重难点培优01 数列的单调、周期、最值性质及其应用（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦数列单调性、周期性及最值性质三大核心考点，按知识重构（梳理分类、函数性质等基础）、题型精研（单调性判断、周期应用、an与Sn最值求解）、实战检测（分层突破）逻辑架构知识体系，通过考点梳理、技巧通法指导、真题训练环节，帮助学生系统突破数列性质应用难点。 讲义突出“技巧通法+分层训练”特色，如单调性用差比法分析，周期性通过前几项归纳周期，培养学生数学思维（推理能力）与数学眼光（函数性质观察）。设置重难巩固与创新提升分层练习，配合即时反馈，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

重难点培优01 数列的单调、周期、最值性质及其应用 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 3 题型01 数列的单调性（★★★★） 3 题型02 数列的周期性（★★★★） 7 题型03 的最值（★★★） 10 题型04 的最值（★★★★） 13 03 实战检测·分层突破验成效 18 重难知识巩固 18 创新能力提升 30 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 其中n∈N+ 递减数列 常数列 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 知识点02 数列的函数性质 1、数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值. 2、数列是一类特殊的函数，由于一般函数有三种表示方法，数列也不例外，有列举法、图像法和解析法。 3、判断数列的单调性的方法 （1）作差比较法： ⇔数列是递增数列；⇔数列是递减数列； ⇔数列是常数列． （2）作商比较法： ⅰ.当时，则⇔数列是递增数列；⇔数列是递减数列； ⇔数列是常数列； ⅱ.当时，则⇔数列是递减数列；⇔数列是递增数列； ⇔数列是常数列． （3）结合相应函数的图象直观判断： 写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去． 知识点03 求数列最大(小)项的方法 1、构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项． 2、利用，求数列中的最大项； 利用，求数列中的最小项. 当解不唯一时，比较各解大小即可确定． 知识点04 由数列的前几项求数列的通项公式 1、各项的符号特征，通过或来调节正负项． 2、考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系． 3、相邻项(或其绝对值)的变化特征． 4、拆项、添项后的特征． 5、通过通分等方法变化后，观察是否有规律． 【注意】根据数列的前几项求其通项公式其实是利用了不完全归纳法， 蕴含着“从特殊到一般”的数学思想，由不完全归纳法得出的结果不一定是准确的. 知识点05 数列的通项an与前n项和Sn的关系 ①当时，a1若适合，则的情况可并入时的通项； ②当时，a1若不适合，则用分段函数的形式表示. 题型精研·技巧通法提能力 题型01 数列的单调性 【技巧通法·提分快招】 解决数列的单调性问题的方法 用作差或作商比较法，根据－an的符号或与1的关系判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列. 1．（25-26高三上·四川成都·期末）已知等比数列，则“”是“数列为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，由数列的单调性即可求解. 【详解】当时，， 此时，但是，所以数列不是递减数列； 若数列为递减数列，则，所以， 故“”是“数列为递减数列”的必要不充分条件， 故选：B 2．（25-26高三上·广西桂林·阶段检测）数列满足，设命题，命题：数列为递增数列，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由数列为递增数列求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为， 若数列为递增数列， 则对任意的恒成立， 对任意的恒成立，又，； 所以推得出，故充分性成立；推不出，故必要性不成立， 所以是的充分非必要条件. 故选：A 3．设为数列的前n项和，,则“为递增数列”是“为递增数列”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【详解】已知，而， 充分性：若递增，则，，故递增，即充分性成立； 必要性：取数列的通项为，则，显然为递增数列，但为递减数列，故必要性不成立； “为递增数列”是“为递增数列”的充分非必要条件． 4．已知等差数列，为其前项和，，则“”是“数列为递减数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质以及充分不必要条件的定义判断即可． 【详解】由可得，整理为， 因为，故，数列为递减数列， 因此条件“”可以推出结论“数列为递减数列”，故充分性成立； 而数列为递减数列，只需即可，无需， 因此“数列为递减数列”无法推出条件“”，故必要性不成立. 因此“”是“数列为递减数列”的充分不必要条件. 故选：A. 5．（2026·河北·三模）在数列中，，若是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 由题知恒成立，当时，即，得. 讨论单调性，若是递增数列，则函数随增大而增大. 已知为正且随n增大而增大，则随n增大而减小，故需，即. 综上，实数k的取值范围是. 6．（25-26高三下·天津河西·开学考试）设数列的通项公式为，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知，对任意的，，结合作差法可得出实数的取值范围. 【详解】因为，且数列为单调递减数列， 所以对任意的，，即， 可得对任意的恒成立，所以， 解得，故实数的取值范围是. 7．已知数列的通项公式为，，若是递增数列，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据递增数列的性质知，可得到对恒成立，再根据二次函数性质求出的取值范围． 【详解】因为，， 所以，． 又因为数列为递增数列， 所以对恒成立， 即对恒成立， 化简整理得，对恒成立． 由二次函数性质知，当时，有最小值4， 所以， 故实数的取值范围是． 8．已知无穷等比数列的前项和为，且是递减数列，是递增数列．写出满足条件的一个数列的通项公式________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由递增得所有项，结合是递减等比数列，可知首项为正、公比在内，据此举例即可. 【详解】设等比数列的公比为，： 因是递增数列，故对任意，有， 即数列的所有项均为正数，因此，. 又是递减数列，故，因此. 如， 验证递减：，满足条件； 验证递增：前项和，，满足条件. 题型02 数列的周期性 【技巧通法·提分快招】 解决数列周期性问题的方法 （1）先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值. （2）若an＋k＝an(k∈N*)，则{an}为周期数列，k为{an}的一个周期. 1．（2026·湖北孝感·一模）设数列满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】将数列类比成函数后递推即可求得周期. 【详解】因为，且， 所以 ，， 所以数列的周期为2，故 故选：A 2．（2026·福建泉州·模拟预测）已知数列满足则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的周期为4， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由递推式可知， 当为偶数时，，故； 当为奇数时，， 归纳可得，， 是偶数，故， 是奇数，，故． 3．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知数列满足，，则数列的前2026项和为（     ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】A 【分析】写出数列的前几项，发现规律，利用数列的周期性求解问题. 【详解】，可以发现数列是周期为3的周期数列， 可以发现数列是周期为3的周期数列， 因为 所以数列的前2026项和为. 4．（2026·浙江宁波·二模）数列满足：为的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据递推关系，找到的周期，根据周期性，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由递推关系得，，， ，，， ，，， ，，， 所以的周期为12，则，故A正确，B错误； 一个周期内的和为， 则，故C、D错误. 5．（2026·四川眉山·二模）如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和都等于同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和．已知等和数列中，，公和为5，则（    ） A．0 B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据题意分析可知数列是以2为周期的周期数列，结合周期性分析求解. 【详解】因为（公和）， 所以， 两式相减可得，， 可知数列是以为周期的周期数列， 因为，所以， 又公和为5，所以， 所以，. 6．（2026·天津西青·三模）已知数列满足，则该数列的前2026项的乘积等于（    ） A．2024 B．2025 C． D． 【答案】C 【分析】先通过递推公式算出数列的周期为4，且一个周期内的项乘积为1，再用2026除以周期得到余数，最后用周期乘积和余下两项即可计算结果. 【详解】因为，所以，， ，， 所以数列是周期为4的周期数列，且一个周期内的乘积：， 而， 所以. 题型03 的最值 【技巧通法·提分快招】 解决数列的最大项与最小项问题的常用方法 （1）将数列视为函数f(x)当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大项及最小项. （2）通过通项公式an研究数列的增减性，确定最大项及最小项. 在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则 1．在数列中，，对任意的，有，则当取得最大值时，（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】先将已知等式变形，构造等差数列，利用等差数列的通项公式求，再结合二次函数的图象与性质即可求得当取得最大值时的值. 【详解】由，得，即， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，则. 易知二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 所以当时，取得最大值，（因为，所以）. 故选：B. 2．已知数列的通项公式为，则数列的最小项是（    ） A．第1项 B．第6项 C．第7项 D．第13项 【答案】B 【分析】由题设，结合分式型函数的性质分析数列的单调性及的区间上下界，即可得. 【详解】由，， 当时，，即， 当时，，即， 数列在上都单调递减， 所以最小项为，即第6项. 故选：B 3．（25-26高三上·陕西西安·阶段检测）设数列的前n项和为，，且，则的最小值为（   ） A．7 B．8 C．14 D． 【答案】B 【分析】由题可得，因此为常数列，可求得为等差数列，进而求得，随后将化简为，借助对勾函数的性质研究其单调性，并求得最小值即可. 【详解】由可得，故为常数列，因此有， 得，故， 则. 设，，解得，由对勾函数的单调性， 易知在上单调递减，在上单调递增， 故可能在或处取得最小值. 而，， 得的最小值为，则的最小值为. 故选：B. 4．已知正项数列满足，当最大时，的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据给定条件，构造函数，取对数并构造函数，利用导数确定取最大值的条件，进而确定数列单调性求出最大项. 【详解】正项数列中，，令，显然， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 因此当时，数列递增，当时，数列递减， 而，且， 则，当最大时，的值为5. 5．数列的通项公式为，满足：，则数列的最大项是第（    ）项 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】设数列的最大项为,由求解. 【详解】设数列的最大项为， 则，即， 化简得，解得， 所以，又，所以， 即数列的最大项是第项. 故选：B 6．已知数列满足，，则取最小值时______． 【答案】4 【分析】利用累加法求出的通项公式，得出的表达式，利用基本不等式即可求出取最小值时的值. 【详解】由题意，， 在数列中，， ∴， ∴， 即， ∴， 当且仅当即时等号成立， ∴取最小值时， 故答案为：. 7．已知数列满足，，则的最大值为_______． 【答案】 【分析】利用累加法结合等比数列前项和公式求出，再根据数列的单调性求最值即可． 【详解】解：由数列满足， 当时， ，而满足上式， 所以，设，, 当时，当时，， 则最大，则． 题型04 的最值 【技巧通法·提分快招】 1、公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 2、在等差数列中 （1）若，则满足的项数使得取得最大值； （2）若，则满足的项数使得取得最小值． 即若，则有最大值（所有正项或非负项之和）； 若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． 1．数列的通项公式为，为其前项和，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，解得，即可求得的最小值. 【详解】令，因为，所以解得， 所以数列的前3项为负，第四项起为正， 的最小值为. 故选：B 2．（24-25高三上·浙江绍兴·期末）已知数列的通项公式为，前项的和为，则取到最小值时的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对通项公式化简变形后可求得当或时，，当时，，从而可求出取到最小值时的值. 【详解】， 由，得，解得或， 因为，所以当或时，，当时，， 所以当时，取得最小值. 故选：B 3．在等差数列中，，记，，则（　　） A．数列有最大项和最小项 B．数列有最大项，无最小项 C．数列无最大项，有最小项 D．数列无最大项和最小项 【答案】A 【分析】先根据等差数列中的来求出通项公式，然后分析数列的前几项，发现，即可知当时，，从而来分析前五项，易得出判断. 【详解】由题意得：等差数列的公差， 由等差数列的通项公式得，, 又， 且由于， 因为，所以数列中的正项只有有限项， 即为，而 易得当时，，所以数列中存在最大项，且最大项为，最小项为. 故选：A. 4．（24-25高三上·天津·阶段检测）在无穷数列中，，，数列的前n项和为，则的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】求出数列的前n项和，按奇偶探讨的单调性求出最大与最小值即可得解. 【详解】由，，得，而，则数列是等比数列， 于是，当为奇数时，，， 当为偶数时，，，因此的最大值与最小值分别为， 所以的最大值与最小值的差为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：利用等比数列前n项和公式求出，再按奇偶结合单调性求解是关键. 5．已知等差数列满足，记数列的前项和为，则当有最大值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求得，再探讨数列的正负数项，进而确定的正负即可推理计算得解. 【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得， 则，，数列是首项为正数的递减数列， 由，即，解得， 即，，于是，而， 因此，且，， 则，，，， 又， 所以中最大，即当时，取得最大值. 故选：A 6．（多选题）若数列为等差数列，公差为d，其前n项和为，，，，则（    ） A． B． C． D．使的最小正整数n的值为22 【答案】ACD 【分析】推导出，，判断AB；利用等差数列的基本性质和作差法判断C；由，结合等差数列性质及数列的单调性判断D. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，则，B错误； 对于C，由，得，则，，C正确； 对于D，由，得，由， 得，解得，由，得数列单调递增，则， 因此使的最小正整数n的值为22，D正确. 故选：ACD 7．（25-26高三下·甘肃平凉·阶段检测）已知数列的通项公式，则此数列前项和的最大值和最小值之和为_______ ． 【答案】 【分析】由等比数列求和公式得的表达式，进而对分奇偶，根据单调性即可求解. 【详解】由于为等比数列，公比为，首项为1，故， 当为偶数时，，此时为单调递增，故时，取到最小值，此时， 当为奇数时，，此时为单调递减，故时，取到最大值1，此时， 综上可得的最大值和最小值之和为. 8．已知等差数列中，公差且，是方程的两个根，那么使得前项和为负值的最大的的值是________． 【答案】4017 【分析】根据韦达定理可得与的和、积关系，结合公差判断两项的正负性，再利用等差数列的性质与前项和公式，分别计算和的符号，即可得到使为负值的最大. 【详解】∵ ，是方程的两个根， ∴ ，. ∵ 等差数列的公差，∴ ，即，. 又因为，. ∴ . . ∴ 使得前项和为负值的最大的的值是. 9．（24-25高三上·北京·阶段检测）已知等比数列的前n项积为，其中，，成等差数列，．且有最大值，则的最大值是______． 【答案】64 【分析】根据已知条件及等比数列性质，先求出或，再根据有最大值可判断符合题意，最后利用二次函数性质求出最大值即可. 【详解】由题可得，解得或， 当，时，则， 所以，，而此时无最大值，舍去； 当，时，则，， 因为二次函数的对称轴为，所以当或4时，有最大值， 且的最大值为. 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知在数列中，，则（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知，据此求出数列的前几项，可发现该数列的周期为，再利用周期性求解即可. 【详解】由得 因为，所以，，，，…… 所以，数列是周期数列，周期为， 所以， 故选：B 2．（2026·山东泰安·模拟预测）已知数列，，则“数列为递增数列”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若数列为递增数列，则成立，即充分性成立； 若，又， 当时，符合条件，但“数列不为递增数列”，故必要性不成立， 综上，“数列为递增数列”是“”的充分不必要条件． 3．数列满足，且，则数列的前2027项的和（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据递推式，求出数列的前4项，从而可得数列是周期为4的数列，由此求解即可. 【详解】由题意知：，，，，，…， 易知数列是周期为4的数列， ． 4．设为数列的前项和，“是递增数列”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】要判断是递增数列与是递增数列的条件关系，需分别验证充分性和必要性． 【详解】解：数列，，，0，1，2，3，…是递增数列， 但不是递增数列，故不充分； 数列1，1，1，1，…的前项和为是递增数列， 但该数列不是递增数列，故不必要． 故选：D． 5．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知数列 的通项公式为 ，，若 是递增数列，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合已知条件，利用数列的单调性即可求解. 【详解】因为数列为递增数列， ， 所以对恒成立， 化简整理得，对恒成立， 由二次函数性质知当时，有最小值，即， 所以，故实数的取值范围是. 6．已知数列是各项均为正数的无穷等比数列，其中，记，求当取到最大值时，的值为（    ） A．4 B．4或5 C．5 D．5或6 【答案】B 【分析】根据题意求出等比数列的通项公式，且解不等式后即可分析出何时取到最大值． 【详解】依题意，， 所以，解得，所以， ，令，也即，解得，且， 所以当取到最大值时，的值为4或5． 故选：B． 7．（2025·上海·三模）已知数列的通项公式为，，则关于数列的最值叙述正确的是（） A．既有最大项也有最小项 B．只有最大项没有最小项 C．没有最大项只有最小项 D．没有最大项也没有最小项 【答案】A 【分析】把数列的通项公式看作函数解析式，令，换元后是二次函数解析式，结合二次函数的性质判断即可． 【详解】令，因为，所以当时， 而， 所以当时，即时，取最大值； 因为，且，，因为，所以距离最近， 所以当，即时，取最小值； 所以该数列既有最大项又有最小项， 故选：A． 8．已知数列是单调递增数列，，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由数列为单调递增数列得，从而得，再令，求出的最大值，从而可求解. 【详解】由题意可得，由于数列为单调递增数列， 即，， 整理得， 令，则，， 所以数列单调递减，故是数列的最大项， 所以，所以. 则的取值范围为. 故选：D． 9．（2026·山东日照·模拟预测）已知数列满足，，则的最大项为（     ） A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 【答案】B 【详解】已知递推关系， 因此， 所以， 令，则， 是一个公差为1的等差数列，首项， 所以， 因此，原数列的通项公式为， 因此， 当，即时，，数列递增； 当，即时，，数列递减， 因此，数列在时取得最大值. 10．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知递增数列的前n项和为，若，，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用数列和与项的关系求出通项公式，结合递增数列的定义可得答案. 【详解】当时，，即，则. 当时，由，得， 得，则，易知，即. 又，所以是首项为1，公比为的等比数列. 又单调递增，所以，解得. 故选：C 11．（2025·四川成都·模拟预测）记为数列的前项和．已知，则满足的正整数的最大值为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】由数列的递推公式判断数列的周期，结合数列的周期性进行求解即可. 【详解】由， 所以数列的周期为，，， 故， ， ， ， ， ， 再往后计算减1后加再加，以此类推，这样都大于 所以满足的正整数的最大值为， 故选：C 12．（2026·安徽芜湖·模拟预测）设数列满足，则的值为（    ） A．6 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】由正余弦两角和公式可得，然后由最小正周期可得答案. 【详解】 注意到， 又函数的最小正周期为6，则， 从而. 13．（25-26高三上·福建厦门·期中）已知数列满足，数列满足，其中，则数列的前2025项和为（   ） A．2025 B．2023 C． D．0 【答案】A 【分析】由的规律，从而得到的规律，则数列四项之和为，即可求解. 【详解】因为，所以，， ，，， 所以， 所以，，，，，， ，所以数列四项之和为， 故数列的前项和为. 故选：A 14．（2025·北京平谷·一模）在等比数列中，，记，则数列（    ） A．无最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．有最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【答案】C 【分析】根据等比数列的通项公式求出，进而结合等差数列的求和公式可得，设，分析可得，进而求解判断即可. 【详解】设等比数列的公比为， 由， 则，解得，， 则， 则 ， 设，则， 所以， 则时，，即， 当时，，即， 则，则为最大项， 此时为正数项，且在正数项中最大； 再由,，，因此为最小项. 故选：C. 15．已知数列的通项公式为，它的前项中最小项是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件说明，再假设数列的第项最小，，，列不等式求其解，可得结论. 【详解】因为，故，，所以， 假设数列的第项最小，，， 则，故， 所以， 所以，即数列的前项中最小项是， 故选：D. 16．（2026·北京·模拟预测）已知各项均不为零的数列，其前项和是，若，则（   ） A．不可能是等差数列 B．可能是等比数列 C．不可能是递减数列 D．可能是周期数列 【答案】C 【分析】利用题目条件推出数列前项和与通项的关系，结合选项逐一判断. 【详解】已知，时，两式作差得：， 因，两边除以得：，且时，，得， 同时可知：奇数项是公差为的递增数列，偶数项也是公差为的递增数列， 选项A：若是等差数列，由得，结合得， 即，验证得，满足条件，因此可以是等差数列，A错误； 选项B：若是等比数列，公比为，则要求对所有恒成立， 左边随变化，不可能恒等于常数，矛盾，不存在这样的等比数列，B错误； 选项C：递减数列要求对任意，，由前面推导： 若，则，即，不满足递减； 若，直接得，不满足递减；且奇数项、偶数项本身都是递增的， 因此不可能是递减数列，C正确， 选项D：数列的奇数项和偶数项都是单调递增数列，故数列不是周期数列，D错误. 17．（多选题）已知等比数列的前项积为，公比，则（    ） A． B． C．当时，最小 D．当时，最大 【答案】BC 【分析】由题意，根据等比数列的性质可得，则，，，，进而，即可判断AB；根据数列的单调性即可判断CD． 【详解】对于选项AB：由题意知，由，得， 所以，得，，所以，且，， 所以，故A错误，B正确． 对于选项CD：因为，，，， 所以数列为递增数列，且当时，，当时，， 所以当时，最小，故C正确，D错误． 故选：BC． 18．（多选题）（2026·江苏常州·三模）设为等差数列的前项和，且，若，则（    ） A．的最大值是 B．的最小值是 C． D． 【答案】BCD 【分析】利用等差数列的求和公式，结合题意，化简得到，得到数列为递增数列，再由，求得且，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】因为为等差数列的前项和，可得， 又因为，可得， 即，可得，所以数列为递增数列， 因为，且数列为递增数列，可得且， 由， 对于A，因为数列为递增数列，所以无最大值，所以A不正确； 对于B，由，可得时，取得最小值，所以B正确； 对于C，由，可得，所以C正确； 对于D，由，可得，所以D正确. 19．已知，若数列中最小项仅为第项，则___________． 【答案】 【详解】已知是关于正整数的开口向上的二次函数， 对称轴为，开口向上的二次函数的最小值出现在距离对称轴最近的正整数位置， 又数列中最小项为第项，故，解得， 综上：. 20．数列满足，则当_______时，取最大值为_______． 【答案】 / 【分析】解法一：分析数列的单调性，可求出该数列的最大项的值以及对应的的值； 解法二：解不等式组，解出的取值范围，可得出正整数的值，可求出该数列的最大项的值以及对应的的值. 【详解】解法一：当且时，， 当时，，此时，单调递增， 当时，，此时，单调递减， 故当时，取最大值； 解法二：当且时，由，即，解得， 又，故，故当时，取最大值. 故答案为：；. 21．已知数列，，则在数列的前30项中，最大项和最小项分别为______，______． 【答案】 ； 【分析】将变为，然后观察其什么时候取最大或最小项． 【详解】， 若要最大，则需取最小正数，则当时，最大． 若要最小，则需取最大负数，则当时，最小． 所以最大项为；最小项为. 故答案为：； 22．已知数列满足，且，则的通项公式为______，中的最大项的值为______． 【答案】 【分析】由条件证明数列为等差数列，由此可求数列的通项公式；构造，解出即可得取最大值时的值，即可得中的最大项的值. 【详解】由， 可得，又， 则是以为首项，为公差的等差数列， 则， 则， 设是最大项，则有， 即， 解得，又，则或， 故的最大项的值为． 故答案为：；. 23．已知数列满足，设，，若数列是严格增数列，则t的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先利用递推式作差求出数列的通项（注意验证），再写出的表达式，根据严格递增数列的定义，通过对所有恒成立，转化为关于的不等式，分别验证和的情况，取交集得到的取值范围． 【详解】当时，， 当时， ①， ②， ①②得 化简得， 因为不满足， 所以， 所以， 由数列是严格增数列，得且， 由，得，解得， 由，得，整理得， 所以对所有恒成立， 因为的最小值为， 所以，即， 综上，t的取值范围是． 创新能力提升 1．已知数列的前n项和为，数列是递增数列是的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件以及必要条件的定义，举例说明，即可得出答案. 【详解】令，显然，所以数列是递增数列，但； 令，显然成立. 又，，所以，， 所以数列不是递增数列. 所以，数列是递增数列是的既不充分也不必要条件. 2．（2024·山东济南·二模）已知是各项均为正整数的递增数列，前项和为，若，当取最大值时，的最大值为（    ） A．63 B．64 C．71 D．72 【答案】C 【分析】因为是定值，要使当取最大值时也取得最大值，需满足前项是首项为，公差为的等差数列，通过计算的前项和与作比较，前项和与作比较即可得出的最大值. 【详解】因为是定值，要使当取最大值时也取得最大值，需满足各项尽可能取到最小值，又因为是各项均为正整数的递增数列，所以，即是首项为，公差为的等差数列，其中；的前项和为； 当时，； 当时，； 又因为， 所以的最大值为，此时，取得最大值为. 故选：C. 3．已知等比数列的前项和为，前项积为，若首项为，则（    ） A．和既有最大值，又有最小值 B．有最小值，无最大值 C．无最大值，无最小值 D．无最小值，有最小值 【答案】A 【分析】利用基本量法，可求出公比满足，分奇数项列与偶数项分析的单调性，结合与的大小，可得最值情况；再分析的各项符号变化规律及的单调性，结合，可得最值情况. 【详解】设等比数列公比， ，， 且，则， 等比数列的前项和， 则，其中， ①当为奇数时，， 则，即，故的最小值为. 又由，可得，所以； ②当为偶数时，， 则，即，故的最大值为. 又由，可得，所以； 综合①②可得，任意， 有最大值，最大值为；也有最小值，最小值为， 故既有最大值，又有最小值； 等比数列的前项积， 由，则， 所以，且，则， 当为奇数时，，与同号； 当为偶数时，，与异号； 故各项的符号依次为： 又，又由，则， 又因为数列单调递减， 所以必存在，使得当时，恒有，即. 由题意， 则当时，则，故数列单调递减； 当时，则，故数列单调递减（非严格）； 当时，则， 又数列单调递减，且，即数列必先增后减； 所以不论取何值，都存在最大值. 由于各项的符号的变化规律，可知最大值与最小值都存在， 且最大值即为正项中绝对值最大的项，而最小值即为负项中绝对值最大的项. 故既有最大值，又有最小值. 故选：A. 4．（25-26高三上·广东·期末）已知数列满足，则关于说法正确的是（   ） A．无最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．有最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【答案】C 【分析】构造函数，得到函数单调性，分为奇数和偶数两种情况，得到的最大值为，最小值为，得到答案. 【详解】令，则， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，， 中，当为奇数时，， 故且为奇数时，单调递减，且恒成立， 且，， 当为偶数时，， 令，则， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 由于，故当为偶数且时，单调递增， 当为偶数且时，单调递减， 其中，， 故， 故， 当为偶数且时，恒成立， 又，所以的最大值为，最小值为， 有最大项，有最小项. 故选：C 5．（2026·山东济南·模拟预测）设为不超过的最大整数，若数列的通项公式为，记的前项和为，则使得的最大正整数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据取整函数定义，结合对数的运算确定时的取值范围，推导的取值区间， 统计每个对应的项数，按的取值从小到大分组计算每组的和，累加得到前若干组的累计和，找到累计和首次超过的临界分组，求解j即可. 【详解】已知是不超过的最大整数，设（为整数）， 则. 变形得，即. 因为是正整数，所以的整数取值为，所以对，满足的正整数共有个，每个项的值为，该组的和为. 我们分组计算前项和的累计值： ：共项，和为，累计和，对应最大； ：共项，和为，累计和，对应最大； ：共项，和为，累计和，对应最大； ：共项，和为，累计和，对应最大； ：共项，和为，累计和，对应最大. 当时，满足的的取值范围为，设还可以取个这样的项，则， 解得，即最大取.总，此时； 若，，不符合要求. 因此使得的最大正整数为. 6．（25-26高三下·湖南衡阳·阶段检测）已知数列的前n项和为，且满足，，则_________． 【答案】或 【分析】讨论是奇数或偶数，结合递推式确定，讨论是奇数或偶数，结合递推式确定，并判断数列的周期性，进而求解． 【详解】当是奇数时，，解得，舍去， 当是偶数时，，解得；当是奇数时，，解得， 的项依次是，即是周期为3的周期数列， ； 当是偶数时，，解得， 的项依次是， 即是首项为8，从第二项起是周期为3的周期数列，． 7．（25-26高三下·北京·强基计划）已知数列满足，且对任意正整数，存在，使得是这项的算术平均数，则的最小值为________． 【答案】 【详解】记，由平均数条件可得，且有与， 于是， 所以， 取时，可使得等号成立. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优01 数列的单调、周期、最值性质及其应用 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 3 题型01 数列的单调性（★★★★） 3 题型02 数列的周期性（★★★★） 4 题型03 的最值（★★★） 5 题型04 的最值（★★★★） 6 03 实战检测·分层突破验成效 7 重难知识巩固 7 创新能力提升 10 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 其中n∈N+ 递减数列 常数列 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 知识点02 数列的函数性质 1、数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值. 2、数列是一类特殊的函数，由于一般函数有三种表示方法，数列也不例外，有列举法、图像法和解析法。 3、判断数列的单调性的方法 （1）作差比较法： ⇔数列是递增数列；⇔数列是递减数列； ⇔数列是常数列． （2）作商比较法： ⅰ.当时，则⇔数列是递增数列；⇔数列是递减数列； ⇔数列是常数列； ⅱ.当时，则⇔数列是递减数列；⇔数列是递增数列； ⇔数列是常数列． （3）结合相应函数的图象直观判断： 写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去． 知识点03 求数列最大(小)项的方法 1、构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项． 2、利用，求数列中的最大项； 利用，求数列中的最小项. 当解不唯一时，比较各解大小即可确定． 知识点04 由数列的前几项求数列的通项公式 1、各项的符号特征，通过或来调节正负项． 2、考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系． 3、相邻项(或其绝对值)的变化特征． 4、拆项、添项后的特征． 5、通过通分等方法变化后，观察是否有规律． 【注意】根据数列的前几项求其通项公式其实是利用了不完全归纳法， 蕴含着“从特殊到一般”的数学思想，由不完全归纳法得出的结果不一定是准确的. 知识点05 数列的通项an与前n项和Sn的关系 ①当时，a1若适合，则的情况可并入时的通项； ②当时，a1若不适合，则用分段函数的形式表示. 题型精研·技巧通法提能力 题型01 数列的单调性 【技巧通法·提分快招】 解决数列的单调性问题的方法 用作差或作商比较法，根据－an的符号或与1的关系判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列. 1．（25-26高三上·四川成都·期末）已知等比数列，则“”是“数列为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高三上·广西桂林·阶段检测）数列满足，设命题，命题：数列为递增数列，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设为数列的前n项和，,则“为递增数列”是“为递增数列”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 4．已知等差数列，为其前项和，，则“”是“数列为递减数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2026·河北·三模）在数列中，，若是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三下·天津河西·开学考试）设数列的通项公式为，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知数列的通项公式为，，若是递增数列，则的取值范围是______． 8．已知无穷等比数列的前项和为，且是递减数列，是递增数列．写出满足条件的一个数列的通项公式________． 题型02 数列的周期性 【技巧通法·提分快招】 解决数列周期性问题的方法 （1）先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值. （2）若an＋k＝an(k∈N*)，则{an}为周期数列，k为{an}的一个周期. 1．（2026·湖北孝感·一模）设数列满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D．1 2．（2026·福建泉州·模拟预测）已知数列满足则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知数列满足，，则数列的前2026项和为（     ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 4．（2026·浙江宁波·二模）数列满足：为的前项和，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·四川眉山·二模）如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和都等于同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和．已知等和数列中，，公和为5，则（    ） A．0 B． C． D．4 6．（2026·天津西青·三模）已知数列满足，则该数列的前2026项的乘积等于（    ） A．2024 B．2025 C． D． 题型03 的最值 【技巧通法·提分快招】 解决数列的最大项与最小项问题的常用方法 （1）将数列视为函数f(x)当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大项及最小项. （2）通过通项公式an研究数列的增减性，确定最大项及最小项. 在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则 1．在数列中，，对任意的，有，则当取得最大值时，（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．已知数列的通项公式为，则数列的最小项是（    ） A．第1项 B．第6项 C．第7项 D．第13项 3．（25-26高三上·陕西西安·阶段检测）设数列的前n项和为，，且，则的最小值为（   ） A．7 B．8 C．14 D． 4．已知正项数列满足，当最大时，的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．数列的通项公式为，满足：，则数列的最大项是第（    ）项 A．6 B．7 C．8 D．9 6．已知数列满足，，则取最小值时______． 7．已知数列满足，，则的最大值为_______． 题型04 的最值 【技巧通法·提分快招】 1、公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 2、在等差数列中 （1）若，则满足的项数使得取得最大值； （2）若，则满足的项数使得取得最小值． 即若，则有最大值（所有正项或非负项之和）； 若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． 1．数列的通项公式为，为其前项和，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·浙江绍兴·期末）已知数列的通项公式为，前项的和为，则取到最小值时的值是（    ） A． B． C． D． 3．在等差数列中，，记，，则（　　） A．数列有最大项和最小项 B．数列有最大项，无最小项 C．数列无最大项，有最小项 D．数列无最大项和最小项 4．（24-25高三上·天津·阶段检测）在无穷数列中，，，数列的前n项和为，则的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C． D．无法确定 5．已知等差数列满足，记数列的前项和为，则当有最大值（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）若数列为等差数列，公差为d，其前n项和为，，，，则（    ） A． B． C． D．使的最小正整数n的值为22 7．（25-26高三下·甘肃平凉·阶段检测）已知数列的通项公式，则此数列前项和的最大值和最小值之和为_______ ． 8．已知等差数列中，公差且，是方程的两个根，那么使得前项和为负值的最大的的值是________． 9．（24-25高三上·北京·阶段检测）已知等比数列的前n项积为，其中，，成等差数列，．且有最大值，则的最大值是______． 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知在数列中，，则（） A． B． C． D． 2．（2026·山东泰安·模拟预测）已知数列，，则“数列为递增数列”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．数列满足，且，则数列的前2027项的和（   ） A． B． C． D． 4．设为数列的前项和，“是递增数列”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知数列 的通项公式为 ，，若 是递增数列，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．已知数列是各项均为正数的无穷等比数列，其中，记，求当取到最大值时，的值为（    ） A．4 B．4或5 C．5 D．5或6 7．（2025·上海·三模）已知数列的通项公式为，，则关于数列的最值叙述正确的是（） A．既有最大项也有最小项 B．只有最大项没有最小项 C．没有最大项只有最小项 D．没有最大项也没有最小项 8．已知数列是单调递增数列，，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·山东日照·模拟预测）已知数列满足，，则的最大项为（     ） A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 10．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知递增数列的前n项和为，若，，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（2025·四川成都·模拟预测）记为数列的前项和．已知，则满足的正整数的最大值为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 12．（2026·安徽芜湖·模拟预测）设数列满足，则的值为（    ） A．6 B． C．9 D． 13．（25-26高三上·福建厦门·期中）已知数列满足，数列满足，其中，则数列的前2025项和为（   ） A．2025 B．2023 C． D．0 14．（2025·北京平谷·一模）在等比数列中，，记，则数列（    ） A．无最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．有最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 15．已知数列的通项公式为，它的前项中最小项是（   ） A． B． C． D． 16．（2026·北京·模拟预测）已知各项均不为零的数列，其前项和是，若，则（   ） A．不可能是等差数列 B．可能是等比数列 C．不可能是递减数列 D．可能是周期数列 17．（多选题）已知等比数列的前项积为，公比，则（    ） A． B． C．当时，最小 D．当时，最大 18．（多选题）（2026·江苏常州·三模）设为等差数列的前项和，且，若，则（    ） A．的最大值是 B．的最小值是 C． D． 19．已知，若数列中最小项仅为第项，则___________． 20．数列满足，则当_______时，取最大值为_______． 21．已知数列，，则在数列的前30项中，最大项和最小项分别为______，______． 22．已知数列满足，且，则的通项公式为______，中的最大项的值为______． 23．已知数列满足，设，，若数列是严格增数列，则t的取值范围是_____． 创新能力提升 1．已知数列的前n项和为，数列是递增数列是的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·山东济南·二模）已知是各项均为正整数的递增数列，前项和为，若，当取最大值时，的最大值为（    ） A．63 B．64 C．71 D．72 3．已知等比数列的前项和为，前项积为，若首项为，则（    ） A．和既有最大值，又有最小值 B．有最小值，无最大值 C．无最大值，无最小值 D．无最小值，有最小值 4．（25-26高三上·广东·期末）已知数列满足，则关于说法正确的是（   ） A．无最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．有最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 5．（2026·山东济南·模拟预测）设为不超过的最大整数，若数列的通项公式为，记的前项和为，则使得的最大正整数的值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三下·湖南衡阳·阶段检测）已知数列的前n项和为，且满足，，则_________． 7．（25-26高三下·北京·强基计划）已知数列满足，且对任意正整数，存在，使得是这项的算术平均数，则的最小值为________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $