微专题 “1.1 集合初步”教材深度解读“问与答”（原卷版+ 解析版）--【沪教版】高中数学2026-2027学年高一上学期教材解读与拓展 （2026版）

该高中数学讲义通过“问与答”系统梳理集合初步的核心概念，结合知识点总结构建知识体系，用对比表格明晰数集符号区别等重难点，呈现元素特征、表示方法及关系运算的内在联系。 讲义亮点在于“概念辨析+判断应用”的练习设计，如判断集合{(1,2)}与{(2,1)}是否相等，培养数学抽象与逻辑推理素养。解析版提供详细解答与方法指导，帮助学生掌握三种语言转换等技巧，教师可据此实施分层教学，支持精准复习。

【原卷版】 微专题 “1.1 集合初步”教材深度解读“问与答” 在【沪教版2020】高中数学课程中，集合是刻画一类事物的语言和工具。本节的学习，可以帮助学生使用集合的语言简洁、准确地表述数学的研究对象，学会用数学的语言表达和交流，积累数学抽象的经验。 能够在现实情境或数学情境中，概括出数学对象的一般特征，并用集合语言予以表达。初步学会用三种语言（自然语言、图形语言、符号语言）表达数学研究对象，并能进行转换。掌握集合的基本关系与基本运算在数学表达中的作用。 问：一组对象能构成集合的有那两个条件？ 答： 问：为什么集合的元素必须是确定的？ 答： 问：为什么集合中的元素必须是互异的？ 答： 问：如何理解和？ 答： 问：常用的数集符号N，N*，N＋有什么区别？ 答： 问：判断元素与集合关系的有那两种常用方法？ 答： 问：与是什么关系？ 答： 问：与是什么关系？ 答： 问：、、、相互间是什么关系？ 答： 问：实数集也可以写成{实数}，那么能写成{实数集}或{全体实数}吗？ 答： 问：集合{(1,2)}与{(2,1)}是否为相等集合？ 答： 问：集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示同一个集合吗？ 答： 问：用列举法表示集合要注意什么？ 答： 问：用描述法表示集合要注意什么？ 答： 问：如何选择适当的方法表示集合？ 答： 问：包含哪两层含义？解题注意点是什么？ 答： 问：“事实上，设是集合的任意一个元素，因为，所以，又因为，所以，从而。”这段话是什么意思？ 答： 问：集合之间的关系图是一种什么性质的图形，使用时要注意些什么？ 答： 问：集合的交与并具有哪些性质？ 答： 问：集合的补集具有哪些性质？ 答： 判断下列结论是否正确（正确的打“√”，错误的打“×”） 1、一个集合可以表示为；（ ） 【答案】 【解析】 2、集合和表示同一个集合；（ ） 3、集合用列举法表示为；（ ） 4、方程组的解组成的集合为；（ ） 5、空集是任何集合的真子集；（ ） 6、若，集合是集合的子集，则必定有；（ ） 7、集合与集合表示同一集合；（ ） 8、集合，表示同一集合；（ ） 9、若且，则；（ ） 10、若集合，满足，则；（ ） 11、集合，，，，则；（ ） 12、若，则；（ ） 13、设为全集，，，是的子集，若，则；（ ） 14、设为全集，则，，都正确；（ ） 1. 集合的概念与表示： （1） 集合是一些确定对象的全体.集合中的元素具有确定、无序、不重复的特征；常用数集有等； （2）空集是不含任何元素的集合； （3）当时，满足的所有实数组成的集合记作开区间，满足的所有实数组成的集合记作闭区间等； 2. 集合的关系与运算： （1）子集关系可分为两类：真子集与相等的集合； （2） 集合与的交集是这两个集合的所有公共元素所组成的集合，记作；集合与的并集是这两个集合的所有元素所组成的集合，记作； （3）相对于全集，其任一子集均有补集.一个集合的补集是指在全集中而不在中的全体元素所组成的集合，记作； 1、集合与集合表示同一集合；（ ） 2、集合与集合表示同一集合；（ ） 3、集合与集合表示同一集合；（ ） 4、集合与集合表示同一集合；（ ） 5、实数集可以表示为为实数或；（ ） 6、集合与集合表示同一个集合；（ ） 7、任何一个集合都至少有两个子集；（ ） 8、若，则或1；（ ） 9、空集是任何集合的真子集；（ ） 10、集合与集合是同一个集合；（ ） 【解析版】 微专题 “1.1 集合初步”教材深度解读“问与答” 在【沪教版2020】高中数学课程中，集合是刻画一类事物的语言和工具。本节的学习，可以帮助学生使用集合的语言简洁、准确地表述数学的研究对象，学会用数学的语言表达和交流，积累数学抽象的经验。 能够在现实情境或数学情境中，概括出数学对象的一般特征，并用集合语言予以表达。初步学会用三种语言（自然语言、图形语言、符号语言）表达数学研究对象，并能进行转换。掌握集合的基本关系与基本运算在数学表达中的作用。 问：一组对象能构成集合的有那两个条件？ 答：（1）能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素； （2）任何两个对象都是不同的； 问：为什么集合的元素必须是确定的？ 答：“集合中的元素必须是确定的”，意思是说，“对于一个给定的集合，它的元素的意义是明确的”；例如：由所有直角三角形组成的集合，这个集合中的元素的意义是明确的；如果说“由高个子组成的集合”，那么这个“集合”中的元素的意义是不明确的，因为“高个子”是一个没有严格的数量标准的、相对模糊的概念，所以这个“高个子集合”是无法组成的； 给定一个对象和一个集合，我们不一定能判断出这个对象是否是这个集合的元素。例如：设是由所有整数系数代数方程的解组成的集合，我们至今还无法判断这个数是否是的元素，如果将来能判断，那也需要有严格的数学证明； 问：为什么集合中的元素必须是互异的？ 答： “集合中的元素必须是互异的”，这句话通常称为集合中元素的相异性；就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的；因此，如果把两个集合、的元素合并在一起构成一个新的集合，那么新集合只有这个元素； 有的一元二次方程有两个相同的实数根，例如方程有实数根，这时称为方程的二重根。同样地，方程有三重根。对于一元二次方程来说，重根在它地解集中不能重复出现，所以方程地解集只有一个元素。为了显示是方程的二重根，我们把它的解集记作。同样地，我们把方程的解集记作。这个解集只有两个元素，其中是方程的三重根，是方程的二重根，方程一共有个根。 问：如何理解和？ 答：（1）符号“”、“”刻画的是元素与集合之间的关系；对于一个元素与一个集合而言，只有“”与“”这两种结果； （2）和具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如：是错误的； 问：常用的数集符号N，N*，N＋有什么区别？ 答：（1）N为非负整数集（即自然数集），而N*和N＋表示正整数集，不同之处就是N包括元素0，而N*和N＋不包括元素0； （2）N*和N＋的含义是一样的，初学者往往误记为N*或N＋，为避免出错，对于N*和N＋可形象地记为“星星（*）在天上，十字架(＋)在天上；” 问：判断元素与集合关系的有那两种常用方法？ 答：（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可，此时应先明确集合是由哪些元素构成的； （2）推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应先明确已知集合的元素具有什么特征，即该集合中元素要满足哪些条件； 【提醒】若元素属于集合，则元素就具有集合的特征；若不属于集合，则元素就不具有集合的特征． 问：与是什么关系？ 答：对于集合来说，是它的元素。集合只有一个元素，是一个单元素集。与的关系是属于关系，即。如果是与不同的一个对象，那么，与之间不能构成集合的包含关系； 问：与是什么关系？ 答：是不含任何元素的集合；是只含有一个元素的单元素集，虽然中没有元素，但作为集合来说，是含有一个元素的，所以； 其次，我们规定，“空集是任何集合的子集“，所以；上面已经指出，是非空集合，根据”空集是任何非空集合的真子集“，又可得出； 由此可见，这里有着一个有趣的现象：在与之间，我们可以用四个符号中的任意一个把它们连结起来，但不能用等号““连结。 问：、、、相互间是什么关系？ 答：，，，，，，； 问：实数集也可以写成{实数}，那么能写成{实数集}或{全体实数}吗？ 答：不能，因为花括号“{　　}”表示“所有、全部”的意思； 问：集合{(1,2)}与{(2,1)}是否为相等集合？ 答：否； 问：集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示同一个集合吗？ 答：是同一个集合．虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同，但实质上它们均表示大于3的所有实数，故表示同一个集合； 问：用列举法表示集合要注意什么？ 答：（1）把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{____}”括起来表示集合的方法叫做列举法； “{　　}”表示“所有”的含义，不能省略，元素之间用“，”隔开，而不能用“、”；书写时不需要考虑元素的顺序； （2）对于所含元素有规律的无限集也可以用列举法表示，如正整数集可以用列举法表示为{1,2,3,4,5，…}； 问：用描述法表示集合要注意什么？ 答： （1）一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x |P(x)，x∈A }，这种表示集合的方法称为描述法； （2）在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征； 问：如何选择适当的方法表示集合？ 答：（1）列举法可以看清集合的元素，集合含元素较少或所含元素不易表述，可选用列举法，如：集合{x2,3x－2，x2＋y2}； （2）描述法可以看清集合元素的特征，一般含有较多元素或无数多个元素(无限集)宜用描述法，如集合{(x，y)|y＝x2＋1}，集合{1 000以内的质数}等； 问：包含哪两层含义？解题注意点是什么？ 答：包含的两层含义：或；解题注意点是要分和两种情况讨论，不要忽略A＝⌀的情况； 问：“事实上，设是集合的任意一个元素，因为，所以，又因为，所以，从而。”这段话是什么意思？ 答：这是“对于集合，如果，，那么”这一命题的数学证明。这种证明方法在集合论中常常用到。要证明关系式成立，我们的方法就是从关系式左边的集合中任取一个元素，证明也属于关系式右边的集合，即从推证； 问：集合之间的关系图是一种什么性质的图形，使用时要注意些什么？ 答：这种图在数学上也称为文（John Venn，1834年~1923年，英国逻辑学家）氏图。它仅仅起着说明各集合之间关系的示意图的作用（就像交通示意图只说明各车站之间的位置关系那样），因此边界用曲线还是直线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素或子集统统包在里边就行。决不能理解成圈内的每一点都是这个集合的元素（事实上，这个集合可能与“点”毫无关系）；至于边界上的点是否属于这个集合，也都不必考虑； 问：集合的交与并具有哪些性质？ 答：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）若，则，； （6）； （7）。 这些性质可利用文氏图来理解和记忆，不要求教给学生运用； 问：集合的补集具有哪些性质？ 答：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； 这些性质也可利用文氏图来理解和记忆，也不要求教给学生运用； 判断下列结论是否正确（正确的打“√”，错误的打“×”） 1、一个集合可以表示为；（ ） 【答案】（ × ）； 【解析】根据集合中元素互异性可判断，该命题是错误； 2、集合和表示同一个集合；（ ） 【答案】（ × ）； 【解析】集合表示含，两个元素的集合，表示以为元素的集合， 故该命题是错误； 3、集合用列举法表示为；（ ） 【答案】（ × ）； 【解析】由，即，得或或.因为， 所以集合用列举法表示为； 4、方程组的解组成的集合为；（ ） 【答案】（ × ）； 【解析】方程组的解组成的集合正确的表示应为或 5、空集是任何集合的真子集；（ ） 【答案】（ × ）； 【解析】空集不是本身的真子集，根据空集的概念可知，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故该命题是错误的； 6、若，集合是集合的子集，则必定有；（ ） 【答案】（√） 【解析】根据子集的定义可知，该命题是正确的； 7、集合与集合表示同一集合；（ ） 【提示】利用相等集合的定义判断即可； 【答案】（ × ）； 【解析】集合为数集，集合为点集，不是同一集合，该命题是的错误； 8、集合，表示同一集合；（ ） 【答案】（ × ）； 【解析】由或，，显然不是同一集合，所以，该命题是错误的； 9、若且，则；（ ） 【答案】（√） 【解析】若且，则，是正确的； 10、若集合，满足，则；（ ） 【答案】（ × ）； 【解析】对于，则为的子集，即，故该命题是错误的； 11、集合，，，，则；（ ） 【答案】（ × ）； 【解析】化简得：，，，故该命题错误； 12、若，则；（ ） 【答案】（ × ）； 【解析】若，则，不一定成立，所以，该命题错误； 13、设为全集，，，是的子集，若，则；（ ） 【答案】（√） 【解析】因为，，是的子集，，则与没有公共元素，所以，所以，该命题正确； 14、设为全集，则，，都正确；（ ） 【答案】（√） 【解析】由集合补集的定义可知：，，三个等式都成立， 所以，该命题正确； 1. 集合的概念与表示： （1） 集合是一些确定对象的全体.集合中的元素具有确定、无序、不重复的特征；常用数集有等； （2）空集是不含任何元素的集合； （3）当时，满足的所有实数组成的集合记作开区间，满足的所有实数组成的集合记作闭区间等； 2. 集合的关系与运算： （1）子集关系可分为两类：真子集与相等的集合； （2） 集合与的交集是这两个集合的所有公共元素所组成的集合，记作；集合与的并集是这两个集合的所有元素所组成的集合，记作； （3）相对于全集，其任一子集均有补集.一个集合的补集是指在全集中而不在中的全体元素所组成的集合，记作； 1、集合与集合表示同一集合；（ ） 【答案】（√） 【解析】集合元素具有无序性，与元素完全相同，故为同一集合，正确； 2、集合与集合表示同一集合；（ ） 【答案】（ × ）； 【解析】两集合为点集，与表示的点不同，所以，   ，所以，两集合表示的不是同一集合，命题错误； 3、集合与集合表示同一集合；（ ） 【答案】（√） 【解析】与均表示大于的所有实数的集合，所以， 即两集合表示的是同一集合，命题正确 4、集合与集合表示同一集合；（ ） 【答案】（ × ）； 【解析】为数集；为点集，所以，两集合表示的不是同一集合，命题错误； 5、实数集可以表示为为实数或；（ ） 【答案】（ × ）； 【解析】实数集正确的表示为为实数或；故该命题错误； 6、集合与集合表示同一个集合；（ ） 【答案】（√） 【解析】集合A化简为，故该命题正确； 7、任何一个集合都至少有两个子集；（ ） 【答案】（ × ）； 【解析】空集只有一个子集，就是本身；故该命题错误； 8、若，则或1；（ ） 【答案】（ × ）； 【解析】若，则，此时成立，若，不符合集合元素的互异性，故，所以，该命题错误； 9、空集是任何集合的真子集；（ ） 【答案】（ × ）； 【解析】空集是任何非空集合的真子集，故该命题错误；； 10、集合与集合是同一个集合；（ ） 【答案】（ × ）； 【解析】集合是数集，表示的是满足等式的所有点，不是同一个集合，所以，这个命题是错误的； 25 第10页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $