上为正数，在上负数， 所以即在上单调递增，上单调递减， 因为，， 时，；时，， 所以在上为负数，在上为正数， 在单调递减：上单调递增，. 综上所述，当最小时，，此时. 3.（25-26高二下·河南郑州·期末）已知不等式 在上恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过恒成立条件判断出相切，构造出新函数后通过单调性求最值. 【详解】恒成立，则说明始终在上方或相切. 设曲线与直线切于点，因为， 则该点处切线斜率， ，且. . 设，则， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 所以. 4．（25-26高二下·河南濮阳·期末）已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】先化简不等式，将不等式恒成立问题转化为两函数图象的位置关系，再利用导数研究函数的图象，求出直线与曲线相切时的值，最后作出两函数图象，数形结合即可得解． 【详解】因为不等式恒成立， 所以不等式恒成立． 设，， 则由题意知函数的图象恒不在直线的下方， 又， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增， 所以，当时，，当时，， 当时，，且， 又直线恒过点， 当直线与曲线相切时，设切点为， 则，解得或， 故当直线与曲线相切时的值为或． 在同一平面直角坐标系中作出直线与函数的图象如图所示， 结合上图可知，当函数的图象恒不在直线的下方时，实数的取值范围为． 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（26-27高三上·浙江·开学考试）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导得到导函数，代入横坐标得到切线斜率，点斜式写出切线，整理成一般式即可. 【详解】根据题意，当时，，所以切线方程为，即. 2．（25-26高二下·北京·期中）点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 所以，且， 根据图象得． 3．（2025·河南·模拟预测）已知曲线的一条切线的方程为，则实数（    ） A．0 B．1 C．-1 D． 【答案】B 【分析】首先对函数求导，根据切线斜率1和切点坐标即可求出的值. 【详解】与的图象相切，设切点为， 则，故， 由，即，将代入上式，得，故. 故选：B. 4．（25-26高二下·天津蓟州·期中）过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设曲线切点为，利用导数的几何意义与两点间斜率公式得到，解出后代入曲线方程即得切点坐标. 【详解】设切点坐标为，. 由，求导得，则切线的斜率. 因为切线过原点和切点，所以斜率. 又切点在曲线上，则，即得. 解得，即. 将其代入曲线方程得，所以切点坐标为. 5．（26-27高三上·湖南怀化·开学考试）已知抛物线上两点，处的切线互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数的几何意义得出，处的切线斜率，然后利用切线互相垂直得出. 【详解】的导数，由导数的几何意义， 在处的切线斜率为，在处的切线斜率为. 又因为切线互相垂直，所以，所以 6．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知点是曲线上的点，若该曲线有两条斜率为的切线，则这两条切线间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将点的坐标代入曲线方程，求出的值，令，求出两切点的坐标，利用导数求出两切线方程，再利用平行线间的距离公式求解即可. 【详解】因为点是曲线上的点，所以，故曲线对应的函数解析式为， 对函数求导得，令，解得， 当时，，记点， 曲线在点处的切线方程为，即， 曲线在点处的切线方程为，即， 故这两条切线间的距离为. 7．（25-26高二下·河北承德·期末）若直线与曲线（为自然对数的底数）相切于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，则切线斜率为,切点坐标为，故， 而曲线在处的切线方程为， 即，故，，所以． 8．（2026·广西·模拟预测）将曲线绕坐标原点顺时针旋转后第一次与x轴相切，则（    ）． A．e B． C．3e D． 【答案】C 【分析】设直线与曲线相切，且切点为，由导数几何意义得到切线斜率，进而得到方程，求出，切点为，则． 【详解】曲线绕坐标原点顺时针旋转后第一次与x轴相切， 等价于直线与曲线相切， 设切点为，则切线斜率， 又，则， 故，解得，切点为， 则. 9．（25-26高二下·广东深圳·期中）若直线是曲线与曲线的公切线，（     ） A． B．1 C．e D． 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义，求曲线上任意一点的切线方程，再结合公切线列方程求参数值，从而得到公切线为，同理求曲线的切线方程，结合公切线求参数即可. 【详解】设， 设切点为，则切线斜率为， 所以切线方程为，即， 由题意，即，解得， 所以两曲线的公切线为， 设，切点为，则切线斜率为， 则切线方程为，即， 由题意，即，解得. 10．（2026·河北秦皇岛·三模）若直线同时是曲线和曲线的切线，则斜率的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】设两切点，由导数得两切线斜率相等及切点横坐标关系；利用同一直线截距相等建立方程，将斜率表示为参数的函数，求导确定单调性后得最小值. 【详解】设直线与切于，与切于. 求导得，，因此公切线斜率， 整理得①. 的切线方程为； 的切线方程为. 同一直线截距相等，消去同类项得②， 将①代入②，得关于的函数. 对求导得，令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此时取最小值，即. 11．（25-26高二下·湖南·期末）设函数，，在平面直角坐标系中画出，的图象观察，使得不等式恒成立的a的值可以为（     ） A．4 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】在平面直角坐标系中分别画出，的图象观察即可求解 【详解】在平面直角坐标系中画出，以及的图象， 若，则将向下平移个单位，此时不满足恒成立， 由于，要使恒成立，则必有， 即，所以， 当时，，，， 在的切线方程为， 所以要使恒成立，则，故A正确. 12．（多选）（25-26高三上·江西·阶段检测）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B． C．当时， D．曲线在点处的切线方程为 【答案】AC 【分析】化简函数，通过奇函数的定义求证判断A；求出判断B；化简，结合基本不等式判断C；化简函数，求导，利用点斜式求方程判断D. 【详解】对于A，设，定义域为， 则，故为奇函数，A正确； 对于B，，则， 故，B错误； 对于C，当时，， 当且仅当时，等号成立，C正确； 对于D，设，则，则， 则曲线在点处的切线方程为，即，D错误. 故选：AC 13．(多选)（25-26高二下·江苏南通·期末）设函数，则（   ） A．在区间上单调递增 B．直线是曲线的对称轴 C．直线是曲线的切线 D．有三个零点 【答案】ACD 【分析】利用导数求解单调性判断A，利用函数对称性的性质判断B，利用斜率的几何意义并结合导数判断C，求解出零点判断D即可. 【详解】对于A，因为，所以， 当时，恒成立，则在区间上单调递增，故A正确， 对于B，由题意得，， 得到，则直线不是曲线的对称轴，故B错误， 对于C，设切点为，令， 得到，解得，则切点为， 可得切线方程为，化简得， 得到直线是曲线的切线，故C正确， 对于D，令，则， 因式分解得，解得或或， 则有三个零点，故D正确. 14．(多选)（25-26高三上·福建·期末）已知函数，则（    ） A．有三个零点 B．有两个极值点 C．点是曲线的对称中心 D．曲线有三条过点的切线 【答案】BC 【分析】利用导数研究的单调性、极值及零点存在定理可判断A；利用极值点的定义可判断B，利用奇函数的性质及图象平移可判断C；利用导数几何意义求解可判断D． 【详解】对于B，由题， 令，得或；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是极值点，故B正确； 对于A，由B可知的极大值，极小值， 因为在单调递增，且， 所以函数在定义域上有且仅有两个零点，故A错误； 对于C，令，该函数的定义域为， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向下移动个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 对于D，设切点为，则切线的斜率为， 切线的方程为， 代入，可得， 整理得，即即， 解方程得：或 则过点的切线方程有两条，D错误． 15．（2026高三·全国·专题练习）设是可导函数，且满足，则在点处的切线的斜率为______． 【答案】 【分析】通过换元法将已知极限凑成函数在处的导数定义以求出，再直接利用导数等于切线斜率的几何意义得出答案. 【详解】由导数的定义， 令，且，则， 则， 即在处的导数为， 由导数的几何意义可得在点处的切线的斜率为. 16．（2026·湖北十堰·模拟预测）已知曲线在点处的切线方程为，则________． 【答案】 【详解】曲线求导得， 由题意知，解得， 则点在直线上，故，解得， ． 17．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）已知函数，且曲线在点处的切线方程为.则曲线上点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为______. 【答案】6 【详解】将化为斜截式，可知该切线斜率为， 由题可知该切线过点，则，即，则有， 对求导得，即， 联立解得，即. 因为，所以点处的切线方程为， 即. 令，得到，故切线与直线交于点， 令，得到，故切线与直线交于点， 则点处的切线与直线所围成的三角形面积为：. 18．（25-26高三下·安徽阜阳·阶段检测）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ______ ． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义得切线方程为，根据条件，将问题转化成方程有两个不同解，即可求解. 【详解】设切点为，又，所以切线方程为， 又切线过原点，则，整理得到， 由题意知方程有两个不同解，所以，解得或， 所以的取值范围是. 19．（2026·陕西咸阳·三模）已知函数（）.若，则在点处的切线方程为____________；若对于图象上的任意两点A，B，恒有直线的倾斜角成立，则a的取值范围是_____________. 【答案】 【分析】当求出切点坐标和切线斜率，再用点斜式写出方程即可；对于图象上的任意两点A，B，恒有直线的倾斜角成立，由导数的几何意义，等价于对所有恒成立，再分离参数求解即可. 【详解】若，则， 可得则，， 所以在点处的切线方程为，即. 因为对于图象上的任意两点A，B，恒有直线的倾斜角成立， 所以图象上的任意两点A，B连线的斜率 恒成立， 由导数的几何意义，等价于对所有恒成立， 即恒成立， 令， 因为， 当且仅当时取等号，有最大值. 所以，即a的取值范围是. 20．（2025·山东青岛·一模）已知函数图象的两条切线相互垂直，并分别交轴于A，B两点，则 . 【答案】2 【分析】设函数在点和处的两条切线互相垂直，，，由题意分别表示出，，两直线相互垂直可得，进而根据切线方程求出A，B坐标，进而求解即可. 【详解】设函数在点和处的两条切线互相垂直， 如图，可得的零点为1，故不妨设，， 则，， 当时，，， 当时，，， 则，． 所以，即． 因为：，即， ：，即， 则，，因为，且， 故. 故答案为：2. 21.（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知函数，（），若曲线与曲线在公共点处的切线相同，则的值为________. 【答案】 【分析】设出公共切点坐标，利用在该点处两函数值相等且导数值相等列出方程组，通过代入消元并构造辅助函数利用其单调性求出唯一的切点横坐标，最终代回解出参数的值. 【详解】设公共切点的坐标为，其中， 求导得， 由在公共点处切线相同，得 由第二式得， 代入第一式得， 化简得，设， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 且，所以方程有唯一实根， 将代入的表达式中，得. 22．（26-27高三上·安徽·开学考试）若函数，且曲线在点处的切线方程为，其中，，则_________；在区间上的最大值与最小值之和为_________． 【答案】 1 【分析】利用导数与切线方程的关系求解第1个空；利用导数与函数的最值求解第2个空. 【详解】第1个空：对函数求导可得，， 由曲线在点处的切线方程为可得 ， 即,, ，代入解得，； 第2个空：由第1个空可知 ，那么， ， 令， 得或， 令， 得， 故函数单调性如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以,, 故在区间上的最大值与最小值之和为： . 23．（25-26高二下·山东青岛·期末）已知，（其中是自然对数的底数），则的最小值为_________． 【答案】/0.5 【分析】根据两点间的距离公式将看成点与点距离的平方，再由条件得，点在曲线上，点恒在直线上，进而问题转化为求曲线上任意一点到直线的最短距离的平方，由直线的斜率及导数的几何意义可求切点坐标，从而可求最小距离及所求值. 【详解】因为的几何意义是点与点距离的平方： 由条件得， 即点在曲线上，点恒在直线上. 因此问题转化为：求曲线上任意一点到直线的最短距离的平方. 设曲线上一点， ， 因为直线的斜率为，令，，即. 令，则， 因为函数在上单调递增且，所以，得. 将代入，得，所以切点为. 所以切点到直线（即）的距离为，. 因此的最小值为. 24．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知函数在处取得极小值． (1)求实数，的值； (2)若的切线过点，求的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）通过极值点的函数值和导数值列方程组求解参数，并借助导数及极值点定义进行检验； （2）借助导数的几何意义设切点构造函数求最值. 【详解】（1），由题意可得，解得； 检验：此时，， 则当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 故函数在处取得极小值，符合题意， 故，； （2）由（1）得，则， 设过点的切线的切点坐标为， 则， 有， 整理得，令， 则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则的最大值为. 创新能力提升 1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）过坐标原点可作曲线的切线条数为（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【答案】C 【分析】先求出切线方程，再将代入切线方程，通过解方程求出满足条件的切点，最后将满足的切点值代入求出切线的斜率（注意在代入过程中因导数中包括正弦函数项，所以需要对切点值分类讨论），即可求出切线，确定切线条数. 【详解】由题意， 设切点为， 所以切线方程为， 再将代入切线方程， 所以 ， 当时，满足条件， 当时，， 解得， 最后将切点代入，求出切线斜率 当时，，所以切线为， 当，因为导数中包括正弦函数项，所以需要分类讨论， 当，，此时切线为， 当，，此时切线为， 所以切线条数为条. 2．（26-27高三上·江西吉安·开学考试）已知抛物线的焦点为，点在上，过点作在该点处的切线的垂线，交直线于点．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点，先求切线的斜率，进而得垂线的斜率，再求垂线的方程，进而得点的坐标，利用两点的距离公式得，解出，最后利用抛物线的定义即可求解. 【详解】设点，则，又，所以切线的斜率为， 所以过点的切线垂线的斜率为， 所以垂线的方程为，令，解得， 所以，所以， 所以，即， 解得，解得， 所以，所以. 3．（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线：的焦点坐标为，点，过点作直线交抛物线于，两点，过，分别作抛物线的切线，设两条切线交点为，且两切线分别交轴于，两点，则面积的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的性质求出抛物线方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理和导数的几何意义求出点坐标，利用三角形面积公式求出面积表达式，进而求最小值． 【详解】抛物线：的焦点坐标为，已知焦点坐标为， 则，解得，故抛物线方程为， 显然当直线的斜率不存在时不合题意，故可设过点的直线方程为，， 联立得， 由韦达定理，判别式，直线与抛物线恒有2个交点， 对抛物线求导得，则过的切线方程为， 令得切线与轴交点，同理， 故， 联立切线方程得，即，则到轴的距离为， ， 当时取最小值，． 4．已知函数，若至少存在两个实数，使得，，成等差数列，则过坐标原点作曲线的切线可以作（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】B 【分析】先由等差数列条件推出函数中心对称，利用三次函数对称中心为二阶导零点求出；再设切点，根据原点与切点连线斜率等于导数建立三次方程，因式分解结合单调性分析切点横坐标的不同实根个数，得到切线条数． 【详解】若至少存在两个实数，使得，，成等差数列， 可得， 即有的图象关于点对称，， 根据，得， 所以的对称轴为，即，解得， 即有，, 设切点为， 可得切线的斜率为，化为， 设，， 当时，， 单调递减； 当或时，，单调递增， 可得在处取得极大值，且为；在处取得极小值，且为， 可知有两解，即过坐标原点作曲线的切线可以作条， 5．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知函数分别在点，处取极大值和极小值，曲线和轴的三个交点依次为，，（），为曲线上异于，，的动点，则（    ） A． B．四边形为平行四边形 C．在曲线上存在三个不同的点的切线与直线平行 D．，，的斜率之和与曲线在处的切线斜率相等 【答案】ABD 【分析】利用导数的意义求得极大值和极小值，进而计算求得可判断A；计算可得，与不共线，可判断B；由题意得，计算可判断C；设，计算得，结合导数的意义可判断D. 【详解】对于A，由，得， 令，得，解得， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点， 所以极大值， 极小值， 所以，解得，故A正确； 对于B，由A知，令，解得或或， 从而可得曲线和轴的三个交点为，，， 又， 所以，， 所以，与不共线，所以四边形为平行四边形，故B正确； 对于C，由，可得， 令，解得， 所以在曲线上存在两个不同的点的切线与直线平行，故C错误； 对于D，设， 则，，， 所以， 又曲线在处的切线斜率为， 所以，，的斜率之和与曲线在处的切线斜率相等，故D正确. 6.（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）令，对抛物线，持续实施下面牛顿切线法的步骤： 在点处作抛物线的切线交x轴于； 在点处作抛物线的切线交x轴于； 在点处作抛物线的切线交x轴于；…… 由此能得到一个数列，它的各项就是方程的近似解，按照数列的顺序越来越精确，其中记，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．用“二分法”求方程在上的近似解，在第三步得到的结果记为m，用“牛顿切线法”在第三步得到的结果记为n；则． D．用“二分法”求方程在上的近似解，在第三步得到的结果记为m，用“牛顿切线法”在第三步得到的结果记为n，则． 【答案】ABD 【分析】A. 利用导数求切线斜率，写出切线方程后令纵坐标为零，解得横坐标即为；B. 对一般点 重复切线步骤，令切线方程纵坐标为零，得递推关系式；C、D. 二分法按区间中点逐步逼近，牛顿法按切线迭代逼近，比较两者与真实根的误差大小. 【详解】，所以，，则在处的切线为， 令，得，即，故A正确； 在处的斜率为， 所以在处的切线方程为， 令，得，即，所以，故B正确； 方程在的正根为， 用“二分法”求方程在上的近似解： 第一步：中点，，新区间； 第二步：中点，，新区间； 第三步：中点. 又用“牛顿切线法”求近似解：，，， 第三步. 故，故C错误，D正确． 7．（24-25高三下·上海松江·月考）设定义在上的函数在点处的切线方程为，当时，若在内恒成立，则称点为函数的“类对称中心点”，则函数的“类对称中心点”的坐标是 ． 【答案】 【分析】求导，根据导数的几何意义可得切线方程，设，求导，判断的正负情况，即可判断“类对称中心”的坐标. 【详解】设“类对称中心”的坐标为， 由，， 得，， 则切线斜率为， 切线方程为， 即， 设， 则， ， 令，解得或， 当时，，在上单调递减， 即当，， 即， 当时，，在上单调递减， 即当时，， 即， 所以在上无“类对称中心”点； 当时，恒成立，在上单调递增， 即当时，，， 当时，，， 此时函数有“类对称中心”点，为， 即， 故答案为：. 8．（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数，设曲线在点处切线的斜率为．若均不相等，且，则的最小值为__________________． 【答案】9 【分析】通过求导以及导数的几何意义计算得到，，之间的关系，由基本不等式即可求解. 【详解】已知函数，对函数求导得，， 根据导数的几何意义，有，，， 因为，所以， 令，， 则，因此，而，所以， 而，，, 代入，得，， 而由基本不等式得，， 当且仅当时取等， 故的最小值为 9．（2026·辽宁沈阳·三模）已知函数，其中，.过点作函数图像的切线，令各切点的横坐标构成数列.则数列的所有项之和的值为______. 【答案】 【分析】先求函数导数，写出切线方程并代入点坐标，整理得到。利用方程根关于对称的性质，结合区间长度与的周期性，得出共有 1007 对根，每对和为，从而得到总和. 【详解】已知， 则. 设切点横坐标为，切线过点 ， 代入切线方程， 约去不为0的，整理得： ， 由于函数与的图像都关于点中心对称， 故该方程的根关于对称， 若是根，则也是根，每对根之和为. 已知，区间长度为， 周期为，每个周期内恰有1个根，共 个根，即对根. 综上，所有根之和为， 即数列的所有项之和为. 10．已知函数. (1)求函数的单调区间. (2)定义：若函数满足对于任意的实数k，b，直线与函数的图象总相切，则称函数具有性质. （i）证明：当时，“”是“函数具有性质”的充要条件； （ii）若函数具有性质，记，试判断是否具有性质. 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）证明见解析（ii）否 【分析】（1）求导后，对进行分类讨论，研究导数正负即可；（2）（i）运用充要条件概念，结合导数与切线斜率关系证明即可；（ii）借助新定义和（i）的结论，找出反例即可. 【详解】（1）因为，所以的定义域为. 当时，，所以函数在上单调递增. 当时，由得，所以函数在上单调递增； 由得，所以函数在上单调递减. 综上所述，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）（ⅰ）设出切点坐标，根据新定义列方程，得到， 设直线与函数的图象的切点为， 若函数具有性质，则，得. 当时，， 显然存在，使得成立， 所以函数具有性质，所以充分性成立. 因为函数具有性质，所以存在使得，即， 得，得或， 当时，方程组无解，不合题意， 所以，所以，所以必要性成立. 所以当时，“”是“函数具有性质”的充要条件. （ⅱ）根据具有性质，得到方程组因为函数具有性质， 所以由（ⅰ）知存在使得，即. 由，得，且， 所以，即. ，易知，而，所以不具有性质. 11．（24-25高三上·江西·月考）定义：设函数的图象上一点处的切线为在处的垂线也与的图象相切于另一点，则称和为的一组“垂切线”，为“垂切点”．已知三次函数和为的一组“垂切线”，其中为的垂切点，与相切于点． (1)求曲线在点处的切线方程；（用和b表示） (2)若对任意都存在使，求正数的取值范围； (3)证明：点和之间连线段的长度不小于． 参考公式：． 【答案】(1)； (2)的取值范围为； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，再由点斜式求切线方程； （2）根据新定义可得，， 由此证明，转化条件可求的取值范围； （3）求点和的距离，化简可得 ， 换元利用导数求的最小值，由此证明结论. 【详解】（1）因为， 所以，， 所以曲线在点处的切线的斜率为，又， 所以曲线在点处的切线方程为， 化简可得； （2）由已知曲线在点处的切线与直线垂直， 又曲线在点处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为， 所以，，， 所以， 又， 所以，又， 所以， 所以， 所以， 因为关于的方程有解，所以其判别式， 故，即， 因为对任意都存在使， 所以函数，的值域包含区间， 所以， 所以的取值范围为； （3）因为点和之间连线段的长度， 所以， 又， 所以， 由（2）， 所以 故， 由（2）知，即 所以， 由已知方程的判别式， 所以， 所以， 令，则，， 设，则， 令，则， 故 又， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 故当，即时，取最小值，最小值为， 所以，所以. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $