1.2集合间的基本关系 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合间关系，分层设计从概念理解到综合应用，通过选择、填空、解答题梯度递进，强化数学抽象与逻辑推理，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|子集定义、集合包含关系|单选题（如第1-2题）夯实概念，培养抽象能力| |提升层|真子集个数、参数子集问题|多选题与填空题（如第3-10题）深化运算推理，发展推理意识| |综合层|含参子集综合应用|解答题（如第11-12题）融合方程函数，提升数学应用与模型意识|

《集合间的基本关系》同步练习 1、 单选题 1．已知集合A＝{a，b，c}，下列可以作为集合A的子集的是（　　） A．a B．{a，c} C．{a，e} D．{a，b，c，d} 【分析】根据集合的子集的定义，即可判断得到答案． 【解答】解：根据集合的子集的定义， ∴集合A＝{a，b，c}的子集为：∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}， 对应选项，则可以作为集合A的子集的是{a，c}． 故选：B． 【点评】本题考查了集合的子集与真子集，研究集合的子集问题时，要特别注意∅．如果集合A的元素个数是n，则其子集个数是2n，真子集个数是2n﹣1．属于基础题． 2．已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等边三角形}，则（　　） A．A⊆B B．C⊆B C．D⊆C D．A⊆D 【分析】根据三角形的性质及集合间的关系判断即可． 【解答】解：∵A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等边三角形}， ∴B⊆A；C⊆B；C、D之间没有子集关系；D⊆A； 故选：B． 【点评】本题考查了集合间关系的判断，属于基础题． 3．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，则A的真子集个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先解方程求出集合A，然后根据真子集的个数的求解公式求解即可． 【解答】解：解方程x2﹣3x+2＝0可得：x＝1或2， 则集合A＝{1，2}，共有2个元素， 所以集合A的真子集个数为22﹣1＝3． 故选：C． 【点评】本题考查了真子集个数的求解，属于基础题． 4．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（　　） A．a≤2 B．a＜2 C．a＞2 D．a≥2 【分析】根据一元二次方程的解法可得集合A，利用子集的定义即可得出所求的答案． 【解答】解：因为集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}， 所以由A⊆B得：a＞2． 故选：C． 【点评】本题考查集合间的基本关系，考查学生的逻辑思维能力，属简单题． 5．已知集合A＝{x|ax＝2，a∈R}，B＝{﹣1，1}，若A⊆B，则所有a的取值构成的集合为（　　） A．{﹣2} B．{﹣2，2} C．{0，2} D．{﹣2，0，2} 【分析】分a＝0和a≠0两种情况讨论，结合A⊆B求解即可． 【解答】解：由题意可知，集合A＝{x|ax＝2，a∈R}，B＝{﹣1，1}，且A⊆B， 当a＝0时，则A＝∅，满足A⊆B， 当a≠0时，则A＝{}， 由A⊆B可得，1或1， 解得a＝﹣2或a＝2， 综上所述，所有a的取值构成的集合为{0，﹣2，2}． 故选：D． 【点评】本题主要考查了集合间的包含关系，属于基础题． 6．已知集合A＝{x|x＝k，k∈Z}，B＝{x|x，m∈Z}，C＝{x|x，n∈Z}，则集合A，B，C的关系是（　　） A．A⫋C⫋B B．C⫋A⫋B C．A⫋C＝B D．A⫋B⫋C 【分析】对集合C分析，当n为偶数时，它与集合A相等，所以集合A是集合C的真子集；当n取b﹣1时，化简可知集合C与集合B相等，从而得出集合A、B、C的包含关系． 【解答】解：∵集合C＝{x|，n∈Z}，∴当n＝2a（a∈Z）时，xa，当n＝b﹣1（b∈Z）时，x， 又∵集合A＝{x|x＝k，k∈Z}，∴A⫋C， 又∵集合B＝{x|x，m∈Z}，即C＝B， 综上所求：A⫋C＝B． 故选：C． 【点评】本题的考点是集合的包含关系，考查两个集合的子集关系，是中档题． 二、多选题 （多选）7．已知集合A＝{x|﹣1≤2x﹣1≤5，x∈Z}，则下列说法正确的有（　　） A．1∈A B．{2，3}⊆A C．A中有3个元素 D．A有16个真子集 【分析】解不等式可求得集合A，由集合与元素关系、子集和真子集定义依次判断各个选项即可． 【解答】解：由﹣1≤2x﹣1≤5得：0≤x≤3，又x∈Z，∴A＝{0，1，2，3}； 对于A，由A＝{0，1，2，3}知：1∈A，A正确； 对于B，∵2∈A，3∈A，∴{2，3}⊆A，B正确； 对于C，由A＝{0，1，2，3}知：A中有4个元素，C错误； 对于D，∵A中有4个元素，∴A有24﹣1＝15个，D错误． 故选：AB． 【点评】本题主要集合的运算，属于基础题． （多选）8．已知集合A＝{1，2，a2}，B＝{1，a+2}，若B⊆A，则a的取值可以是（　　） A．﹣1 B．0 C．2 D．﹣2 【分析】由集合子集的关系和元素互异性求解． 【解答】解：由题意可知，集合A＝{1，2，a2}，B＝{1，a+2}，且B⊆A， 所以a+2＝2或a+2＝a2， 解得a＝0或a＝2或a＝﹣1， 当a＝0时，A＝{1，2，0}，B＝{1，2}，满足要求， 当a＝2时，A＝{1，2，4}，B＝{1，4}，满足要求， 当a＝﹣1时，a2＝1＝a+2，与元素互异性矛盾，不满足要求， 综上所述，a＝0或2． 故选：BC． 【点评】本题主要考查了集合间的包含关系，考查了元素的性质，属于基础题． 三、填空题 9．已知集合A＝{x|0＜x＜2a+1}，B＝{x|0＜x＜3}，若A⊆B，则实数a的取值范围是　{a|a≤1}　 ． 【分析】将集合A分为空集和非空集两种情况进行分类讨论，分别列出满足子集条件的不等式求出参数a的范围，最后将结果取并集即可． 【解答】解：由题意可知，集合A＝{x|0＜x＜2a+1}，B＝{x|0＜x＜3}，且A⊆B， 当集合A＝∅时，则有2a+1≤0， 解得， 若集合A≠∅时，则， 解得， 综上可得，a的取值范围是{a|a≤1}． 故答案为：{a|a≤1}． 【点评】本题主要考查了集合间的包含关系，属于基础题． 10．满足{1，2，3}⊆A⊆{1，2，3，4，5，6，7，8，9}的集合A共有　64　 个． 【分析】由题意可知，满足条件的集合A的个数即为集合{4，5，6，7，8，9}的子集个数，再利用子集个数公式求解． 【解答】解：由题意可知，集合A满足{1，2，3}⊆A⊆{1，2，3，4，5，6，7，8，9}， 所以满足条件的集合A的个数即为集合{4，5，6，7，8，9}的子集个数， 所以满足条件的集合A的个数为26＝64个． 故答案为：64． 【点评】本题主要考查了集合间的包含关系，属于基础题． 四、解答题 11．已知A＝{x|x2﹣4＝0}，B＝{x|ax﹣6＝0}，且B是A的子集． （1）求a的取值集合M； （2）写出集合M的所有非空真子集． 【分析】对（1）根据A集合中的元素，B⊆A，分类讨论B的可能情况，再求解a，写出集合M． 根据含有n个元素的集合的真子集个数是2n﹣1，求解（2）． 【解答】解：（1）A＝{2，﹣2}． ∵B是A的子集，∴B＝∅，{2}，{﹣2} ①B＝∅时，方程ax﹣6＝0无解，得a＝0； ②B＝{2}时，方程ax﹣6＝0的解为x＝2，得2a﹣6＝0，所以a＝3； ③B＝{﹣2}时，方程ax﹣6＝0的解为x＝﹣2，得﹣2a﹣6＝0，所以a＝﹣3． 所以a的取值集合M＝{0，3，﹣3}． （2）M＝{0，3，﹣3}的非空真子集为{0}，{3}，{﹣3}，{0，3}，{0，﹣3}，{3，﹣3} 【点评】本题考查集合的子集问题．含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n﹣1；非空真子集个数是数是2n﹣2． 12．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤a，a＞1且a∈R}，B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，C＝{z|z＝x2，x∈A}，是否存在a的值，使C⊆B？若存在，求出a的取值范围．若不存在，说明理由． 【分析】由A化简B、C，假设C⊆B，得出，求出a的取值范围即可． 【解答】解：∵A＝{x|﹣1≤x≤a，a＞1且a∈R}， ∴B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}＝{y|﹣3≤y≤2a﹣1，a＞1且a∈R}， C＝{z|z＝x2，x∈A}＝{z|0≤z≤a2，a＞1且a∈R}， ∴若存在a的值，使C⊆B，则； 解得a∈∅， ∴不存在a，使C⊆B． 【点评】本题考查了集合的应用问题，解题时应根据题意对集合进行化简，从而求出答案来，是基础题． 学科网（北京）股份有限公司 $ 《集合间的基本关系》同步练习 1、 单选题 1．已知集合A＝{a，b，c}，下列可以作为集合A的子集的是（　　） A．a B．{a，c} C．{a，e} D．{a，b，c，d} 2．已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等边三角形}，则（　　） A．A⊆B B．C⊆B C．D⊆C D．A⊆D 3．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，则A的真子集个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（　　） A．a≤2 B．a＜2 C．a＞2 D．a≥2 5．已知集合A＝{x|ax＝2，a∈R}，B＝{﹣1，1}，若A⊆B，则所有a的取值构成的集合为（　　） A．{﹣2} B．{﹣2，2} C．{0，2} D．{﹣2，0，2} 6．已知集合A＝{x|x＝k，k∈Z}，B＝{x|x，m∈Z}，C＝{x|x，n∈Z}，则集合A，B，C的关系是（　　） A．A⫋C⫋B B．C⫋A⫋B C．A⫋C＝B D．A⫋B⫋C 二、多选题 7．已知集合A＝{x|﹣1≤2x﹣1≤5，x∈Z}，则下列说法正确的有（　　） A．1∈A B．{2，3}⊆A C．A中有3个元素 D．A有16个真子集 8．已知集合A＝{1，2，a2}，B＝{1，a+2}，若B⊆A，则a的取值可以是（　　） A．﹣1 B．0 C．2 D．﹣2 三、填空题 9．已知集合A＝{x|0＜x＜2a+1}，B＝{x|0＜x＜3}，若A⊆B，则实数a的取值范围是　 　 ． 10．满足{1，2，3}⊆A⊆{1，2，3，4，5，6，7，8，9}的集合A共有　 　 个． 四、解答题 11．已知A＝{x|x2﹣4＝0}，B＝{x|ax﹣6＝0}，且B是A的子集． （1）求a的取值集合M； （2）写出集合M的所有非空真子集． 12．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤a，a＞1且a∈R}，B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，C＝{z|z＝x2，x∈A}，是否存在a的值，使C⊆B？若存在，求出a的取值范围．若不存在，说明理由． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $