第1章集合与逻辑单元复习（培优篇）讲义-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

本讲义聚焦集合与逻辑单元，系统梳理集合的元素与表示、集合间关系、集合运算、常用逻辑及综合提升等核心知识点，从基础概念到综合应用形成递进学习支架。 资料精选上海多所名校期中真题，题型涵盖选择、填空、解答及新定义问题，通过真实情境培养数学抽象与逻辑推理能力，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

2026-2027学年高一数学秋季班同步培优讲义 第1章 集合与逻辑单元复习（培优篇） 考点一 集合的意义与表示方法 题型01：元素与集合的关系 1．（25-26上海市川沙中学高一上期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】利用常用数集的范围和元素与集合的关系即可判断. 【解答过程】因为，，，分别表示正整数集，整数集，有理数集，实数集； 是正整数，即，故①错误；是整数，即，故②错误； 是无理数，故③错误；是实数，故④正确；是有理数，故⑤正确. 故选：B. 2. （25-26上海市实验学校高一上期中）设集合，并定义集合，集合，那么满足但的元素的个数为________． 【答案】 【分析】由题意可求出， 【详解】由题可得，解得，则， 由，设，则，所以，又因为，，所以， 因为共个相同元素， 所以满足但的元素的个数为个. 故答案为：. 3. （25-26上海市进才中学高一上期中）若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和________. 【答案】2 【分析】由题意可知：集合有两个元素，即方程有两个不相等的实数根，利用韦达定理运算求解. 【详解】由题意可知：集合有两个元素，设为，即， 则方程有两个不相等的实数根，则， 所以. 故答案为：2. 4. 若集合至多有一个元素，则的取值范围是___________． 【答案】或 【分析】根据讨论方程解的情况，即得结果 【详解】时，，满足题意； 时，要满足题意，需 综上的取值范围是或 故答案为或 【点睛】本题考查根据集合元素个数求参数，考查基本分析求解能力，属中档题. 5.（25-26上海市 位育中学高一上期中）若集合中有且只有3个元素，且这3个元素恰为直角三角形的三边，则________. 【答案】 【分析】 先得或，根据判别式，以及集合中元素个数，确定方程有两个根，方程有一个根；求出，以及三个元素，再由三个元素恰为直角三角形的三边，求出，得出，即可得出结果. 【详解】由得或， 方程的判别式为， 方程的判别式为， 显然， 又集合中有且只有3个元素， 所以方程和共三个根， 且只能方程有两个根，方程有一个根； 即，即； 所以方程可化为，解得或， 方程可化为，解得， 则， 又这三个元素恰为直角三角形的三边，所以， 解得， 则，因此. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查由集合中元素个数求参数的问题，属于常考题型. 题型02：集合的表示方法 6．已知区间，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由，得．即. 7．用列举法可以将集合使方程有唯一实数解表示为（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】由题意可知集合的元素表示能使方程有唯一实数解的的值， 当时， ，解得，成立；当时，方程有唯一实数解，则，解得：，. 8．(24-25高一上·上海市上海师范大学第二附属中学··期中)已知集合，用列举法表示集合 【答案】； 【分析】根据集合满足的条件，用列举法表示集合即可； 【详解】因为，所以； 故答案为：； 9．(24-25高一上·上海市黄浦区卢湾高级中学··期中)用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为 【答案】且； 【分析】根据描述法的定义求解． 【详解】用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为：且． 故答案为：且； 10．用适当的方法表示下列集合： （1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合______； （2）______； （3）方程的解集______； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合______． 【答案】 【详解】（1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）组成的自然数有，用列举法可表示为． （2）因为，所以，又因为，所以， 又因为，所以，所以原集合用列举法可表示为． （3）由，得所以， 所以方程的所有解组成的集合用描述法可表示为． （4）设平面直角坐标系中第一、三象限的点为，则， 所以平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合可表示为． 考点二 集合与集合间的关系 题型03：集合之间的关系 11．（2025上海市奉贤中学高一阶段练习）下面五个式子中：①；②；③{a }{a，b}；④；⑤a {b，c，a}；正确的有（       ） A．②④⑤ B．②③④⑤ C．②④ D．①⑤ 【答案】A 【解析】中，是集合{a}中的一个元素，，所以错误； 空集是任一集合的子集，所以正确；是的子集，所以错误； 任何集合是其本身的子集，所以正确；a是的元素，所以正确.故选：A. 12. 已知集合，，则集合的关系是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设或，， 则有． 又，． 13.若集合，集合，且，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解题思路】根据集合相等，对应元素相等，即可求解. 【解答过程】由于，且不能为0，故， 此时，因此，故， 此时， 故， 故选：B. 14.已知集合，，若，则实数的值构成的集合是（ ） A． B． C． D． 【解析】由得：或，即； ①当时，，满足，符合题意； ②当时，， ，或，解得：或； 综上所述：实数的值构成的集合是. 15．已知，，若，求的取值范围. 【解析】，， 对于方程，，且. ①时，集合，可得，合乎题意； ②时，集合中只有一个元素，可得， 此时，合乎题意； ③时，集合中有两个元素，，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是或. 16. 已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．若B⊆A，则实数m的取值范围为______． 【解析】由题意得，A＝{x|－1≤x≤6}． 当B＝∅时，m－1>2m＋1，即m<－2，满足B⊆A. 当B≠∅时，若B⊆A，则解得0≤m≤. 综上，m＜－2或0≤m≤. 17.已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式，确定集合A，讨论m的范围，确定B，根据题意推出，由此列出不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意集合， ， 若，则，此时， 因为“”是“”的必要不充分条件，故, 故； 若，则，此时， 因为“”是“”的必要不充分条件，故, 故； 若，则，此时，满足, 综合以上可得， 故选：C 题型04：集合的子集个数问题 18. （25-26华东师大二附中高一上期中）满足的集合M的个数为_____个. 【答案】3 【分析】通过列举法即可求解. 【详解】由题意可知：可以是： ，，共3个， 故答案为：3. 19. （25-26上海中学高一上期中）满足 的所有集合的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】先确定，再由题意可得，其中集合为集合的子集，从而可得结果. 【详解】由，得. 设集合为集合的子集，则集合可能为：，共种. 由题意，集合，所以集合共有个， 分别为：． 20.设集合，则集合的子集的个数为（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】结合集合交集的定义、子集个数公式进行求解即可. 【详解】由题意可得，， 因此集合的子集的个数为， 故选：A 21.（25-26上海市七宝中学高一上期中）已知集合，若有且只有一个非空子集，则实数__________. 【答案】4或 【分析】根据集合非空子集的个数，判断集合中元素的个数，进而根据判别式求出参数值. 【详解】集合有且只有一个非空子集，则集合中只有一个元素，即方程只有一个解， 得，解得或. 故答案为：4或. 22.（25-26上海市金山中学高一上期中）若集合有且仅有两个子集，则实数的取值集合为_____. 【答案】 【分析】问题转化为方程只有1解，求实数的值求解. 【详解】因为集合有且仅有两个子集， 所以集合中有且只有1个元素，即方程只有一解. 由. 由或. 因为方程只有一解，所以或（因为是方程的增根）， 所以或. 故实数的取值集合为. 故答案为： 23. （25-26上海中学东校高一上期中）已知集合，集合是集合的三元子集，即，中的元素满足，则符合要求的集合有______个． 【答案】1012 【分析】根据给定条件，用表示出，得到，再由求出范围即可. 【详解】由，得，即， 整理得，而，则，， 因此，由，得， 又，，所以符合要求的集合的个数为. 故答案为：1012 24.（25-26同济大学二附中高一上期中）已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为（ ）． A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 【分析】由新定义及集合的概念可化简集合，再由可知，分类讨论的归属，从而得到集合的元素个数，由此利用子集个数公式即可求得集合的子集的个数. 【详解】由题设可知，， 又因为，所以， 而， 因为的解为或，的两根满足， 所以分属方程与的根， 若是的根，是的根，则有，解得， 代入与，解得或与或， 故； 若是的根，是的根，则有，解得， 代入与，解得或与或， 故； 所以不管如何归属方程与，集合总是有4个元素， 故由子集个数公式可得集合的子集的个数为. 故选：C 考点三 集合的运算 题型05：集合的运算 25. （25-26上海市徐汇中学高一上期中）若集合，，则_________. 【答案】 【分析】解方程组即可得出的元素，从而得出． 【详解】解，得， ． 故答案为： 26．设集合，，则A∩B=（ ） A． B． C． D． 【错解】因为，， 所以，所以选A。 【错因】忽略了集合A中代表元素的范围。 【正解】因为，，所以，所以选B。 27．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【错解】因为集合，，。 【错因】忽略了集合N中代表元素的特征。 【正解】因为集合为数集，为点集， 所以两集合没有共同元素，则. 28．(24-25高一上·上海市宝山区海滨中学··期中)集合，，则_____ 【答案】 【分析】解不等式求得集合，进而求得. 【详解】或， 所以. ， 即，解得或，所以或， 所以. 故答案为： 29. （25-26上海曹杨中学高一上期中）集合，，则________ 【答案】 【分析】先求得集合B,再根据交集运算即可求得. 【详解】因集合,即 集合 所以 故答案为: 【点睛】本题考查了集合交集的简单运算,属于基础题. 30. （25-26华东师大一附中高一上期中）已知非空集合，则＝_________ 【答案】 【分析】由可得或，联立方程和求解即可得出. 【详解】由集合A可得，由可得或， 联立方程，可解得或， 联立方程，可解得或（舍去）， 综上可得. 故答案为：. 31. （25-26上海市徐汇中学高一上期中）设集合，若，则 __________． 【答案】{ 1，2，5} 【详解】试题分析：解：∵A∩B={2}，∴log2（a+3）=2．∴a=1．∴b=2．∴A={5，2}，B={1，2}．∴A∪B={1，2，5}，故答案为{1，2，5}． 32.集合或.若，则的取值范围为_________； 【答案】 【详解】集合或， 由，得，解得， 所以的取值范围为. 33. （25-26华东师大一附中高一上期中）集合，,则（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】B 【分析】化简两个集合，再判断集合间的关系. 【详解】,, 表示奇数，表示整数，所以. 故选：B 34.已知集合，，，则实数的值为_________ 【答案】0或1或4 【解析】因为，所以，所以或， 当时，，，满足； 当时，或， 若，则，，满足； 若，则，，满足； 综上所述：或或. 35．若集合，，且，则的值为（ ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】C 【解析】，；；，当时，； 当时，，当时，，故的值是0；1；。 36. （25-26上海市徐汇中学高一上期中）已知集合，若，则实数组成的集合为__________． 【答案】 【分析】解方程求得集合；分别在和两种情况下，根据交集结果构造方程，从而求得结果. 【详解】解：因为， 当时，，满足， 当时，， ，或，解得：或， 实数组成的集合为， 故答案为： 37.设集合 .若，实数的取值范围为___ 【解析】由得.因为集合，.当时，有，解得； 当时，有，解得. 综上，实数的取值范围为. 题型06：韦恩图及其应用 38. （25-26上海市实验学校高一上期中）维恩（Venn）图是辅助研究复杂集合关系的重要工具．已知全集，集合、为的子集，满足，，，则下列判断正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【分析】结合Venn图，逐项判断即可. 【详解】由题意画出Venn图，如下： 对于A：若，，则不符合题意； 对于C：若，，则，不符合题意； 对于D：若，，则，不符合题意； 对于B：经验证符合题意， 故选：B 39.已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为____．    【答案】 【解题思路】利用Venn图得出阴影部分表示的集合为，再利用交集、补集的概念和运算规则求解． 【解答过程】由Venn图可知，图中阴影部分区域表示为， ，， 或， ， 或， 故答案为：． 40．如图表示图形阴影部分的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由韦恩图可以看出，阴影部分中的元素满足“是B的元素且C的元素，或是A的元素”，由韦恩图与集合之间的关系可得答案． 【解析】图中阴影部分表示元素满足：是A中的元素，或者是B与C的公共元素 故可以表示为，也可以表示为：. 故选：B． 41．如图，I为全集，M、P、S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析出阴影部分为和的子集，从而选出正确答案. 【解析】题图中的阴影部分是的子集，不属于集合S，故属于集合S的补集，即是的子集，则阴影部分所表示的集合是 故选：C 考点四 常用逻辑概念 题型07：命题真假的判断与求参数 42.若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（ ） 【答案】 【分析】先求出命题为真命题时的取值范围，进而即可得到命题为假命题时的取值范围． 【详解】若命题：“，”为真命题， 由，当且仅当时取等号，则， 所以命题为假命题时，． 43．已知命题，若命题p为真命题，则实数a的取值范围是（    ） 【答案】 【分析】利用命题为真命题结合二次函数判别式建立不等式，求解实数a的取值范围. 【详解】由题意可知，解得 44.（25-26上海市 育才中学高一上期中）已知命题：关于的方程在上有解；命题：只有一个实数满足不等式．若命题和中有且仅有一个是真命题，则实数的取值范围是____________． 【答案】． 【分析】根据题意，分别求出、为真命题时的取值范围，再分“真假”和“假真”两种情况讨论，求出的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，对于方程，变形可得，解可得或， 若为真命题，则或，则有， 对于，只有一个实数满足不等式，则有，解可得或， 若命题和中有且仅有一个是真命题，有2种情况， ①假真，为假时，或；为真时，或， 假真不能同时成立，此时无解； ②真假，为真时，；为假时，且， 此时或； 综合可得：或，即的取值范围为． 故答案为：． 45.已知集合，集合或. (1)若，求，； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或 (2)或. 【分析】（1）先求出集合，再根据交集和并集的定义运算即可； （2）由已知可得，进而根据包含关系求解. 【详解】（1）当时，，而或， 则，或. （2）若命题“，都有”是真命题，则， 由题意，则或，即或， 故的取值范围为或. 题型08：充分条件与必要条件的判断 46. “成立”是“成立”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】首先求解绝对值不等式与分式不等式，然后再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，解得：；由，解得：. 由于“”推不出“” 但“”可以推出“” 因此可得：“成立”是“成立”的必要不充分条件. 故选：B 47. 已知，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】由，两边同时平方可得， 所以，得，故充分性成立， 若，当时，，， 此时不成立，故必要性不满足， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 48．已知集合，则“”是“仅有1个真子集”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则方程变为，即，解得， 方程有两个相等的实数根1，即仅有一个真子集， “”能推出“仅有1个真子集”，故充分性成立； 若“仅有1个真子集”，则“中仅有1个元素”， 当时，，解得，则仅有一个真子集， 当时，，解得，即也仅有一个真子集， “仅有1个真子集”不能推出“”，故必要性不成立． 故选：A． 49.设，，下列说法中错误的是　　 A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“，”是“，”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 【分析】根据充分条件，必要条件的概念判断选项中的命题是否正确即可． 【解答】解：对于，因为的解集为，，，所以“”是“”的充分不必要条件，选项正确； 对于，“”时，“”不一定成立，反之“”成立时，“”一定成立，所以“”是“”的必要不充分条件，选项正确； 对于，“，”时，“，”一定成立，反之“，”成立时，，不一定成立，如，，所以“，”是“，”的充分不必要条件，选项错误； 对于，当，时，满足“”，但不满足“”；当，时，满足“”，但不满足“”，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，选项正确． 故选：． 【点评】本题考查了充分条件和必要条件的应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题． 50. 王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】返回家乡的前提条件是攻破楼兰，即可得出结论. 【详解】由题可知：“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件. 故选：B 题型09：根据充分必要条件求参数 51．(24-25高一上·上海市曹杨第二中学··期中) 已知.若是的充分条件，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据充分条件和必要条件的关系转化为不等式之间的关系，解不等式组即可得解． 【详解】，， 因为是的充分条件， 则，解得， 故答案为：． 52.已知，.若是的充分不必要条件，则实数 的取值范围是 . 【解析】由不等式，解得，设对应的集合为， 则.由不等式， 解得，设对应的集合为，则.因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则（不同时取等号），解得，所以实数的取值范围是. 53.已知“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（） 【解析】设.若“”是“”的充分不必要条件，则，则，等号不同时成立，解得，故选 54．设集合，命题，命题 (1)若是的充要条件，求正实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据是的充要条件转化为求解即可； （2）根据是的充分不必要条件，得真包含于，列出不等式求解即可. 【解析】（1）由条件， 是的充要条件， 得，即，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由是的充分不必要条件，得真包含于， 所以，或，解得， 综上实数的取值范围是. 题型10：否命题与命题的否定、反证法 55．命题“若，则”的否命题为 命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】命题“若，则”的否命题为“若，则”，这是真命题，因此它等价的命题“若，则”是真命题． 56．原命题为 “若，则​且​”，则其否命题为（    ） 【答案】若 ​，则​，或​ 【解析】由原命题的否命题的形式可知： 否命题为“若 ​，则​，或​”. 57. （25-26上海曹杨中学高一上期中）“且”的否定形式为___________ 【答案】或 【分析】利用“且”命题的否定直接写出结论. 【详解】“且”的否定形式为：或. 故答案为：或 58．陈述句“或”的否定形式是 ． 【答案】且 【分析】根据命题的否定即可得到结论. 【解析】命题“或”的否定形式为“且”. 故答案为：且. 59．用反证法证明命题“三角形内至少有一个角不小于”这一命题，那么假设的内容是 【答案】三角形内所有角均小于 【解析】根据反证法证明的规则，假设的内容是：三角形内所有角均小于. 故答案为：三角形内所有角均小于. 60用反证法证明命题“若，则或”的过程中，应当作出的假设是___________． 【答案】且 【详解】由题意应假设且， 故答案为：且 61.已知，且，求证：和至少有一个大于． 【答案】 假设和都不大于，则， 又，所以， 所以，与矛盾，故假设不成立， 所以和至少有一个大于. 【详解】略 考点五 综合提升 题型11：集合的新定义问题 62．如图所示的Venn图中，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．已知全集，集合是偶数，则集合 ．    【答案】 【解析】由题意可知，故， 又，是偶数，故， 63.（25-26上海市风华中学高一上期中）定义满足“如果，那么，，且时，”的集合为闭集，说明“是闭集”是假命题的一个反例可以是___________ 【答案】（答案不唯一，符合题意即可） 【分析】根据闭集的定义举出反例，例如代入运算分析即可. 【详解】满足“如果，那么，，且时，”的集合为闭集， 为整数集，例如，则， 但，可知“是闭集”是假命题. 故答案为：（答案不唯一，符合题意即可）. 64.定义集合的乘运算：.已知集合，集合，则集合非空真子集的个数为（    ） A．6 B．14 C．30 D．62 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，求出集合，再求出集合即可得解. 【解答过程】由，得， 而，则， 所以集合非空真子集的个数为. 故选：D. 65. （25-26上海市金山中学高一上期中）已知A、B为非空数集，为平面上的一些点构成的集合，集合，集合，给定下列四个命题，其中真命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【分析】运用元素和集合的关系判断即可. 【详解】设，， 若，此时，，B错误； 若，此时，，错误，A错误； 若，则,则， 且，若，真包含A,故D正确，C错误. 故选：D． 66. 设集合.如果对于的每一个含有个元素的子集P，P中必有3个元素的和等于，称正整数m为集合的一个“相关数”. (1)当时，判断6和4是否为集合的“相关数”，说明理由； (2)若m为集合的“相关数”，判断是否为集合的“相关数”，请说明理由，并证明. 【答案】(1)当时，是集合的“相关数”，不是集合的“相关数”. (2)不是集合的“相关数”，且.证明见解析. 【分析】（1）根据“相关数”新定义，找出相应的子集来验证是否满足条件； （2）通过对集合元素的分析和组合来推导即可. 【详解】（1）当时，，. 的含有个元素的子集为，其中，，，满足对于的含有个元素的子集，必有个元素的和等于10， 所以是集合的“相关数”. 的含有个元素的子集，其中任意个元素的和都不等于10， 不满足对于的含有个元素的子集，必有个元素的和等于10， 所以不是集合的“相关数”. （2）先证明. 将集合中的元素分成组：，，，， 每组两个元素的和都为. 要使子集不满足有个元素的和等于，那么在选取元素时， 最多从这组中选取个元素（每组选一个），再加上这个元素， 此时子集元素个数为个. 而为“相关数”，所以要保证一定能出现个元素的和等于， 则至少要比大，即，移项可得; 所以不是集合的“相关数”. 【点睛】思路点睛：数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移. 67. 已知集合，如果中的元素满足 ，就称为“完美集”. (1)判断集合是否为“完美集”，并说明理由； (2)已知集合为“完美集”，求证： ； (3)是否存在，且为“完美集”？若存在，求出所有这样的；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)证明见解析 (3)存在，是“完美集” 【分析】（1）根据“完美集”的定义判断即可； （2）根据“完美集”的定义，结合基本不等式和二次不等式的性质证明即可； （3）设，得到，分，，进行讨论即可求解. 【详解】（1）因为， ，， 所以不是“完美集”； （2）因为，所以， 又，所以，所以， 令，则，解得（舍）或， 即，因为，所以； （3）假设存在，且为“完美集”，则，， 不妨设， 因为， 即， 所以， 当时，有，故或， 若，则，无解，即不存在满足条件的“完美集”； 若，则，解得，即是“完美集”； 当时，有， 故只能，，则，解得， 即是“完美集”； 当时，因为， 所以， 又， 与矛盾， 所以当时，不存在“完美集”， 综上，存在，，是“完美集”. 【点睛】方法点睛：新定义有关的问题的求解策略：通过给出的一个新的定义，或约定一种新的运算，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学秋季班同步培优讲义 第1章 集合与逻辑单元复习（培优篇） 考点一 集合的意义与表示方法 题型01：元素与集合的关系 1．（25-26上海市川沙中学高一上期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2. （25-26上海市实验学校高一上期中）设集合，并定义集合，集合，那么满足但的元素的个数为________． 3. （25-26上海市进才中学高一上期中）若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和________. 4. 若集合至多有一个元素，则的取值范围是___________． 5.（25-26上海市 位育中学高一上期中）若集合中有且只有3个元素，且这3个元素恰为直角三角形的三边，则________. 题型02：集合的表示方法 6．已知区间，则实数a的取值范围为 ．（用区间表示） 7．用列举法可以将集合使方程有唯一实数解表示为（ ） A． B． C． D．或 8．(24-25高一上·上海市上海师范大学第二附属中学··期中)已知集合，用列举法表示集合 9．(24-25高一上·上海市黄浦区卢湾高级中学··期中)用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为 10．用适当的方法表示下列集合： （1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合______； （2）______； （3）方程的解集______； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合______． 考点二 集合与集合间的关系 题型03：集合之间的关系 11．（2025上海市奉贤中学高一阶段练习）下面五个式子中：①；②；③{a }{a，b}；④；⑤a {b，c，a}；正确的有（       ） A．②④⑤ B．②③④⑤ C．②④ D．①⑤ 12. 已知集合，，则集合的关系是(　　) A． B． C． D． 13.若集合，集合，且，则（   ） A．1 B． C．2 D． 14.已知集合，，若，则实数的值构成的集合是（ ） A． B． C． D． 15．已知，，若，求的取值范围. 16. 已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．若B⊆A，则实数m的取值范围为______． 17.已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型04：集合的子集个数问题 18. （25-26华东师大二附中高一上期中）满足的集合M的个数为_____个. 19. （25-26上海中学高一上期中）满足 的所有集合的个数是（ ） A. B. C. D. 20.设集合，则集合的子集的个数为（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 21.（25-26上海市七宝中学高一上期中）已知集合，若有且只有一个非空子集，则实数__________. 22.（25-26上海市金山中学高一上期中）若集合有且仅有两个子集，则实数的取值集合为_____. 23. （25-26上海中学东校高一上期中）已知集合，集合是集合的三元子集，即，中的元素满足，则符合要求的集合有______个． 24.（25-26同济大学二附中高一上期中）已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为（ ）． A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 考点三 集合的运算 题型05：集合的运算 25. （25-26上海市徐汇中学高一上期中）若集合，，则_________. 26．设集合，，则A∩B=（ ） A． B． C． D． 27．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 28．(24-25高一上·上海市宝山区海滨中学··期中)集合，，则_____ 29. （25-26上海曹杨中学高一上期中）集合，，则________ 30. （25-26华东师大一附中高一上期中）已知非空集合，则＝_________ 31. （25-26上海市徐汇中学高一上期中）设集合，若，则 __________． 32.集合或.若，则的取值范围为_________； 33. （25-26华东师大一附中高一上期中）集合，,则（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 34.已知集合，，，则实数的值为_________ 35．若集合，，且，则的值为（ ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 36. （25-26上海市徐汇中学高一上期中）已知集合，若，则实数组成的集合为__________． 37.设集合 .若，实数的取值范围为___ 题型06：韦恩图及其应用 38. （25-26上海市实验学校高一上期中）维恩（Venn）图是辅助研究复杂集合关系的重要工具．已知全集，集合、为的子集，满足，，，则下列判断正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 39.已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为____．    40．如图表示图形阴影部分的是（    ） A． B． C． D． 41．如图，I为全集，M、P、S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 考点四 常用逻辑概念 题型07：命题真假的判断与求参数 42.若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（ ） 43．已知命题，若命题p为真命题，则实数a的取值范围是（    ） 44.（25-26上海市 育才中学高一上期中）已知命题：关于的方程在上有解；命题：只有一个实数满足不等式．若命题和中有且仅有一个是真命题，则实数的取值范围是____________． 45.已知集合，集合或. (1)若，求，； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围. 题型08：充分条件与必要条件的判断 46. “成立”是“成立”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 47. 已知，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 48．已知集合，则“”是“仅有1个真子集”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 49.设，，下列说法中错误的是　　 A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“，”是“，”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 50. 王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 题型09：根据充分必要条件求参数 51．(24-25高一上·上海市曹杨第二中学··期中) 已知.若是的充分条件，则的取值范围是 . 52.已知，.若是的充分不必要条件，则实数 的取值范围是 . 53.已知“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（） 54．设集合，命题，命题 (1)若是的充要条件，求正实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围. 题型10：否命题与命题的否定、反证法 55．命题“若，则”的否命题为 命题．（填“真”或“假”） 56．原命题为 “若，则​且​”，则其否命题为（    ） 57. （25-26上海曹杨中学高一上期中）“且”的否定形式为___________ 58．陈述句“或”的否定形式是 ． 59．用反证法证明命题“三角形内至少有一个角不小于”这一命题，那么假设的内容是 60用反证法证明命题“若，则或”的过程中，应当作出的假设是___________． 61.已知，且，求证：和至少有一个大于． 考点五 综合提升 题型11：集合的新定义问题 62．如图所示的Venn图中，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．已知全集，集合是偶数，则集合 ．    63.（25-26上海市风华中学高一上期中）定义满足“如果，那么，，且时，”的集合为闭集，说明“是闭集”是假命题的一个反例可以是___________ 64.定义集合的乘运算：.已知集合，集合，则集合非空真子集的个数为（    ） A．6 B．14 C．30 D．62 65. （25-26上海市金山中学高一上期中）已知A、B为非空数集，为平面上的一些点构成的集合，集合，集合，给定下列四个命题，其中真命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 66. 设集合.如果对于的每一个含有个元素的子集P，P中必有3个元素的和等于，称正整数m为集合的一个“相关数”. (1)当时，判断6和4是否为集合的“相关数”，说明理由； (2)若m为集合的“相关数”，判断是否为集合的“相关数”，请说明理由，并证明. 67. 已知集合，如果中的元素满足 ，就称为“完美集”. (1)判断集合是否为“完美集”，并说明理由； (2)已知集合为“完美集”，求证： ； (3)是否存在，且为“完美集”？若存在，求出所有这样的；若不存在，请说明理由. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $