重难点培优03 三个技巧：极化恒等式、矩形恒等式、坐标法（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦向量数量积与模长计算核心考点，以极化恒等式、矩形恒等式、坐标法为三大主线，通过知识重构梳理原理、题型精研提炼通法、实战检测分层突破的教学流程，帮助学生系统构建向量问题解题框架，针对性突破高考难点。 资料创新融合几何直观与代数运算，如极化恒等式结合三角形中线模型转化数量积，坐标法通过特殊图形建系将向量问题函数化，培养学生数学思维与数学语言表达能力。设置基础巩固与创新提升分层练习，配合真题题型精讲，确保高效突破高频考点，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

重难点培优03 三个技巧：极化恒等式、矩形恒等式、坐标法 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 3 题型01 极化恒等式（★★★★★） 3 题型02 矩形恒等式（★★★） 4 题型03 坐标法（★★★★★） 5 03 实战检测·分层突破验成效 6 重难知识巩固 6 创新能力提升 8 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 极化恒等式 1、极化恒等式 设a，b是平面内的两个向量，则有 证明：，①，② 将两式相减可得，这个等式在数学上我们称为极化恒等式． ①几何解释1（平行四边形模型）以，为一组邻边构造平行四边形，，则，由，得． 即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”． ②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由变形为，得， 该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型． 注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合． 知识点02 矩形恒等式 1、矩形恒等式 如图，在矩形中，若对角线和交于点，为平面内任意一点，有以下两个重要的向量关系：①；②. 证明：①连接，根据， 可得； ②根据极化恒等式，可得. 知识点03 平面建系的常见技巧 1、平面建系的常见技巧 （1）前言 坐标运算能将问题从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标.对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的. （2）技巧 ①涉及到含有垂直的图形，如长方形、正方形、直角三角形、等边三角形、直角梯形、菱形的对角线等等； ②虽然没有垂直，但有特殊角，如30°、45°、60°、120°、135°等等. 题型精研·技巧通法提能力 题型01 极化恒等式 【技巧通法·提分快招】 1、适用范围 极化恒等式适用于共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化.例如在三角形中求两边向量的数量积，可利用极化恒等式进行转化求解. 不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题 2、使用方法 在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下： （1）取第三边的中点：连接向量的起点与中点.比如在中，若求.，取中点，连接. （2）利用公式转化：将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差，即. （3）求相关长度：利用平面几何方法或用正、余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积. 1．青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为1，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值可以是（     ） A． B． C． D． 2．如图，是以为直径的半圆和围成的区域内一动点（含边界），若，且，则的最大值为（   ） A．8 B．12 C．18 D．24 3．已知平面内的两个动点连线的中点在圆上，是直线上的一个动点，且，则的最小值为（    ） A．9 B．7 C．-3 D．-1 4．（2025高三上·重庆大足·专题练习）在中，，分别为边，的中点，且向量与的夹角为，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．在中，已知，若动点满足，则的最大值为_____． 6．已知中，，，的最小值是，若M为边AB上任意一点，N为边BC的中点，则的最小值是______. 题型02 矩形恒等式 【技巧通法·提分快招】 1. 矩形大法核心：，这是平行四边形性质，也是矩形对角线平方和等于四边平方和。 2. 常用于处理两个相互垂直向量的模长平方和或数量积问题，通过构造矩形将对角线长度转化为已知量。3. 若问题涉及圆上动点到两定点距离的平方和，可考虑用矩形性质转化为到中心距离的定值。 注意模长平方和：|PA|² + |PC|² = |PB|² + |PD|²，适用于求解向量长度相关的最值或范围问题.结合三角不等式或轨迹分析，例如在圆上求线段长度时，通过矩形恒等式转化为对角线关系，快速得出范围. 1．在三角形中,,，点P满足,则的最大值为( ) A.11 B.16 C.18 D.25 2．在矩形中，，，为矩形所在平面上一点，满足，，则__________. 3．已知向量满足,,则的最大值等于 4．已知O为矩形内一点，满足，，，则 ． 题型03 坐标法 【技巧通法·提分快招】 留意题目条件，尝试利用图形或者转化为特殊图形来建立直角坐标系，将向量坐标化，转化为函数最值 1．（25-26高三上·黑龙江·期中）已知直角△ABC中，，，为边的中点，是边上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B． C． D． 2．（25-26高三上·山东·期中）已知直角梯形中，，，且，，点是梯形内（含边界）任意一点，设，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山东青岛·二模）过点作一条直线与圆相切于点，且位于第四象限，为的直径，点为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．已知是边长为4的等边三角形，，其中，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 5．在中，已知，，，为线段的中点，为线段上一动点，则的最小值为________. 6．（25-26高三上·上海嘉定·期中）如图，已知矩形的边，点分别在边上，且，则的最小值为________．    7．如图，给定两个长度为1的平面向量和，其夹角为，点在以为圆心的圆弧上变动，若，则的最大值是______． 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．如图，在直角梯形中，，，，E为的中点，若，则（   ） A．65 B． C．2 D． 2．（2026·河北雄安·模拟预测）早在西周时期，中国就有对勾股定理探讨的实例，数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.“勾股弦”指的是直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为c.如图，已知在长方形中，满足“勾3股4弦5”，为上一点，且，则向量可用向量表示为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）在平行四边形ABCD中，已知，P是上一点（包含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·安徽·阶段检测）在等腰梯形 中， ，， 是线段 上的动点，则 的最小值为（     ） A． B． C． D．0 5．（2026·陕西咸阳·三模）已知圆，圆沿着圆内部边缘滚动，点，在圆上，且连线经过圆心，若圆的半径为1，则（    ） A． B． C．3 D．4 6．（2026·福建南平·二模）勒洛三角形是一种特殊的曲边三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知的边长为1，P为弧上任意一点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 7．在中，，，，点为所在平面内的一个动点，且，则的最大值是（   ）. A． B． C． D． 8．在三角形中，，，点P满足，则的最大值为（   ） A．11 B．16 C．18 D．25 9．已知点P为边长为2的等边外接圆⊙O上的一个动点，则的取值范围是______ 10．已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的最大值为_______． 11．在中，已知，，.点在平面内运动，且满足.则的取值范围是__________. 创新能力提升 1．（25-26高三上·北京朝阳·期末）在边长为1的正三角形中，分别在边上，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山东济南·三模）在中，，，为与的交点，且．若，则面积的最大值为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 3．已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为________.    4．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知在梯形 中， ，且，点 满足 ，则 ______． 5．（2026·海南儋州·二模）若点，，都在单位圆上，且，则的最小值为______． 6．在直角中，，点P为平面内一动点，且满足，则的最大值为______. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优03 三个技巧：极化恒等式、矩形恒等式、坐标法 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 3 题型01 极化恒等式（★★★★★） 3 题型02 矩形恒等式（★★★） 8 题型03 坐标法（★★★★★） 11 03 实战检测·分层突破验成效 17 重难知识巩固 17 创新能力提升 25 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 极化恒等式 1、极化恒等式 设a，b是平面内的两个向量，则有 证明：，①，② 将两式相减可得，这个等式在数学上我们称为极化恒等式． ①几何解释1（平行四边形模型）以，为一组邻边构造平行四边形，，则，由，得． 即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”． ②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由变形为，得， 该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型． 注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合． 知识点02 矩形恒等式 1、矩形恒等式 如图，在矩形中，若对角线和交于点，为平面内任意一点，有以下两个重要的向量关系：①；②. 证明：①连接，根据， 可得； ②根据极化恒等式，可得. 知识点03 平面建系的常见技巧 1、平面建系的常见技巧 （1）前言 坐标运算能将问题从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标.对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的. （2）技巧 ①涉及到含有垂直的图形，如长方形、正方形、直角三角形、等边三角形、直角梯形、菱形的对角线等等； ②虽然没有垂直，但有特殊角，如30°、45°、60°、120°、135°等等. 题型精研·技巧通法提能力 题型01 极化恒等式 【技巧通法·提分快招】 1、适用范围 极化恒等式适用于共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化.例如在三角形中求两边向量的数量积，可利用极化恒等式进行转化求解. 不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题 2、使用方法 在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下： （1）取第三边的中点：连接向量的起点与中点.比如在中，若求.，取中点，连接. （2）利用公式转化：将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差，即. （3）求相关长度：利用平面几何方法或用正、余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积. 1．青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为1，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，动点，关于圆心对称，圆半径为， 则，. 所以 . 又正六边形边长为1，则圆心到六边形各顶点距离为， 圆心到正六边形各边的垂直距离为， 因为点在正六边形上，所以， 所以， 故只有B选项符合题意. 2．如图，是以为直径的半圆和围成的区域内一动点（含边界），若，且，则的最大值为（   ） A．8 B．12 C．18 D．24 【答案】C 【分析】利用极化恒等式，取中点化数量积为，从而转化为动点到定点的最大值问题，然后借助图形分两类来求最大值，通过比较可产生最大值. 【详解】 取中点为，由， 因为，所以， 若在围成的区域内一动点（含边界），当与重合时取到最大值，, 若在以为直径的半圆区域内一动点（含边界）， 此时，当P为直线OM与半圆的交点时等号成立， 因为， 所以， 故的最大值为， 故选：C. 3．已知平面内的两个动点连线的中点在圆上，是直线上的一个动点，且，则的最小值为（    ） A．9 B．7 C．-3 D．-1 【答案】D 【详解】取的中点，则. 圆心到的距离为，此时取得最小值，且最小值为3， 取得最小值，且最小值为.故的最小值为. 4．（2025高三上·重庆大足·专题练习）在中，，分别为边，的中点，且向量与的夹角为，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：由题意可得为的重心，在中，由余弦定理可得，由极化恒等式可得，计算即可； 解法二：根据，分别为边，的中点，将和用与表示，再结合模长和夹角进行数量积计算即可求解. 【详解】解法一：，是的两条中线，设它们的交点为，如图： 则为的重心，，， 所以， 向量与的夹角为，故， 在中， ， 其中， 两式平方相减得到：， 即； 解法二：因为，分别为边，的中点， 所以，即， 又， 由 ，可得， 所以 . 故选：D 5．在中，已知，若动点满足，则的最大值为_____． 【答案】5 【分析】根据向量的加减法结合数量积运算律计算求解最大值. 【详解】如图，动点满足，点在以为圆心，1为半径的圆上， 因为，所以， 所以，设线段的中点为， 则， ， 当且仅当三点共线时取最大值， 所以的最大值为5． 故答案为：5. 6．已知中，，，的最小值是，若M为边AB上任意一点，N为边BC的中点，则的最小值是______. 【答案】 【分析】延长AC，使得，进而得到B，G，D三点共线，再取取NC中点为H，得到得到求得最小值即可求解. 【详解】延长AC，使得， 令可知B，G，D三点共线， 时为AG最小值， 在中，，得， 又因为，所以是等边三角形，所以， 在中，， 取NC中点为H， ，, 所以 所以. 即求的最小值， 当时，有最小值， 在中，，， 所以. 故答案为： 题型02 矩形恒等式 【技巧通法·提分快招】 1. 矩形大法核心：，这是平行四边形性质，也是矩形对角线平方和等于四边平方和。 2. 常用于处理两个相互垂直向量的模长平方和或数量积问题，通过构造矩形将对角线长度转化为已知量。3. 若问题涉及圆上动点到两定点距离的平方和，可考虑用矩形性质转化为到中心距离的定值。 注意模长平方和：|PA|² + |PC|² = |PB|² + |PD|²，适用于求解向量长度相关的最值或范围问题.结合三角不等式或轨迹分析，例如在圆上求线段长度时，通过矩形恒等式转化为对角线关系，快速得出范围. 1．在三角形中,,，点P满足,则的最大值为( ) A.11 B.16 C.18 D.25 【解析】把三角形ABC补成矩形ACBD则 易知点P在以C为圆心半径为2的圆上 延长DC与圆交于点E 当P点与E点重合时最大， 故选B 2．在矩形中，，，为矩形所在平面上一点，满足，，则__________. 【解析】连接，取的中点，连接和， 因为， 所以. 3．已知向量满足,,则的最大值等于 【解析】设向量起点为,终点分别为A,B,C， 易知点C在以O为圆心半径为1的圆上 则。补成矩形OADB， 则即,所以CD 而即的最大值为8 即的最大值为8 4．已知O为矩形内一点，满足，，，则 ． 【答案】 【分析】利用向量的线性运算和数量积的运算转化可得，由两边平方，可以求得的值，进而得解. 【详解】设矩形的对角线交点为,则 = ， 由两边平方得： , ∵，，， ∴， ∴ . ∴， 故答案为：-4. 题型03 坐标法 【技巧通法·提分快招】 留意题目条件，尝试利用图形或者转化为特殊图形来建立直角坐标系，将向量坐标化，转化为函数最值 1．（25-26高三上·黑龙江·期中）已知直角△ABC中，，，为边的中点，是边上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】通过建立平面直角坐标系，将向量坐标化，再根据向量的模长公式求解最小值即可. 【详解】因为，所以以为原点， 所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，    则，设，， 则，得到， 所以， 当且仅当，即时，， 所以. 故选：. 2．（25-26高三上·山东·期中）已知直角梯形中，，，且，，点是梯形内（含边界）任意一点，设，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，表示出，再求取值范围即可. 【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，设， 则，， 可得， 因为，所以， 所以，当时，取得最小值； 当时，取得最大值，即. 故选：A. 3．（2026·山东青岛·二模）过点作一条直线与圆相切于点，且位于第四象限，为的直径，点为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，圆的圆心为，半径， 过点作一条直线与圆相切于点， 当轴时，到直线的距离为，所以直线的方程为， 所以，又为的直径，则， 所以，所以直线的方程为：， 设，则， 所以， 又为线段上的动点，所以， 所以， 所以当时，的最小值为. 4．已知是边长为4的等边三角形，，其中，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行四边形法则以及向量共线的性质得出点在直线上，由数量积运算，且当时取得最小值，建立平面直角坐标系，进一步由坐标计算求解. 【详解】设点为的中点，为中点， 由得， 因为，所以点在直线上， 以的中点为原点建立如图所示平面直角坐标系， 则 ， 当时，最小， 设， 则， 又， 由，解得， 所以， 则， 即的最小值. 5．在中，已知，，，为线段的中点，为线段上一动点，则的最小值为________. 【答案】/ 【分析】易得，以点为原点，建立平面直角坐标系，再利用平面向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】由，，， 所以 ， 所以，所以， 如图，以点为原点，建立平面直角坐标系， 则，设， 则， 故，， 所以， 当时，取得最小值， 所以的最小值为. 故答案为：. 6．（25-26高三上·上海嘉定·期中）如图，已知矩形的边，点分别在边上，且，则的最小值为________．    【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设，表示向量的坐标，进而得出，最后利用基本不等式求解最小值． 【详解】以点为坐标原点，建立如下图所示直角坐标系，     ，四边形是矩形， ， 设，，则，则，， ， 当且仅当时取等号， 的最小值为． 故答案为：． 7．如图，给定两个长度为1的平面向量和，其夹角为，点在以为圆心的圆弧上变动，若，则的最大值是______． 【答案】2 【分析】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，结合已知条件得出点坐标，进而得出向量的坐标，根据构建方程组得出与的关系，进而得出的三角函数表示，最后利用三角函数性质求出的最大值． 【详解】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系如下： 由已知条件可知，，，设，，则， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：2． 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．如图，在直角梯形中，，，，E为的中点，若，则（   ） A．65 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】方法一：坐标法：以为坐标原点，分别为轴、轴，利用坐标求解即可； 方法二：基底法：令，，取为一个基底，由向量的线性运算求解即可. 【详解】方法一（坐标法） 建立如图所示的平面直角坐标系， 则．不妨设，则， 所以，，，， 所以，，， 因为， 所以， 所以，解得， 故． 方法二（基底法）：令，，取为一个基底， 由题意得，． 由于， 所以， 解得， 所以． 2．（2026·河北雄安·模拟预测）早在西周时期，中国就有对勾股定理探讨的实例，数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.“勾股弦”指的是直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为c.如图，已知在长方形中，满足“勾3股4弦5”，为上一点，且，则向量可用向量表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先建立平面直角坐标系，再结合，计算得出，结合向量的坐标运算求解. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系. ， 设， ，解得. 设，则， ，解得. 3．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）在平行四边形ABCD中，已知，P是上一点（包含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点建系，写出各点坐标，计算数量积表达式，由参数范围最终求得数量积取值区间为. 【详解】如图： 以为原点，为轴，与垂直方向为轴，由， 则： 设，即， 那么     数量积， 的取值范围是. 4．（25-26高三上·安徽·阶段检测）在等腰梯形 中， ，， 是线段 上的动点，则 的最小值为（     ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】方法一：建立平面直角坐标系，设 ，写出对应点坐标，根据平面向量数量积坐标运算建立等式计算即可求解；方法二：由极化恒等式列式计算即可. 【详解】方法一：以 为原点，射线 为 轴正半轴建立直角坐标系，如图所示：    ，则 ， 设 ，其中 ，则 ， ， 当 时， 取得最小值为 . 方法二：极化恒等式 设 的中点为 ，则 ， 当 为 中点时， 取得最小值为 . 故选：B. 5．（2026·陕西咸阳·三模）已知圆，圆沿着圆内部边缘滚动，点，在圆上，且连线经过圆心，若圆的半径为1，则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【详解】圆的标准形式为， ，即圆心的轨迹是以为圆心，半径是2的圆， 已知，点，在圆上，且连线经过圆心，则是圆的直径， 则， ， ． 6．（2026·福建南平·二模）勒洛三角形是一种特殊的曲边三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知的边长为1，P为弧上任意一点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以为原点建立如图所示坐标系 则，设则，， 所以， 因为P为弧上任意一点，为边长为1的等边三角形，所以， 所以，即的范围为. 7．在中，，，，点为所在平面内的一个动点，且，则的最大值是（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理求出，建立平面直角坐标系，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，，先求出的最大值，进而求出的最大值. 【详解】因为，，， 所以由余弦定理可得：，所以， 又因为，所以， 所以建立如图所示的平面直角坐标系，， 因为点为所在平面内的一个动点，且， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 取的中点，则， 而， 所以. 8．在三角形中，，，点P满足，则的最大值为（   ） A．11 B．16 C．18 D．25 【答案】B 【分析】将转化为，判断点P在以C为圆心半径为2的圆上，结合圆的几何性质以及数量积的运算律，即可求得答案. 【详解】如图，把三角形ABC补成矩形，由，知, 由，知， 则 ， ，知点P在以C为圆心半径为2的圆上， 延长与圆交于点E， 当P点与E点重合时最大， 此时. 9．已知点P为边长为2的等边外接圆⊙O上的一个动点，则的取值范围是______ 【答案】 【分析】利用恒等式，将与建立联系，再通过的范围求的取值范围. 【详解】连接并延长交于，同时交圆于，由等边的性质知是的中点，且， ， ， 当点P在圆上运动时，P位于C处时，有最大值为； 当P位于Q处时，有最小值为； 所以， 所以. 10．已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的最大值为_______． 【答案】 【分析】利用极化恒等式得到，求出的最大值，代入取值即可 【详解】圆的半径为2，弦长，故， 所以，故， 取的中点，连接，如图所示：   ，，两式平方后相减可得 ， 由于，故当取得最大值时，取得最大值， 显然当三点共线且在线段上时，取得最大值， 最大值为，此时. 11．在中，已知，，.点在平面内运动，且满足.则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】通过建立平面直角坐标系，将平面向量的数量积的取值范围转化为三角函数的最值. 【详解】因为在中，，，，所以. 不妨以为原点，以、为轴、轴正方向建立平面直角坐标系，则，. 又，所以在以原点为圆心，1为半径的圆上，设，其中, 则，， 所以，其中， 因为，所以，所以.    创新能力提升 1．（25-26高三上·北京朝阳·期末）在边长为1的正三角形中，分别在边上，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图建系，依题意设，，求出点的坐标，由，推得，利用基本不等式求出，利用向量数量积的坐标公式求解，利用二次函数的性质即可求得其取值范围. 【详解】如图，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系. 因正三角形的边长为1，则， 因分别在边上，不妨设，可得； 设，可得.则， 又，则，则（*） 因， 则， 将（*）代入上式，可得， 由（*）可得，当且仅当时取等， 由可得， 依题意，，设，则， 在上单调递减，故. 故选：A.    2．（2026·山东济南·三模）在中，，，为与的交点，且．若，则面积的最大值为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】以为原点，所在直线为轴，设，其中，联立直线与求得交点坐标，利用条件推出点坐标满足的方程，从而确定点的轨迹是以为圆心、半径为4的圆（上半部分，），当最大时即可求得面积最大值. 【详解】以为原点，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则，，设，其中，因为，所以， 由知，所以，所以， 所以直线的方程为， ，所以直线的方程为， 因为为与的交点，所以，解得， 代入计算得，所以， 因为， ，， 由得，化简得， 所以点的轨迹是以为圆心、半径为4的圆（上半部分，），所以 ，因为，所以面积的最大值为.    3．已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为________.    【答案】8 【分析】将转化为，进而转化为研究最小值问题，利用正六边形的几何性质求解即可. 【详解】    如图所示，由正六边形的几何性质可知，均是边长为4的等边三角形， ， 又,， 当点P位于正六边形各边的中点时，取最小值， 如图为中点，连接，则, 此时， 即的最小值为 8． 故答案为：8． 4．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知在梯形 中， ，且，点 满足 ，则 ______． 【答案】 【分析】以为坐标原点建立直角坐标系，根据已知条件得出各点坐标，设点得出，利用建立方程求出点，进而得出，最后求． 【详解】以点为坐标原点，建立如下图所示平面直角坐标系， ， 则， 设点，则， ， ，即，解得， ，， ． 故答案为：． 5．（2026·海南儋州·二模）若点，，都在单位圆上，且，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】由已知条件可得，不妨设，根据向量的坐标运算及三角恒等变换求解即可. 【详解】因为，，都在单位圆上，所以， 又因为，在中，由余弦定理可得， 又因为，所以， 设， 则， 所以 ， 当，即时，取最小值，为， 所以的最小值为. 6．在直角中，，点P为平面内一动点，且满足，则的最大值为______. 【答案】 【分析】作出辅助线，得到，从而求出，则，得到的最大值. 【详解】如图所示，取AB的中点为，连接并延长到点D，使得，    则四边形ACBD为矩形， ， ，， ∴， ， 同理， 故，即， 所以，则， 由矩形的对角线相等可得的最大值为. 故答案为： 【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路： ①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $