1.2 集合间的基本关系 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学集合间的基本关系同步练，通过基础判断、概念应用到综合探究的三层设计，实现从单一知识点到创新应用的巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|子集/真子集概念辨析|单选考集合关系判断（如空集性质），多选强化概念理解（如集合相等条件）| |提升层|子集性质应用|填空考子集个数计算（如含n元素集合子集数）、集合包含关系参数求解| |综合层|创新探究|解答题结合新定义“等差集”，培养抽象能力与推理意识，体现数学思维进阶|

1.2 集合间的基本关系 同步练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 【集合与集合的关系】 （1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集． 记作： 读作：A包含于B（或B包含A）． 图示： （2）如果两个集合所含的元素完全相同（），那么我们称这两个集合相等． 记作： 读作：A等于B． 图示： 【真子集】 若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集． 记作：AB（或BA） 读作：A真包含于B（或B真包含A） 【空集】 不含有任何元素的集合称为空集，记作：． 规定：空集是任何集合的子集． 结论：（1）（类比） （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （3）若则（类比，则） （4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0． 一、单选题 1．下列关系中：①，②，③，④正确的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 2．设集合，则的真子集的个数是( ) A．8 B．7 C．4 D．3 3．集合的子集为( ) A． B． C． D． 4．设集合，若，则( ) A．2 B．1 C． D． 5．已知集合，，且，则实数的取值范围是( ) A． B． C．且 D．且 6．已知集合，，则( ) A． B． C． D． 二、多选题 7．已知集合，，下列结论正确的是( ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则可以取3 8．下列说法正确的是( ) A． 是菱形 是正方形 B．若，，则 C．集合的真子集个数为7 D． 9．下列说法中正确的是( ) A．任何集合都是它自身的真子集 B．集合共有4个子集 C．集合 D．集合 10．已知集合，且，则实数可能的取值是( ) A． B．0 C．-1 D． 三、填空题 11．设集合，若集合的所有非空子集的元素之和是64，则______． 12．已知集合满足，则不同的集合的个数为______． 13．是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合相等的集合序号是______. 14．已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为__________. 四、解答题 15．已知集合，非空集合，若，求实数的值． 16．设集合含有3个元素，集合含有3个元素，若，求实数和的值． 17．设是由若干正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，使得，则称为“等差集”. (1)若集合，，且是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的； (2)若集合是“等差集”，求的值. 18．已知集合，，，为实数且． (1)当，时，判断集合，间的关系； (2)若，求实数和的值． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《1.2 集合间的基本关系 同步练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D A D A AC BC BC ABC 1．B 【分析】根据集合的性质逐个判断即可. 【详解】对①，正确； 对②，空集是集合，故正确； 对③，是无理数，故错误； 对④，两集合中元素不一样，故，故④错误. 综上①②正确. 故选：B 2．D 【分析】写出集合，计算真子集个数. 【详解】，因为集合中有个元素，所以真子集个数为. 故选：D. 3．D 【分析】根据集合子集的定义，即可求解. 【详解】由集合， 根据集合子集的定义，可得， 故选：D. 4．A 【分析】利用集合相等列式求值并验证得解. 【详解】集合，由，得或，解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意， 所以. 故选：A 5．D 【分析】先求出集合中绝对值不等式的解集，然后根据子集的定义求出结果. 【详解】集合，由，得 解得且， 所以实数的取值范围是且. 故选：D. 6．A 【分析】根据集合A，B中元素的特征可判断各选项. 【详解】由题意知，集合， 因为，所以C、D不正确； “”用于表示元素与集合之间的关系，故B不正确 所以． 故选：A. 7．AC 【分析】把代入，求解判断AB；利用集合的包含关系求解判断CD. 【详解】对于AB，若，则任意实数均满足，因此，A正确，B错误； 对于CD，由，得，解得，C正确，D错误. 故选：AC. 8．BC 【分析】借助菱形与正方形的关系、集合相等定义、真子集及空集的定义逐项判断即可得. 【详解】对A：菱形不一定是正方形，A错误； 对B：因为集合与集合均表示奇数集，所以，B正确； 对C：集合的真子集为，共7个，C正确； 对D：，由于空集不是空集的真子集，D错误． 故选：BC. 9．BC 【分析】根据集合的性质依次判断即可. 【详解】对A，空集不是它自身的真子集，故A错误； 对B，因为集合中有2个元素，所以有个子集，故B正确； 对C，因为两个集合中的元素均为被3除余1的所有整数，所以两个集合相等，故C正确； 对D，因为， 当时，，所以，但，故两个集合不相等，故D错误. 故选：BC. 10．ABC 【分析】首先求出集合A，然后结合的条件，对集合B中的参数a分类讨论即可得答案. 【详解】解：，且，则： ①当时，或，解得或，A适合题意； ②若，则，解得， ③若，则，此时无解， ④若，则，此时无解，不合题意； 综上：的值为0和. 故选：ABC. 11．8 【分析】利用子集的定义求出所有的非空子集，然后计算所有元素之和即可得解． 【详解】易知的非空子集为，，，，，，，，，，，，，，， 则所有非空子集的元素之和为． 故答案为：8． 12．4 【分析】根据集合的包含关系列举出集合，即可得解. 【详解】由题知中必然含有元素，1，可能含有元素，2， 所以可能为，共4个． 故答案为：4 13．④ 【分析】集合相等的条件为集合中的元素相同，根据此条件分别判断①②③④中四个集合中元素是否与集合一致即可. 【详解】对于①，因为，设， 则， 不妨取，可知，而，显然，所以①与集合不相等； 对于②，令，则， 显然，但，即②与集合不相等； 对于③，当时，此时，即， 而集合中不包含元素0，所以③与集合不相等； 对于④，令， 则，其中， 所以④与集合相等； 故答案为：④ 14． 【分析】分析可知有一个不等于3的实数解，分类讨论最高项系数以及根的个数，运算求解即可. 【详解】由题意可知：方程有且仅有一解， 等价于有一个不等于3的实数解， 1.当时，解为，满足题意； 2.当时，只有一解时， 则，解得， 若，则，解得，符合题意； 3.当时，且有两解但3是方程的解， 故，解得； 综上所述，实数取值集合为. 故答案为：. 15．2 【分析】根据一元二次方程的知识对集合中的方程求出解集，然后根据子集的定义求出的值. 【详解】因为，所以．由题知， 当时，，即，解得或． 若，则，所以，满足题意； 若，则，不符合题意． 当时，，即，解得或． 若，则，不合题意． 综上所述，实数的值为2． 16．，或， 【分析】根据集合相等列方程组求解，然后根据集合的定义检验． 【详解】由集合相等的概念可知， 或， 解得：或或， 因为当，时， 集合中，集合中，都不符合集合中元素的互异性， 所以，或，． 17．(1)或或 (2)2 【分析】（1）首先根据，再结合“等差集”的定义，确定集合有3个元素或4个元素，结合新定义，即可列举； （2）由“等差集”的定义可知，得，即可列式求解. 【详解】（1）因为集合，，存在3个不同的元素，使得， 所以集合中必然同时含有元素或， 则或或 （2）因为集合是“等差集”， 所以或或， 计算可得或或或或， 又因为集合的元素为正整数，所以为正整数，所以， 经检验，当时，集合，满足题意，故. 18．(1)B A (2)或． 【分析】（1）解出集合，再判断结果即可； （2）分和两种情况分别在时求出对应的即可； 【详解】（1）当时，集合，故B A． （2）①当时，集合，由得，解得； ②当时，集合，此时，解得． 综上所述，或． 答案第6页，共6页 答案第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $