微专题 对集合概念的理解讲义--【沪教版】2026-2027学年高一上学期高中数学教材解读与拓展 （2026版）

该高中数学讲义通过知识框架系统梳理集合概念，涵盖集合与元素定义、关系、空集、元素三大特性（确定性、互异性、无序性）及分类，清晰呈现重难点分布与内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层例题设计，如例9利用集合互异性判断三角形类型，培养推理意识与抽象能力。方法指导总结元素关系判断等技巧，基础生掌握规范步骤，优秀生深化逻辑分析，助力教师实施精准教学。

【原卷版】 微专题 对集合概念的理解 概括地说，把一些确定的对象的全体叫做集合（set），简称集；集合概念是逻辑学与数学中的基础概念，指以事物群体为反映对象的概念，它把同类个体当作一个统一整体看待，侧重整体属性，而非单个个体。集合体的性质不一定为组成它的每个个体所具备，这是其核心特征。它与非集合概念相对，区分关键在于语境：同一词语在不同语句中，可分别表达集合概念或非集合概念。掌握集合概念，能准确辨析语义、避免逻辑混淆，是逻辑判断与数学学习的重要基础。 1、集合与元素的定义 （1）集合：把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集)； （2）元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素； （3）表示：通常用英文大写字母A，B，C，…表示集合，用英文小写字母a，b，c，…表示集合中的元素； 2、素与集合的关系 （1）“属于”：如果a是集合A的元素，就记作a∈A，读作“a属于A”； （2） “不属于”：如果a不是集合A的元素，就记作a∉A，读作“a不属于A”． 3、空集 一般地，我们把不含任何元素的集合称为空集，记作； 4、集合中元素的三个特性 （1）确定性；（2）互异性；（3）无序性； 5、集合的分类 （1）有限集；（2）无限集． 6、特别提醒 集合的元素是确定的，任意一个元素要么是一个给定集合的元素，要么不是，两种关系有且只有一种成立；解题时，应注意检查集合的元素是否满足互异性； 例1、集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为 【提示】 【答案】 【解析】 【说明】 例2、设集合. （1）试判断元素1和2与集合B的关系； （2）用列举法表示集合B； 例3、判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；如果不能组成集合，请说明理由． （1）接近于0的数的全体； （2）平面上到点的距离等于2的点的全体； （3）方程在实数范围内的解； （4）720的所有正约数； （5）所有大于小于1的实数. 例4、若集合中只有一个元素，则_________. 例5、已知集合A＝{x|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}，若集合A中至多只有一个元素，则a的取值范围是 _____． 例6、若集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R)．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是（     ） A．2∈A，且2∈B B．(1，2)∈A，且(1，2)∈B C．2∈A，且(3，10)∈B D．(3，10)∈A，且2∈B 例7、已知A中元素x满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是（ ） A．－1∉A B．－11∈A C．3k2－1∈A D．－34∉A 例8、设集合，若且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 例9、若集合中的元素是的三边长，则一定不是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 例10、已知集合A是由元素x组成的，其中，m，． （1）设，，，试判断，与A之间的关系； （2）任取，试判断，与A之间的关系. 1、元素和集合关系的判断 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．此时应先明确集合是由哪些元素构成的； （2）推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应先明确已知集合的元素具有什么特征，即该集合中元素要满足哪些条件； 2、集合的三个特性 （1）描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样都只是描述性的说明； （2）整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体； （3）广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物，甚至一个集合也可以是某集合的一个元素； 3、特别提醒： （1）解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征（满足的条件）构造关系式解决相应问题； （2）含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性； （3）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解； 1、已知集合，则集合A中的元素个数为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 2、已知集合，若，则a的值可能为（     ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 3、已知集合下列关系正确的是（     ） A． B． C． D． 4、集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 5、已知集合，则集合中元素的个数为________． 6、若，则________． 7、设集合，若，则的值为___________. 8、已知，，若集合，则的值为________． 9、定义满足“如果，，那么，且，且”的集合为“闭集”，则数集中是“闭集”的有______． 10、已知集合，，定义集合 ，则中有__________个元素． 11、已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，a∈R. （1）若－3∈A，试求实数a的值； （2）若a∈A，试求实数a的值． 12、已知集合. （1）若A是空集，求a的取值范围； （2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； （3）若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【解析版】 微专题 对集合概念的理解 概括地说，把一些确定的对象的全体叫做集合（set），简称集；集合概念是逻辑学与数学中的基础概念，指以事物群体为反映对象的概念，它把同类个体当作一个统一整体看待，侧重整体属性，而非单个个体。集合体的性质不一定为组成它的每个个体所具备，这是其核心特征。它与非集合概念相对，区分关键在于语境：同一词语在不同语句中，可分别表达集合概念或非集合概念。掌握集合概念，能准确辨析语义、避免逻辑混淆，是逻辑判断与数学学习的重要基础。 1、集合与元素的定义 （1）集合：把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集)； （2）元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素； （3）表示：通常用英文大写字母A，B，C，…表示集合，用英文小写字母a，b，c，…表示集合中的元素； 2、元素与集合的关系 （1）“属于”：如果a是集合A的元素，就记作a∈A，读作“a属于A”； （2） “不属于”：如果a不是集合A的元素，就记作a∉A，读作“a不属于A”． 3、空集 一般地，我们把不含任何元素的集合称为空集，记作； 4、集合中元素的三个特性 （1）确定性；（2）互异性；（3）无序性； 5、集合的分类 （1）有限集；（2）无限集． 6、特别提醒 集合的元素是确定的，任意一个元素要么是一个给定集合的元素，要么不是，两种关系有且只有一种成立；解题时，应注意检查集合的元素是否满足互异性； 例1、集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为 【提示】由元素x满足∈N，即6可被3 - x整除，而x∈N可求得元素x的值； 【答案】0，1，2； 【解析】当x＝0时，＝2； 当x＝1时，＝3； 当x＝2时，＝6； 而x ≥ 3时不符合题意； 故答案为：0，1，2； 【说明】本题考查了集合的概念；同时考查了结合自然数，以及整除的性质求集合中的元素；利用集合中元素的性质求集合元素个数； 例2、设集合. （1）试判断元素1和2与集合B的关系； （2）用列举法表示集合B； 【提示】（1）将代入，由此判断出和与集合的关系； （12）利用代入验证法确定集合； 【答案】（1）1∈B，2∉B；（2）B＝{0，1，4}； 【解析】（1）当x＝1时，＝2∈N； 当x＝2时，＝∉N， 所以1∈B，2∉B. （2）的因数有，而， 令x＝0，1，4代入∈N检验，可得B＝{0，1，4}； 【说明】本题考查了明确集合的概念，理解元素满足的性质，判断元素与集合的关系； 例3、判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；如果不能组成集合，请说明理由． （1）接近于0的数的全体； （2）平面上到点的距离等于2的点的全体； （3）方程在实数范围内的解； （4）720的所有正约数； （5）所有大于小于1的实数. 【提示】（1）（2）（3）（4）（5）根据题意，结合集合的定义，以及集合中元素的性质，即可求解. 【答案】（1）不能，不满足确定性； （2）能，为无限集； （3）能，为空集，也为有限集； （4）能，为有限集； （5）能，为无限集； 【解析】（1）解：因为接近于0的数的全体，标准不明确，不符合集合元素的确定性，所以不能构成集合； （2）解：因为平面上到点的距离等于2的点的全体，构成以圆心，半径为的圆，符合集合的概念，且是无限集； （3）解：因为方程在实数范围内无解，所以方程的解集为空集，也为有限集； （4）解：由720的所有正约数，满足元素的确定性和互异性，可以构成集合，且为有限集； （5）解：所有大于小于1的实数，可以构成一个集合，且为无限集. 【说明】本题考查了集合的分类、判断元素能否构成集合； 例4、若集合中只有一个元素，则_________. 【提示】分和时分别讨论计算求解即可； 【答案】0或1； 【解析】因集合中只有一个元素， 则当时，方程为，解得，即集合，则， 当时，由，解得，集合，则， 所以或. 故答案为：0或1； 【说明】本题考查了根据集合中元素的个数求参数； 例5、已知集合A＝{x|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}，若集合A中至多只有一个元素，则a的取值范围是 _____． 【提示】分类讨论方程解的个数，从而确定a的取值范围； 【答案】{0}∪[，+∞）； 【解析】当a＝0时，方程可化为﹣3x+1＝0， 解得x，故成立； 当a≠0时，Δ＝9﹣4a≤0， 解得； 综上所述，a的取值范围是{0}∪[，+∞）． 故答案为：{0}∪[，+∞）． 【说明】本题考查了根据集合中元素的个数求参数；可以与例4进行类比感悟； 例6、若集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R)．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是（     ） A．2∈A，且2∈B B．(1，2)∈A，且(1，2)∈B C．2∈A，且(3，10)∈B D．(3，10)∈A，且2∈B 【提示】依题意可知，，，根据元素与集合的关系即可判断； 【答案】C； 【解析】集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，，故2∈A， 集合B中的元素为点(x，y)，且满足y＝x2＋1，，经验证，(3，10)∈B. 故选：C； 【说明】本题主要考查了判断元素与集合的关系； 例7、已知A中元素x满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是（ ） A．－1∉A B．－11∈A C．3k2－1∈A D．－34∉A 【提示】判断一个元素是不是集合A的元素，只要看这个元素是否满足条件；判断一个元素是集合A的元素，只需令这个数等于，解出，判断是否满足，据此可完成解答； 【答案】C； 【解析】当时，，故，故选项A错误； 若，则，解得，故选项B错误； 令，得或，即，故选项C正确； 当时，，故，故选项D错误； 故选C； 【说明】本题主要考查了判断元素与集合的关系；本题是一道关于元素与集合关系的题目，解题的关键是掌握集合的含义； 例8、设集合，若且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【提示】直接根据元素和集合之间的关系，列式求解即可； 【答案】C； 【解析】因为集合，而且， 所以，且，解得； 故选：C； 【说明】本题主要考查了根据元素与集合的关系求参数； 例9、若集合中的元素是的三边长，则一定不是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【提示】根据集合中元素的互异性可得答案； 【答案】D； 【解析】根据集合元素的互异性，在集合中，必有， 故一定不是等腰三角形； 故选：D； 【说明】本题主要考查了集合元素互异性的应用； 例10、已知集合A是由元素x组成的，其中，m，． （1）设，，，试判断，与A之间的关系； （2）任取，试判断，与A之间的关系. 【提示】（1）利用分母有理化和完全平方公式进行化简即可； （2）设,，然后将，表示出来，进行判断即可. 【答案】（1），，；（2），； 【解析】（1）因为，，所以，； 因为，，所以，； 因为，，所以，； 综上，，，； （2）任取，设，， 则， 其中，，∴； 因为，， 其中，，所以，； 综上，，； 【说明】本题主要考查了判断元素与集合的关系； 1、元素和集合关系的判断 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．此时应先明确集合是由哪些元素构成的； （2）推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应先明确已知集合的元素具有什么特征，即该集合中元素要满足哪些条件； 2、集合的三个特性 （1）描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样都只是描述性的说明； （2）整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体； （3）广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物，甚至一个集合也可以是某集合的一个元素； 3、特别提醒： （1）解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征（满足的条件）构造关系式解决相应问题； （2）含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性； （3）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解； 1、已知集合，则集合A中的元素个数为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C； 【解析】由题意，，则，故选：C 2、已知集合，若，则a的值可能为（     ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 【答案】D； 【解析】由题意若，解得或，若，解得， 当时，满足题意， 当时，违背了集合中元素间的互异性， 当时，满足题意， 综上所述，a的值可能为，8. 故选：D. 3、已知集合下列关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D； 【解析】因为， 所以A、C错误， 因为，所以，所以B错误， 又，所以，所以D正确， 故选:D． 4、集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A； 【解析】根据集合中元素的互异性得， 故三角形一定不是等腰三角形. 故选：A. 5、已知集合，则集合中元素的个数为________． 【答案】5； 【解析】①当时，，此时的值分别为0，，； ②当时，，此时的值分别为1，0，； ③当时，，此时的值分别为2，1，0． 综上可知，的可能取值为，，0，1，2，共5个， 6、若，则________． 【答案】； 【解析】由题意知，或． ①当时，．把代入，得集合的三个元素为，，12，不满足集合中元素的互异性； ②当时，或（舍去），当时，集合的三个元素为，，12，满足集合中元素的互异性，由①②知， 故答案为：； 7、设集合，若，则的值为___________. 【答案】 【解析】根据集合中元素的互异性可知，，所以且， 因为，所以，解得或（舍）， 故答案为： 8、已知，，若集合，则的值为________． 【答案】1 【解析】根据题意，，，所以， 故，则， 故，则，解得． 当时，与集合的互异性相矛盾，故舍去， 当，时，，符合题意， 所以． 故答案为：1 9、定义满足“如果，，那么，且，且”的集合为“闭集”，则数集中是“闭集”的有______． 【答案】 【解析】数集，都不是“闭集”． 例如，，，而；，，而，故，都不是“闭集”． 数集，都是“闭集”． 由于两个有理数与的和（差）、积、商，即，，仍都是有理数， 故是“闭集”．同理也是“闭集”． 故答案为： 10、已知集合，，定义集合 ，则中有__________个元素． 【答案】99 【解析】因为， 则， 所以中的元素有: 共9个； 又因为， 所以， 所以中共有个元素； 又因为， 所以，， 所以，共11种可能； ，共9种可能， 所以中有个元素. 故答案为：； 11、已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，a∈R. （1）若－3∈A，试求实数a的值； （2）若a∈A，试求实数a的值． 【提示】（1）由，得或，再利用集合中元素的互异性能求出满足题意的实数的值； （2）由，得或，再利用集合中元素的互异性能求出满足题意的实数的值. 【答案】（1）0或－1； （2）1 . 【解析】（1）因为－3∈A， 所以－3＝a－3或－3＝2a－1. 若－3＝a－3，则a＝0. 此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意． 若－3＝2a－1，则a＝－1. 此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意． 综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1. （2）因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1. 当a＝a－3时，有0＝－3，不成立； 当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2,1， 符合题意． 综上所述，满足题意的实数a的值为1. 【说明】该题考查的是有关元素与集合的关系，根据元素属于集合，列出等量关系式，求出参数的值，需要注意的是需要检验是否满足集合中元素的互异性. 12、已知集合. （1）若A是空集，求a的取值范围； （2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； （3）若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【提示】（1）A是空集，则方程为二次方程，且方程无实根； （2）（3）讨论、，结合集合元素个数及一元二次方程判别式求集合或参数范围. 【答案】（1） （2）的值为或，当时，元素为，当时，元素为 （3） 【解析】（1）A是空集，且，，解得， 的取值范围为：； （2）当时，集合， 当时，，，解得，此时集合， 综上所求，的值为或，当时，元素为，当时，元素为； （3）当时，，符合题意； 当时，要使关于x的方程有实数根，则，得. 综上，若集合A中至少有一个元素，则实数a的取值范围为. 第7页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $