第1章集合与逻辑单元复习（基础篇）讲义-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

本讲义聚焦集合与逻辑单元核心知识，系统梳理集合的意义与表示、集合间关系、集合运算及常用逻辑概念，从元素与集合关系到集合运算，再到逻辑命题与充分必要条件，构建递进式学习支架。 资料亮点在于题型全面，精选上海多所中学期中题，通过新定义问题（如差集、和谐集）培养数学眼光与创新意识，反证法与韦恩图应用强化数学思维与逻辑推理，课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺。

2026-2027学年高一数学秋季班同步培优讲义 第1章 集合与逻辑单元复习（基础篇） 考点一 集合的意义与表示方法 题型01：元素与集合的关系 1．（24-25上海宜川中学高一上阶段练习）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据元素与集合的关系逐一判断即可. 【解答过程】因为是实数，所以，①正确； 因为是整数，所以，②正确； 因为是正整数，所以，③错误； 因为是无理数，所以，所以④错误. 故选：B. 2. （25-26上海市金山中学高一上期中）若集合中的元素是的三边长，则一定不是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】D 【分析】根据集合中元素的互异性可得答案. 【详解】根据集合元素的互异性，在集合中，必有， 故一定不是等腰三角形； 故选：D. 3.（25-26上海市实验学校高一上期中）已知集合，若，则实数的值是__________ 【答案】 【分析】由，分，两种情况讨论，结合集合中元素的互异性分析，即得解 【详解】由题意， （1）若，则，和集合中元素的互异性矛盾，不成立； （2）若，则，由（1） 若，则，，成立 故实数的值是 故答案为： 4. 已知，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，且， 解得， 故选：B 题型02：集合中的元素个数 5．已知集合，，，则C中元素的个数为 ． 【答案】4 【解析】由题意，． 当时，，； 当时，； 当时，； 当时，．所以C中元素的个数为4． 6.已知集合的元素只有一个，则实数a的值为（    ） A． B．0 C．或0 D．无解 【答案】C 【解析】集合有一个元素，即方程有一解， 当时，，符合题意， 当时，有一解， 则，解得：， 综上可得：或， 故选：C. 7．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）转化为关于的方程的方程有两个不等的实数根，用判别式即可求解； （2）分，两种情况讨论，当时用判别式即可求解. 【解答过程】（1）由于中有两个元素， 关于的方程有两个不等的实数根， ，且，即，且. 故实数的取值范围是或； （2）当时，方程为，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素， 即. 综上可知，实数的取值范围是. 题型03：集合的表示方法 8．已知区间，则实数a的取值范围为 ．（用区间表示） 【答案】 【解析】由，得．即. 9. 已知集合且，请用列举法表示该集合__________. 【答案】 【分析】根据常用数集，用列举法写出集合. 【详解】由集合且，得. 故答案为： 10. （25-26上海中学高一上期中）集合用列举法表示为________． 【答案】## 【详解】可化为，由，有，解得. 又由，得可能取值为，，． ，得，满足条件；，，不满足条件； ，得，满足条件．综上，集合用列举法表示为． 11.与集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，解得，故与集合相等的是.故选B 12 （25-26上海市南洋模范中学高一上期中）用描述法表示图中的阴影部分的点（含边界）的坐标组成的集合___________. 【答案】 【分析】先由图象得到点的范围，再用描述法表示. 【详解】由图可知：阴影部分在第三象限和x，y轴上，且， 所以用集合表示为， 故答案为： 13.（2023秋•徐汇区校级月考）直角坐标平面中除去两点、可用集合表示为　　 A．，，， B．或 C．， D．， 【分析】直角坐标平面中除去两点、，其余的点全部在集合中，逐一排除法． 【解答】解：直角坐标平面中除去两点、，其余的点全部在集合中， 选项中除去的是四条线； 选项中是一个或字，没有同时排除两点； 选项符合题意； 选项不能同时排除，两点． 故选：． 【点评】本题考查了集合的基本概念，属于基础题． 考点二 集合与集合间的关系 题型04：判断集合之间的关系 14．（25-26高一上·上海·阶段检测）给出下列关系式，其中正确的是__________（填序号）． ①；②；③；④；⑤． 【答案】①③⑤ 【解题思路】利用空集的性质判断①，⑤，利用元素和集合的关系判断②，利用集合和集合的关系判断④，利用子集的性质判断③即可. 【解答过程】因为空集是任何集合的子集，所以①，⑤正确， 由元素和集合的关系得，故②错误， 一个集合是自身的子集，故③正确， 由集合和集合的关系得，故④错误. 故答案为：①③⑤. 15．已知集合或，，则集合，的关系为 ． 【答案】 【解析】由题意，故． 16．设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设，其中表示奇数， 而中，故.故选：A 17.已知集合，，则（   ） A． B． C． D．S与T的关系不确定 【答案】A 【详解】， 因为表示奇数，表示整数， 故根据子集的定义，必有. 故选：A. 题型05：根据集合之间的关系求参数 18. 已知集合，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】A 【分析】根据题意结合集合相等列式求解即可. 【详解】因为集合，且， 则，解得. 故选：A. 19．（25-26高一上·福建福州·期中）已知，若集合，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解题思路】根据集合相等的定义，以及集合中元素的互异性，求得的值，代入计算，即可求解. 【解答过程】由集合，可得，即，所以， 若，此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，解得或（舍去）， 综上可得，，， 所以 故选：C. 20. （25-26上海中学高一上期中）已知集合，，且，则实数的值为___. 【答案】0或 【分析】由题意得或，求解并验证即可. 【详解】由， 可得：或， 即或或， 当时，，，，符合； 当时，不符合元素互异性，舍去； 当时， ，，且，符合； 所以实数a的值为0或， 故答案为：0或 21．（多选）设集合，，若，则的值可以为（  ） A．1 B．0 C． D． 【答案】ABD 【分析】由，再分和两种情况讨论即可. 【解析】， 因为， 所以当时，， 当时，， 则或，所以或， 综上所述，或或. 故选：ABD. 22. （25-26上海师大附中高一上期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由集合的包含关系，对集合是否是空集分类讨论即可求解． 【详解】当时，， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值范围是． 故选：C 23．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合. 若，则实数的取值范围为(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意可得：，分和两种情况，结合包含关系分析求解. 【解答过程】因为则 (1)若，则，解得； (2)若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 故选： C. 题型06：集合的子集个数问题 24. （25-26上海市 育才中学高一上期中）已知集合，则集合的非空真子集的个数为_________. 【答案】 【分析】先算出集合中的元素个数,根据非空真子集的计算公式即可求出结果. 【详解】解: 集合，元素个数 , 所以非空真子集个数为. 故答案为: 25. 设集合满足，则满足条件的集合有__________个. 【答案】3 【分析】根据子集和真子集的定义进行求解即可. 【详解】满足的集合有： 共3个. 故答案为：3. 26. （25-26上海市七宝中学高一上期中）已知集合，若有且只有一个非空子集，则实数__________. 【答案】4或 【分析】根据集合非空子集的个数，判断集合中元素的个数，进而根据判别式求出参数值. 【详解】集合有且只有一个非空子集，则集合中只有一个元素，即方程只有一个解， 得，解得或. 故答案为：4或. 27. （25-26上海交通大学附中高一上期中）若集合有2个子集，则实数的值为_______． 【答案】或 【分析】由子集个数得到方程根的个数，根据方程根的个数求解的值. 【详解】因为集合有个子集，所以方程有且只有一个根. 当时，方程可化为，解得，满足条件； 当时，若方程有且只有一个根，则，解得； 综上，实数的值为或. 故答案为：或. 考点三 集合的运算 题型07：集合的运算 28. （25-26华东师大二附中高一上期中）已知全集，集合，则_______． 【答案】 【分析】根据补集的概念求解. 【详解】根据题意得. 故答案为：. 29. （25-26同济大学二附中高一上期中）已知集合，则___________． 【答案】 【分析】由集合的交集运算求解． 【详解】由，得， 则． 故答案为： 30. （25-26上海市杨浦高级中学高一上期中）若，则集合________． 【答案】 【分析】由交集运算即可求解. 【详解】， 所以， 故答案为： 31. （25-26上海中学东校高一上期中）已知集合，，则______． 【答案】 【分析】应用集合的交运算求结果. 【详解】. 故答案为： 32．已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】分别化简两个集合，并进行交集运算. 【解析】因为， 所以，即 故选：B 33.（25-26上海市徐汇中学高一上期中）满足条件的集合的个数为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据集合间的运算结果可得集合的个数. 【详解】由已知， 则， 则集合可能为，，，， 共种情况， 故答案为：. 题型08：集合交并补混合运算 34.（25-26上海中学高一上期中）设全集为，，，则________． 【答案】 【详解】对于，有，解得，即. 因为全集为，由补集的定义可得. 则 . 35. （25-26上海市金山中学高一上期中）已知全集，集合，则＝_____． 【答案】 【分析】根据已知条件，先求出并集与补集的定义，即可求解． 【详解】由题设或， 所以. 故答案为：． 36. （25-26上海市 育才中学高一上期中）若，，，则______． 【答案】 【分析】先求得集合A、B，再由集合的补集运算、交集运算可得答案. 【详解】因为，，所以， 又，所以， 故答案为：. 37.（25-26上海市 育才中学高一上期中）已知全集，，，，则_____. 【答案】 【分析】首先用列举法写出全集，然后再根据交集和补集的定义得到集合中含有元素1，3，5，不含4，6，8，对于0，2，7，9利用反证法即可证明集合不含0，2，7，9即可求得. 【详解】由题意得， 可得集合中含有元素3， 可得中含有元素4，6，8，集合中不含元素4，6，8， ，集合含有元素1，5，集合中含元素1，5， 对于元素0，假设集合中含有元素0，则由可知不含元素0， 则必含元素0，与矛盾，同理可得集合中不含元素2，7，9， 综上所述：，故. 故答案为： 题型09：根据集合运算结果求参数 38．（25-26高一上·江苏镇江·月考）设，，若，则实数a的值不可以是（     ） A．0 B． C． D．3 【答案】D 【分析】利用交集的概念分类讨论方程的解判定选项即可. 【详解】易知的解为或，即, 若，即，显然符合题意； 若,则或，即或； 综上所述：，或. 故选：D 39．已知集合，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为，故， 因为恒成立，所以， 所以，即. 40.已知集合或，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】集合或，，由， 得，解得，所以实数的取值范围是. 故选：C 41．（24-25高一上·江苏·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可； （2）依题意可得或，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）解：因为，所以， 所以，即； （2）解：因为， 所以或， 所以. 题型10：韦恩图及其应用 42. 设全集为，集合，是的子集，其文氏图如图所示.下列选项中，能够表示该图中阴影部分的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据韦恩图得出集合间关系判定选项. 【详解】图中阴影部分的集合是. 故选：B. 43．已知集合、、是全集的三个真子集，、、的关系如Venn图所示，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合集合交集和并集的概念，即可求解. 【详解】如图所示，根据集合交集和并集的概念，可得阴影部分表示集合为， 即阴影部分表示集合为. 故选：B. 44. （25-26上海市南洋模范中学高一上期中）为解决上下班的交通问题，调查了某地100名职工，其中78人持有交通卡，52人拥有自行车，而持有交通卡又有自行车的有37人，则既无交通卡又无自行车的共有______人. 【答案】7 【分析】根据题意结合韦恩图运算求解即可. 【详解】作出韦恩图，如图所示： 可知持有交通卡或有自行车的人数为， 所以既无交通卡又无自行车的人数为. 故答案为：7. 45．某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 【答案】A 【分析】根据选择三类项目的人数，得出选择两类项目和一类项目的人数，求和可得答案. 【详解】因为有2名同学同时选择三类项目，所以只选择和两个项目的同学有4人， 只选择和两个项目的同学有2人，只选择和两个项目的同学有1人， 只选择一个项目的同学有17人，只选择一个项目的同学有13人，只选择一个项目的同学有13人，如图， 所以班级人数为：. 故选：A 考点四 常用逻辑概念 题型11：根据命题的真假求参数 46. （25-26华东师大三附中高一上期中）若命题“任意，”为假命题，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】根据全称量词命题证明为假的方法，构造函数，根据函数最值情况，列出不等式，求出参数范围即可. 【详解】命题“任意，”为假命题，则在上，函数的最小值为非正数， 可知二次函数在上单调递减，所以在处取得最小值， 可得，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 47. 设有两个命题；①方程没有实数根；②实数为非负数；如果这两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】分别根据两个命题为真命题时求出的范围，再分两种情况讨论求解可得结果. 【详解】方程没有实数根等价于，即， 实数为非负数，即， 若①为真命题，则②为假命题，所以，得； 若①为假命题，则②为真命题，所以，得. 所以实数的取值范围是. 故答案： 【点睛】关键点点睛：分别根据两个命题为真命题时求出的范围是解题关键. 48. （25-26华东师大三附中高一上期中）设命题方程有两个不相等的正根；命题方程无实根，若与中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围____________. 【答案】 【分析】分别求得命题，为真时的范围，根据题意可得命题，一真一假，分真假和假真两种情况，分别求解，综合即可得答案． 【详解】当命题为真时，有，解得． 当命题为真时，有，即，解得． 由题意，与中有且只有一个是真命题，分两种情况： 若真假，则，解得； 若假真，则，解得． 综上可得实数的取值范围是． 故答案为： 题型12：充分条件与必要条件的判断 49.（25-26上海中学高一上期中）设为实数，则“”是“”的________条件． 【答案】必要不充分 【分析】直接由包含关系判断充分必要条件可得. 【详解】因为，得，显然， 所以“”是“”的必要不充分条件. 50. （25-26上海市 育才中学高一上期中）若命题为“”，命题为“”，则是的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分又不必要 【答案】B 【分析】分别对充分性和必要性分析得到答案. 【详解】充分性分析：，或，不一定有，则是的不充分条件； 必要性分析：由可以得到，则是的必要条件； 综上可知，是的必要不充分. 故选：B 51. 已知上海市评选市级三好学生时，申报条件之一为：申报者须获得区级三好学生资格.若甲同学是松江区的一名高中生，则“甲是上海市级三好学生”是“甲是松江区级三好学生”的（ ） A. 必要非充分条件 B. 充分非必要条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】B 【分析】根据评选规则，由充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】根据评选规则：若同学甲是市级三好学生，则同学甲必须是区级三好学生， 但是同学甲是区级三好学生不一定能评上市级三好学生， 所以“甲是上海市级三好学生”是“甲是松江区级三好学生”的充分非必要条件. 故选：B 52. 王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】返回家乡的前提条件是攻破楼兰，即可得出结论. 【详解】由题可知：“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件. 故选：B 题型13：根据充分必要条件求参数 53. 若，，且是的充分条件，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据充分条件的定义进行求解即可. 【详解】因为是的充分条件， 所以对应的集合是对应的集合的子集， 所以. 故答案为：. 54. （25-26华东师大二附中高一上期中）已知或，或．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【分析】将问题转化为两个集合之间的包含关系，然后再利用集合的包含关系列出不等式组，解不等式组即可求解. 【详解】设集合，集合， 由题意可知集合是集合的真子集， 所以，解得，得， 当时，，不满足题意，故， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 55. （25-26华东师大三附中高一上期中）已知，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】利用必要不充分条件的定义求出范围. 【详解】由题知，， 又因为“”是“”的必要不充分条件，可得， 故答案为：. 题型14：否命题与命题的否定、反证法 56．命题“如果，那么”的否命题是 . 【答案】如果，那么 【解析】命题“如果，那么”的否命题是 “如果，那么”. 57.（25-26上海曹杨中学高一上期中）“且”的否定形式为___________ 【答案】或 【分析】利用“且”命题的否定直接写出结论. 【详解】“且”的否定形式为：或. 故答案为：或 58．“所有自然数都是整数”的否定为 ． 【答案】“有些自然数不是整数” 【分析】由全称命题的否定的定义即可得解. 【解析】“所有自然数都是整数”的否定为“有些自然数不是整数”. 故答案为：“有些自然数不是整数”. 59.（25-26上海市 位育中学高一上期中）用反证法证明：“已知是整数，若为偶数，则中至少有两个是偶数.”时，应假设：________． 【答案】假设中至多有一个是偶数 【分析】由反证法的定义即可得到结果； 【详解】由题意可得，应假设：中至多有一个是偶数. 故答案为：中至多有一个是偶数 60. 用反证法证明命题：“若，则或”时，应假设____________. 【答案】且 【分析】根据反证法思想，写出原命题证明中的假设条件即可. 【详解】由反证法思想：否定原结论，推出矛盾， 所以题设命题的证明，应假设且. 故答案为：且 61. （25-26上海市实验学校高一上期中）用反证法证明“若，则或”这个命题时，可以先假设该命题的结论不成立，即________． 【答案】且 【分析】根据反证法步骤，否定结论即可. 【详解】先假设该命题的结论不成立，即假设“且”. 故答案为：且. 题型15：集合的新定义问题 62.在本题中，我们把且叫做集合A与B的差集，记作．设，，则 ． 【答案】 【解析】因为，，所以，， 所以. 63．（25-26高一上·安徽安庆·阶段检测）定义集合运算：.若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】首先根据集合中的元素球集合，再求. 【解答过程】， 当，或，或，或，解得或或 或， 所以，， 所以. 故选：D. 64．（25-26高一上·江苏无锡·期中）设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的（与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”.则下列四个命题中为真命题个数为（   ） ①存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集； ②集合是“和谐集”； ③若，都是“和谐集”，则； ④对任意两个不同的“和谐集”，，总有. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】利用和谐集的定义，判断集合中必有元素0，从而可判断①，利用和谐集的定义，可证明②，利用举例可证明③④. 【解答过程】对于①，存在，满足有限集，也满足和谐集，故①正确； 对于②，当时， 对于， 总有 所以且，即满足“和谐集”，故②正确； 对于③，若都是“和谐集”， 则当时，由可知，“和谐集”中必有元素0，即，故③正确； 对于④，存在“和谐集”，此时，故④错误； 故选：C. 65．设为非空实数集满足：对任意给定的（、可以相同），都有，则称为封闭集．关于封闭集有下列结论： ①集合为封闭集；   ②集合为封闭集； ③若集合为封闭集，则为封闭集； ④若集合为封闭集，则一定有； ⑤若集合为封闭集，则为封闭集． 其中正确结论的序号是 ． 【答案】②④⑤ 【分析】本题主要涉及封闭集的定义概念，通过对每个结论逐一根据封闭集的定义进行判断来求解. 【详解】对于集合，取，，则，不满足封闭集的定义，所以①错误. 对于集合，设，，. ，因为，所以. ，因为，所以. ，因为，所以.满足封闭集的定义，所以②正确. 令，，都是封闭集. 中，取（），（），，不满足封闭集的定义，所以③错误. 因为对任意，有，所以若集合为封闭集，则一定有，所以④正确. 因为，为封闭集，设，则且. 因为是封闭集，所以，，. 因为是封闭集，所以，，. 所以，，，满足封闭集的定义，所以⑤正确. 故答案为：②④⑤. 66. 已知集合，集合B满足． (1)判断，，，中的哪些元素属于B； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据所给定义判断元素的倒数是否属于即可； （2）先证明若，，则，即可得到，从而得证； （3）依题意可得，从而求出，再说明即可. 【详解】（1）因为，所以； 因为，所以； 因为没有倒数，所以； 因为，所以； 综上可得，. （2）先证明：若，，则； 设，，为整数， 所以， 由于，都是整数，所以， 当，时，，，所以，所以； （3）因为， 所以， 所以，都是整数， 所以为整数， 所以， 假如，则，则应为的倍数， 设为整数，若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 所以，即. 67. 已知数集（，且），若，均有，则称具有性质．规定集合，集合，设集合中的元素个数为，集合中的元素个数为． (1)试判断集合和集合是否具有性质； (2)若具有性质，，证明：； (3)若具有性质，试比较a，b的大小，并说明理由． 【答案】(1)集合不具有性质，集合具有性质 (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）由定义即可直接判断； （2）由新定义得到集合中元素的个数不超过，即可求证； （3）对集合中的元素分两种情况讨论：，得到或，得到，，进而得到，同样讨论集合中的元素，得到，即可求证； 【详解】（1）对于集合，若，则，所以集合不具有性质． 对于集合，因为，，，，，，，，所以集合具有性质． （2）依题意，集合中的元素构成有序数对，共有个． 因为，所以，又当时，， 所以当时，， 因此集合中元素的个数不超过，故． （3）对集合中的元素分两种情况讨论： ①若，则，，可得， 这种情况下，集合中每个元素都能在集合中找到一个对应的元素． ②若，其中，则，，．， 可得，且，， 这种情况下，集合中每对元素都能在集合中找到一对对应的元素，所以． 同理，对集合中的元素也分两种情况讨论： ①若，可得， 这种情况下，集合中每个元素都能在集合中找到一个对应的元素． ②若，其中，可得，且，， 这种情况下，集合中每对元素都能在集合中找到一对对应的元素．所以． 综上可得． 【点睛】关键点点睛：通过或推出，集合中每对元素都能在集合中找到一对对应的元素，同理推出集合中每对元素都能在集合中找到一对对应的元素． 68. 设是正整数，是的非空子集（至少有两个元素），如果对于中的任意两个元素，，都有，则称具有性质． (1)试判断集合是否具有性质？并说明理由； (2)若集合，证明不可能具有性质； (3)若集合具有性质和，中最多有几个元素，并说明理由． 【答案】(1)具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3)至多只有5个，理由见解析 【分析】（1）根据新定义判断是否具有性质即可； （2）利用反证法，假设具有性质，可得集合中最多有3个元素，与集合中含有4个元素矛盾，从而得证； （3）分①5，6，7同时选，②5，6，7选2个，③5，6，7中只选1个，三种情况讨论，分别利用新定义求解即可. 【详解】（1）∵，，，，， ∴具有性质． （2）假设具有性质，那么有1不能有4，有2不能有5，有3不能有6， 那么集合中最多有3个元素，与集合中含有4个元素矛盾， ∴不可能具有性质． （3）．将这11个数分为，，，，，，，7个集合， ①5，6，7同时选，因为具有性质和，所以选5则不选1，9；选6则不选2，10； 选7则不选3，11；则只剩4，8，又不能同时选，故1，2，3．．．，11中属于集合的元素个数不超过5个． ②5，6，7选2个， 若选5，6，则1，2，9，10，7不可选， 又只能选一个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个． 若选5，7，则1，3，9，11，6不可选， 又只能选一个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个． 若选6，7，则2，3，10，11，5不可选， 又只能选一个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个． ③5，6，7中只选1个，又四个集合，，，每个集合至多选1个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个， 由上可知，属于集合的元素至多只有5个 【点睛】方法点睛：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学秋季班同步培优讲义 第1章 集合与逻辑单元复习（基础篇） 考点一 集合的意义与表示方法 题型01：元素与集合的关系 1．（24-25上海宜川中学高一上阶段练习）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2. （25-26上海市金山中学高一上期中）若集合中的元素是的三边长，则一定不是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 3.（25-26上海市实验学校高一上期中）已知集合，若，则实数的值是__________ 4. 已知，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型02：集合中的元素个数 5．已知集合，，，则C中元素的个数为 ． 6.已知集合的元素只有一个，则实数a的值为（    ） A． B．0 C．或0 D．无解 7．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 题型03：集合的表示方法 8．已知区间，则实数a的取值范围为 ．（用区间表示） 9. 已知集合且，请用列举法表示该集合__________. 10. （25-26上海中学高一上期中）集合用列举法表示为________． 11.与集合相等的是（    ） A． B． C． D． 12 （25-26上海市南洋模范中学高一上期中）用描述法表示图中的阴影部分的点（含边界）的坐标组成的集合___________. 13.（2023秋•徐汇区校级月考）直角坐标平面中除去两点、可用集合表示为　　 A．，，， B．或 C．， D．， 考点二 集合与集合间的关系 题型04：判断集合之间的关系 14．（25-26高一上·上海·阶段检测）给出下列关系式，其中正确的是__________（填序号）． ①；②；③；④；⑤． 15．已知集合或，，则集合，的关系为 ． 16．设，，则（   ） A． B． C． D． 17.已知集合，，则（   ） A． B． C． D．S与T的关系不确定 题型05：根据集合之间的关系求参数 18. 已知集合，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 0 19．（25-26高一上·福建福州·期中）已知，若集合，则（    ） A． B．1 C． D．2 20. （25-26上海中学高一上期中）已知集合，，且，则实数的值为___. 21．（多选）设集合，，若，则的值可以为（  ） A．1 B．0 C． D． 22. （25-26上海师大附中高一上期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 23．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合. 若，则实数的取值范围为(     ) A． B． C． D． 题型06：集合的子集个数问题 24. （25-26上海市 育才中学高一上期中）已知集合，则集合的非空真子集的个数为_________. 25. 设集合满足，则满足条件的集合有__________个. 26. （25-26上海市七宝中学高一上期中）已知集合，若有且只有一个非空子集，则实数__________. 27. （25-26上海交通大学附中高一上期中）若集合有2个子集，则实数的值为_______． 考点三 集合的运算 题型07：集合的运算 28. （25-26华东师大二附中高一上期中）已知全集，集合，则_______． 29. （25-26同济大学二附中高一上期中）已知集合，则___________． 30. （25-26上海市杨浦高级中学高一上期中）若，则集合________． 31. （25-26上海中学东校高一上期中）已知集合，，则______． 32．已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 33.（25-26上海市徐汇中学高一上期中）满足条件的集合的个数为________ 题型08：集合交并补混合运算 34.（25-26上海中学高一上期中）设全集为，，，则________． 35. （25-26上海市金山中学高一上期中）已知全集，集合，则＝_____． 36. （25-26上海市 育才中学高一上期中）若，，，则______． 37.（25-26上海市 育才中学高一上期中）已知全集，，，，则_____. 题型09：根据集合运算结果求参数 38．（25-26高一上·江苏镇江·月考）设，，若，则实数a的值不可以是（     ） A．0 B． C． D．3 39．已知集合，若，则实数的取值范围为 . 40.已知集合或，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 41．（24-25高一上·江苏·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 题型10：韦恩图及其应用 42. 设全集为，集合，是的子集，其文氏图如图所示.下列选项中，能够表示该图中阴影部分的集合是（ ） A. B. C. D. 43．已知集合、、是全集的三个真子集，、、的关系如Venn图所示，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 44. （25-26上海市南洋模范中学高一上期中）为解决上下班的交通问题，调查了某地100名职工，其中78人持有交通卡，52人拥有自行车，而持有交通卡又有自行车的有37人，则既无交通卡又无自行车的共有______人. 45．某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 考点四 常用逻辑概念 题型11：根据命题的真假求参数 46. （25-26华东师大三附中高一上期中）若命题“任意，”为假命题，则实数的取值范围为__________. 47. 设有两个命题；①方程没有实数根；②实数为非负数；如果这两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数的取值范围是______． 48. （25-26华东师大三附中高一上期中）设命题方程有两个不相等的正根；命题方程无实根，若与中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围____________. 题型12：充分条件与必要条件的判断 49.（25-26上海中学高一上期中）设为实数，则“”是“”的________条件． 50. （25-26上海市 育才中学高一上期中）若命题为“”，命题为“”，则是的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分又不必要 51. 已知上海市评选市级三好学生时，申报条件之一为：申报者须获得区级三好学生资格.若甲同学是松江区的一名高中生，则“甲是上海市级三好学生”是“甲是松江区级三好学生”的（ ） A. 必要非充分条件 B. 充分非必要条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 52. 王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 题型13：根据充分必要条件求参数 53. 若，，且是的充分条件，则实数的取值范围是__________. 54. （25-26华东师大二附中高一上期中）已知或，或．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_______． 55. （25-26华东师大三附中高一上期中）已知，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为________． 题型14：否命题与命题的否定、反证法 56．命题“如果，那么”的否命题是 . 57.（25-26上海曹杨中学高一上期中）“且”的否定形式为___________ 58．“所有自然数都是整数”的否定为 ． 59.（25-26上海市 位育中学高一上期中）用反证法证明：“已知是整数，若为偶数，则中至少有两个是偶数.”时，应假设：________． 60. 用反证法证明命题：“若，则或”时，应假设____________. 61. （25-26上海市实验学校高一上期中）用反证法证明“若，则或”这个命题时，可以先假设该命题的结论不成立，即________． 题型15：集合的新定义问题 62.在本题中，我们把且叫做集合A与B的差集，记作．设，，则 ． 63．（25-26高一上·安徽安庆·阶段检测）定义集合运算：.若集合，则（    ） A． B． C． D． 64．（25-26高一上·江苏无锡·期中）设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的（与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”.则下列四个命题中为真命题个数为（   ） ①存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集； ②集合是“和谐集”； ③若，都是“和谐集”，则； ④对任意两个不同的“和谐集”，，总有. A．1 B．2 C．3 D．4 65．设为非空实数集满足：对任意给定的（、可以相同），都有，则称为封闭集．关于封闭集有下列结论： ①集合为封闭集；   ②集合为封闭集； ③若集合为封闭集，则为封闭集； ④若集合为封闭集，则一定有； ⑤若集合为封闭集，则为封闭集． 其中正确结论的序号是 ． 66. 已知集合，集合B满足． (1)判断，，，中的哪些元素属于B； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则． 67. 已知数集（，且），若，均有，则称具有性质．规定集合，集合，设集合中的元素个数为，集合中的元素个数为． (1)试判断集合和集合是否具有性质； (2)若具有性质，，证明：； (3)若具有性质，试比较a，b的大小，并说明理由． 68. 设是正整数，是的非空子集（至少有两个元素），如果对于中的任意两个元素，，都有，则称具有性质． (1)试判断集合是否具有性质？并说明理由； (2)若集合，证明不可能具有性质； (3)若集合具有性质和，中最多有几个元素，并说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $