专题1.1.1&1.1.2集合及其表示方法（高效培优讲义，5知识7重难题型+分层强化）高一数学沪教版必修第一册

本讲义聚焦集合及其表示方法核心知识点，系统梳理集合与元素的概念、元素确定性互异性无序性三大特性、常用数集符号（N、N*、Z、Q、R）、列举法描述法区间法三种表示方法及集合分类，构建从基础概念到应用的完整学习支架。 资料通过分层题型设计（基础必考题、中档高频题、培优拓展题）和即学即练模块，培养数学思维（如互异性求参数需回代检验的严谨推理）与数学语言（描述法中数集点集的精准区分），课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过易错题专项和综合题查漏补缺，提升问题解决能力。

专题1.1.1&1.1.2集合及其表示方法 教学目标 1. 理解集合、元素的定义，掌握元素与集合的属于、不属于关系，熟记常用数集符号N、N*、Z、Q、R。 2. 熟练掌握集合三种表示方法：列举法、描述法、Venn图示法，能根据集合特征选择合适的表示方式。 3. 掌握集合元素三大特性：确定性、互异性、无序性，能利用互异性求解参数取值问题。 4. 精准区分数集与点集，读懂描述法中代表元素的核心含义，熟练实现列举法与描述法的相互转化。 教学重难点 教学重点 1. 集合的基本概念、元素三大性质，元素与集合的符号（∈、∉）规范使用。 2. 列举法、描述法的标准书写规范，常用数集符号的记忆与运用。 3. 数集与点集的区分，描述法集合的含义解读。 教学难点 1. 描述法中代表元素的含义辨析，精准区分各类数集、点集。 2. 利用元素互异性求解参数问题，掌握求值后回代检验的解题流程。 3. 复杂条件下列举法与描述法的灵活转化。 知识点01 集合与元素基本概念 （1）集合：把________、________的对象汇集在一起组成的整体；组成集合的单个对象叫做________。 （2）符号：集合常用________英文字母表示；元素常用________英文字母表示。 （3）关系符号：a属于A记作________；a不属于A记作________。 【即学即练】 1．（25-26高一上·上海闵行·期中）下列可以构成集合的是（   ） A．2025年我校高一数学期中试卷中的难题 B．高一年级所有高个子男生 C．2025年所有受观众喜爱的影片 D．所有大于3的自然数 2．（25-26高一上·上海·阶段检测）用符号或填空：________ 知识点02 集合元素三大基本特性 ① ________：可明确判断对象是否属于集合，模糊描述不能构成集合。 ② ________：集合内元素互不重复，含参求值必须检验。 ③ ________：集合元素无排列顺序。 【即学即练】 3．（25-26高一上·上海·期中）已知，则__________． 知识点03 常用特殊数集（必背） 自然数集：________ 正整数集：________ 整数集：________ 有理数集：________ 实数集：________ 数集N包含数字________，数集N*从数字________开始。 【即学即练】 4．（23-24高一上·上海嘉定·阶段检测）下列字母表示“自然数集”“整数集”“有理数集”“实数集”，其排列顺序正确的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 知识点04 集合的三种表示方法 （1）列举法格式：{________}，适用于元素________或有规律的无限集。 （2）描述法标准格式：{________ | ________} {x | ……}为________集；{(x,y) | ……}为________集。 集合辨析： M={x | y=x+1}：________集 N={y | y=x+1}：________集 P={(x,y) | y=x+1}：________集 （3）区间法：用于表示________实数数集。 小括号( )：________端点；中括号[ ]：________端点。 无穷符号±∞只能搭配________（括号类型）。 集合区间互化： {x|3≤x<7} = ________；{x|x>-2} = ________；R = ________ 【即学即练】 5．（25-26高一上·上海·期中）用列举法表示10以内的所有素数________． 6．（25-26高一上·上海·阶段检测）被4除余3的所有整数组成的集合用描述法可表示为__________. 7．（24-25高一上·上海·课堂例题）用区间表示下列集合： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合． 知识点05 集合的分类 一般地，含有有限个元素的集合称为 ，含有无限个元素的集合称为 .我们把不含任何元素的集合称为 ，记作.例如，集合就是空集. 辨析：、{0}、{}中，属于空集的是________。 【即学即练】 8．（25-26高一上·上海·阶段检测）集合为空集，则实数的取值范围是___________ 9．（24-25高一上·上海嘉定·阶段检测）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)由大于且小于的偶数组成的集合； (2)所有被除余的整数所构成的集合； (3)平面直角坐标系中第四象限的全体点的坐标构成的集合； 题型01 集合概念判断（基础必考） 【典例1】（24-25高一上·上海·期中）在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（   ） A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④ 【变式1-1】（24-25高一上·上海嘉定·阶段检测）下列各对象的全体不能构成集合的有______.（填序号）①上大嘉高高一年级全体学生；②与1非常接近的全体实数；③7的正整数倍的全体；④给定的一条长度为1的线段上的所有点. 【变式1-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）下列命题中正确的（    ） A．与表示同一个集合 B．方程的所有解的集合可表示为 C．和是相等集合 D．很小的实数可以构成集合 【变式1-3】（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知关于x，y的方程组，对于它的解的说法，错误的是（   ） A．存在无数个实数k，使得方程组的解集是单元素集； B．有且仅有一个实数k，使得方程组的解集为空集； C．至少存在一个实数k，使得方程组的解集为无限集； D．如果该方程组的解集是有限集，则解集必定为单元素集 题型02 元素与集合的关系判断（基础） 【典例2-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）用适当符号填空：1______ 【典例2-2】（24-25高一上·上海·期中）以下选项中，是集合的元素的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一上·上海·期中）用适当符号填空： 1________ 【变式2-2】（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知集合，，若且，则______ 【变式2-3】（24-25高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 题型03 元素互异性求参数（中档高频必考） 【典例3-1】（25-26高一上·上海松江·阶段检测）若，则__________. 【典例3-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，则______. 【典例3-3】（25-26高一上·上海闵行·阶段检测）已知集合，若集合 中只有一个元素，则实数 的取值集合是_____. 【变式3-1】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则实数的取值范围为__________． 【变式3-2】（25-26高一上·上海金山·期中）含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则____________. 【变式3-3】（24-25高一上·上海浦东新·阶段检测）已知集合，且，则________． 题型04 列举法表示集合（基础） 【典例4】（25-26高一上·上海·阶段检测）绝对值小于2的所有整数组成的集合用列举法表示为___________. 【变式4-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）集合可用“列举法”表示为___________． 【变式4-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）用列举法写出下列集合 _____ 【变式4-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，则用列举法表示集合________. 题型05 描述法书写与解读（重难点） 【典例5-1】（23-24高一上·上海松江·期中）若为一确定区间，则的取值范围为__________. 【典例5-2】（23-24高一上·上海普陀·阶段检测）若表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是______. 【变式5-1】（24-25高一上·上海浦东新·阶段检测）若为一确定区间，则a的取值范围是________． 【变式5-2】（24-25高一上·上海·课前预习）区间 当、且时，规定： 满足不等式的全体实数组成的集合称为一个闭区间，记作________，如图1． 满足不等式的全体实数组成的集合称为一个开区间，记作________，如图2． 满足不等式或的全体实数所组成的集合称为一个半开半闭区间，分别记作________或________，如图3、图4． 满足不等式，，或的全体实数所组成的集合可分别用区间表示为________，________，________或________． 实数集可用区间表示为________． 【变式5-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合，在下列集合中： （1）； （2）； （3）； （4）； 与相同的集合有________．（填序号） 题型06 空集辨析（易错题专项） 【典例6】下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 【变式6-1】用适当的符号填空：0_____. 【变式6-2】（24-25高一上·上海浦东新·期中）关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为________. 题型07 含参综合压轴题（培优拓展） 【典例7】（25-26高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 【变式7-1】已知集合，求： (1)当时，中至多只有一个元素，求的取值范围； (2)当满足什么条件时，集合为空集． 【变式7-2】（24-25高一上·上海·阶段检测）已知集合A的元素为实数，满足①且；②若，则. (1)若，求A； (2)集合A有没有可能是单元素集? (3)若，证明：. 【变式7-3】已知集合（，，）具有性质：对任意（），与至少一个属于. (1)分别判断集合，与是否具有性质，并说明理由； (2)具有性质，当时，求集合； (3)①求证：；②求证：. 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列各组对象中不能组成集合的是（    ）． A．2023年男篮世界杯参赛队伍 B．中国古典长篇小说四大名著 C．高中数学中的难题 D．我国的直辖市 2．（24-25高一上·上海·期中）若集合，则不论实数取何值，集合不可能是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）由1，a，b组成的集合中有3个元素，该集合和由，a，ab组成的集合是同一个集合，则（    ）． A．－1 B．0 C．1 D．2 二、填空题 4．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，若且，则___________ 5．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，若，则____ ． 6．（25-26高一上·上海·期中）若，则的值为______. 7．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，若，，则实数的取值范围为_________. 8．（25-26高一上·上海浦东新·期中）已知集合，，且，则的值为_____. 9．（25-26高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则_________． 三、解答题 10.（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；如果不能组成集合，请说明理由． (1)接近于0的数的全体； (2)平面上到点的距离等于2的点的全体； (3)方程在实数范围内的解； (4)720的所有正约数； (5)所有大于小于1的实数． 11．（24-25高一上·上海·随堂练习）由a，，1组成的集合中有3个元素，该集合和由，，0组成的集合是同一个集合，求的值． 12．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 1．（25-26高一上·上海·开学考试）非空集合具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断中，错误的是（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 2．（24-25高一上·上海浦东新·阶段检测）已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则.则下列说法正确的个数为（   ） （1），（2），（3） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25高一上·上海杨浦·开学考试）已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”.①集合是“完美集”；②若是两个不同的正数，且是“完美集”，则至少有一个大于；③二元“完美集”有无穷多个；④若为正整数，则“完美集”有且只有一个，且；上列结论是真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高一上·上海浦东新·期中）若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”. （1）且； （2）若、，则，且当时，有.给出以下命题： ①集合是“好集合”； ②是“好集合”； ③是“好集合”； ④设集合是“好集合”，若、，则； ⑤设集合是“好集合”，若、，则； 其中真命题的序号是_____. 5．（25-26高一上·上海嘉定·期中）已知，，为实数，用表示集合的元素个数，若集合，则所有可能的值是___________． 6．（24-25高一上·上海·阶段检测）对正整数，记. (1)用列举法表示集合； (2)求集合中元素的个数； 7．（24-25高一上·上海嘉定·阶段检测）已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则. (1)判断是否正确，并说明理由； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则. 8．（24-25高一上·上海·阶段检测）设，记关于与的二元一次方程组的解集为. (1)求； (2)是否存在的值，使得？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由； (3)若使得中的数对为正整数数对，即与均为正整数，求的值以及对应的. 9．（24-25高一上·上海·期中）若有限个正整数组成的集合中至少有两个元素，且对于任意的，都有，则称为“双集合”. (1)判断是否为“双集合”，说明理由； (2)若双元素集为“双集合”，且，求所有满足条件的集合； (3)求所有满足条件的“双集合”. 10．现有集合，集合 (1)判断中哪些元素属于集合B； (2)求证：若，则； (3)求证：若，则有且为奇数. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1.1&1.1.2集合及其表示方法 教学目标 1. 理解集合、元素的定义，掌握元素与集合的属于、不属于关系，熟记常用数集符号N、N*、Z、Q、R。 2. 熟练掌握集合三种表示方法：列举法、描述法、Venn图示法，能根据集合特征选择合适的表示方式。 3. 掌握集合元素三大特性：确定性、互异性、无序性，能利用互异性求解参数取值问题。 4. 精准区分数集与点集，读懂描述法中代表元素的核心含义，熟练实现列举法与描述法的相互转化。 教学重难点 教学重点 1. 集合的基本概念、元素三大性质，元素与集合的符号（∈、∉）规范使用。 2. 列举法、描述法的标准书写规范，常用数集符号的记忆与运用。 3. 数集与点集的区分，描述法集合的含义解读。 教学难点 1. 描述法中代表元素的含义辨析，精准区分各类数集、点集。 2. 利用元素互异性求解参数问题，掌握求值后回代检验的解题流程。 3. 复杂条件下列举法与描述法的灵活转化。 知识点01 集合与元素基本概念 （1）定义：把确定的、不同的对象汇集在一起组成的整体叫做集合，组成集合的每一个对象叫做元素。 （2）符号规范：集合通常用大写英文字母A、B、C……表示；元素通常用小写英文字母a、b、c……表示。 （3）元素与集合的关系（仅有两种）： ① 若a是集合A的元素，称a属于A，记作：a∈A ② 若a不是集合A的元素，称a不属于A，记作：a∉A 【即学即练】 1．（25-26高一上·上海闵行·期中）下列可以构成集合的是（   ） A．2025年我校高一数学期中试卷中的难题 B．高一年级所有高个子男生 C．2025年所有受观众喜爱的影片 D．所有大于3的自然数 【答案】D 【详解】对于选项A，什么题目是难题是不确定的，所以A不能构成集合； 对于选项B，高个子也没有标准，所以B不能构成集合； 对于选项C，受观众喜爱的影片并非确定的，所以C不能构成集合； 对于选项D，一个数是否是大于3的自然数是可以确定的，所以D可以构成集合. 故选：D 2．（25-26高一上·上海·阶段检测）用符号或填空：________ 【答案】 【详解】因为为无理数，为有理数集， 所以， 故答案为： 知识点02 集合元素三大基本特性 （1）确定性：任意一个对象，都能明确判断是否属于该集合。模糊、无统一标准的描述（如高个子、好学生、接近0的数）不能构成集合。 （2）互异性：同一个集合中的所有元素互不相同，重复元素只保留一个。含参数集合求值，必须回代检验互异性。 （3）无序性：集合中元素的排列没有顺序，元素相同、顺序不同的集合为同一集合，如{1,2}={2,1}。 【即学即练】 3．（25-26高一上·上海·期中）已知，则__________． 【答案】 【详解】已知， 则当时，，满足的条件； 当时，解得：， 此时集合不满足集合的互异性，故舍去. 故答案为： 知识点03 常用特殊数集（必背） 集合名称 符号 包含元素范围 自然数集 N 0，1，2，3，……（包含0） 正整数集 N*、N₊ 1，2，3，……（不包含0） 整数集 Z ……-2，-1，0，1，2…… 有理数集 Q 所有整数、分数（有限小数、无限循环小数） 实数集 R 所有有理数、无理数（全体实数） 【即学即练】 4．（23-24高一上·上海嘉定·阶段检测）下列字母表示“自然数集”“整数集”“有理数集”“实数集”，其排列顺序正确的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【详解】“自然数集”记作，“整数集”记作， “有理数集”记作， “实数集”记作. 故选：D 知识点04 集合的三种表示方法 （1）列举法 格式：{元素1，元素2，元素3……} 适用场景：元素个数有限且数量少；有明显规律的无限集。 书写要求：元素不重复、不遗漏，元素之间用逗号分隔。 示例：小于5的自然数{0,1,2,3,4}；正偶数集{2,4,6,……} （2）描述法（核心重难点） 标准格式：{代表元素 | 元素满足的条件} 核心辨析：竖线前的代表元素决定集合类型 ① {x | 条件}：数集，表示满足条件的所有实数x ② {(x,y) | 条件}：点集，表示平面直角坐标系内满足条件的所有点 经典辨析例题： A={x | y=x²}：自变量取值，全体实数，即A=R B={y | y=x²}：函数值取值，非负实数，即B={y | y≥0} C={(x,y) | y=x²}：抛物线y=x²上的所有点（点集） （3）区间法（教材必考） 1. 区间定义：区间是实数集的简化表示形式，专门用于表示连续的实数数集，是高中函数、不等式解题的通用标准写法。 2. 区间核心符号与规则 （1）开闭符号： ① 小括号 ( )：开区间，表示不包含端点，对应不等号 <、> ② 中括号 [ ]：闭区间，表示包含端点，对应不等号 ≤、≥ （2）无穷符号： ① 正无穷 +∞、负无穷 -∞，无穷数永远不取等号，前后只能用小括号 ② 书写规范：无穷符号必须带正负，不可单独写∞ 3. 常用区间与集合对照表（必背） ① {x | a≤x≤b} ⇔ 闭区间 [a，b] ② {x | a<x<b} ⇔ 开区间 (a，b) ③ {x | a≤x<b} ⇔ 左闭右开区间 [a，b) ④ {x | a<x≤b} ⇔ 左开右闭区间 (a，b] ⑤ {x | x≥a} ⇔[a，+∞) ⑥ {x | x>a} ⇔ (a，+∞) ⑦ {x | x≤b} ⇔ (-∞，b] ⑧ {x | x<b} ⇔ (-∞，b) ⑨ 全体实数R ⇔ (-∞，+∞) 4. 书写禁忌（易错） ① 无穷端禁止使用中括号，如[a，+∞]、(-∞，b]错误 ② 区间左小右大，禁止颠倒顺序，如(3,1)书写错误 ③ 区间仅能表示连续实数集，离散数集、点集不能用区间表示 5. 示例互化 集合形式：{x | 2<x≤5} → 区间形式：(2，5] 区间形式：[-1，+∞) → 集合形式：{x | x≥-1} 用封闭曲线的内部表示集合，直观形象，多用于展示集合间的基本关系与运算。 【即学即练】 5．（25-26高一上·上海·期中）用列举法表示10以内的所有素数________． 【答案】 【详解】素数也称质数，是除了1和它本身没有其它约数的正整数，且规定1既不是素数，也不是合数. 所以10以内的素数有：2，3，5，7. 故答案为：. 6．（25-26高一上·上海·阶段检测）被4除余3的所有整数组成的集合用描述法可表示为__________. 【答案】 7．（24-25高一上·上海·课堂例题）用区间表示下列集合： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合． 【详解】（1） （2）,所以不等式所有解的集合是 知识点05 集合的分类 一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集.我们把不含任何元素的集合称为空集，记作.例如，集合就是空集. 易混辨析： ：空集，无任何元素（正确） {0}：含有一个元素0，是非空集合 {}：以空集为元素的集合，是非空集合 【即学即练】 8．（25-26高一上·上海·阶段检测）集合为空集，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【详解】由可得， 当，即时，方程无解，即为空集. 故答案为： 9．（24-25高一上·上海嘉定·阶段检测）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)由大于且小于的偶数组成的集合； (2)所有被除余的整数所构成的集合； (3)平面直角坐标系中第四象限的全体点的坐标构成的集合； 【详解】（1）有限集. （2），无限集. （3），无限集. 题型01 集合概念判断（基础必考） 【典例1】（24-25高一上·上海·期中）在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（   ） A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④ 【答案】A 【详解】①难解的题目，不满足元素的确定性，不能组成集合； ②方程无解，即方程在实数集内的解组成的集合为； ③直角坐标平面上第四象限内的所有点组成的集合为； ④很多多项式，不满足元素的确定性，不能组成集合； 故选：A. 【变式1-1】（24-25高一上·上海嘉定·阶段检测）下列各对象的全体不能构成集合的有______.（填序号）①上大嘉高高一年级全体学生；②与1非常接近的全体实数；③7的正整数倍的全体；④给定的一条长度为1的线段上的所有点. 【答案】② 【详解】因为②所表示的研究对象不能确定，所以不能构成集合，而①③④研究对象确定符合集合的概念. 故答案为：② 【变式1-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）下列命题中正确的（    ） A．与表示同一个集合 B．方程的所有解的集合可表示为 C．和是相等集合 D．很小的实数可以构成集合 【答案】C 【详解】对于A，没有元素，有一个元素，不是同一集合，错误； 对于B，由元素的互异性可知，错误； 对于C，由可知：，正确； 对于D，由元素的确定性可知，错误， 故选：C 【变式1-3】（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知关于x，y的方程组，对于它的解的说法，错误的是（   ） A．存在无数个实数k，使得方程组的解集是单元素集； B．有且仅有一个实数k，使得方程组的解集为空集； C．至少存在一个实数k，使得方程组的解集为无限集； D．如果该方程组的解集是有限集，则解集必定为单元素集 【答案】C 【详解】由方程组可得：，即， 若，则，不成立，方程组无解； 若，则，可得，即方程组只有一组解. 对于A：存在无数个实数k（），使得方程组的解集是单元素集，故A正确； 对于B：有且仅有一个实数，使得方程组的解集为空集，故B正确； 对于C：不存在一个实数k，使得方程组的解集为无限集，故C错误； 对于D：如果该方程组的解集是有限集，则解集必定为单元素集，故D正确； 故选：C. 题型02 元素与集合的关系判断（基础） 【典例2-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）用适当符号填空：1______ 【答案】 【详解】当时，，故， 故答案为： 【典例2-2】（24-25高一上·上海·期中）以下选项中，是集合的元素的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A：满足， 对于B: ，错误； 对于C: ，错误； 对于D: ，错误； 故选：A 【变式2-1】（24-25高一上·上海·期中）用适当符号填空： 1________ 【答案】 【详解】因为是集合中的一个元素, 所以. 故答案为：. 【变式2-2】（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知集合，，若且，则______ 【答案】 【详解】由，，若且，则，所以. 故答案为： 【变式2-3】（24-25高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当均为负数时，代数式的值为； 当一负一正时，代数式的值为； 当均为正数时，代数式的值为； ∴，故只有B正确. 故选：B. 题型03 元素互异性求参数（中档高频必考） 【典例3-1】（25-26高一上·上海松江·阶段检测）若，则__________. 【答案】0 【详解】由集合，得，即， 由，得，所以. 故答案为：0 【典例3-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，则______. 【答案】 【详解】由，所以 当时，，集合A中的元素出现重复，故舍去. 当时，得或（舍去）， 当时，，显然满足，所以. 综上可知，. 故答案为：. 【典例3-3】（25-26高一上·上海闵行·阶段检测）已知集合，若集合 中只有一个元素，则实数 的取值集合是_____. 【答案】 【详解】当时，则有，符合题意； 当时，由题意可得，解得.符合题意; 综上所述，实数的取值集合为. 故答案为：. 【变式3-1】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【详解】由集合，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式3-2】（25-26高一上·上海金山·期中）含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则____________. 【答案】 【详解】由题意可知，所以根据集合元素的互异性可知， 则，此时需，即，所以. 故答案为： 【变式3-3】（24-25高一上·上海浦东新·阶段检测）已知集合，且，则________． 【答案】 【详解】由，可得或， 由，解得，经过验证，不满足条件，舍去. 由，解得或，经过验证：不满足条件，舍去. ∴. 故答案为：. 题型04 列举法表示集合（基础） 【典例4】（25-26高一上·上海·阶段检测）绝对值小于2的所有整数组成的集合用列举法表示为___________. 【答案】 【详解】绝对值小于2的所有整数组成的集合为. 故答案为：. 【变式4-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）集合可用“列举法”表示为___________． 【答案】 【详解】集合用“列举法”表示为： 故答案为： 【变式4-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）用列举法写出下列集合 _____ 【答案】 【详解】由，得或或， 所以. 故答案为： 【变式4-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，则用列举法表示集合________. 【答案】 【详解】当时， ；当时， ；当时， ； 当时， ；当时， ；当时， . 所以. 故答案为： 题型05 描述法书写与解读（重难点） 【典例5-1】（23-24高一上·上海松江·期中）若为一确定区间，则的取值范围为__________. 【答案】 【详解】由题意，，解得. 故答案为： 【典例5-2】（23-24高一上·上海普陀·阶段检测）若表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是______. 【答案】4 【详解】根据定义有或， ，则，这是一个边长为的正方形，面积为， 同理，，也都形成一个边长为的正方形，面积都是， 所以. 故答案为： 【变式5-1】（24-25高一上·上海浦东新·阶段检测）若为一确定区间，则a的取值范围是________． 【答案】 【详解】根据区间表示数集的方法原则可知，，解得， 所以a的取值范围是, 故答案为：. 【变式5-2】（24-25高一上·上海·课前预习）区间 当、且时，规定： 满足不等式的全体实数组成的集合称为一个闭区间，记作________，如图1． 满足不等式的全体实数组成的集合称为一个开区间，记作________，如图2． 满足不等式或的全体实数所组成的集合称为一个半开半闭区间，分别记作________或________，如图3、图4． 满足不等式，，或的全体实数所组成的集合可分别用区间表示为________，________，________或________． 实数集可用区间表示为________． 【答案】 【变式5-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合，在下列集合中： （1）； （2）； （3）； （4）； 与相同的集合有________．（填序号） 【答案】（1）（2）（3） 【详解】对于（1），由，可得，，一一对应， 则，故（1）符合； 对于（2），由，可得，，一一对应， 则，故（2）符合； 对于（3），由， 可得，， 一一对应，则，故（3）符合； 对于（4），，但方程无实数解， 则与不相同，（4）不符合. 故答案为：（1）（2）（3） 题型06 空集辨析（易错题专项） 【典例6】下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 【答案】B 【详解】对于A，不是空集，故A错误；     对于B，无解，所以集合是空集，故B正确； 对于C，集合，或不是空集，故C错误； 对于D，集合不是空集，故D错误. 故选：B. 【变式6-1】用适当的符号填空：0_____. 【答案】 【详解】空集没有任何元素，所以. 故答案为： 【变式6-2】（24-25高一上·上海浦东新·期中）关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为________. 【答案】1 【详解】可化为， 若，不等式为，不成立，不等式解集为空集， 若，不等式的解为， 若，不等式的解为， 综上，， 故答案为：1. 题型07 含参综合压轴题（培优拓展） 【典例7】（25-26高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为，所以，所以， 由，解得或， 所以； （2）当时，，，所以，满足条件； 当时，方程无解或仅有解，则只需，解得， 综上所述，的取值范围是. 【变式7-1】已知集合，求： (1)当时，中至多只有一个元素，求的取值范围； (2)当满足什么条件时，集合为空集． 【详解】（1）由题意得，方程可化为， ①当时，方程可化为，得， 所以，符合题意， ②当时， 因为中至多只有一个元素， 所以，解得， 综上所述，的取值范围为或； （2）①当时，方程可化为， 因为为空集，所以， ②当时， 因为为空集，所以， 综上所述，当或时，集合为空集． 【变式7-2】（24-25高一上·上海·阶段检测）已知集合A的元素为实数，满足①且；②若，则. (1)若，求A； (2)集合A有没有可能是单元素集? (3)若，证明：. 【详解】（1）当时，即，则，， ，，所以. （2）假设集合是单元素集， 由，则，得，整理得与实数平方为非负数矛盾， 所以集合不可能是单元素集. （3）由，得且，，于是， ，所以. 【变式7-3】已知集合（，，）具有性质：对任意（），与至少一个属于. (1)分别判断集合，与是否具有性质，并说明理由； (2)具有性质，当时，求集合； (3)①求证：；②求证：. 【详解】（1）集合具有性质，集合不具有性质 理由如下： 对集合，由于 所以集合具有性质； 对集合，由于，故集合不具有性质. （2）由于，故 又，故 又，故 因此集合 （3）①由于，故 ，故得证 ②由于 故 又 将各个式子左右两边相加可得： 故得证 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列各组对象中不能组成集合的是（    ）． A．2023年男篮世界杯参赛队伍 B．中国古典长篇小说四大名著 C．高中数学中的难题 D．我国的直辖市 【答案】C 【详解】A，B，D所表示的对象都能确定，能组成集合，选项C高中数学中的难题，怎样算难题不能确定，不能组成集合， 故选：C． 2．（24-25高一上·上海·期中）若集合，则不论实数取何值，集合不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，有，此时； 当时，有，而，此时； 当时，，显然，有， 但，即集合不可能是. 故选：C 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）由1，a，b组成的集合中有3个元素，该集合和由，a，ab组成的集合是同一个集合，则（    ）． A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 又根据集合互异性，可知，解得或（舍）， 所以，，， 故选：A． 二、填空题 4．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，若且，则___________ 【答案】 【详解】因为，且， 所以， 故答案为： 5．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，若，则____ ． 【答案】3或 【详解】因为，所以，解得或，符合题意． 故答案为：3或． 6．（25-26高一上·上海·期中）若，则的值为______. 【答案】 【详解】因为，所以分两种情况讨论： 若，解得，此时集合为，不满足元素的互异性，舍去. 若，解得，此时集合为，满足元素的互异性，符合条件. 故答案为： 7．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，若，，则实数的取值范围为_________. 【答案】 【详解】当时，需满足，即，解得， 当时，需满足，即， 且 ，因此实数的取值范围为. 故答案为：. 8．（25-26高一上·上海浦东新·期中）已知集合，，且，则的值为_____. 【答案】 【详解】因为，，且， 所以或， 解得或或 ， 根据集合的元素的互异性可得，且， 所以，此时，，满足， 所以. 故答案为： 9．（25-26高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则_________． 【答案】 【详解】当都为正数时，可得； 当都为负数时，可得； 当一正一负时，可得； 综上所述：所以集合. 故答案为：. 三、解答题 10.（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；如果不能组成集合，请说明理由． (1)接近于0的数的全体； (2)平面上到点的距离等于2的点的全体； (3)方程在实数范围内的解； (4)720的所有正约数； (5)所有大于小于1的实数． 【详解】（1）解：因为接近于0的数的全体，标准不明确，不符合集合元素的确定性，所以不能构成集合； （2）解：因为平面上到点的距离等于2的点的全体，构成以圆心，半径为的圆，符合集合的概念，且是无限集； （3）解：因为方程在实数范围内无解，所以方程的解集为空集，也为有限集； （4）解：由720的所有正约数，满足元素的确定性和互异性，可以构成集合，且为有限集； （5）解：所有大于小于1的实数，可以构成一个集合，且为无限集. 11．（24-25高一上·上海·随堂练习）由a，，1组成的集合中有3个元素，该集合和由，，0组成的集合是同一个集合，求的值． 【答案】1 【详解】由题意可得集合和集合为相等集合， 则由集合中元素的特点和相等集合的概念可得： 或， 结合互异性，联立解得： 所以． 故答案为： 12．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由A和B有且只有一个是，得且或且， 则有或，解得或， 所以实数a的取值范围是或. 1．（25-26高一上·上海·开学考试）非空集合具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断中，错误的是（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，假设，令，则， 令，则；令，不存在，不符合题意， 所以，所以A正确； 对于B，由题意知：，则， 所以，所以B正确； 对于C，因为，所以， 因为，所以，所以C正确； 对于D，由，则，所以D错误. 故选：D. 2．（24-25高一上·上海浦东新·阶段检测）已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则.则下列说法正确的个数为（   ） （1），（2），（3） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】因为，，由②得，即， 故，即，由③得，（1）正确； ，，由②得，故，（2）正确； 若，则，若，则， 若且，因为，，由②得， 由③得，，又， 由②得，由③得， 由②得，（3）正确. 故选：D 3．（24-25高一上·上海杨浦·开学考试）已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”.①集合是“完美集”；②若是两个不同的正数，且是“完美集”，则至少有一个大于；③二元“完美集”有无穷多个；④若为正整数，则“完美集”有且只有一个，且；上列结论是真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】对于①中，，， 集合是“完美集”，所以①正确； 对于②中，若、是两个不同的正数，且是“完美集”， 设， 根据根和系数的关系知，和相当于的两根， 由，解得或（舍去），所以，又均为正数， 所以、至少有一个大于2，所以②正确； 对于③中，由②知，一元二次方程，当t取不同的值时，的值是不同的， 所以二元“完美集”有无穷多个，所以③正确； 对于④，不妨设A中， 由，得， 当时，即有，所以，于是，无解， 即不存在满足条件的“完美集”； 当时，，故只能，，求得， 于是“完美集”A只有一个，为． 当时，由，即有， 事实上，，矛盾， 所以当时不存在完美集，所以④正确. 故选：D. 4．（25-26高一上·上海浦东新·期中）若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”. （1）且； （2）若、，则，且当时，有.给出以下命题： ①集合是“好集合”； ②是“好集合”； ③是“好集合”； ④设集合是“好集合”，若、，则； ⑤设集合是“好集合”，若、，则； 其中真命题的序号是_____. 【答案】③④⑤ 【详解】对于①，由集合，若，可得， 所以集合不满足性质（2），所以集合不是个“好集合”，所以①是假命题； 对于②，取，此时，但，所以不是“好集合”，所以②是假命题； 对于③，对于实数集，其中且，且任意，则， 且当时，有，所以实数集是“好集合”，所以③是真命题； 对于④，集合是“好集合”，由，，根据“好集合”的定义， 可得， 因为，可得，所以④是真命题； 对于⑤，若集合是“好集合”，任取， 若中有和时，显然； 设均不含和，由“好集合”的定义知， 所以，所以， 由④可得，同理可得， 若或，显然； 若或，则， 所以，所以， 由，则，所以⑤是真命题. 故答案为：③④⑤ 5．（25-26高一上·上海嘉定·期中）已知，，为实数，用表示集合的元素个数，若集合，则所有可能的值是___________． 【答案】或或或 【详解】由已知得的取值即为方程的解的情况， 方程，即①或②； 当时，方程①无解；当时，方程①的解为； 当，时，方程②无解，当，时，方程②只有一解为， 当时，若满足，方程②无解； 若满足，方程②只有一解为； 若满足，方程②有两个不同的解，为或； 综上所述，当，且，时， 方程无解，此时； 当，且，时， 方程有一解为，此时； 当，且，时， 方程无解，此时； 当，且，时， 方程解为，此时； 当，且，时， 方程有两个解， 分别为或，此时； 当，且时， 若，方程有一解为，此时； 若，且，方程有两个解， 分别为或，此时； 若，且，方程有一个解， 分别为，此时； 当，且，时， 方程有一解为，此时； 当，且，时， 若，方程有一解为，此时； 若，方程有两个解， 分别为或，此时； 当，且，时，若或， 则方程有两个解， 分别为或，此时； 若，且，方程有三个解， 分别为或或，此时； 故的可能取值为或或或， 故答案为：或或或. 6．（24-25高一上·上海·阶段检测）对正整数，记. (1)用列举法表示集合； (2)求集合中元素的个数； 【详解】（1）已知，当时，. 对于，当，时，； 当，时，；当，时，. 当，时，；当，时，； 当，时，. 当，时，；当，时，； 当，时，. 综上，. （2）当时，，此时中有个元素，分别为. 当时，，此时又有个不同的元素， 因为（）与时的元素不同. 当时，同理，又得到个不同元素. 当时，，这里面有个数1,2,3与时中的数重复. 当时，，得到个不同元素，因为（）与前面的元素都不同. 当时，，得到个不同元素，因为（）与前面的元素都不同. 当时，，得到个不同元素，因为（）与前面的元素都不同. 计算中元素个数，总共种的组合，但是时与前面重复了个元素，所以中元素个数为. 7．（24-25高一上·上海嘉定·阶段检测）已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则. (1)判断是否正确，并说明理由； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则. 【详解】（1）正确，理由如下： 由①知，，由②可得，， 由③可得. （2）证明：由①知，由题意， 所以由②可知，又，所以即证. （3）证明： ，由②可知，由③可知，， 所以，即，所以， 由（2）结论可知，即，即证 8．（24-25高一上·上海·阶段检测）设，记关于与的二元一次方程组的解集为. (1)求； (2)是否存在的值，使得？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由； (3)若使得中的数对为正整数数对，即与均为正整数，求的值以及对应的. 【详解】（1）当时，方程组为，解得，所以. （2）将代入，得，整理得， 当时，方程无解，即. （3）由，则， 由（2）知，，得， 因为为正整数，所以为正整数，解得或或， 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以. 9．（24-25高一上·上海·期中）若有限个正整数组成的集合中至少有两个元素，且对于任意的，都有，则称为“双集合”. (1)判断是否为“双集合”，说明理由； (2)若双元素集为“双集合”，且，求所有满足条件的集合； (3)求所有满足条件的“双集合”. 【详解】（1）假设，则，故不是为“双集合”. （2）假设，则另一个元素为，因为， 若解得不符合题意； 若解得（符合题意）或（不符合题意） 所以此时 假设则另一个元素为，因为， 若解得符合题意； 若解得不符合题意 所以此时 （3）若满足条件的“双集合”，只有两个元素，仿照（2）讨论，可得满足“双集合”的有 当“双集合”有两个以上的元素时，设最小的元素为，最大元素为，第二大的元素为， 所以有是“双集合”中的元素 所以 若 与已知矛盾， 故 解得，显然与不可能同时为整数，故该假设不成立 所以“双集合”不可能有两个以上的元素； 故所有满足的“双集合”为 10．现有集合，集合 (1)判断中哪些元素属于集合B； (2)求证：若，则； (3)求证：若，则有且为奇数. 【详解】（1）由，得； 由，得； 由没有倒数，得； 由，得， 所以，. (2)当时，令，为整数， 则， 显然都是整数，因此， 当时，，则，所以. (3)由， 得， 则都是整数，为整数， 因此，即， 由是整数，得是偶数，或都是奇数，则是奇数，是奇数， 所以且是奇数. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $