专题2.1 等式与不等式的性质（高效培优讲义）数学沪教版2020必修第一册

专题2.1 等式与不等式的性质 教学目标 1.了解不等式的意义，能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系。 2.会用作差法比较两个代数式的大小关系。 3.掌握并会应用重要不等式。 教学重难点 教学重点：掌握不等式性质及其应用。 教学难点：类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法，研究不等式的基本性质；等式与不等式的共性与差异。 知识点01等式的性质 （1）传递性 设、、均为实数，如果，，那么；、 （2）加法性质 设、、均为实数，如果，那么； （3）乘法性质 设、、均为实数，如果，那么； 还可以“验证”与“推广”得性质与推论： （4）如果，那么； （5）如果，那么； （6）如果，，那么； 【即学即练】已知等式恒成立，则常数 . 知识点02 恒等式 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等； 知识点03 方程的解集 （1）含有未知数的等式称为方程； （2）使得方程两端相等的未知数的值，称为方程的解或者方程的根； （3）以方程的所有解为元素组成的集合，称为方程的解集； 【即学即练】设为实数，求关于的方程的解集. 知识点04 一元二次方程的解集 一般地，称为一元二次方程的判别式； （1）当时，方程的解集为； （2）当时，方程的解集为； （3）当时，方程的解集为； 【即学即练】求下列方程的解集． (1) (2) 知识点05根与系数的关系 若是一元二次方程的两个根， 则原方程可改写为，展开得：， 与原方程比较可知对应系数应该相等，即，所以； 【即学即练】若关于x的一元二次方程有两个不等实根.则 . 知识点06 不等式性质 （1）传递性 设、、均为实数，如果，那么； （2）加法性质 设、、均为实数，如果a>b，那么； （3）乘法性质 设、、均为实数， 如果，那么；如果，那么； （4）性质 设、均为实数，如果那么； （5）性质 设、、均为实数，如果，则； (不等式的移项法则) （6）性质 设、、、均为实数，如果，，那么； (同向可加性) （7）性质 设均为实数，如果，，那么； （8）性质 设、均为实数，如果，那么； （9）性质 设、均为实数，如果，那么 【即学即练】已知 ，，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 题型01 等式的性质与方程的解 【典例1】已知等式恒成立，则 ． 【变式1】下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知等式恒成立，其中a、b、c为常数，则 【变式3】若等式恒成立，则的值为 ． 【变式4】若等式恒成立，则常数 ； ． 题型02解含参数的一元一次不等式 【典例1】若关于x的不等式的解集为，则 ． 【变式1】若实数2不是关于的不等式的解，则实数的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】设，已知关于的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】不等式的解集为，则 ． 【变式4】已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 ． 题型03 解一元二次方程 【典例1】解下列方程： (1)； (2). 【变式1】方程的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式2】用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】方程的根是 ． 【变式4】方程的解集为 . ①因式分解法②求根公式法 题型04 根据一元二次方程根的个数求参数 【典例1】已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的取值范围： (1)方程有两个不相等的实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程无实数根． 【变式1】已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围． 【变式2】若是方程，的两个根． (1)求实数的取值范围； 【变式3】已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； 【变式4】已知关于的一元二次方程. （1）证明：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根； 一般地，称为一元二次方程的判别式； （1）当时，方程有两个不相等的实根 （2）当时，方程有两个相等的实根； （3）当时，方程无实数根； 题型05 根与系数关系的应用 【典例1】已知关于的一元二次方程. (1)若方程有实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两实根，，且满足，求实数的值. 【变式1】已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)取，设一元二次方程两个根为，求，． 【变式2】已知是方程的两个不相等的实根，求值： (1) (2) (3) 【变式3】已知方程的两个根为、，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 【变式4】已知一元二次方程的两根为与，求下列各式的值： (1)； (2)． 应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形： ①；②； ③； 题型06 一元二次方程实根分布问题 【典例1】关于的方程满足下列条件，求的取值范围． (1)有两个正根； (2)一个根大于，一个根小于； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)一个根小于，一个根大于； 【变式1】已知，是方程的两根，不解方程，求下列各式的值： (1)；（用含a的代数式表示） (2)写出一个“该方程有一个正根和一个负根”的充分不必要条件． 【变式2】已知关于的一元二次方程的一根小于，另一根大于，求实数的取值范围． 【变式3】已知一元二次方程有两个同号实根，求实数m的取值范围． 【变式4】方程在区间上有一根，求实数的取值范围． 题型07代数式比较大小 【典例1】从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【变式1】已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2】比较下列各组中两个代数式的大小： （1）与； （2）当，且时，与. 【变式3】如果，比较与的大小并证明． 【变式4】已知实数用作差比较法证明： (1)若则 (2)并指出等号成立条件. 题型08 由不等式的性质证明不等式 【典例1】若，则. (1)若存在常数，使得不等式对任意正数，恒成立，试求常数的值，并证明不等式：； (2)证明不等式：. 【变式1】（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 【变式2】证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 【变式3】（1）已知，求证：； （2）已知，求证： （3）已知，求证： 题型09 由不等式性质求代数式范围 【典例1】若，，则的取值范围为 ． 【变式1】已知，则代数式的取值范围为 ． 【变式2】已知，，则的取值范围是 . 【变式3】若实数x，y满足，，则的取值范围是 . 1．若关于x的一元二次方程有两个不等实根.则 . 2．已知实数a，b满足，则的取值范围为 . 3．已知实数满足，则的取值范围为 4．若，则的取值范围是 ． 5．若，设，，则M，N的大小关系是 ． 6．，，则，的大小关系为 ． 7．已知实数满足，则的取值范围为 ． 8．已知等式恒成立，则 ． 9．已知实数，满足，，则代数式 . 10．若a，b为正数，且，则 （用符号>、<、≥、≤填空）. 11．若R，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 12．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．设关于x的方程，当k为何值时， (1)有两个不相等的实数根； (2)没有实数根． 14．（1）当p，q都为正数且时，试比较代数式与的大小. （2）已知，求的取值范围. 15．（1）已知，求的取值范围. （2）比较与的大小（其中），并给出证明. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 等式与不等式的性质 教学目标 1.了解不等式的意义，能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系。 2.会用作差法比较两个代数式的大小关系。 3.掌握并会应用重要不等式。 教学重难点 教学重点：掌握不等式性质及其应用。 教学难点：类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法，研究不等式的基本性质；等式与不等式的共性与差异。 知识点01等式的性质 （1）传递性 设、、均为实数，如果，，那么；、 （2）加法性质 设、、均为实数，如果，那么； （3）乘法性质 设、、均为实数，如果，那么； 还可以“验证”与“推广”得性质与推论： （4）如果，那么； （5）如果，那么； （6）如果，，那么； 【即学即练】已知等式恒成立，则常数 . 【答案】 【分析】将方程右式展开整理，由题意得到对应项系数相等，求出的值即得. 【详解】由，可得恒成立， 可得，解得，故. 故答案为：. 知识点02 恒等式 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等； 知识点03 方程的解集 （1）含有未知数的等式称为方程； （2）使得方程两端相等的未知数的值，称为方程的解或者方程的根； （3）以方程的所有解为元素组成的集合，称为方程的解集； 【即学即练】设为实数，求关于的方程的解集. 【答案】答案见解析 【分析】方程可化为，讨论与即可求解. 【详解】解：方程可化为， 时，， 若，则方程为，显然不成立，方程无解； 若，则方程为，方程的解为； 若时，解方程得. 综上，时，方程的解集为； 时，方程的解集为； 时，方程的解集为. 知识点04 一元二次方程的解集 一般地，称为一元二次方程的判别式； （1）当时，方程的解集为； （2）当时，方程的解集为； （3）当时，方程的解集为； 【即学即练】求下列方程的解集． (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）直接利用因式分解法解方程；（2）通过换元，配方，开根号即可求得． 【详解】（1）因为，所以原方程可以化为， 从而可知或，即或，因此所求解集为． （2）设，则， 故原方程可变为， 因此可知或（舍）． 从而，即， 所以原方程的解集为． 知识点05根与系数的关系 若是一元二次方程的两个根， 则原方程可改写为，展开得：， 与原方程比较可知对应系数应该相等，即，所以； 【即学即练】若关于x的一元二次方程有两个不等实根.则 . 【答案】 【分析】由韦达定理可得，再利用和与积的关系计算即可. 【详解】根据题意得，， . 故答案为：. 知识点06 不等式性质 （1）传递性 设、、均为实数，如果，那么； （2）加法性质 设、、均为实数，如果a>b，那么； （3）乘法性质 设、、均为实数， 如果，那么；如果，那么； （4）性质 设、均为实数，如果那么； （5）性质 设、、均为实数，如果，则； (不等式的移项法则) （6）性质 设、、、均为实数，如果，，那么； (同向可加性) （7）性质 设均为实数，如果，，那么； （8）性质 设、均为实数，如果，那么； （9）性质 设、均为实数，如果，那么 【即学即练】已知 ，，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两个分子相同的分数，分母越大，分数值越小，以及不等式两边同时乘一个正数，不等号方向不变，不等式两边同时乘一个负数，不等号方向改变，再结合不等式的传递性，进行大小比较即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 综上，，因此选项A错误，选项B正确； 因为，所以， 因为，所以， 综上，和无法判断正负，故选项C错误，选项D错误. 故选：B. 题型01 等式的性质与方程的解 【典例1】已知等式恒成立，则 ． 【答案】5 【分析】由题意列出方程组，即可得答案． 【详解】因为恒成立， 即恒成立， 所以， 所以． 故答案为：5 【变式1】下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逐项分解因式可得答案. 【详解】对于A，应该是，故A错误     对于B，应该是，故B错误； 对于C，，故C 错误；     对于D，，故D正确. 故选：D. 【变式2】已知等式恒成立，其中a、b、c为常数，则 【答案】 【分析】结合已知等式进行变形，然后结合等式恒成立，对应项系数相等可建立关于，，的方程，从而可求． 【详解】因为恒成立， 即恒成立， 所以， 解得，，，， 所以． 故答案为：． 【变式3】若等式恒成立，则的值为 ． 【答案】 【分析】令即可得. 【详解】,当， 则 故答案为： 【变式4】若等式恒成立，则常数 ； ． 【答案】 / / 【分析】将等式右边化简，可得出关于、的方程组，即可解得实数、的值. 【详解】因为， 所以，，解得. 故答案为：；. 题型02解含参数的一元一次不等式 【典例1】若关于x的不等式的解集为，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，有为方程的根，代入即求解. 【详解】由题知，为方程的根，故， ，. 故答案为：. 【变式1】若实数2不是关于的不等式的解，则实数的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意得到，解得答案. 【详解】实数2不是关于的不等式的解，则，解得. 故选：B. 【变式2】设，已知关于的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得的解集为，故有，从而求得的值． 【详解】关于，即的解集为， ，求得， 故选：． 【变式3】不等式的解集为，则 ． 【答案】 【分析】根据不等式性质可知，为方程的根，带入计算即可得出值. 【详解】由题意得是关于的方程的根，所以，即． 故答案为：−5 【变式4】已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由不等式的解集得，，再解不等式可得答案. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，且，即， 所以不等式可化为，两边同除以，可得，解得． 故答案为：． 题型03 解一元二次方程 【典例1】解下列方程： (1)； (2). 【答案】(1),； (2). 【分析】（1）由提公因式法即可求解； （2）由求根公式即可求解. 【详解】（1） 则或 解得. （2）方程整理得： 由求根公式可得： . 【变式1】方程的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原方程等价于，求解即可. 【详解】解：因为， 解得或(舍)， 由，解得或， 所以原方程的解集为. 故选：C. 【变式2】用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据完全平方公式，由得，整理即可. 【详解】由 得： 整理得， 即. 故选：A 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，属于基础题. 【变式3】方程的根是 ． 【答案】. 【解析】把方程两边直接开方即可. 【详解】解： ，， ∴， 故答案为：. 【变式4】方程的解集为 . 【答案】，． 【解析】令，把原方程化为关于的一元二次方程，求解，进一步得到关于的一元二次方程求解． 【详解】解：令，则， 原方程化为，解得（舍或， 即，得，解得或． 即方程的解集为，． 故答案为：，． 【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，训练了利用换元法求解高次方程，是中档题． ①因式分解法②求根公式法 题型04 根据一元二次方程根的个数求参数 【典例1】已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的取值范围： (1)方程有两个不相等的实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程无实数根． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】由根的判别式的符号确定参数的取值范围. 【详解】（1）由； （2）由； （3）由. 【变式1】已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围． 【答案】(1) 【分析】（1）方程有实数根则∆0，解出即可；（2）根据韦达定理，求出把题中条件展开，带入求解即可. 【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根． ∴∆0，即， 解得， 故实数k的取值范围为； 【变式2】若是方程，的两个根． (1)求实数的取值范围； 【答案】(1)或 【分析】（1）由判别式即可求解； （2）由韦达定理即可求解. 【详解】（1）因为方程有两个根， 所以，且有， 即，解得：. 综上：或. 【变式3】已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用判别式的意义得到（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，然后解不等式即可； （2）根据题意x1+x2＝2m+3，x1x2＝m2+2，由条件得x12+x22＝31+x1x2，再利用完全平方公式得（x1+x2）2﹣3x1x2﹣31＝0，所以（2m+3）2﹣3（m2+2）﹣31＝0，然后解关于m的方程，最后利用m的范围确定满足条件的m的值． 【详解】（1）根据题意得（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0， 解得m≥﹣； 【变式4】已知关于的一元二次方程. （1）证明：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根； 【答案】（1）证明见解析；（2）或． 【分析】（1）证明判别式恒大于0即可； （2）由韦达定理得，，结合已知可求得值． 【详解】（1）恒成立， 所以原方程始终有两个不相等的实根． 一般地，称为一元二次方程的判别式； （1）当时，方程有两个不相等的实根 （2）当时，方程有两个相等的实根； （3）当时，方程无实数根； 题型05 根与系数关系的应用 【典例1】已知关于的一元二次方程. (1)若方程有实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两实根，，且满足，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程的判别式列出关于的不等式，求解即可； （2）根据一元二次方程的判别式和根与系数的关系，结合已知条件，即可求解. 【详解】（1）∵方程有实数根， ∴，∴. （2）∵方程有两实根，， ∴，∴， 且，， ∴， ，， ∴，或， ∵，∴. 【变式1】已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)取，设一元二次方程两个根为，求，． 【答案】(1) (2)2， 【分析】（1）根据判别式，列出不等式，求解即可； （2）根据韦达定理，代值计算即可. 【详解】（1）由题意可得：解得：且， 所以实数的取值范围是 （2）当，可得， 所以， 所以， 【变式2】已知是方程的两个不相等的实根，求值： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合一元二次方程的根与系数的关系，得到，由，即可求解； （2）由，即可求解； （3）由，即可求解. 【详解】（1）解：因为是方程的两个不相等的实根， 可得，且， 所以. （2）解：由（1）知：， 则. （3）解：由（1）知：， 则. 【变式3】已知方程的两个根为、，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据韦达定理及计算可得； （2）根据韦达定理及计算可得； （3）根据韦达定理及计算可得； （4）根据韦达定理及计算可得. 【详解】（1）因为、是方程的两个根， 所以，，所以. （2）. （3）. （4） . 【变式4】已知一元二次方程的两根为与，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用韦达定理求出，，再由计算可得； （2）首先求出，再根据立方差公式计算可得. 【详解】（1）因为一元二次方程的两根为与， 所以，， 所以； （2）因为， 则， 又， 所以． 应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形： ①；②； ③； 题型06 一元二次方程实根分布问题 【典例1】关于的方程满足下列条件，求的取值范围． (1)有两个正根； (2)一个根大于，一个根小于； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)一个根小于，一个根大于； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】令，设的两个根为，结合二次函数的图象与性质，列出相应的不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：令，设的两个根为， 则满足，解得， 所以实数的取值范围为. （2）解：若方程的一个根大于，一个根小于， 则满足，解得，即实数的取值范围为. （3）解：若方程一个根在内，另一个根在内， 则满足，解得， 所以实数的取值范围为. （4）解：若方程的一个根小于，一个根大于， 则满足，解得，所以实数的取值范围为. 【变式1】已知，是方程的两根，不解方程，求下列各式的值： (1)；（用含a的代数式表示） (2)写出一个“该方程有一个正根和一个负根”的充分不必要条件． 【答案】(1)； (2)(答案不唯一). 【分析】（1）根据韦达定理可得，进而即得； （2）由方程有一个正根和一个负根可得，然后根据充分条件，必要条件的定义即得. 【详解】（1）因为，是方程的两根， 所以， 所以； （2）若方程有一个正根和一个负根，则，即， 当时，，可得该方程有一个正根和一个负根， 而方程有一个正根和一个负根推不出， 故“”是“该方程有一个正根和一个负根”的一个充分不必要条件. 【变式2】已知关于的一元二次方程的一根小于，另一根大于，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】通过对二次方程进行因式分解，求得方程的根，根据题意即可求解. 【详解】由，因式分解得， 故方程两根为和， 则由题意得， ∴． 【变式3】已知一元二次方程有两个同号实根，求实数m的取值范围． 【答案】 【分析】依题意，方程的判别式大于等于0，且两根之积大于0，由此列出不等式求解即可. 【详解】依题意, 即, 解得 所以实数的范围为. 【变式4】方程在区间上有一根，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】先分析得出，可探求出一个根为，再根据求解即可． 【详解】令， 当时，，即， 其根为不符合条件，故， 因为，所以有一个根为， 所以可转化为， 所以方程另一根为， 因为方程在区间上有一根， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 题型07代数式比较大小 【典例1】从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【答案】①； ②； ③； 【分析】①利用有理根式可得，再由即可得的大小关系； ②用作差法比较即可； ③用作差法或作商法比较即可. 【详解】解： ① ， 因为， 所以， 即； . ② ， . ③ 方法一（作差法） ， 因为，所以， 所以， 所以. .. 方法二（作商法）因为，所以， 所以， 所以. . 【变式1】已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差比较法求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 【变式2】比较下列各组中两个代数式的大小： （1）与； （2）当，且时，与. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用做差法比较两个代数式的大小即可. （2）先利用做商法得出，再分①和②两种情况判断和的大小即可得出结论. 【详解】（1）， 因此，； （2）， ①当时， 即，时， ， ； ②当时， 即，时， ， . 综上所述，当，且时，. 【点睛】本题主要考查了利用做差法和做商法比较大小的问题.属于较易题. 【变式3】如果，比较与的大小并证明． 【答案】，证明见解析 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】，理由如下： ， 当时等号成立，所以. 【变式4】已知实数用作差比较法证明： (1)若则 (2)并指出等号成立条件. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析，当且仅当时取等. 【分析】利用立方差公式和作差法即可证明. 利用作差法直接化简即可证明. 【详解】（1）证明： 因为 所以， 所以， 所以当时，. （2）证明： 当且仅当时取等. ①作差法②作商法 题型08 由不等式的性质证明不等式 【典例1】若，则. (1)若存在常数，使得不等式对任意正数，恒成立，试求常数的值，并证明不等式：； (2)证明不等式：. 【答案】(1)，证明见解析；(2)证明见解析. 【分析】(1)令即可求解，利用不等式性质即可证明不等式；(2)从原不等式入手，对原不等式变形，通过分类讨论与之间的大小关系即可证明. 【详解】证明：(1)当时，，故， 由，且， 利用不等式性质可得，； (2)欲证， 只需证明，即， ①当时，显然不等式成立， ②当时，不妨令，即，故， 由于，显然成立， 故原不等式成立； 同理，当时，原不等式也成立. 综上所述，对于任意，，均成立. 【变式1】（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用不等式性质4，5得出，再取倒数，再利用性质6即可证明； （2）对不等式进行等价变形，利用分析法的思路来转化证明不等式． 【详解】证明：（1）因为，所以． 又．所以，所以． 又因为， 所以． （2）因为，要证，只需证明， 展开得， 即， 因为成立， 所以成立． 【变式2】证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，再根据不等式的性质证明； （2）利用作差法证明即可. 【详解】（1），即， ，则. （2）， ， ， 则， 【变式3】（1）已知，求证：； （2）已知，求证： （3）已知，求证： 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】根据不等式的基本性质，逐项推理、运算，即可求解. 【详解】（1）因为，可得，所以， 又因为，可得. （2）因为，所以， 又因为，所以，可得， 因为，根据不等式的性质，可得，即以. （3）因为，要证，只需证明， 展开得，即，即， 又因为，所以. 题型09 由不等式性质求代数式范围 【典例1】若，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由不等式式性质计算即可. 【详解】因为，， 所以，， 根据同向不等式可加性得． 故答案为：． 【变式1】已知，则代数式的取值范围为 ． 【答案】 【分析】依据不等式的性质得到答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 故答案为：. 【变式2】已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据的取值范围求出夫人范围，再结合的取值范围，利用不等式的性质求出的取值范围. 【详解】已知，不等式两边同时乘以得， 再根据，得到. 故答案为： 【变式3】若实数x，y满足，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据不等式的性质计算即可求解. 【详解】由，得， 又，所以. 即的取值范围为. 故答案为： 1．若关于x的一元二次方程有两个不等实根.则 . 【答案】 【分析】由韦达定理可得，再利用和与积的关系计算即可. 【详解】根据题意得，， . 故答案为：. 2．已知实数a，b满足，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据不等式性质直接求解即可. 【详解】， . 故答案为：. 3．已知实数满足，则的取值范围为 【答案】 【分析】先证明和，即可得到，最后验证上的每个值都能被取到，即可得到的取值范围是. 【详解】①一方面，由于，故，从而. 又由于，故. 将和结合，就得到，即. ②另一方面，对任意，可验证是方程的正数解. 此时取，根据上面方程，就有，同时显然有. 综合①②两个方面，即知的取值范围是. 故答案为：. 4．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式性质得到，进而得到取值范围. 【详解】，故， 故，故. 故答案为：. 5．若，设，，则M，N的大小关系是 ． 【答案】 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】， 因为，所以，，所以， 所以. 故答案为： 6．，，则，的大小关系为 ． 【答案】 【分析】利用作差法比大小. 【详解】由已知，， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 即， 故答案为：. 7．已知实数满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】结合不等式的基本性质求的取值范围. 【详解】因为：， 又， 两式相加，得：. 故答案为： 8．已知等式恒成立，则 ． 【答案】5 【分析】由题意列出方程组，即可得答案． 【详解】因为恒成立， 即恒成立， 所以， 所以． 故答案为：5 9．已知实数，满足，，则代数式 . 【答案】或. 【分析】分和两种情况讨论，当时，可得是方程的两个根，由根与系数的关系，可得的值，整理所求的代数式，可得其代数式的值. 【详解】解：当时，为方程的两个不等实根， 可得， 所以 ， 当时，则. 故答案为：或. 10．若a，b为正数，且，则 （用符号>、<、≥、≤填空）. 【答案】> 【分析】作差法比较出大小. 【详解】 ， 因为a，b为正数，且，所以， 所以. 故答案为：> 11．若R，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】A.，不成立；B.作差法判断结论；C. ，可得到；D．时，不成立 【详解】对于A，当时，不成立，A错误 对于B，，， ， ，，即，B正确 对于C，，，，C错误 对于D，当时，，D错误 故选：B 12．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 则，即的取值范围是. 故选：C. 13．设关于x的方程，当k为何值时， (1)有两个不相等的实数根； (2)没有实数根． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用判别式列出不等式求解即可. 【详解】（1）方程，即， 依题意，，解得， 所以所求范围是. （2）由（1）得，解得， 所以所求范围是. 14．（1）当p，q都为正数且时，试比较代数式与的大小. （2）已知，求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用作差比较法比较大小即可； （2）先利用表示出，结合的范围可得答案. 【详解】（1）. 因为，所以，， 所以. 因为，都为正数，所以， 因此，当且仅当时等号成立. （2）由题意可设， 则，解得，， 因为， 所以，， 则，故答案为. 15．（1）已知，求的取值范围. （2）比较与的大小（其中），并给出证明. 【答案】（1）；（2）证明详见解析 【分析】（1）根据不等式的性质求得正确答案. （2）通过差比较法证得两者的大小关系. 【详解】（1）依题意，则， 所以，所以的取值范围是. （2），， ，， 即. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$