专题05 一元二次方程的解集及根与系数的关系（10大题型+能力训练）同步培优讲义-2025-2026学年高一数学上学期数学沪教版必修第一册

2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题05 等式的性质与方程的解集 一元二次方程的解集及根与系数的关系 知识点一、等式的性质 1、定义：用等号“=”把两个表达式连接起来,所得的式子称为等式 2、性质：（1）传递性 设 、、 均为实数，如果 ，且 ，那么 ． （2）加法性质 设 、、 均为实数，如果 ，那么 ． （3）乘法性质 设 、、 均为实数，如果 ，那么 ． 3、恒等式：数学上，恒等式是无论其变量如何取值，等式永远成立的算式．例如 与 ，对于任一组实数 ，都有 ，所以 与 是恒等的 知识点二、方程的解、方程的解、方程的解集 1、含有未知数的等式称为方程. 使得方程左右两边相等的未知数的值,称为方程的解, 以方程的所有解为元素组成的集合称为方程的解集. 【注意】方程的解一般指能使一个含未知数的等式成立的未知数的值，是一个数.而方程的解集是该等式所有解组成的集合，是一个集合.根本概念是不一样的. 2、含参一元一次方程的解集 一元一次方程是只含有一个未知数、未知数的最高次数为1 且两边都为整式的等式 3、二元一次方程组的解集 由两个二元一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组.二元一次方程组中两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解 通过解方程组得到一组数值，将这组数值分别代入方程组中的每个方程，当这组数值满足其中的所有方程时，该组数值是此方程组的解(其解可能有无数多组解、无解或一组解);否则它就不是此方程组的解 知识点三、一元二次方程的解集 一元二次方程的解习惯上叫做该方程的根.如果一元二次方程的两个根相等,那么这两个根叫做重根 通过判别式∆判定一元二次方程）解的情况； 一般地，称为一元二次方程的判别式； （1）当Δ>0时，方程的解集为； （2）当Δ＝0时，方程的解集为； （3）当Δ<0时，方程的解集为； 知识点四、根与系数的关系 1. 一元二次方程根与系数的关系： 由公式法可知，若一元二次方程的时，一元二次方程有两个不相等的实数根，分别是 与 。由此可求出： ① ；② 。 2. 根与次数的关系的常见变形 ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ 。 ⑥ 。 题型01：等式的性质 【例1】如果a＝b，则下列变形正确的是(　　) A．3a＝3＋b B．－＝－ C．5－a＝5＋b D．a＋b＝0 【例2】已知等式恒成立，则 ． 【跟踪训练】 1．下列变形中正确的是(　　) A．若ac＝bc，那么a＝b B．若＝，那么a＝b C．若|a|＝|b|，那么a＝b D．若a2＝b2，那么a＝b 2.下列命题中正确的是（ ） A.a=b，则 B.，则 C.，则 D.若，且，则 3.下列命题中正确的个数有（ ） ①如果，那么；②如果，那么an=bn；③，则a=b；④若，则a=b. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4．已知等式恒成立，其中a、b、c为常数，则 题型02：含参一元一次方程、二元一次方程组的解集 【例3】设为实数，求关于的方程的解集. 【例4】设是实数，若关于的方程组的解集为，则实数所满足的条件为 . 【跟踪训练】 1.解方程t2x＋1＝x＋t(t为任意实数)． 2.设，求方程的解集（    ） A． B． C． D． 3.设是实数，若关于的方程组的解集为，则实数所满足的条件为 . 题型03：一元二次方程的解集 【例5】一元二次方程x2－x－6＝0的解集为(　　) A．{3，－2} B．{－3,2} C．{1,5} D．{－1，－5} 【跟踪训练】 1.求一元二次方程的解集． 2．已知集合A＝{x|x2＋(m－2)x－2m＝0}，B＝{x|mx＝2x＋1}，若B⊆A，求实数m的值． 题型04：利用根与系数的关系求代数式的值 【例6】 若和分别是一元二次方程的两根，求下列各式的值： （1） ； （2）； （3）. 【例7】已知方程的两个根分别为和，则的值为（   ） A． B． C．2 D．6 【跟踪训练】 1．方程的两根为、，下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 2.已知，是方程的两根，则的值为 ． 3.已知方程的两个根分别为，，求下列代数式的值： (1) (2) 题型05：利用根与系数的关系降次求代数式的值 【例7】已知、是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例8】若一元二次方程的两根为m，n，则 ． 【跟踪训练】 1．设是方程的两个实数根，则 ． 2．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围， (2)当时，设方程的两个实数根分别为，求的值． 3.已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)当取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为和，求代数式的值． 题型06：构造一元二次方程求代数式的值 【例9】已知实数，满足，，则 ． 【例10】若实数，满足，，则代数式的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【跟踪训练】 1．已知两个不等实数，满足，，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 2．已知实数x、y（）满足，，则的值等于 ． 3.阅读材料： 材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，有如下关系：，； 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：，是一元二次方程的两个实数根， ，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，，则 ； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值； (3)提升：已知实数，满足，且，求的值． 题型07：由两根关系求方程字母系数 【例11】已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【跟踪训练】 1.（x2+1）＝3，则m的值为 　　 ． 2.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（k+6）x+3k＝0的两个实数根，且x1﹣x2，则k＝　　 ． 3.已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且（2x1+x2）（x1+2x2）＝3，求m的值． 题型08：一元二次方程根与系数关系多结论问题 【例12】已知一元二次方程和它的两个实数根为，下列说法： ①若a，c异号，则方程一定有实数根； ②若，则方程一定有两异实根； ③若，则方程一定有两实数根； ④若，由根与系数的关系可得 其中正确的结论是：（    ） A． ①③ B．①②③ C．②③④ D 【跟踪训练】 1.已知一元二次方程的两个实数根为，，下列说法：①若a，c异号，则方程一定有实数根；②若，则方程一定有实数根；③若，，，由根与系数的关系可得，其中结论正确的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．对于一元二次方程，下列说法其中正确的是（    ） ①若方程的两个根是和2，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 3．下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（    ） A．若，则 B．方程的解为 C．若有一根为2，则 D．若分式值为零，则，2 4.下列说法：①若一元二次方程有一个根是，则代数式的值是②若，则是一元二次方程的一个根③若，则一元二次方程有不相等的两个实数根④当取整数或时，关于的一元二次方程与的解都是整数．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型09：一元二次方程根与系数关系的应用 【例12】已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是﹣6，则另一个根是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1 【例13】写出一个以﹣2、3为两根的一元二次方程　　 ． 【跟踪训练】 1.已知是一元二次方程x2﹣x+m＝0的一个根，则方程的另外一根为（　　） A． B． C． D． 2．请写出一个根为3，另一个根满足﹣2＜x＜2的一元二次方程　　 ． 3.小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是(    ) A． B． C． D． 4.若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为20，则该菱形两对角线长分别为（   ） A．3与11 B．4与10 C．2与10 D．5与8 题型10：判别式和根与系数的关系综合问题 【例14】关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+3＝0的两个实数根分别为x1，x2． （1）求m的取值范围； 【例15】已知关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0． （1）求证：无论k取何值，方程总有实数根； （2）若斜边为5的直角三角形的两条直角边长分别是方程的两根，求k的值． 【跟踪训练】 1.已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根． （1）求证无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）当k＝2时，请判断△ABC的形状并说明理由； （3）若△ABC是等腰三角形，则k的值为 　　 ． 2.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0 （1）判断方程根的情况； （2）若方程的两根x1、x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝5，求k值； （3）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两根，第三边BC的长为5， ①则k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？ ②k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求出△ABC的周长． 4．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：一元二次方程一定有两个不相等的实数根． (2)若是方程两个不相等的根，且，求k的值？ 5．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，且，求的值． 6．对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“如意数”．例如：，因为，所以169是“如意数”． (1)已知一个“如意数”（、b、，其中a，b，c，为正整数），请直接写出a，b，c，所满足的关系式 ； (2)利用（1）中“如意数”k中的a，b，c，构造两个一元二次方程①与②，若是方程①的一个根，是方程②的一个根，求m与n满足的关系式； (3)在（2）中条件下，且，请直接写出满足条件的 一、填空题 1. （2024-25进才中学高一上期中）若、、、是实数，则下列是真命题的是__________. （填所有真命题的序号） ①如果，且，那么； ②如果，那么或； ③如果，那么； ④如果，那么，其中n是正整数. 2．（2024-25上海实验中学高一上期中）设，若关于x与y的二元一次方程组的解集为空集，则 . 3.（2025·上海嘉定·模拟预测）一元二次方程的两个根分别为，，则 ． 4．（2024-25行知中学高一上期中）已知一元二次方程的两根为，，式子的值是————————— 5．（2023-24上师附中高一上期中）关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为 ． 6．（2024-25控江中学高一上期中）已知方程的两个根为，则= . 7.（2024-25市西中学高一上期中）设，分别是关于的方程的两个实数根，则的值是 ． 8．（2023-24七宝中学高一上期中）设是方程的两个根，且，则 ． 9．（2024-25奉贤中学高一上期中）已知，是方程的两个根，则的值为（    ） 10.（2024-25位育中学高一上期中）非零实数a，b满足，，则的值是 ． 11.（2024复兴高级中学高一上期中）已知、是关于x的方程的两实数根，且，则k的值为 ． 12．（2023秋•黄浦区校级期中）已知关于的方程有两个实数根、，则的取值范围是 　　． 二、选择题 13．（2024-25黄浦区高一上期中）下列式子中变形错误的是（    ） A．，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 14．（2024-25曹杨第二中学高一上期中）已知一元二次方程的两个实数根为，，若，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 15．（2024-25格致中学高一上期中）关于x的方程的两个根，满足，且，则m的值为（  ） A． B．1 C．3 D．9 16．（2024-25华二宝山高一上期中）对于一元二次方程，下列说法错误的是(       ) A．若，则方程必有一根为； B．若是一元二次方程的根，则 C．若方程两根为，且满足，则方程，必有实根 D．若方程有两个不相等的实根，则方程无实根； 三、解答题 17.（2023-24复旦附中高一上期中） 已知是整数，，证明：也能写成两个整数的平方和形式. 18.（2024上海高一阶段练习）若x1，x2是方程x2＋2x－2 007＝0的两个根，试求下列各式的值： （1）x＋x；（2）＋；（3）（4）(x1－5)(x2－5)；（5）|x1－x2|. 19. （2024-25延安中学高一上期中）已知关于的方程：. （1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实根； （2） 若这个方程的两个实根满足，求m的值及相应的、. 20.（2024-25金山中学高一上期中）已知，是一元二次方程的两个实数根. (1)求的值；（用表示） (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请你说明理由； (3)求使的值为整数的实数的整数值. 21．（2024-25建平中学高一上期中）阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ∴，，则 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则___________； (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题05 等式的性质与方程的解集 一元二次方程的解集及根与系数的关系 知识点一、等式的性质 1、定义：用等号“=”把两个表达式连接起来,所得的式子称为等式 2、性质：（1）传递性 设 、、 均为实数，如果 ，且 ，那么 ． （2）加法性质 设 、、 均为实数，如果 ，那么 ． （3）乘法性质 设 、、 均为实数，如果 ，那么 ． 3、恒等式：数学上，恒等式是无论其变量如何取值，等式永远成立的算式．例如 与 ，对于任一组实数 ，都有 ，所以 与 是恒等的 知识点二、方程的解、方程的解、方程的解集 1、含有未知数的等式称为方程. 使得方程左右两边相等的未知数的值,称为方程的解, 以方程的所有解为元素组成的集合称为方程的解集. 【注意】方程的解一般指能使一个含未知数的等式成立的未知数的值，是一个数.而方程的解集是该等式所有解组成的集合，是一个集合.根本概念是不一样的. 2、含参一元一次方程的解集 一元一次方程是只含有一个未知数、未知数的最高次数为1 且两边都为整式的等式 3、二元一次方程组的解集 由两个二元一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组.二元一次方程组中两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解 通过解方程组得到一组数值，将这组数值分别代入方程组中的每个方程，当这组数值满足其中的所有方程时，该组数值是此方程组的解(其解可能有无数多组解、无解或一组解);否则它就不是此方程组的解 知识点三、一元二次方程的解集 一元二次方程的解习惯上叫做该方程的根.如果一元二次方程的两个根相等,那么这两个根叫做重根 通过判别式∆判定一元二次方程）解的情况； 一般地，称为一元二次方程的判别式； （1）当Δ>0时，方程的解集为； （2）当Δ＝0时，方程的解集为； （3）当Δ<0时，方程的解集为； 知识点四、根与系数的关系 1. 一元二次方程根与系数的关系： 由公式法可知，若一元二次方程的时，一元二次方程有两个不相等的实数根，分别是 与 。由此可求出： ① ；② 。 2. 根与次数的关系的常见变形 ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ 。 ⑥ 。 题型01：等式的性质 【例1】如果a＝b，则下列变形正确的是(　　) A．3a＝3＋b B．－＝－ C．5－a＝5＋b D．a＋b＝0 答案　B 解析　根据等式的性质可得等式两边同乘以一个数，等式仍然成立． 【例2】已知等式恒成立，则 ． 【答案】5 【分析】由题意列出方程组，即可得答案． 【详解】因为恒成立， 即恒成立， 所以， 所以． 故答案为：5 【跟踪训练】 1．下列变形中正确的是(　　) A．若ac＝bc，那么a＝b B．若＝，那么a＝b C．若|a|＝|b|，那么a＝b D．若a2＝b2，那么a＝b 答案　B 解析　A中，若c＝0，则不能得到a＝b；C中，若|a|＝|b|，则a＝±b；D中，若a2＝b2，则a＝±b；B显然成立．故选B. 2.下列命题中正确的是（ ） A.a=b，则 B.，则 C.，则 D.若，且，则 3.下列命题中正确的个数有（ ） ①如果，那么；②如果，那么an=bn；③，则a=b；④若，则a=b. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4．已知等式恒成立，其中a、b、c为常数，则 【答案】 【分析】结合已知等式进行变形，然后结合等式恒成立，对应项系数相等可建立关于，，的方程，从而可求． 【详解】因为恒成立， 即恒成立， 所以， 解得，，，， 所以． 故答案为：． 题型02：含参一元一次方程、二元一次方程组的解集 【例3】设为实数，求关于的方程的解集. 【答案】答案见解析 【分析】方程可化为，讨论与即可求解. 【详解】解：方程可化为， 时，， 若，则方程为，显然不成立，方程无解； 若，则方程为，方程的解为； 若时，解方程得. 综上，时，方程的解集为； 【例4】设是实数，若关于的方程组的解集为，则实数所满足的条件为 . 【答案】且 【分析】由题意方程组消元后所得方程无解即可. 【详解】因为方程组的解集为， 所以消元后无解， 所以且， 解得且. 故答案为：且 【跟踪训练】 1.解方程t2x＋1＝x＋t(t为任意实数)． 解　原方程变形为(t2－1)x＝t－1. ①当t≠±1时，x＝，因此方程的解集为； ②当t＝－1时，方程无解； ③当t＝1时，方程的解集为R. 2.设，求方程的解集（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绝对值的定义去掉绝对值，分类讨论，求解即可． 【详解】当时，方程为，解得； 当时，方程为，解得，舍去； 当时，方程为，解得，舍去； 当时，方程为，解得 综上，方程的解集为 故选：D 3.设是实数，若关于的方程组的解集为，则实数所满足的条件为 . 【答案】且 【分析】由题意方程组消元后所得方程无解即可. 【详解】因为方程组的解集为， 所以消元后无解， 所以且， 解得且. 故答案为：且 题型03：一元二次方程的解集 【例5】一元二次方程x2－x－6＝0的解集为(　　) A．{3，－2} B．{－3,2} C．{1,5} D．{－1，－5} 答案 A 【跟踪训练】 1.求一元二次方程的解集． 【答案】 【分析】直接用因式分解法解方程即可. 【详解】原方程因式分解为． 又因为，所以解集为． 2．已知集合A＝{x|x2＋(m－2)x－2m＝0}，B＝{x|mx＝2x＋1}，若B⊆A，求实数m的值． 解　当m≠2时，B＝；当m＝2时，B＝∅. 又A＝{x|(x－2)(x＋m)＝0}，当m≠－2时，A＝{2，－m}；当m＝－2时，A＝{2}． 又因为B⊆A，所以当m＝2时，B＝∅⊆A，满足条件；当m≠2时，由B⊆A得＝2或＝－m，解得m＝或m＝1. 综上，实数m的值为1,2，. 题型04：利用根与系数的关系求代数式的值 【例6】 若和分别是一元二次方程的两根，求下列各式的值： （1） ； （2）； （3）. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】由韦达定理，得， （1） （2） （3） 【例7】已知方程的两个根分别为和，则的值为（   ） A． B． C．2 D．6 【答案】C 【分析】本题考查根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．根据根与系数的关系得到，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴． 故选：C． 【跟踪训练】 1．方程的两根为、，下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，．根据根与系数的关系直接求解即可． 【详解】解：∵方程的两根为、， ∴，， 故选：A． 2.已知，是方程的两根，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．据此求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， ∴ ， 故答案为：6． 3.已知方程的两个根分别为，，求下列代数式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，能熟记根与系数的关系的是解此题的关键． （1）由根与系数的关系可知，，．把变形成，代入，即可求解； （2）把变形成代入，即可求解． 【详解】（1）解：由根与系数的关系可知， ，． ； （2）解： ． 题型05：利用根与系数的关系降次求代数式的值 【例7】已知、是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题题考查了一元二次方程根与系数的关系，单项式乘以多项式，由、是方程的两个实数根，则，，然后将原始变形并结合一元二次方程根与系数的关系分析计算即可，理解方程的解的概念，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 故选：． 【例8】若一元二次方程的两根为m，n，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根与系数关系、代数式求值，先将一元二次方程的解代入方程中得，再根据一元二次方程根与系数关系得到，，然后变形所求代数式，进而代值求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为m，n， ∴，，，即， ∴ ， 故答案为：． 【跟踪训练】 1．设是方程的两个实数根，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系：先把代入整理得出，结合，再把代入计算，即可作答． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴， 则 ∴ 故答案为：4 2．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围， (2)当时，设方程的两个实数根分别为，求的值． 【答案】(1) (2)13 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． （1）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）时，方程变为，利用根与系数的关系得到，，再将变形代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得； （2）解：时，方程变为， 设方程的两个实数根分别为，， ，， ． 3.已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)当取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为和，求代数式的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式以及根与系数的关系， （1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求得两个不等式的公共部分即可； （2）确定，方程变为，利用根与系数的关系得到，，利用一元二次方程的定义得到，，则，，然后利用整体代入法计算的值； 解题的关键是掌握：①一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，；②式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且， ∴的取值范围是且； （2）∵取满足（1）中条件的最小整数， ∴， 此时方程变为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴ ， ∴代数式的值为． 题型06：构造一元二次方程求代数式的值 【例9】已知实数，满足，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，分式的化简求值等知识．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，分式的化简求值是解题的关键． 由题意知，，，则是的两个根，即，根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴是的两个根， ∴， ∴， 故答案为：． 【例10】若实数，满足，，则代数式的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式化简求值，分和两种情况分析，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：当时，实数，满足，， ∴可把，看成是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 当时， ∴， 综上可知：代数式的值为或， 故选：． 【跟踪训练】 1．已知两个不等实数，满足，，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，根据题意得、为方程的两个根，得到，，将转化为，然后代入计算即可．解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，． 【详解】解：∵两个不等实数，满足，， ∴、为方程的两个根， ∴，， ∴， ∴的值为． 故选：A． 2．已知实数x、y（）满足，，则的值等于 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系的应用，观察题目中条件中的两个方程和目标式，通过对条件方程的灵活变形，创造条件使用根与系数的关系是解题的关键． 把方程变形为，可知x，是一元二次方程的两个不同的根，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】， ， ， ， ， ， x，是一元二次方程的两个不同的根， ， ， 故答案为：24． 3.阅读材料： 材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，有如下关系：，； 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：，是一元二次方程的两个实数根， ，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，，则 ； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值； (3)提升：已知实数，满足，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的变形计算、分式的混合运算等知识，掌握一元二次方程的两个实数根，和系数，，有如下关系为“，”是解题的关键； （1）利用根与系数的关系，即可得出的值； （2）利用根与系数的关系，可得出，，将其代入中，即可求解； （3）由实数、满足，，且，可得出，是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系，可得出，，进而求得的值，再将其代入中，即可求解； 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为，， ， 故答案为：； （2）解：一元二次方程的两根分别为，， ，， ； （3）解：实数，满足，，且， ，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， 即或 当时， ； 当时， ； 题型07：由两根关系求方程字母系数 【例11】已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握，，根据方程，先求出，，根据，得到，求出，再根据一元二次方程根的判别式，确定的值，即可． 【详解】解：∵关于的方程的两实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∵方程有两实数根， ∴， 解得：， ∴（舍去）， ∴． 故选：A． 【跟踪训练】 1.（x2+1）＝3，则m的值为 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】先根据根的判别式的意义得到m，再根据根与系数的关系得到x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝m2，接着利用（x1+1）（x2+1）＝3得到x1x2+（x1+x2）+1＝3，所以m2+2m﹣1+1＝3，然后解关于m的方程，从而得到满足条件的m的值． 【详解】根据题意得Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4m2≥0， 解得m， ∵方程的两实数根为x1，x2， ∴x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝m2， ∵（x1+1）（x2+1）＝3， ∴x1x2+（x1+x2）+1＝3， 即m2+2m﹣1+1＝3， 整理得m2+2m﹣3＝0， 解得m1＝﹣3，m2＝1， ∵m， ∴m＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式． 2.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（k+6）x+3k＝0的两个实数根，且x1﹣x2，则k＝　　 ． 【答案】±2． 【分析】两根之和等于，两根之积等于，据此即可求解． 【详解】∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣（k+6）x+3k＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝k+6，x1x2＝3k， ∵x1﹣x2＝2， ∴40， ∴， ∴（k+6）2﹣12k＝40， 解得k＝±2． 故答案为：±2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），解题关键是牢记两根之和等于，两根之积等于，据此即可求解． 3.已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且（2x1+x2）（x1+2x2）＝3，求m的值． 【答案】（1）； （2）m． 【分析】（1）由方程有两个实数根，结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝1﹣2m、，将（2x1+x2）（x1+2x2）＝3变形为，然后代入即可得出关于m的一元二次方程，解方程求得出m的值，结合（1）的结论即可得出m的值． 【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根， ∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4×1×m2≥0， 即﹣4m+1≥0， 解得：m， ∴m的取值范围为m； （2）∵x1，x2是一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝1﹣2m，x1•x2＝m2， ∵（2x1+x2）（x1+2x2）＝3， ∴， ∴， ∴2（1﹣2m）2+m2＝3， 整理得：9m2﹣8m﹣1＝0， 解得：m1，m2＝1， 又∵， ∴m． 【点睛】本题考查了跟与系数的关系以及根的判别式，根据方程解的情况结合根的判别式找出关于m的不等式或方程是解题的关键． 题型08：一元二次方程根与系数关系多结论问题 【例12】已知一元二次方程和它的两个实数根为，下列说法： ①若a，c异号，则方程一定有实数根； ②若，则方程一定有两异实根； ③若，则方程一定有两实数根； ④若，由根与系数的关系可得 其中正确的结论是：（    ） A．①③ B．①②③ C．②③④ D．②③ 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是先通过根的判别式判断一元二次方程根的情况，若，，是一元二次方程的两根时，，．当a、c异号时，，则根据判别式的意义可对①进行判断；当时，，可判断方程一定有两异实数根，则可对②进行判断；当时，则，则根据判别式的意义可对③进行判断；若，计算出，根据根与系数的关系，对④进行判断． 【详解】解：∵， ∴当a、c异号时，， ∴， ∴此时方程一定有实数根，故①正确； 当，若a、c异号时，则，此时方程一定有两个不相等的实数根，若a、c同号或c为0时，则，此时方程一定有两个不相等的实根，故②正确； 若时，，则方程一定有两实数根，故③正确； 若， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴，故④错误． 综上分析可知：正确的有①②③． 故选：B． 【跟踪训练】 1.已知一元二次方程的两个实数根为，，下列说法：①若a，c异号，则方程一定有实数根；②若，则方程一定有实数根；③若，，，由根与系数的关系可得，其中结论正确的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】当a、c异号时，，则根据根的判别式的意义可对①进行判断；当时，则，则根据根的判别式的意义可对③进行判断；若，，，计算出，则可对④进行判断． 【详解】解：， 当a、c异号时，，所以，所以此时方程一定有实数根，所以①正确； 若时，，则方程一定有两实数根，所以②正确； 若，，，，所以方程没有实数根，所以③错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． 2．对于一元二次方程，下列说法其中正确的是（    ） ①若方程的两个根是和2，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的根、根与系数关系等知识，根据一元二次方程根的定义和根与系数关系分别进行计算即可得到答案． 【详解】解：若方程的两个根是和2，则， ∴， ∴； 故①正确； 若是方程的一个根，则， ∴或， 故②错误； 若，则， 即有一个根是； 故③正确； 若方程有一个根是，则， 当时，， 即若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 故④正确； 综上可知，正确的是①③④， 故选：C 3．下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（    ） A．若，则 B．方程的解为 C．若有一根为2，则 D．若分式值为零，则，2 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根与系数的关系，分式值为0的条件，解一元二次方程即可判断A、B；根据根与系数的关系得到另一根为，则，即可判断C；根据分式值为0的条件是分子为0，分母不为0即可判断D． 【详解】解：A、若，则，解答错误，不符合题意； B、方程的解为或，解答错误，不符合题意； C、若有一根为2，则另一根为，则，解答正确，符合题意； D、若分式值为零，则，解得，解答错误，不符合题意； 故选：C． 4.下列说法：①若一元二次方程有一个根是，则代数式的值是②若，则是一元二次方程的一个根③若，则一元二次方程有不相等的两个实数根④当取整数或时，关于的一元二次方程与的解都是整数．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①将根代入一元二次方程即可求解；②若，则，由此可判断；③代入判别式，即可求解；④关于的一元二次方程与，则，解都是整数，则，由此判断，而是整数，由此即可求解． 【详解】解：①若一元二次方程有一个根是，则， ∴，则代数式，故此选项正确； ②若，则是一元二次方程的一个根，故此选项错误； ③若，那么， 当，时，；当，时，；当时，， ∴Δ＞0，故此选项正确； ④∵关于的一元二次方程与有解，则， ∴，在中，，即； 在中，，则，； ∴，而是整数， ∴，（舍去），， 当时，方程，则，方程的解是；方程，则，方程的解是，； 当时，方程，则，不是一元二次方程，故舍去； 当时，方程，则，方程的解是，，不符合题意．故，故此选项错误； 综上所述，正确的有2个， 故选：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别，根与系数的关系，理解和掌握一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式是解题的关键． 题型09：一元二次方程根与系数关系的应用 【例12】已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是﹣6，则另一个根是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1 【答案】D 【分析】设方程的另一个为根为t，则利用根与系数的关系得到﹣6+t＝﹣5，然后解一次方程即可． 【详解】设方程的另一个为根为t， 根据根与系数的关系得到﹣6+t＝﹣5， 解得t＝1， 即方程的另一个根为1． 故选：D． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 【例13】写出一个以﹣2、3为两根的一元二次方程　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据根与系数的关系：两根之和，两根之积，首先写出两根之和，再写出两根之积，可直接得到方程． 【详解】∵﹣2+3＝1，﹣2×3＝﹣6， ∴方程为：x2﹣x﹣6＝0， 故答案为：x2﹣x﹣6＝0． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与方程的系数相结合解题是一种经常使用的解题方法． 【跟踪训练】 1.已知是一元二次方程x2﹣x+m＝0的一个根，则方程的另外一根为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，把已知解代入求出另一根即可． 【详解】∵是一元二次方程x2﹣x+m＝0的一个根，另一根设为a， ∴a1， 解得：a＝1，即a． 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 2．请写出一个根为3，另一个根满足﹣2＜x＜2的一元二次方程　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】由于方程另一个根满足﹣2＜x＜2，设另一个根为1，根据根与系数的关系计算出3+1＝4，3×1＝3，然后写出以3和1为两根的一元二次方程为x2﹣4x+3＝0． 【详解】∵一个根为3，方程另一个根满足﹣2＜x＜2，设另一个根为1， ∴3+1＝4，3×1＝3， ∴以3和1为两根的一元二次方程为x2﹣4x+3＝0． 故答案为：x2﹣4x+3＝0． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2，x1•x2． 3.小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是和； ∴， 又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和． ∴ A. 中，，，故该选项不符合题意； B. 中，，，故该选项符合题意； C. 中，，，故该选项不符合题意； D. 中，，，故该选项不符合题意； 故选：B． 4.若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为20，则该菱形两对角线长分别为（   ） A．3与11 B．4与10 C．2与10 D．5与8 【答案】C 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质．设菱形的两条对角线长分别为a、b，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长． 【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为，即的两根为， 由题意得：， ∵菱形面积为20， ∴，解得：， ∴一元二次方程为， 整理得， 解得， ∴该菱形两对角线长分别为4与10， 故选：C． 题型10：判别式和根与系数的关系综合问题 【例14】关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+3＝0的两个实数根分别为x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）若（x1﹣x2）2＝|x1|+|x2|，求m的值． 【答案】（1）m≥1； （2）． 【分析】（1）根据根的判别式的意义得到Δ＝4（m+1）2﹣4（m2+3）≥0，然后解不等式即可； （2）先利用根与系数的关系得x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+3，再利用m＞1得到x1+x2＞0，x1x2＞0，从而得到x1＞0，x2＞0，则去绝对值和利用完全平方公式变形得到（x1+x2）2﹣4x1x2＝x1+x2，所以4（m+1）2﹣4（m2+3）＝2（m+1），然后解关于m的方程得到满足条件的m的值． 【详解】（1）根据题意得Δ＝4（m+1）2﹣4（m2+3）≥0， 解得m≥1， 即m的取值范围为m≥1； （2）根据根与系数的关系得x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+3， ∵m≥1， ∴x1+x2＝2（m+1）＞0，x1x2＝m2+3＞0， ∴x1＞0，x2＞0， ∵（x1﹣x2）2＝|x1|+|x2|， ∴（x1﹣x2）2＝x1+x2， ∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝x1+x2， 即4（m+1）2﹣4（m2+3）＝2（m+1）， 解得m， ∵m≥1， ∴m的值为． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2，x1x2．也考查了绝对值和根的判别式． 【例15】已知关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0． （1）求证：无论k取何值，方程总有实数根； （2）若斜边为5的直角三角形的两条直角边长分别是方程的两根，求k的值． 【答案】（1）见解析； （2）k＝4． 【分析】（1）对于一元二次方程根的情况需判断Δ的值，可得结论； （2）设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，利用根与系数的关系可以得到a+b，ab的值，利用勾股定理化简代入求k的值． 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×3k＝k2﹣6k+9＝（k﹣3）2≥0 ∴无论k取何值，方程总有实数根； （2）解：设直角三角形的两条直角边长分别为a，b， 则a+b＝k+3＞0，ab＝3k＞0， ∴k＞0， 又a2+b2＝25，（a+b）2﹣2ab＝25， ∴（k+3）2﹣2×3k＝25， 解得：k＝±4， ∵k＞0， ∴k＝﹣4应舍去， ∴k＝4． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，注意直角三角形边长为正值是解题的关键． 【跟踪训练】 1.已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根． （1）求证无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）当k＝2时，请判断△ABC的形状并说明理由； （3）若△ABC是等腰三角形，则k的值为 　　 ． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）△ABC为直角三角形； （3）3或4． 【分析】（1）表示出根的判别式，求出值大于0，可得出方程总有两个不相等的实数根； （2）把k＝2代入方程求出解，得到三角形三边，利用勾股定理的逆定理判断即可； （3）由△ABC为等腰三角形，得到x＝5为方程的解，把x＝5代入方程计算即可求出k的值． 【详解】（1）∵Δ＝[﹣（2k+3）]2﹣4×1×（k2+3k+2） ＝4k2+12k+9﹣4k2﹣12k﹣8 ＝1＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）当k＝2时，方程化为：x2﹣7x+12＝0， 解得：x＝3或x＝4， ∵32+42＝52， ∴△ABC为直角三角形； （3）∵△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个不相等实数根， 且△ABC为等腰三角形， ∴x＝5是方程的解，即25﹣5（2k+3）+k2+3k+2＝0， 整理得：k2﹣7k+12＝0， 解得：k＝3或k＝4． 【点睛】此题考查了根与系数的关系，根的判别式，等腰三角形的性质，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 2.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0 （1）判断方程根的情况； （2）若方程的两根x1、x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝5，求k值； （3）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两根，第三边BC的长为5， ①则k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？ ②k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求出△ABC的周长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出Δ＝1＞0，由此即可得出方程有两个不相等的实数根； （2）根据根与系数的关系进行解答； （3）利用分解因式法可求出x1＝k+1，x2＝k+2．①不妨设AB＝k+1，AC＝k+2，根据BC＝5利用勾股定理即可得出关于k的一元二次方程，解方程即可得出k的值；②根据（1）结论可得出AB≠AC，由此可找出△ABC是等腰三角形分两种情况，分AB＝BC、AC＝BC两种情况考虑，根据两边相等找出关于k的一元一次方程，解方程求出k值，进而可得出三角形的三边长，再根据三角形的周长公式即可得出结论 【详解】（1）∵在方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2k+3）]2﹣4（k2+3k+2）＝1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）∵x1+x2＝2k+3，x1•x2＝k2+3k+2， ∴由（x1﹣1）（x2﹣1）＝5，得 x1•x2﹣（x1+x2）+1＝5，即k2+3k+2﹣2k﹣3+1＝5， 整理，得 k2+k﹣5＝0， 解得k； （3）∵x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝（x﹣k﹣1）（x﹣k﹣2）＝0， ∴x1＝k+1，x2＝k+2． ①不妨设AB＝k+1，AC＝k+2， ∴斜边BC＝5时，有AB2+AC2＝BC2，即（k+1）2+（k+2）2＝25， 解得：k1＝2，k2＝﹣5（舍去）． ∴当k＝2时，△ABC是直角三角形 ②∵AB＝k+1，AC＝k+2，BC＝5，由（1）知AB≠AC， 故有两种情况： （Ⅰ）当AC＝BC＝5时，k+2＝5， ∴k＝3，AB＝3+1＝4， ∵4、5、5满足任意两边之和大于第三边， ∴此时△ABC的周长为4+5+5＝14； （Ⅱ）当AB＝BC＝5时，k+1＝5， ∴k＝4，AC＝k+2＝6， ∵6、5、5满足任意两边之和大于第三边， ∴此时△ABC的周长为6+5+5＝16． 综上可知：当k＝3时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为14；当k＝4时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为16． 【点睛】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及等腰三角形的判定，熟练掌握“当根的判别式Δ＞0时，方程有两个不等实数根．”是解题的关键． 4．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：一元二次方程一定有两个不相等的实数根． (2)若是方程两个不相等的根，且，求k的值？ 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）计算出判别式，再配方即可判断； （2）利用根与系数关系得，把配方为，便于利用根与系数的关系，解一元二次方程即可． 【详解】（1）证明：由题意得：关于 x 的一元二次方程， ， 故该方程一定有两个不相等的实数根． （2）解：由题意得：， ， ∴， 即， 解得， 综上或． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，配方法的应用，正确运用配方法是解题的关键． 5．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)的值为1 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则． （1）计算根的判别式的值得到，则，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）先利用根与系数的关系得，由于，所以，然后解关于的方程即可． 【详解】（1）证明： ， 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：根据根与系数的关系得， ， ， 解得， 即的值为1． 5．对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“如意数”．例如：，因为，所以169是“如意数”． (1)已知一个“如意数”（、b、，其中a，b，c，为正整数），请直接写出a，b，c，所满足的关系式 ； (2)利用（1）中“如意数”k中的a，b，c，构造两个一元二次方程①与②，若是方程①的一个根，是方程②的一个根，求m与n满足的关系式； (3)在（2）中条件下，且，请直接写出满足条件的所有k的值． 【答案】(1) (2) (3)121，242，363，484 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清“如意数”的定义． （1）根据如意数的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可； （3）求出m、n互为倒数，又得出，，求出，，结合如意数的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：∵是如意数， ，即； 故答案为：； （2）解：是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根， ，， 将两边同除以得：， 将m、看成是方程的两个根， ， 方程有两个相等的实数根， ，即； 故答案为： （3）解：，， ，， ， ， ， ， 解得：， 满足条件的所有k的值为121，242，363，484． 一、填空题 1. （2024-25进才中学高一上期中）若、、、是实数，则下列是真命题的是__________. （填所有真命题的序号） ①如果，且，那么； ②如果，那么或； ③如果，那么； ④如果，那么，其中n是正整数. 【答案】① 2．（2024-25上海实验中学高一上期中）设，若关于x与y的二元一次方程组的解集为空集，则 . 【答案】3 【分析】两式相减，得到，进而分，两种情况讨论求解即可得答案. 【详解】两式相减，得到， 当时，方程无解，从而原方程组无解，其解集为空集． 当时，方程的解为，解不是空集. 综上， ． 故答案为：. 3.（2025·上海嘉定·模拟预测）一元二次方程的两个根分别为，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得答案． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别为，， ∴， 故答案为：． 4．（2024-25行知中学高一上期中）已知一元二次方程的两根为，，式子的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，解题关键是明确，； 求出，再整体代入计算即可． 【详解】解：一元二次方程的两根为，， 则，， ， 故选：D． 5．（2023-24上师附中高一上期中）关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键； 根据韦达定理得，进而求解即可； 【详解】解：设、是关于的一元二次方程的两个根， 由韦达定理，得，即， 解得． 故另一个根为； 6．（2024-25控江中学高一上期中）已知方程的两个根为，则= . 【答案】3 【分析】将所求式子适当变形结合韦达定理即可求解. 【详解】由题意结合韦达定理有，所以. 故答案为：3. 7.（2024-25市西中学高一上期中）设，分别是关于的方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，分别是关于的方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 8．（2023-24七宝中学高一上期中）设是方程的两个根，且，则 ． 【答案】6 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系，先求出，再代入即可求出答案． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， ∵ ∴ 解得 故答案为：6 9．（2024-25奉贤中学高一上期中）已知，是方程的两个根，则的值为（    ） A． B． C．2024 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键． 根据一元二次方程的解得出，根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， 即， ∴ ， 故选：A． 10.（2024-25位育中学高一上期中）非零实数a，b满足，，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，分两种情况：当时，实数a，b是方程的两个不同的根；当时，实数a，b是方程的两个相同的根，分别计算即可得解． 【详解】解：∵非零实数a，b满足，， ∴当时，实数a，b是方程的两个不同的根，由根与系数的关系可得，，此时； 当时，实数a，b是方程的两个相同的根，此时； 综上所述，的值是或， 故答案为：或． 11.（2024复兴高级中学高一上期中）已知、是关于x的方程的两实数根，且，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数、通过对完全平方公式变形求值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到和的值，再通过对完全平方公式变形代入求值，最后根据根的情况利用判别式确定值即可． 【详解】解：∵、是关于x的方程的两实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴ 整理得， ∴， ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 12．（2023秋•黄浦区校级期中）已知关于的方程有两个实数根、，则的取值范围是 　　． 【分析】先由△求出的取值范围，再利用韦达定理求解即可； 【解答】解：（1）关于的方程有两个实数根，， △， 解得， 又，， ， ， 函数在，上单调递减， ， 的取值范围是，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查了韦达定理的应用，属于中档题． 二、选择题 13．（2024-25黄浦区高一上期中）下列式子中变形错误的是（    ） A．，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据等式的性质，逐项验证即可. 【详解】对于选项，两边同时减，得到，故正确； 对于选项，没有说明，故不正确； 对于选项，在等式两边同时乘以，得到，故正确； 对于选项，在等式两边同时乘以5得到，故正确； 故选：. 14．（2024-25曹杨第二中学高一上期中）已知一元二次方程的两个实数根为，，若，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，整体代入等式中，求出实数的值即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 15．（2024-25格致中学高一上期中）关于x的方程的两个根，满足，且，则m的值为（  ） A． B．1 C．3 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，根据根与系数的关系得到，，进而根据已知条件式推出，，则可得方程，解方程后根据验证结果即可． 【详解】解：∵，是关于x的方程的两个根， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵ ∴， ∴， ∴， 故选：C． 16．（2024-25华二宝山高一上期中）对于一元二次方程，下列说法错误的是(       ) A．若，则方程必有一根为； B．若是一元二次方程的根，则 C．若方程两根为，且满足，则方程，必有实根 D．若方程有两个不相等的实根，则方程无实根； 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、等式的性质以及一元二次方程的解，由，可得出方程必有一根为，即可判断A；利用求根公式得出，变形即可判断B；由一元二次方程根与系数的关系可得，，变形即可判断C；根据一元二次方程根的判别式即可判断D；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， 当时，， 若，方程必有一根为，故A说法正确，不符合题意； 是一元二次方程的根， ， ， ，故B说法正确，不符合题意； 方程两根为，且满足， ，， ，， 方程，必有实根，故C说法正确，不符合题意； 方程有两个不相等的实根， ， ， 方程有两个不相等的实根，故D说法错误，符合题意； 故选：D． 三、解答题 17.（2023-24复旦附中高一上期中） 已知是整数，，证明：也能写成两个整数的平方和形式. 【解析】证明： 18.（2024上海高一阶段练习）若x1，x2是方程x2＋2x－2 007＝0的两个根，试求下列各式的值： （1）x＋x；（2）＋；（3）（4）(x1－5)(x2－5)；（5）|x1－x2|. 【解析】x1＋x2＝－2，x1x2＝－2 007， （1）x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－2)2－2×(－2 007)＝4 018. （2）＋＝＝＝. （3）(x1－5)(x2－5)＝x1x2－5(x1＋x2)＋25＝－2 007－5×(－2)＋25＝－1 972. （4）|x1－x2|＝＝＝＝＝4. 19. （2024-25延安中学高一上期中）已知关于的方程：. （1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实根； （2） 若这个方程的两个实根满足，求m的值及相应的、. 【答案】（1）；（2）①；② 【提示】（2），①；② 20.（2024-25金山中学高一上期中）已知，是一元二次方程的两个实数根. (1)求的值；（用表示） (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请你说明理由； (3)求使的值为整数的实数的整数值. 【答案】(1) (2)不存在，理由见详解 (3) 【分析】（1）通分后，利用韦达定理代入可得； （2）利用韦达定理代入后解方程可得k，然后可判断； （3）利用韦达定理化简，然后根据k和分式都为整数值验证可得. 【详解】（1）因为一元二次方程， 所以，解得 由韦达定理可得 当时，，无意义； 当时， 综上，的值为 （2）由韦达定理可知 ， 令，整理得，， 由（1）可知， 所以不存在实数，使成立. （3） 因为为整数，所以必为整数，所以，即 又，所以， 因为为整数，所以，经检验时，为整数， 所以使的值为整数的实数的整数值为. 21．（2024-25建平中学高一上期中）阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ∴，，则 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则___________； (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，以及利用根与系数关系求代数式的值，根据代数式的结构特征恒等变形为已知代数式的形式是解决问题的关键． （1）根据材料1中，一元二次方程根与系数关系即可得到，，然后代入求解即可得到答案； （2）根据材料1及材料2，由一元二次方程根与系数关系，得到，，将化为，将，代入求值即可得到答案； （3）根据题意，确定与看作是方程的两个实数根，由一元二次方程根与系数关系，得到，，先求出的值，再由变形得到，将，代入求值即可得到答案． 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为， ，， ∴， 故答案为：； （2）解：一元二次方程的两根分别为、， ，， ， ， ， ， ； （3）解：实数、满足，， 与看作是方程的两个实数根， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $