微专题 例析集合初步压轴题讲义-【沪教版】2026-2027学年高一上学期数学教材解读与拓展

该高中数学集合初步复习讲义通过梳理核心概念、性质及常用结论构建知识体系，用表格呈现集合运算的集合语言、图形语言与记法，框架图归纳子集、交集等关系，突出元素互异性、空集分类讨论等重难点及内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，涵盖元素含义、新定义问题等10类题型，如“8和集合”新定义题培养数学抽象与逻辑推理素养，结合《孙子算经》问题渗透数学文化。例题解析强调分类讨论、数形结合，基础题巩固知识，压轴题提升思维，助力学生自主复习，教师可实施精准分层教学。

【原卷版】 微专题 例析集合初步压轴题 数学语言和自然语言的重要区别在于数学语言更加精确，不容易产生歧义；集合是现代数学语言的重要组成部分；使用集合的语言，可以准确、简洁地表示所要研究的对象，更好地描述所研究的对象之间的关系；集合是刻画一类事物的语言和工具，是现代数学的基础； 集合初步压轴题，常常综合集合表示、元素互异性、子集、交集并集补集与参数求值，难度高于基础题型。题干多给出含参数的数集，如：一元一次、二次不等式解集或含参数方程解集，搭配全集与子集、包含关系条件。核心考点分两类：一是根据集合相等、子集包含求参数，需利用元素互异性检验舍去增根；二是结合空集分类讨论，空集是任意集合子集极易遗漏，常作为失分点。题型常嵌套数轴数形结合，通过区间端点对比列不等式组求解参数范围，最后需验证参数取值是否满足集合定义。部分压轴题融入新定义集合运算，要求现场读懂自定义交并运算，综合逻辑推理，全面考察分类讨论、数形结合与严谨检验的数学思维。 １、集合的概念与表示： （1） 集合是一些确定对象的全体．集合中的元素具有确定、无序、不重复的特征；常用数集有、、、等； （2）空集是不含任何元素的集合； （3）当时，满足的所有实数组成的集合记作开区间，满足 的所有实数组成的集合记作闭区间等； 2、集合的关系与运算： （1）子集关系可分为两类：真子集与相等的集合； （2）集合与的交集是这两个集合的所有公共元素所组成的集合；记作：；集合 与的并集是这两个集合的所有元素所组成的集合，记作：； （3）相对于全集，其任一子集犃均有补集．一个集合的补集是指在全集中而不在中的全体元素所组成的集合，记作：； 3、集合的运算性质 （1）A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A. （2）A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A. （3）A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A. 4、常用结论 （1）若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个. （2）A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB. （3）∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). 5、牢记两个注意点 （1）在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时要树立分类讨论的思想，将集合A是空集的情况优先进行讨论； （2）在解答集合问题时，要注意集合元素的特性，特别是互异性对集合元素的限制； 题型1 元素与集合的含义 例1、已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是 【提示】 【答案】 【解析】 【说明】 例2、设，若集合A中的元素可用与两种方法表示，则＝________. 题型2 元素与集合的关系 例3、已知集合，当，则的值为 例4、已知集合 ，其中.若存在正数，使得对任意， 都有，则的值是_____. 题型3 集合的表示与相互关系 例5、已知，，为实数，用表示集合的元素个数，若集合，则所有可能的值是___________． 例6、设为实数，集合． （1）若，求； （2）若，求满足的条件； （3）设，当时，如果，且集合均恰有两个元素，求三元数对． 题型4 集合的运算及其应用 例7、已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 例8、已知集合. （1）若，求； （2）从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答； 问题：若__________，求实数的取值集合. 题型5 注意图形语言与集合语言的转换 例9、有三支股票位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票.在不持有股票的人中，持有股票的人数是持有股票的人数的2倍.在持有股票的人中，只持有股票的人数比除了持有股票外，同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有股票.则只持有股票的股民人数是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 例10、对于集合，定义集合且． （1）若，求集合和； （2）给定集合、，求所有满足方程组的集合（用、表示）； （3）用表示集合中的元素个数．给定正整数，集合．对于实数集的非空有限子集，定义集合．求证：． 题型6 集合的新定义问题 例11、定义：对于非空集合，若元素，则必有，则称集合为“和集合”； 已知集合，则集合所有子集中，是“8和集合”的集合有 个。 例12、给定数集,若对于任意,有,且，则称集合为闭集合. （1）判断集合是否为闭集合，并给出证明； （2）若集合为闭集合，则是否一定为闭集合?请说明理由； （3）若集合为闭集合，且，证明：。 题型7 集合与数学思想方法的交汇 例13、设集合M＝{(x，y)|x＋y＝1，x∈R，y∈R}，N＝{(x，y)|x2－y＝0，x∈R，y∈R}，则集合M∩N中元素的个数为________． 例14、已知表示不超过x的最大整数，称为高斯取整函数，例如，，方程的解集为，集合，且，则实数a的取值范围是 题型8 集合与数学史的交汇 例15、中国古代重要的数学著作孙子算经下卷有题：今有物，不知其数三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何？现有如下表示：已知， ，，若，则下列选项中符合题意的整数为（ ） A． B． C． D． 例16、欧拉公式：因为非常简洁地融合了数学中最基本的五个常数(自然指数的底e，圆周率π，虚数单位i，自然数单位1，以及0)而被人们称为世间最美数学公式，由公式中数值组成的集合，则集合A不含无理数的子集共有 个。 题型9 集合在实际问题中的应用 例17、某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种，我们用集合表示第一次进货的品种，用集合表示第二次进货的品种，观察，对于集合，你能用集合表示两次一共进货的品种吗？并讨论集合与集合的关系． 例18、学校开运动会，设是参加跑的同学，是参加跑的同学，是参加跑的同学，学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义： （1）； （2）． 题型10 集合与其他知识交汇型问题 例19、已知集合2，，集合A、B是集合U的子集，若，则称“集合A紧跟集合B”，那么任取集合U的两个子集A、B，则满足“集合A紧跟集合B”的个数为 例20、对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”．函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，． （1）设函数，求集合和； （2）求证：； （3）设函数，且，求证：． 1、集合与元素 （1）集合中元素的三个特性：确定性、无序性、互异性； （2）元素与集合的关系是：属于或不属于，用符号∈或∉表示； 2、集合的基本关系 （1）子集：一般地，对于两个集合A和B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集．记作： A⊆B或B⊇A．读作“A包含于B”(或“B包含A”)； （2）相等：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B，也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B； （3）真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作：AB(或BA)； （4）空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做：空集，记为：，并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集； 3、集合的基本运算 运算 表示 集合语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A,或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A,且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U,且x∉A} ∁UA 4、知识拓展 （1.若集合A中有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集,(2n-1)个真子集,(2n-1)个非空子集，(2n-2)个非空真子集； （2）若A⊆B,B⊆C,则A⊆C； （3）A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=A⇔B⊆A； （4）∁U(A∩B)=( ∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)= (∁UA)∩(∁UB)； （5）card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)； 1．已知集合，，则集合中元素的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知集合；则集合P中所含元素的个数为（     ） A．3 B．2 C．1 D．无数个 3．已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”，则下列说法中不正确的是（    ） A．不是“可分集合” B．是“可分集合” C．四个元素的集合可能是“可分集合” D．五个元素的集合不是“可分集合” 4．对集合及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下：把子集中的数按递减顺序排列，然后从最大数开始，交替地加减相继各数，如的“交替和”是，集合的“交替和”是，集合的“交替和”是5等等．则A的所有“交替的”的总和是（   ） A． B． C． D． 5．已知集合含有三个元素分别是，，若，则实数的值为 6．已知，，为集合的非空子集，满足： ①，； ②，中元素均为奇数，中元素均为偶数； ③，，中所有元素的和分别记为，，，且．则正整数的最小值为________． 7．已知A是非空数集，如果对任意x，，都有，，则称A是封闭集.下列说法正确的是______. ①集合是封闭集； ②若非空集合，是封闭集，且，则也是封闭集； ③若非空集合，是封闭集，则也是封闭集； ④若非空集合A是封闭集，且，R为全体实数集，则不是封闭集. 8．某小区连续三天举办公益活动，第一天有190人参加，第二天有130人参加，第三天有180人参加，其中，前两天都参加的有30人，后两天都参加的有40人.第一天参加但第二天没参加活动的有___________人，这三天参加活动的最少有___________人. 9．某企业的员工共计购买了30辆新能源汽车.已知其中15辆汽车有智能驾驶功能，8辆汽车有婴儿与宠物模式，6辆汽车有露营功能，且有3辆汽车拥有上述所有功能.则至少有______辆汽车没有配备上述三种功能中的任意一种. 10. 若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”； （1）且；（2）若、，则，且当时，有； 给出以下命题：①集合是“好集合”；②是“好集合”；③是“好集合”；④是“好集合”； ⑤设集合是“好集合”，若、，则； 其中真命题的序号是 11．一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： （1）该校共有多少学生？ （2）只修一门课的学生有多少？ （3）正好修两门课的学生有多少？ 12．已知集合，对任意的，若或，则称集合为集合． （1）判断集合是否为集合，并说明理由； （2）若集合为集合，求的值； （3）若集合为集合，求证：集合中的正数和负数的个数相等． 【解析版】 微专题 例析集合初步压轴题 数学语言和自然语言的重要区别在于数学语言更加精确，不容易产生歧义；集合是现代数学语言的重要组成部分；使用集合的语言，可以准确、简洁地表示所要研究的对象，更好地描述所研究的对象之间的关系；集合是刻画一类事物的语言和工具，是现代数学的基础； 集合初步压轴题，常常综合集合表示、元素互异性、子集、交集并集补集与参数求值，难度高于基础题型。题干多给出含参数的数集，如：一元一次、二次不等式解集或含参数方程解集，搭配全集与子集、包含关系条件。核心考点分两类：一是根据集合相等、子集包含求参数，需利用元素互异性检验舍去增根；二是结合空集分类讨论，空集是任意集合子集极易遗漏，常作为失分点。题型常嵌套数轴数形结合，通过区间端点对比列不等式组求解参数范围，最后需验证参数取值是否满足集合定义。部分压轴题融入新定义集合运算，要求现场读懂自定义交并运算，综合逻辑推理，全面考察分类讨论、数形结合与严谨检验的数学思维。 １、集合的概念与表示： （1） 集合是一些确定对象的全体．集合中的元素具有确定、无序、不重复的特征；常用数集有、、、等； （2）空集是不含任何元素的集合； （3）当时，满足的所有实数组成的集合记作开区间，满足 的所有实数组成的集合记作闭区间等； 2、集合的关系与运算： （1）子集关系可分为两类：真子集与相等的集合； （2）集合与的交集是这两个集合的所有公共元素所组成的集合；记作：；集合 与的并集是这两个集合的所有元素所组成的集合，记作：； （3）相对于全集，其任一子集犃均有补集．一个集合的补集是指在全集中而不在中的全体元素所组成的集合，记作：； 3、集合的运算性质 （1）A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A. （2）A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A. （3）A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A. 4、常用结论 （1）若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个. （2）A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB. （3）∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). 5、牢记两个注意点 （1）在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时要树立分类讨论的思想，将集合A是空集的情况优先进行讨论； （2）在解答集合问题时，要注意集合元素的特性，特别是互异性对集合元素的限制； 题型1 元素与集合的含义 例1、已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是 【提示】分析可知集合对应的区间长度在之间，可得出关于的取值范围，然后对的取值进行分类讨论，确定集合中的整数元素，可得出关于的不等式，解之即可； 【答案】； 【解析】因为集合中的元素恰有两个整数， 所以，解得， 当时，集合中的两个整数分别为、， 则，解得； 当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【说明】本题考查了根据集合中元素的个数求参数；解本题的关键就是根据集合中整数元素的个数，确定集合对应区间长度的取值范围，列出不等式求解，同时一定要注意确定集合中的整数元素，进而对集合的左端点和右端点值进行限制求解； 例2、设，若集合A中的元素可用与两种方法表示，则＝________. 【提示】根据集合中元素的确定性进行判断与理解集合相等； 【答案】2； 【解析】由易知且，则根据两个集合相等可知， 且或； 若，由得，经验证，符合题意； 若，则，结合可知，，不符合题意； 综上可知，，，故； 【说明】 1、构成集合的对象必须是“确定”的，其中“确定”是指集合的对象具有非常明显的特征，对于任何一个对象，都可以判断它是或不是给定集合的元素； 2、研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件，从而准确把握集合的含义. 3、利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 4、集合相等的注意点若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等； 【特别提醒】注意集合元素的互异性，相同的元素在集合中只能出现一次；注意在化简与表示集合时，规范用好初中数学知识与方法； 题型2 元素与集合的关系 例3、已知集合，当，则的值为 【提示】分，，三种情况，分别求得的值，再代入验证集合中的元素是否满足互异性可得答案； 【答案】1； 【解析】若，则，，不合题意； 若，则或，当时，，当时，，不合题意； 若，则或，都不合题意；因此，所以. 【说明】本题考查了根据元素与集合的关系求参数、根据集合的包含关系求参数； 例4、已知集合 ，其中.若存在正数，使得对任意， 都有，则的值是_____. 【提示】由可得出，进而可得的取值范围，根据，可得出关于的不等式，进一步可得出关于的方程，解之即可. 【答案】； 【解析】因为，则只需考虑下列三种情况： 因为，，则， 又因为，则， 因为，则且， 可得， 所以，，解得， 故答案为：. 【说明】本题考查了根据元素与集合的关系求参数；关键在于能够通过的取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程求解； 题型3 集合的表示与相互关系 例5、已知，，为实数，用表示集合的元素个数，若集合，则所有可能的值是___________． 【提示】分情况讨论方程解的情况，即可得的所有可能的值； 【答案】或或或； 【解析】由已知得的取值即为方程的解的情况， 方程，即①或②； 当时，方程①无解；当时，方程①的解为； 当，时，方程②无解，当，时，方程②只有一解为， 当时，若满足，方程②无解； 若满足，方程②只有一解为； 若满足，方程②有两个不同的解，为或； 综上所述，当，且，时， 方程无解，此时； 当，且，时， 方程有一解为，此时； 当，且，时， 方程无解，此时； 当，且，时， 方程解为，此时； 当，且，时， 方程有两个解， 分别为或，此时； 当，且时， 若，方程有一解为，此时； 若，且，方程有两个解， 分别为或，此时； 若，且，方程有一个解， 分别为，此时； 当，且，时， 方程有一解为，此时； 当，且，时， 若，方程有一解为，此时； 若，方程有两个解， 分别为或，此时； 当，且，时，若或， 则方程有两个解， 分别为或，此时； 若，且，方程有三个解， 分别为或或，此时； 故的可能取值为或或或， 故答案为：或或或. 【说明】本题考查了列举法表示集合、集合新定义； 例6、设为实数，集合． （1）若，求； （2）若，求满足的条件； （3）设，当时，如果，且集合均恰有两个元素，求三元数对． 【提示】（1）将代入方程，求解即可； （2）由为方程的根可求出a的值，再讨论是否为的根即可. （3）分类讨论，是的根时，确定a的值，再考虑另一个方程的判别式情况，验证是否符合题意，同理讨论-2是的根，综合即可求得答案； 【答案】（1）； （2）或； （3）. 【解析】（1）若，则方程为， 即，解得或，故； （2）由题意知； 又，即集合S中有且仅有一个元素， 若，即，即是的根； 若不是的根，则需满足； 若是的根，则需满足，且，则； 综合上述，满足的条件为或； （3）由题意知，则， 且方程与的判别式相同，， 故两方程的根的个数相同，由于集合均恰有两个元素，故， ，，即是或的根， ，，即是或的根， ①当，即时，是的根，，则，则， 此时，则是的根，即， 若，则可得， 此时， ，符合题意； 若，则有两个不相等的实数根， 结合，即得的两根必为和2，则，即， 此时， ，符合题意； ②当时，，即是的根，则，则， 结合，知是的根，即，即， 若，则解得， 此时， ，符合题意； 若，则有两个不相等的实数根， 结合，即得的两根必为，则，即， 此时， ，符合题意； ③当且时，即不是的根，也不是的根， 由，知是的根，是的根， 故，解得，此时且， ，S中有3个元素，不符合题意； 综合上述，三元数对为. 【说明】本题考查了利用集合元素的互异性求参数、列举法表示集合、根据集合中元素的个数求参数、利用集合中元素的性质求集合元素个数； 题型4 集合的运算及其应用 例7、已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【提示】先将三个集合化成形式差不多的结构，分别判断出其大小关系，最后可求出的值； 【答案】C； 【解析】任取，则，其中，所以，故，所以；任取，则，所以，所以，所以； 故选：C； 【说明】本题考查了判断两个集合的包含关系、交并补混合运算； 例8、已知集合. （1）若，求； （2）从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答； 问题：若__________，求实数的取值集合. 【提示】（1）先代入求得集合，再利用交集运算和并集运算即得； （2）若选①，可得，则，就参数分类讨论，借助子集关系求得参数的范围；若选②③，类似①，参数分类讨论，求得参数的范围. 【答案】（1），；（2）； 【解析】（1）当时，， 则，. （2）若选①，，可得，则. 当时，，由， 可得，故； 当时，，由， 可得，故. 综上，实数的取值集合为. 若选②或③，均可得出，解析同上； 【说明】本题考查了根据集合的包含关系求参数、交并补混合运算； 题型5 注意图形语言与集合语言的转换 例9、有三支股票位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票.在不持有股票的人中，持有股票的人数是持有股票的人数的2倍.在持有股票的人中，只持有股票的人数比除了持有股票外，同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有股票.则只持有股票的股民人数是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【提示】通过设出只持有股票的人数和只同时持有了和股票的人数，表达出持有不同股票的人数，通过持股的总人数即可求出只持有股票的股民人数； 【答案】A； 【解析】由题意， 设只持有股票的人数为， 则持有股票还持有其它殸票的人数为 (图中的和 )， ∵只持有一支股票的人中, 有一半没持有或股票, ∴只持有了和股票的人数和为 (图中部分) . 假设只同时持有了和股票的人数为, ∴, 即， 则的取值可能是, 与之对应的值为, ∵没持有股票的股民中，持有股票的人数是持有股票的人数的2倍 ∴，即， ∴时满足题意，此时, ∴只持有股票的股民人数是, 故选：A；    【说明】本题考查了利用文氏图求集合；本题主要考查了逻辑推理能力，韦恩图在解决实际问题中的应用，解答此题的重点是求持有股票的人数，利用韦恩图结合条件即得； 例10、对于集合，定义集合且． （1）若，求集合和； （2）给定集合、，求所有满足方程组的集合（用、表示）； （3）用表示集合中的元素个数．给定正整数，集合．对于实数集的非空有限子集，定义集合．求证：． 【提示】（1）直接根据定义求解即可； （2）根据题设定义及韦恩图，结合集合方程组用表示出即可； （3）分中至少含有一个不在S中的元素和，且，两种情况讨论即可； 【答案】（1），；（2）；（3）证明见解析； 【解析】（1）由，则，； （2）由，则或， 再结合，则， 所以 （3）表示集合中的元素个数，则， 若中至少含有一个不在S中的元素， 则，即. 若，且，则， 此时A中最小的元素，B中最小的元素， 所以C中最小的元素，则， 因为，所以，即. 综上所述，. 【说明】本题根据交并补混合运算确定集合或参数、集合新定义、利用文氏图求集合； 题型6 集合的新定义问题 例11、定义：对于非空集合，若元素，则必有，则称集合为“和集合”； 已知集合，则集合所有子集中，是“8和集合”的集合有 个。 【提示】由新定义可得集合的子集中，、、、一定成组出现，再由子集的概念即可得解； 【答案】15； 【解析】由题意，集合的子集中，、、、一定成组出现， 当集合的子集中只有1个元素时，即为，共1个； 当集合的子集中有2个元素时，即为，共3个； 当集合的子集中有3个元素时，即为，共3个； 当集合的子集中有4个元素时，即为，共3个； 当集合的子集中有5个元素时，即为，共3个； 当集合的子集中有6个元素时，即为，共1个. 当集合的子集中有7个元素时，即为，共1个. 则集合所有子集中，是“8和集合”的集合有15个. 故答案为：15； 【说明】本题属于猜想推理型问题：通过猜想—推理---验证实现从特殊到一般的推理论证； 例12、给定数集,若对于任意,有,且，则称集合为闭集合. （1）判断集合是否为闭集合，并给出证明； （2）若集合为闭集合，则是否一定为闭集合?请说明理由； （3）若集合为闭集合，且，证明：。 【提示】 （1）根据特值，但是4+4=8A，判断A不为闭集合，设，可证出，，B为闭集合；（2）取特例A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=3k，k∈Z}，集合为闭集合，但不为闭集合即可；（3）用反正正法，若AB=R，存在a∈R且aA，故a∈B，同理，因为BR，存在b∈R且bB，故b∈A，若，则由A为闭集合，，与aA矛盾，同理可知若，，与bB矛盾，即可证明； 【解析】（1）因为，但是4+4=8A，所以，A不为闭集合； 任取，设，则且，所以， 同理，，故B为闭集合； （2）结论：不一定. 令A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=3k，k∈Z}，则由（I）可知，A，B为闭集合，但2，3∈AB，2+3=5AB， 因此，AB不为闭集合. （3）证明：（反证）若AB=R，则因为AR，存在a∈R且aA，故a∈B， 同理，因为BR，存在b∈R且bB，故b∈A， 因为a+b∈R=AB，所以，a+b∈A或a+b∈B， 若，则由A为闭集合，，与aA矛盾， 若，则由B为闭集合，，与bB矛盾, 综上，存在c∈R，使得c（AB）； 【说明】本题主要考查了集合子集、真子集，反证法，考查了学生分析推理能力，属于难题；本题属于创新判断型：这类问题常见的有：①探究给定的结论是否成立；②探究符合条件的数学对象是否存在；③类比已有结论探索获得的新命题是否成立； 题型7 集合与数学思想方法的交汇 例13、设集合M＝{(x，y)|x＋y＝1，x∈R，y∈R}，N＝{(x，y)|x2－y＝0，x∈R，y∈R}，则集合M∩N中元素的个数为________． 【提示】注意根据题设集合“选择”恰当的表示方法； 【答案】2； 【解析】如图所示， 在同一直角坐标系中画出x＋y＝1与x2－y＝0的图象， 由图象可得，两曲线有两个交点，即M∩N中有两个元素． 【说明】本题是数形结合的思想在集合中的渗透；数形结合是使抽象的“数”的问题“图形”化，使其直观化．在本章中，集合的韦恩图、数集在数轴上的表示、坐标系中的点集，都是数形结合思想的具体体现． 例14、已知表示不超过x的最大整数，称为高斯取整函数，例如，，方程的解集为，集合，且，则实数a的取值范围是 【提示】理解新定义，可得，求出集合A，再讨论的取值范围，求出集合，由集合的运算结果即可求解； 【答案】或 【解析】由题意可得或， ， 当时，，满足； 当时，或， 若，则，解得； 当时，或， 若，则，解得， 综上所述，实数a的取值范围是或； 【说明】本题以新定义为背景；考查了由集合的运算结果求参数的取值范围、一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的思想； 题型8 集合与数学史的交汇 例15、中国古代重要的数学著作孙子算经下卷有题：今有物，不知其数三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何？现有如下表示：已知， ，，若，则下列选项中符合题意的整数为（ ） A． B． C． D． 【提示】将选项中的数字逐一代入集合、、中的表达式，检验是否为、、的元素，即可选出正确选项； 【答案】D； 【解析】因为，则，选项A错误； ，则，选项B错误； ，则，选项C错误； ，故；，故；，故， 则，选项D正确； 故选：D； 【说明】本题主要考查将“文言文”翻译成集合语言与表示；然后，利用集合表示中的描述法与排除法解之； 例16、欧拉公式：因为非常简洁地融合了数学中最基本的五个常数(自然指数的底e，圆周率π，虚数单位i，自然数单位1，以及0)而被人们称为世间最美数学公式，由公式中数值组成的集合，则集合A不含无理数的子集共有 个。 【提示】注意：理解与化简，得集合的子集个数，根据含有个元素的集合的子集个数为计算可得； 【答案】8； 【解析】因为，，、为无理数 则求集合不含无理数的子集个数，即求集合的子集个数. 因为集合中含有个元素，则其子集有个； 【说明】本题将考查集合的子集个数的计算置于“新定义”中； 题型9 集合在实际问题中的应用 例17、某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种，我们用集合表示第一次进货的品种，用集合表示第二次进货的品种，观察，对于集合，你能用集合表示两次一共进货的品种吗？并讨论集合与集合的关系． 【提示】根据子集，并集的概念进行解答即可； 【答案】能，集合{圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水，铅笔，火腿肠}， 【解析】由{圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水}， {圆珠笔，铅笔，火腿肠，方便面}知， 集合{圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水，铅笔，火腿肠}， 容易发现集合是由所有属于集合或属于集合的元素组成的， 因此. 【说明】本题主要考查了并集的概念及运算； 例18、学校开运动会，设是参加跑的同学，是参加跑的同学，是参加跑的同学，学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义： （1）； （2）． 【提示】利用交集的运算可说明学校规定； （1）根据并集的定义可求得，并可解释集合的意义； （2）根据交集的定义可求得，并可解释集合的意义. 【答案】规定说明：；（1）是参加或参加跑的同学；（2）是参加且参加跑的同学； 【解析】每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，用集合运算说明为： ； （1）由已知可得是参加或参加跑的同学； （2）由已知可得是参加且参加跑的同学. 注：集合的并是“或”的关系，集合的交是“且”的关系. 【说明】本题考查了交集的概念及运算、并集的概念及运算； 题型10 集合与其他知识交汇型问题 例19、已知集合2，，集合A、B是集合U的子集，若，则称“集合A紧跟集合B”，那么任取集合U的两个子集A、B，则满足“集合A紧跟集合B”的个数为 【提示】 理解集合A紧跟集合B 【答案】； 【解析】因为，集合2，的子集有个，又因为集合A、B是集合U的子集， 所以，任取集合U的两个子集A、B的所有个数共有个， 因为，， 若，则B有个， 若A为单元数集，则B的个数为个， 若A为2个元素数集，则B的个数为个 同理可得，若2，，则只要1个即， 则A、B的所有个数为个， 故答案为； 【说明】本题属于知识交汇型问题：一般需要交汇与整合构造不等式、方程、代数式、函数、图形、概率与统计等加以解决的问题；具体到本题考查古典概率公式的简单应用，解题的关键是基本事件个数的确定。 例20、对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”．函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，． （1）设函数，求集合和； （2）求证：； （3）设函数，且，求证：． 【提示】（1）当时，直接解方程、，可得出集合、； （2）分、两种情况讨论，第一种情况直接验证即可；在第二种情况下，任取，由“稳定点”和“不动点”的定义证得，即可得出结论； （3）分、两种情况讨论，在第一种情况下，推导出，结合不等式的基本性质可得出，从而得出；在第二种情况下，推导出，结合不等式的基本性质可得出，从而得出.综合可证得结论成立； 【答案】（1）；（2）当，则成立， 若，对任意的，，则，所以，， 因此，. 综上所述，. （3）因为，则关于的方程无实解， 即方程无实解，则， 构造函数， ①当时，函数的图象恒在轴上方， 即对任意的，则恒成立， 则，即恒成立，即； ②当时，函数的图象恒在轴下方， 即对任意的，则恒成立， 则，即恒成立，即. 综上所述，当时，. 【解析】（1）解：由，可得，即， 由，解得，即. 故当时，. （2）略 （3）略 【说明】本题主要考查了判断两个集合的包含关系、函数新定义；解题关键是：在证明第三问时，要注意分、两种情况分析，确定与之间的大小关系，进而可得出与的大小，从而证出结论成立； 1、集合与元素 （1）集合中元素的三个特性：确定性、无序性、互异性； （2）元素与集合的关系是：属于或不属于，用符号∈或∉表示； 2、集合的基本关系 （1）子集：一般地，对于两个集合A和B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集．记作： A⊆B或B⊇A．读作“A包含于B”(或“B包含A”)； （2）相等：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B，也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B； （3）真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作：AB(或BA)； （4）空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做：空集，记为：，并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集； 3、集合的基本运算 运算 表示 集合语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A,或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A,且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U,且x∉A} ∁UA 4、知识拓展 （1.若集合A中有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集,(2n-1)个真子集,(2n-1)个非空子集，(2n-2)个非空真子集； （2）若A⊆B,B⊆C,则A⊆C； （3）A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=A⇔B⊆A； （4）∁U(A∩B)=( ∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)= (∁UA)∩(∁UB)； （5）card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)； 1．已知集合，，则集合中元素的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】集合表示直线上的点组成的集合， 集合表示大于或等于0的实数组成的集合， 所以，中元素个数为0个. 故选：A. 2．已知集合；则集合P中所含元素的个数为（     ） A．3 B．2 C．1 D．无数个 【答案】B 【解析】   根据条件可知P集合的元素即的解集，如图所示，由反比例函数与正比例函数的图象可知，有两组实数解，即P中所含元素的个数为2. 故选：B 3．已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”，则下列说法中不正确的是（    ） A．不是“可分集合” B．是“可分集合” C．四个元素的集合可能是“可分集合” D．五个元素的集合不是“可分集合” 【答案】C； 【解析】对于A，去掉后，不满足定义，不是“可分集合”，A正确； 对于B，集合所有元素之和为， 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意， 因此集合是“可分集合”，B正确； 对于C，不妨设，去掉，则，去掉，则， 于是，与矛盾，因此一定不是“可分集合”，C错误； 对于D，不妨设， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有①，或者②， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有③，或者④， 由①③或②④得，矛盾；由①④或②③得，矛盾， 因此集合不是“可分集合”，D正确． 故选：C 4．对集合及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下：把子集中的数按递减顺序排列，然后从最大数开始，交替地加减相继各数，如的“交替和”是，集合的“交替和”是，集合的“交替和”是5等等．则A的所有“交替的”的总和是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】集合的子集中，除了集合，还有个非空子集. 将其分为两类：第一类是含2008的子集，第二类是不含2008的子集，这两类所含的子集个数相同. 如果A是第二类的，则必有是第一类的集合； 如果B是第一类中的集合，则B中除2008外，还应用中的数做其元素， 即B中去掉2008后不是空集，且是第二类中的. 于是把“成对的”集合的“交替和”求出来，都为2008， 则A的所有子集的“交替和”的和为. 故选：B 5．已知集合含有三个元素分别是，，若，则实数的值为 【答案】0； 【解析】若，则，此时中元素是1，0，1，与集合中元素的互异性矛盾，舍去． 若，则或， 当时，中元素是2，1，3，符合题意； 当时，中元素是0，1，1，与集合中元素互异性矛盾，舍去． 若，则或（均舍去）． 综上可知． 6．已知，，为集合的非空子集，满足： ①，； ②，中元素均为奇数，中元素均为偶数； ③，，中所有元素的和分别记为，，，且．则正整数的最小值为________． 【答案】8； 【解析】当，2时，无法满足中的元素是3的倍数，故舍； 当时，集合元素的总和为6，每部分和应为2，但中必须包含3， 其和，故舍； 当时，集合元素的总和为10，不能被整除，故舍； 当时，集合元素的总和为15，每部分和应为5，中必须包含3， 需要再加入和为2的元素，只能加入2，此时，剩余元素分配给， 无法满足和为5且奇偶性的要求，故舍； 当时，集合元素的总和为21，每部分和应为7，中必须包含3和6， 此时和为，故舍； 当时，集合元素的总和为28，不能被整除，故舍； 当时，集合元素的总和为36，每部分和应为12，中必须包含3和6， 需要再加入和为3的元素，可加入1和2，此时，剩余元素分配给， 取奇数，和为12，取偶数，和为12，满足所有条件， 故的最小值为8. 7．已知A是非空数集，如果对任意x，，都有，，则称A是封闭集.下列说法正确的是______. ①集合是封闭集； ②若非空集合，是封闭集，且，则也是封闭集； ③若非空集合，是封闭集，则也是封闭集； ④若非空集合A是封闭集，且，R为全体实数集，则不是封闭集. 【答案】②④ 【解析】①对于集合， 若，但，所以集合不是封闭集，故①错误； ②因为集合是封闭集，所以，， 同理可得，， 所以，， 所以是封闭集，故②正确； ③设，，则集合，是封闭集， 或，此时，但，则不是封闭集，故③错误； ④假设是封闭集， 设，若，则， 若，则，则，即，所以，这与相矛盾， 所以，从而，所以， 假设且，则， 若，则，因此，矛盾， 所以，从而，这与相矛盾， 所以假设不成立，即不是封闭集，故④正确． 故答案为：②④． 8．某小区连续三天举办公益活动，第一天有190人参加，第二天有130人参加，第三天有180人参加，其中，前两天都参加的有30人，后两天都参加的有40人.第一天参加但第二天没参加活动的有___________人，这三天参加活动的最少有___________人. 【答案】 160 290 【解析】解：根据题意画出Venn图，如图所示： 表示只去第一天的人， 表示只去第二天的人， 表示只去第三天的人， 表示只去第一天与第二天的人， 表示只去第一天与第三天的人， 表示只去第二天与第三天的人， 表示三天都去的人， ∴要使总人数最少，则令最大，其次､､也尽量大，，，∴，，，， ∴，， ∴，∴，， 则这三天参加活动的最少有：人. 故答案为：160，290. 9．某企业的员工共计购买了30辆新能源汽车.已知其中15辆汽车有智能驾驶功能，8辆汽车有婴儿与宠物模式，6辆汽车有露营功能，且有3辆汽车拥有上述所有功能.则至少有______辆汽车没有配备上述三种功能中的任意一种. 【答案】7 【解析】设拥有智能驾驶功能的车辆集合为，拥有婴儿与宠物模式的车辆集合为， 拥有露营功能的车辆集合为. 若是有限集，常用来表示中元素的个数. 已知，，，且. 则至少具备一种功能的车辆数为： ， 由于、、都至少包含同时具备三种功能的3辆 车（即，，）， 因此. 所以 总共有30辆车，因此没有三种功能中任意一种的车辆数至少为：. 故答案为：7. 10. 若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”； （1）且；（2）若、，则，且当时，有； 给出以下命题：①集合是“好集合”；②是“好集合”；③是“好集合”；④是“好集合”； ⑤设集合是“好集合”，若、，则； 其中真命题的序号是 【提示】注意理解“新定义”；结合判断命题真假的方法之一：举反例；取，结合（1）可判断①的正误；取结合（2）可判断②的正误；利用“好集合”的定义可判断③④的正误；由，可推导出，再结合（1）可判断⑤的正误； 【答案】③④⑤； 【解析】对于命题①，，，但，①错误； 对于命题②，，但，②错误； 对于命题③④，显然，集合、均满足（1）（2），所以，、都是“好集合”，③④正确； 对于命题⑤，当时，由于，则，当，则，⑤正确. 故答案为：③④⑤； 11．一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： （1）该校共有多少学生？ （2）只修一门课的学生有多少？ （3）正好修两门课的学生有多少？ 【提示】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为， 由容斥原理 求解即可； （2）由容斥原理只修一门课的学生有 ； （3）由容斥原理正好修两门课的学生有 【答案】（1）340人；（2）251人；（3）84人 【解析】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为， 则， ， ， 所以该校共有340人. （2）只修一门课的学生有 , 所以只修一门课的学生有251人. （3）正好修两门课的学生有 ， 所以正好修两门课的学生有84人. 12．已知集合，对任意的，若或，则称集合为集合． （1）判断集合是否为集合，并说明理由； （2）若集合为集合，求的值； （3）若集合为集合，求证：集合中的正数和负数的个数相等． 【提示】（1）根据集合定义，举反例即可； （2）根据集合定义，分类讨论，再验证即可； （3）令集合中元素从小到大排好顺序，由集合定义，以及对应情况，由元素总数来证明正数和负数的个数相等即可； 【答案】（1）不是，理由如下： 取，则， 因此不是集合. （2） （3）若，设集合中的所有负元素满足， 由于，则，则， 同理可得，均为负数且均属于， 则， 由于，则，则， 同理可得，均为正数且均属于， 即若中有个负数，则中至少有个正数， 由对称性可得，此时中有个正数，则至少有个负数， 即，，同理可得正数个数、负数个数均不小于， 若，则至少有共个正数属于A, 而此时正数有个，设正数 则，结合，即， 可得， 由于，则， 由于，则， 结合可得， 则，与题干矛盾， 同理若负数有个，则正数有个，仍可推出矛盾， 则只能是， 若中有个负数，则中至少有个正数， 而正数有个，则至少有个负数， 即且， 则，则， 则集合中的正数和负数的个数相等. 【解析】（1）略 （2）若，则或，则， 当时，取，则， 取，则， 所以符合题意； 若，则或，则或， 当时，取，则， 所以不符合题意； 若，则或，则， 当时，取，则， 所以不符合题意； 综上. （3）略 第26页，共38页 学科网（北京）股份有限公司 $