精品解析：重庆礼嘉中学2025-2026学年九年级下学期数学第四次定时作业

2025−2026学年度初2023级下期第四次定时作业 数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列汉服纹样中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. 如意纹 B. 凤纹 C. 龙纹 D. 忍冬纹 3. 磁器口古镇为了解游客对特色小吃的喜爱程度，对前来游玩的名游客随机抽取名游客进行调查，下列说法正确的是（ ） A. 该调查方式是全面调查 B. 样本容量是 C. 名游客是总体的一个样本 D. 名游客是总体 4. 已知，反比例函数的图象经过点，则下列各点也在此函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，线段与相切于点，连接并延长，交于点，连接，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有3个小太阳，第②个图案中有7个小太阳，第③个图案中有13个小太阳，第④个图案中有21个小太阳，…，按照这一规律，则第⑧个图案中小太阳的个数是（ ） A. 73 B. 57 C. 91 D. 85 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 过一点作已知直线的平行线有且只有一条 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 垂直于同一条直线的两直线平行 D. 垂线段最短 8. 年中国建成全球最大碳纤维生产基地，实现了碳纤维国产化，碳纤维的价格由元/公斤经过连续两次降价后，价格为元/公斤，若两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，，，点为线段的中点，点为线段的中点，连接、．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 若整式，其中，为正整数，，，…，均为整数，且满足：．下列说法： ①不存在满足条件的单项式； ②若，当时，满足条件的所有整式有且仅有个； ③若为二次三项式，当取任意值时，的值均为非负数的的个数为个． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 某校开设了“数学学具”、“数学与跨学科”、“与几何”三门校本选修课程，小杨从中随机选取两门课程，恰好选中“数学学具”和“与几何”两门课程的概率为______． 12. 一个多边形的外角和是内角和的，则这个多边形的边数为___________． 13. 若，是两个连续整数，且，则的值为________． 14. 已知，且，则的值为___________． 15. 如图，是的直径，，垂足为点，的切线、交于点，切点分别为、，连接，为劣弧的中点，连接，连接交于点，延长至点使，连接交于点，若，，则长_____；_____． 16. 若一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为，且满足十位和个位数字的和的平方等于由千位和百位数字组成的两位数，则称这个四位数为“开心数”，例如：四位数，因为，所以是“开心数”；又如，四位数，，所以不是“开心数”．则最大的“开心数”为________；已知是“开心数”，将去掉个位数字后所得的三位数记为，记，，若能够被整除，则满足条件的最大值与最小值的积为________． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组： 解：解不等式①，得________． 解不等式②，得________． 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来． 所以不等式组的解集为________． 18. 温故而知新．在复习平行四边形与尺规作图的基础上，庆庆同学进行了几何拓展探究，他发现由一个三角形构造出平行四边形的一种作法．请完成以下作图与证明： （1）如图，是的中线．请利用尺规作图：在右侧作，与的延长线相交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）． （2）求证：四边形为平行四边形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 年月日是全国“爱眼日”．为了解学生对护眼知识的掌握情况，配合我校“美丽行动—明眸护双眼，清辉照未来”主题活动开展，学校随机抽取八年级、九年级各名学生开展线上问卷测试，并对测试得分进行整理、分析（得分用整数表示，单位：分），并分为A、B、C三个等级，分别是：优秀（A等级）：；合格（B等级）：；不合格（C等级）：；分别绘制成如下统计图表． 其中八年级学生测试成绩数据的众数出现在B等级，B等级测试成绩情况分别为：，，，，，，，，，，． 八、九年级两组样本的平均数、中位数、众数如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________；并补全八年级抽取的学生测试成绩频数分布直方图； （2）根据以上信息，你认为我校哪个年级的测试成绩更好，并说明理由（写出一条理由即可）； （3）若我校八年级有名学生，九年级有名学生，请估计两个年级中成绩为合格的学生共有多少名？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 列方程解决下列问题： 某工厂生产端午伴手礼圆形礼盒 （1）已知一个礼盒由个盒身和个盒底组成，用张硬纸板可制作个盒身或个盒底．现有张硬纸板，应用多少张硬纸板制作盒身，多少张硬纸板制作盒底，才能使盒身与盒底刚好配套？ （2）甲、乙两个车间接到任务制作一批礼盒，若甲车间单独完成，所需时间比规定工期多天；若乙车间单独完成，所需用时比规定工期少天；若两车间先合作天，剩下部分由甲车间单独制作，最终比规定工期提前天完成．求甲车间单独完成这批礼盒需要的时间． 22. 如图，在长方形中，，，动点从点出发，先以每秒个单位长度的速度沿方向运动，到达点后再以每秒个单位长度的速度沿方向运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动．连接，过点作交于点，连接，设运动时间为（＜＜）秒，点到点的距离为，的面积为，． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23. 如图，港在港北偏东方向，港在港的正西方向12海里处，港在港的正北方向，港在港的北偏西方向，港在港的正西方向6海里处，且在港的西北方向．（参考数据：，） （1）求，两港之间的距离（结果保留根号）； （2）甲货船从港出发，向港运送物资，乙货船从港出发，向港运送物资，甲船速度为乙船速度的2倍（均沿直线匀速运送）．请问当两艘船相距海里时，甲船离港多少海里（结果精确到0.1海里）？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作交于点D，点E是抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为点F，连接、．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，平移后点P恰好落在y轴上，点K是新抛物线上一动点，点是原抛物线顶点H的对应点，连接，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，若，请直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解点K的坐标的其中一种情况的过程． 25. 为等边三角形，点为线段上的动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图，若，点是中点，，求的面积； （2）如图，若，连接，若点为中点，连接，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图，若，，点为中点，连接，点从移动到的过程中，将绕点逆时针旋转得到线段，当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在平面内，得，连接，作交直线于点，当取最大值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026学年度初2023级下期第四次定时作业 数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A、是有限小数，属于有理数，不符合题意； B、是分数，属于有理数，不符合题意； C、是无限不循环小数，属于无理数，符合题意； D、，是整数，属于有理数，不符合题意． 2. 下列汉服纹样中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. 如意纹 B. 凤纹 C. 龙纹 D. 忍冬纹 【答案】A 【解析】 【分析】根据“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形”及“一个图形绕某个点旋转180度后仍与原图完全重合的图形叫做中心对称图形”进行排除选项即可． 【详解】解：A、既是轴对称又是中心对称图形，故符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意． 3. 磁器口古镇为了解游客对特色小吃的喜爱程度，对前来游玩的名游客随机抽取名游客进行调查，下列说法正确的是（ ） A. 该调查方式是全面调查 B. 样本容量是 C. 名游客是总体的一个样本 D. 名游客是总体 【答案】B 【解析】 【分析】根据全面调查、总体、样本、样本容量的定义，逐一判断选项正误． 【详解】解：该调查仅从全体游客中抽取部分游客进行调查，没有调查所有对象， 该调查方式是抽样调查，A错误； 样本容量是样本中包含的个体数目，本题抽取了名游客， 样本容量是，B正确； 为了了解游客对特色小吃的喜爱程度， 总体是名游客对特色小吃的喜爱程度，样本是抽取的名游客对特色小吃的喜爱程度，不是游客本身，C、D错误． 4. 已知，反比例函数的图象经过点，则下列各点也在此函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据点求出反比例函数的比例系数k，得到函数解析式，再验证各选项的点是否满足解析式即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， A、，故该点不在图象上，该选项不符合题意； B、，故该点不在图象上，该选项不符合题意； C、，故该点不在图象上，该选项不符合题意； D、，故该点在图象上，该选项符合题意． 5. 如图，线段与相切于点，连接并延长，交于点，连接，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据切线的性质得到，可知，根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：∵与相切于点， ∴， ， 和是同弧所对的圆周角和圆心角， ． 6. 按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有3个小太阳，第②个图案中有7个小太阳，第③个图案中有13个小太阳，第④个图案中有21个小太阳，…，按照这一规律，则第⑧个图案中小太阳的个数是（ ） A. 73 B. 57 C. 91 D. 85 【答案】A 【解析】 【分析】根据前四个图案中小太阳的个数，即可得出数字变化的规律，求出第n个图案中小太阳的个数，然后根据规律解答即可． 【详解】第①个图案中有(个)小太阳； 第②个图案中有(个)小太阳； 第③个图案中有(个)小太阳； 第④个图案中有(个)小太阳， ∴第n个图案中有个小太阳， 当时，， ∴第⑧个图案中小太阳的个数是73． 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 过一点作已知直线的平行线有且只有一条 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 垂直于同一条直线的两直线平行 D. 垂线段最短 【答案】D 【解析】 【分析】结合各定理的前提条件逐一分析选项，最终确定真命题． 【详解】选项A：∵当该点在已知直线上时，无法作出已知直线的平行线，定理要求“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”，∴A是假命题； 选项B：∵当被平分的弦本身是直径时，两条直径互相平分但不一定垂直，定理要求“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦”，∴B是假命题； 选项C：∵该命题缺少“同一平面内”的前提条件，不在同一平面内时结论不成立，∴C是假命题； 选项D：由初中数学基本公理可知，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，∴D是真命题． 8. 年中国建成全球最大碳纤维生产基地，实现了碳纤维国产化，碳纤维的价格由元/公斤经过连续两次降价后，价格为元/公斤，若两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设每次降价的百分率为，，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为， 根据题意，得，， 解得， ∴每次降价的百分率为． 9. 如图，在正方形中，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，，，点为线段的中点，点为线段的中点，连接、．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点N，连接，过点G作，设，则，利用正方形的性质，易证，从而得出的长度，由为的中位线，得到的长度，证明四边形是矩形，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，取的中点N，连接，过点G作， ∵， 设， ∴，， ∵点M为线段的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ∴， ∴，， ∵点G为线段的中点，点N为线段的中点， ∴为的中位线，， ∴，， ∵， 在中，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴． 10. 若整式，其中，为正整数，，，…，均为整数，且满足：．下列说法： ①不存在满足条件的单项式； ②若，当时，满足条件的所有整式有且仅有个； ③若为二次三项式，当取任意值时，的值均为非负数的的个数为个． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目给出的条件，逐一验证三个说法的正误，即可得到结果 【详解】解：① 若是单项式，为正整数，次数为的单项式只有最高次项非零，其余系数均为，可得，但题目规定是正整数，即，矛盾，因此不存在满足条件的单项式，故①正确； ② 当，时，条件为，各有正负两种符号，分类计算： （1）时，当，，或或；对应个整式； 当，，或；对应个整式； 当，，；对应个整式； 当，，或；对应个整式； 当，，；对应个整式； 当，，；对应个整式；一共个整式； （2）时，当，，或；对应个整式； 当，，；对应个整式； 当，，；对应个整式；一共个整式； （3）时，，，，对应个整式； 总个数为，故②错误； ③ 是二次三项式，，，条件为，此时可看作关于的二次函数，当取任意值时，的值均为非负数，则，且； ∴或， 当，，；此种情况的取值均符合； 当，，；此种情况的取值均符合； 当，，；此种情况的取值均符合； 当，，；此种情况的取值均符合； ∴的个数一共有个，故③错误； 综上，正确的说法共个． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 某校开设了“数学学具”、“数学与跨学科”、“与几何”三门校本选修课程，小杨从中随机选取两门课程，恰好选中“数学学具”和“与几何”两门课程的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】先列出随机选取两门课程的所有等可能结果，再找出恰好选中目标两门课程的结果数，利用概率公式计算即可. 【详解】记数学学具为，数学与跨学科为，与几何为， 列表如下： 共有6种等可能的结果，其中恰好选中“数学学具”和“与几何”两门课程的结果有2种， ∴恰好选中“数学学具”和“与几何”两门课程的概率为 12. 一个多边形的外角和是内角和的，则这个多边形的边数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据多边形的外角和是，边形的内角和为，结合已知的数量关系列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是， 依题意得 ， 解得， 即这个多边形的边数是． 13. 若，是两个连续整数，且，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简计算得到的结果，再估算无理数的大小，确定，的值，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，是两个连续整数，且， ∴，， ∴． 14. 已知，且，则的值为___________． 【答案】16 【解析】 【分析】先根据已知等式判断的正负性，化简第二个等式，再分的正负讨论，得到符合题意的的值，代入计算幂的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ∴． 将代入，得． 把代入得，即． 当时，，原式可化为，解得． 将代入得，符合题意； 当时，，原式可化为，即，等式不成立，此情况无解． ∴，， ∴． 15. 如图，是的直径，，垂足为点，的切线、交于点，切点分别为、，连接，为劣弧的中点，连接，连接交于点，延长至点使，连接交于点，若，，则长_____；_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，半圆或直径所对圆周角为直角，垂径定理与勾股定理的计算与运用，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． 如图所示，连接，设交于点，根据垂径定理，勾股定理得到，，由的正切值的计算即可得到； 如图所示，连接，交于点，由直径所对圆周角为直角，等腰直角三角形的性质，可得，如图所示，过点作于点，且，运用角平分线的性质定理，勾股定理，得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，设交于点， ∴， 设，则， ∵，垂足为点，则， ∴在中，，即， 解得，， ∴，则， ∴，， 在中，， ∵是切线， ∴，，且， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 在中，； ∵，， ∴是等腰直角三角形，，则， 如图所示，连接，交于点 ∵是直径， ∴， ∴，即都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 如图所示，过点作于点，且， ∴， 根据上述计算，， ∴，则， 设，则， 在中，，即， 解得，， ∴， 在中，， ∴； 故答案为：①；② ． 16. 若一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为，且满足十位和个位数字的和的平方等于由千位和百位数字组成的两位数，则称这个四位数为“开心数”，例如：四位数，因为，所以是“开心数”；又如，四位数，，所以不是“开心数”．则最大的“开心数”为________；已知是“开心数”，将去掉个位数字后所得的三位数记为，记，，若能够被整除，则满足条件的最大值与最小值的积为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据“开心数”的定义，即四位数满足十位与个位数字和的平方等于千位与百位数字组成的两位数，且各位数字互不相等且均不为零，首先寻找最大的“开心数”，需千位数字尽可能大，且满足条件的平方数；通过化简的表达式，并利用整除条件确定的值，进而计算的所有可能值，求其最大值与最小值的积即可． 【详解】解：设四位数，则“开心数”满足，且，，，互不相等且均不为零， 为两位数， ， 要使得最大，则需千位数字最大， 最大可能值为，此时，故， 此时， 数字互不相等， 和不能为或，可能组合中，时十位数字最大， 故，且数字，，，互不相等，满足条件，为最大“开心数”； 由定义，代入得 ， 根据题意得：， ， 设， ， ， 则， 能够被整除， 能被整除， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 或， 当时，，故，，，且数字互不相等， 或， 当时，； 当时，； 当时，，故，，，且数字互不相等， 或或或或或， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 可能值为，，，，，，，， 最大值为，最小值为， 最大值与最小值的积为． 故答案为：；． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组： 解：解不等式①，得________． 解不等式②，得________． 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来． 所以不等式组的解集为________． 【答案】，，， 【解析】 【分析】先解不等式组中的每个不等式，进而可在数轴上表示不等式的解集，再取不等式解集的公共部分即可. 【详解】解：解不等式①，得． 解不等式②，得． 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来略． 所以不等式组的解集为． 18. 温故而知新．在复习平行四边形与尺规作图的基础上，庆庆同学进行了几何拓展探究，他发现由一个三角形构造出平行四边形的一种作法．请完成以下作图与证明： （1）如图，是的中线．请利用尺规作图：在右侧作，与的延长线相交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）． （2）求证：四边形为平行四边形． 【答案】（1）及点E如图所示： （2）证明：∵， ∴， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 【解析】 【分析】（1）根据尺规作一个角的方法结合题意画图即可； （2）根据题意可证明、，得出，进而可得结论. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略. 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 年月日是全国“爱眼日”．为了解学生对护眼知识的掌握情况，配合我校“美丽行动—明眸护双眼，清辉照未来”主题活动开展，学校随机抽取八年级、九年级各名学生开展线上问卷测试，并对测试得分进行整理、分析（得分用整数表示，单位：分），并分为A、B、C三个等级，分别是：优秀（A等级）：；合格（B等级）：；不合格（C等级）：；分别绘制成如下统计图表． 其中八年级学生测试成绩数据的众数出现在B等级，B等级测试成绩情况分别为：，，，，，，，，，，． 八、九年级两组样本的平均数、中位数、众数如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________；并补全八年级抽取的学生测试成绩频数分布直方图； （2）根据以上信息，你认为我校哪个年级的测试成绩更好，并说明理由（写出一条理由即可）； （3）若我校八年级有名学生，九年级有名学生，请估计两个年级中成绩为合格的学生共有多少名？ 【答案】（1）85.5，82，补全统计图如下： （2）我认为九年级的测试成绩更好，理由如下： ∵九年级的测试成绩中位数大于八年级的测试成绩的中位数， ∴九年级测试成绩更好； （或九年级的测试成绩众数大于八年级的测试成绩的众数，所以九年级测试成绩更好） （3）1405人 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数概念进行解答，进而完成统计图； （2）比较中位数或众数得出结论； （3）利用样本估计总体解决问题． 【小问1详解】 解：根据中位数概念，C等级有3人，B等级11人的成绩从小到大排列为：，，，，，，，，，，． 得中位数为， 由题意，八年级成绩众数为， 故：，； 八年级A等级的人数为，补全统计图略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：∵抽取的样本中，八年级合格的学生有11人，九年级合格的学生有人， ∴（人）， 答：估计两个年级中成绩为合格的学生共有人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为． 【解析】 【分析】，，，，，，，，分别代入化简求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 把代入得原式． 21. 列方程解决下列问题： 某工厂生产端午伴手礼圆形礼盒 （1）已知一个礼盒由个盒身和个盒底组成，用张硬纸板可制作个盒身或个盒底．现有张硬纸板，应用多少张硬纸板制作盒身，多少张硬纸板制作盒底，才能使盒身与盒底刚好配套？ （2）甲、乙两个车间接到任务制作一批礼盒，若甲车间单独完成，所需时间比规定工期多天；若乙车间单独完成，所需用时比规定工期少天；若两车间先合作天，剩下部分由甲车间单独制作，最终比规定工期提前天完成．求甲车间单独完成这批礼盒需要的时间． 【答案】（1）用120张做盒身，140张做盒底才能使盒身与盒底恰好配套． （2）甲车间单独完成这批礼盒需要30天 【解析】 【分析】（1）设用x张做盒身，y张做盒底，根据“共有260张硬纸板，一个盒身和两个盒底配套”即可列出方程组，求解即可； （2）甲车间单独完成需要m天，则甲车间每天完成工程的，乙车间每天完成工程的，根据“若甲、乙两车间先合作5天，剩下的由甲车间单独完成，则比规定工期提前3天完成”即可列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设用x张做盒身，y张做盒底， 根据题意，得， 解得：， 答∶用120张做盒身，140张做盒底才能使盒身与盒底恰好配套． 【小问2详解】 解：设甲车间单独完成需要m天， 根据题意，得， 解得： 经检验：是该分式方程的解，符合题意， 答：甲车间单独完成需要30天． 22. 如图，在长方形中，，，动点从点出发，先以每秒个单位长度的速度沿方向运动，到达点后再以每秒个单位长度的速度沿方向运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动．连接，过点作交于点，连接，设运动时间为（＜＜）秒，点到点的距离为，的面积为，． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）， （2） 当时，随着x的增大而减小，当时，随着x的增大而增大； （3） 【解析】 【分析】（1）分两种情况，利用线段的和差求解，证明，得出，进而求解； （2）根据函数的解析式描点画图即可，再从增减性的角度写出函数的性质； （3）先由图象得出两个函数交点的横坐标，再求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， 当动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动时， 即时，； 当点E到达点后再以每秒个单位长度的速度沿方向运动， 即时，， 综上，； 当动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动时，如图，设交于点H， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：从函数图象可以看出：当时，， 结合图象可得：当时，． 23. 如图，港在港北偏东方向，港在港的正西方向12海里处，港在港的正北方向，港在港的北偏西方向，港在港的正西方向6海里处，且在港的西北方向．（参考数据：，） （1）求，两港之间的距离（结果保留根号）； （2）甲货船从港出发，向港运送物资，乙货船从港出发，向港运送物资，甲船速度为乙船速度的2倍（均沿直线匀速运送）．请问当两艘船相距海里时，甲船离港多少海里（结果精确到0.1海里）？ 【答案】（1）海里 （2）海里 【解析】 【分析】（1）连接，过点作于点，延长交于点，则，由题意得，，，，海里，海里，则，由三角形内角和定理可得，解 ，求出海里，解中，求出海里，则海里，解，求出海里，则海里，再由角直角三角形的性质求解即可； （2）设两艘船相距海里时，甲船位于点处，乙船位于点处，过点作于点，过点作于点，解，求出，由（）得，海里，则（海里），由题意得，海里，根据题意可设，则，解，，，则，再表示出，由题意得，海里，然后在中，运用勾股定理建立方程求解． 【小问1详解】 解：连接，过点作于点，延长交于点，则， 由题意得，，，，海里，海里， ∴ ∴， 在中， ∴（海里）， 在中， ∴海里， 在中，， ∴海里， ∴（海里）， 在中，， ∴（海里）， 答：，两港之间的距离为海里； 【小问2详解】 解：设两艘船相距海里时，甲船位于点处，乙船位于点处，过点作于点，过点作于点， 在中，，海里， ∴， 由（）得，海里， ∴（海里） 由题意得，海里， 根据题意可设，则 ∴在中，，， ∴， ∵， ∴， 由题意得，海里， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得，（舍） 答：当两艘船相距海里时，甲船离港海里． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作交于点D，点E是抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为点F，连接、．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，平移后点P恰好落在y轴上，点K是新抛物线上一动点，点是原抛物线顶点H的对应点，连接，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，若，请直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解点K的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）， （3）， ∵将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，平移后点P恰好落在y轴上，且，，，， ∴平移方式为将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移个单位长度得到新抛物线， ∴， ∴， 如图，过点作轴，于点G，于点I，连接，取，连接，过点M作于点N， ∴， 由旋转性质得，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， ∵， ∴， ∴， 情况1：当点K在直线上方时，K与重合，则； 情况2：当点K在直线下方时，，则， 设直线的函数解析式为，则，解得：， ∴直线的函数解析式为， 联立方程组，得， 解得：（另一组解不符合题意，舍去）， ∴， 综上所述，满足条件的K的坐标为，． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）过点P作轴交于点F，过点D作于点G，利用相似三角形的判定与性质将最大值转化为的最大值，求出直线的解析式，设，则，求出的表达式得出开口向上的二次函数，从而求得点P的坐标，再求出点D的坐标，为定值，即求的最小值，利用平移和轴对称的性质即可求得最终结果； （3）先求出平移后的抛物线解析式，利用一线三垂直模型，正切的定义，等腰直角三角形的性质得出，分情况进行讨论即可求得最终结果． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于，两点， 将，代入抛物线， 得：， 解得：， ∴抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：如图，过点P作轴交于点F，过点D作于点G， ∴，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则，，， ∴， 当最大时，最大， 令，，则， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，此时， ∴， 由抛物线解析式可知，抛物线对称轴为， ∵点E是抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为点F， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点P代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线的解析式，得：， 解得：，则， ∴， 如图，将沿x轴方向向左平移个单位得，过点P作关于的对称点，连接，与交点，作轴，垂足为点， ∴，即点， ∴， 当点，，三点共线时，有最小值， ∵点P与点关于的对称， ∴， ∴， ∵和均为定值， ∴， ∴的最小值为． 【小问3详解】 略 25. 为等边三角形，点为线段上的动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图，若，点是中点，，求的面积； （2）如图，若，连接，若点为中点，连接，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图，若，，点为中点，连接，点从移动到的过程中，将绕点逆时针旋转得到线段，当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在平面内，得，连接，作交直线于点，当取最大值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2），证明如下： 以为边作等边三角形，延长至，使，连接，， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）作的延长线于点，在特殊三角形和中分别求解，，即可求解的面积； （2）以为边作等边三角形，延长至，使，连接，，由等边三角形的性质，可证得，从而进一步证得，则，通过线段的等量代换即可得到； （3）当时，取最小值，为等边三角形，由特殊角的三角函数计算出各个边的长度，当在的延长线上时，最大，又，可得，，可得，，由即可求解． 【小问1详解】 解：如图，作的延长线于点， ∵为等边三角形，点为线段的中点，， ∴，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 而， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图， 由（2）可知， ∴， 在中，，，点在射线上运动，且， ∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短， ∴当时，取最小值， 将绕点逆时针旋转，则为等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴，于点， 而，即点落在上， ∵点为中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵将沿所在直线翻折到所在平面内，得， ∴， 在中，由于两边之和大于第三边，， ∴当在的延长线上时，最大， 则，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $