重难点培优02 三角恒等变换（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦三角恒等变换核心考点，系统梳理两角和差、倍角、降幂、辅助角及配凑角等公式，构建从基础公式到综合应用的逻辑体系。通过知识重构固根基、题型精研提能力、实战检测验成效的教学流程，帮助学生突破公式应用难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义突出技巧通法与分层训练结合，如配凑角技巧通过“观察差异—已知角表示—公式代入”三步法培养学生数学思维，辅助角公式应用结合真题讲解强化数学语言表达。设置重难巩固与创新提升分层练习，保障复习效果，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

重难点培优02 三角恒等变换（复习讲义） 内容导航（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 两角和与差公式的应用（★★） 2 题型二 倍角公式与升降幂变换（★★★） 3 题型三 配凑角技巧（★★★★）………………………………………………………………………… …4 题型四 辅助角公式的综合应用（★★★★）………………………………………………………… ……5 题型五 三角恒等变换综合（★★★★★） ………………………………………………………… ……6 03 实战检测・分层突破验成效 7 重难知识巩固 7 创新能力提升 8 知识重构·重难梳理固根基 1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1） （3） 2. 倍角公式 （1） （2） （3） 3. 降幂公式（倍角公式变形） （1） 4. 半角公式 （1） 5. 辅助角公式 6. 配凑角常用关系 （1） ， （2）互余：若，则 （3）互补：若，则， 题型精研·技巧通法提能力 题型一 两角和与差公式的应用（★★） 【技巧通法·提分快招】 1. 正用公式：将两角的正余弦代入和差公式展开求值。 2. 逆用公式：形如合并为；合并为。 3. 给值求值：分析已知角与所求角的关系，选择合适公式，注意象限定号。 4. 给值求角：先求角的三角函数值，再结合范围定角。 1.（2025·全国新高考Ⅱ卷·第8题）已知，，则（ ） A． B． C． D． 2.（人教A版必修第一册P229·习题5.5复习巩固第2题变式）的值为（ ） A． B． C． D． 3.（人教A版必修第一册P229·习题5.5复习巩固第2题变式）的值为（ ） A． B． C． D． 4.（2025·山西三晋联盟·高三1月联考）已知，，则的值为（ ） A． B． C． D． 题型二 倍角公式与升降幂变换（★★★） 【技巧通法·提分快招】 1. 倍角公式正用：，。 2. 降幂公式（倍角逆用）：，。 3. 与的关系：。 4. 半角公式：注意符号由所在象限决定。 1.（2022·浙江卷·第13题）若，，则，． 2.（2025·苏州四市·模拟）已知，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 3.（2026·东北师大附中·练习）已知，，则的值为（ ） A． B． C． D． 4.（2025·江苏苏州中学·模拟）已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 题型三 配凑角技巧（★★★★） 【技巧通法·提分快招】 1. 寻找已知角与所求角的数量关系：相加/减是否为特殊角？是否为的整数倍？ 2. 配凑的一般步骤：①观察差异；②用已知角特殊角表示所求角；③代入公式求解。 3. 互余关系：若，则，。 4. 互补关系：若，则，。 5. 易错警示：变换后角的范围可能变化，注意符号判断。 1.（2026·广东揭阳市·模拟）已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 2.（2026·四川宜宾市·模拟）已知，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 3.（2025·广东深圳·高三质检）已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 题型四 辅助角公式的综合应用（★★★★） 【技巧通法·提分快招】 1. 辅助角公式：，，由的象限决定。 2. 应用场景：①化简求周期、最值、单调区间；②解三角方程；③证明恒等式。 3. 易错警示：的象限由共同决定，不能只根据的值判断。 4. 变形：也可写为余弦形式，其中。 1.（2022·新高考Ⅱ卷·第6题）角，满足，则（ ） A． B． C． D． 2.（2021·全国乙卷·文科第4题）函数的最小正周期和最大值分别是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 3.（2020·北京卷·第14题改编）若函数的最大值为，则常数的一个取值为． 4.（2025·全国新高考Ⅱ卷·第15题改编）已知函数，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 题型五 三角恒等变换综合（★★★★★） 【技巧通法·提分快招】 1. 三角形中的恒等变换：，，。 2. 综合策略：化简条件式得到角的关系利用内角和定理判断形状或求值。 3. 和差化积公式（了解）：，在解三角形中偶有应用。 1.（2026·新高考Ⅱ卷·第17题改编）在中，已知，，则的形状为（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 2.（2026·新高考Ⅱ卷·第17题改编） 在中，已知，且。 （1）判断的形状； （2）若的面积为，且，求的周长。 3.（2024·新高考Ⅰ卷·改编） 在中，已知 ，。 （1）求角 ； （2）若 ，求 的面积。 4.（2026·东北师大附中·模拟） 在中，角 的对边分别为 ，已知 。 （1）求角 ； （2）若 ，求 面积的最大值。 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1.（人教A版P229·习题5.5变式）的值为（ ） A． B． C． D． 2.（2025·苏州四市·模拟）已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 3.（2026·东北师大附中·练习）函数的最大值为（ ） A． B． C． D． 4.（人教A版必修第一册P227·例9变式）函数的最大值为（ ） A． B． C． D． 5.（2025·全国Ⅱ卷·第8题改编）已知，，则的值为（ ） A． B． C． D． 6.（2022·全国甲卷·改编）已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 7.（2025·山西三晋联盟·高三1月联考）已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 8.（2026·新高考Ⅱ卷·第7题变式）已知为第二象限角，，则的值为（ ） A． B． C． D． 创新能力提升 1.（2025·浙江宁波·模拟检测·多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．在上有个零点 2.（2025·湖北武汉·高三调研·改编）已知，，则的值为（ ） A． B． C． D． 3.（2026·江苏南京·模拟检测·改编）函数的值域为（ ） A． B． C． D． 4.（2026·新高考Ⅱ卷·第7题改编）已知，且为第四象限角，则的值为（ ） A． B． C． D． 5.（2025·安徽合肥一中·模拟）已知，，且，，则的值为（ ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优02 三角恒等变换（复习讲义） 内容导航（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 两角和与差公式的应用（★★） 2 题型二 倍角公式与升降幂变换（★★★） 4 题型三 配凑角技巧（★★★★）………………………………………………………………………… …6 题型四 辅助角公式的综合应用（★★★★）………………………………………………………… ……8 题型五 三角恒等变换综合（★★★★★） ………………………………………………………… ……10 03 实战检测・分层突破验成效 13 重难知识巩固 13 创新能力提升 15 知识重构·重难梳理固根基 1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1） （3） 2. 倍角公式 （1） （2） （3） 3. 降幂公式（倍角公式变形） （1） 4. 半角公式 （1） 5. 辅助角公式 6. 配凑角常用关系 （1） ， （2）互余：若，则 （3）互补：若，则， 题型精研·技巧通法提能力 题型一 两角和与差公式的应用（★★） 【技巧通法·提分快招】 1. 正用公式：将两角的正余弦代入和差公式展开求值。 2. 逆用公式：形如合并为；合并为。 3. 给值求值：分析已知角与所求角的关系，选择合适公式，注意象限定号。 4. 给值求角：先求角的三角函数值，再结合范围定角。 1.（2025·全国新高考Ⅱ卷·第8题）已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】 D 【解析】 由倍角公式（已知半角求全角） ，且，（第二象限），， 故选D． 2.（人教A版必修第一册P229·习题5.5复习巩固第2题变式）的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 观察式子结构：，逆用两角差的正弦公式得 故选A． 3.（人教A版必修第一册P229·习题5.5复习巩固第2题变式）的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】 观察式子结构：，逆用两角和的余弦公式得 ，故选C． 4.（2025·山西三晋联盟·高三1月联考）已知，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 将两式分别平方后相加 展开左边 列方程，故选A． （注：为正用两角和的正弦公式） 题型二 倍角公式与升降幂变换（★★★） 【技巧通法·提分快招】 1. 倍角公式正用：，。 2. 降幂公式（倍角逆用）：，。 3. 与的关系：。 4. 半角公式：注意符号由所在象限决定。 1.（2022·浙江卷·第13题）若，，则，． 【答案】 ； 【解析】 由得，代入， 原式化为． 其中，即，． 取，．，， 2.（2025·苏州四市·模拟）已知，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 利用， 代入得：。由，在上，在上， ，取正值：，故选B． 【技巧点拨】 本题利用核心关系，实现一次式与二次式的互化。关键是符号判断：由范围确定与的大小关系。 3.（2026·东北师大附中·练习）已知，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 利用， （，，取正）， ，故选B． 4.（2025·江苏苏州中学·模拟）已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 方法一（万能公式思想——齐次化）：，故选B． 方法二（先求）： 由，可设，（）， ， ，， 或者，， ， ．故选B． 题型三 配凑角技巧（★★★★） 【技巧通法·提分快招】 1. 寻找已知角与所求角的数量关系：相加/减是否为特殊角？是否为的整数倍？ 2. 配凑的一般步骤：①观察差异；②用已知角特殊角表示所求角；③代入公式求解。 3. 互余关系：若，则，。 4. 互补关系：若，则，。 5. 易错警示：变换后角的范围可能变化，注意符号判断。 1.（2026·广东揭阳市·模拟）已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 观察与的关系： 所求角比已知角的2倍多． 令，， ．故选B． 2.（2026·四川宜宾市·模拟）已知，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 ，， 又，，其余弦为正． 故选B． 3.（2025·广东深圳·高三质检）已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】 故选C． 【技巧点拨】 本题的巧妙之处在于：通过展开后合并同类项，恰好凑出的形式，无需单独求和的值。 题型四 辅助角公式的综合应用（★★★★） 【技巧通法·提分快招】 1. 辅助角公式：，，由的象限决定。 2. 应用场景：①化简求周期、最值、单调区间；②解三角方程；③证明恒等式。 3. 易错警示：的象限由共同决定，不能只根据的值判断。 4. 变形：也可写为余弦形式，其中。 1.（2022·新高考Ⅱ卷·第6题）角，满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】 D 【解析】 （因为） 两边同时除以： 故选D． 2.（2021·全国乙卷·文科第4题）函数的最小正周期和最大值分别是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】 C 【解析】 ，， 故选C． 3.（2020·北京卷·第14题改编）若函数的最大值为，则常数的一个取值为． 【答案】 （答案不唯一，可取，） 【解析】 最大值为=2． 两边平方： 展开： 即，，， ．可取． 4.（2025·全国新高考Ⅱ卷·第15题改编）已知函数，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 其中，， ，最大值为．故选A． 题型五 三角恒等变换综合（★★★★★） 【技巧通法·提分快招】 1. 三角形中的恒等变换：，，。 2. 综合策略：化简条件式得到角的关系利用内角和定理判断形状或求值。 3. 和差化积公式（了解）：，在解三角形中偶有应用。 1.（2026·新高考Ⅱ卷·第17题改编）在中，已知，，则的形状为（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】 C 【解析】，， ，与异号． 在三角形中，余弦为负的角是钝角，余弦为正的角是锐角， 与中一个为钝角、一个为锐角， 为钝角三角形．故选C． 2.（2026·新高考Ⅱ卷·第17题改编） 在中，已知，且。 （1）判断的形状； （2）若的面积为，且，求的周长。 【答案】 （1）钝角三角形；（2） 【解析】 （1），， 代入条件： 又由 ，得： ， 与 异号，即 与 一钝一锐， 为钝角三角形。 （2）由（1）知 。又 ， 面积 ，与已知一致，无新信息。 由正弦定理：，， 代入 和 ： 由余弦定理： 代入 ，得： 周长 。 3.（2024·新高考Ⅰ卷·改编） 在中，已知 ，。 （1）求角 ； （2）若 ，求 的面积。 【答案】 （1）；（2） 【解析】 （1），，。 代入条件： 利用和差化积公式：， （三角形内角），，。 又 ，（即 ）。 （2）由余弦定理：， 代入 ，，： 又 ，，。 面积 。 4.（2026·东北师大附中·模拟） 在中，角 的对边分别为 ，已知 。 （1）求角 ； （2）若 ，求 面积的最大值。 【答案】 （1）；（2） 【解析】 （1）由正弦定理 ，得 ，，。 代入 ，两边同乘 ： 由余弦定理：，。 又 ，（即 ）。 （2）由余弦定理：，代入 ，： 由基本不等式 ，， ，当且仅当 时取等号。 面积 。 面积的最大值为 ，当 （即 为等边三角形）时取得。 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1.（人教A版P229·习题5.5变式）的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 逆用倍角公式：．故选A． 2.（2025·苏州四市·模拟）已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 逆用两角和的正切公式： 故选A． 3.（2026·东北师大附中·练习）函数的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 辅助角公式：， 最大值为．故选B． 4.（人教A版必修第一册P227·例9变式）函数的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 辅助角公式：，最大值为．故选A． 5.（2025·全国Ⅱ卷·第8题改编）已知，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 ，，， ，故选A． 6.（2022·全国甲卷·改编）已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 由倍角公式，直接得．故选A． 7.（2025·山西三晋联盟·高三1月联考）已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 两边平方得， ，， ．故选B． 8.（2026·新高考Ⅱ卷·第7题变式）已知为第二象限角，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 为第二象限角，，， 由可设，（）， 代入得，， ，， ．故选B． 创新能力提升 1.（2025·浙江宁波·模拟检测·多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．在上有个零点 【答案】 AD 【解析】 ．，A正确．令得，时递增区间为，时递增区间为．在上先增后减再增，B错误．对称轴满足，，不满足，C错误．令得，在上对应（舍），共个零点，D正确．故选AD． 2.（2025·湖北武汉·高三调研·改编）已知，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 D 【解析】 ，．两式相加得，．两式相减得，．．故选D． 3.（2026·江苏南京·模拟检测·改编）函数的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 ．，．故选A． 4.（2026·新高考Ⅱ卷·第7题改编）已知，且为第四象限角，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 为第四象限角，，， 由可设，（）， ，， ，， ．故选B． 5.（2025·安徽合肥一中·模拟）已知，，且，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 ，，． ，，． ．故选A． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $