精品解析：重庆市第一中学校2026-2027学年九年级上学期 开学考试数学试题

数学定时练习 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列常见的物理单位符号中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，这个图形就是中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A选项：把符号绕任何一点旋转都不能与原来的图形重合，故A选项不符合题意； B选项：把符号绕任何一点旋转都不能与原来的图形重合，故B选项不符合题意； C选项：把符号绕任何一点旋转都不能与原来的图形重合，故C选项不符合题意； D选项：如下图所示，把符号绕点O旋转可以与原来的图形重合，符号是中心对称图形，故D选项符合题意． 2. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某条河流水质污染情况 B. 调查某市居民的消费水平 C. 调查一批手机电池的耐用性 D. 调查全班同学的视力情况 【答案】D 【解析】 【详解】解： A选项调查某条河流水质污染情况，范围大，工作量大，适合抽样调查，不符合题意； B选项调查某市居民消费水平，调查对象数量多，范围广，适合抽样调查，不符合题意； C选项调查一批手机电池的耐用性，测试过程具有破坏性，不适合全面调查，不符合题意； D选项调查全班同学的视力情况，调查对象数量少，范围小，易操作，适合全面调查，符合题意． 3. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例的基本性质，可通过设参数法结合比例性质化简，逐一判断选项即可. 【详解】解：由可设，（）． 选项A，，仅当时等于，不恒成立，故A错误； 选项B，由交叉相乘得，与不符，故B错误； 选项C，，仅当时等于，不恒成立，故C错误； 选项D，，等式恒成立，故D正确． 4. 估计的值应在（ ）． A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】B 【解析】 【分析】先估算的大小范围，再利用不等式性质求出的范围，即可得到结果． 【详解】∵，，， 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴的值在和之间． 5. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积之比是（ ） A. 9∶1 B. 25∶4 C. 9∶4 D. 25∶9 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似图形一定是相似图形，且面积比等于相似比的平方．由已知比例确定对应点到位似中心的距离之比，得相似比，进而计算面积比． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形， ． ， 设，．若点在、之间，则，与矛盾， 点在、之间，即． 与的相似比为． 与的面积之比为． 6. 下列命题中，真命题是（ ） A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点 D. 顺次连接菱形各边中点得到的四边形是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形的判定定理，线段垂直平分线的性质及三角形中位线与菱形的性质可进行排除选项． 【详解】解：A、根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可知该选项不是真命题，故不符合题意； B、根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可知该命题为假命题，故不符合题意； C、∵到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，∴到三角形三个顶点距离相等的点在三角形三边的垂直平分线上，即三边垂直平分线的交点，故该命题为真命题，符合题意； D、如图， ∵四边形是菱形，边的中点分别为， ∴，，，，， ∴且， ∴四边形是平行四边形， 同理得， ∵，，， ∴， ∴平行四边形是矩形，不是菱形，故该命题为假命题，不符合题意． 7. 若点P是线段的黄金分割点，且，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查黄金分割的定义，解题思路是根据黄金分割的定义得到与的关系，再代入的长度计算即可． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且 ∴ 又∵ ∴． 8. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出1件．若该商店每天销售利润为1200元，每件商品降价（ ） A. 10元 B. 10元或20元 C. 16元 D. 15元或20元 【答案】A 【解析】 【分析】设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天的销售量为件，根据总利润每件商品的利润销售量建立方程求解即可． 【详解】解：设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天的销售量为件，即件， 依题意得， 整理得， 解得，， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意， ∴每件商品降价10元． 9. 若菱形中有一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，使得．连接．取分别为的中点，连接，延长交于点，交于点，令为，则的角度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据得到，根据旋转的性质得到，根据菱形的性质得到，证明，得到，根据三角形中位线定理得到，，，进而求出，根据三角形内角和定理得到，根据等边对等角计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵菱形， ∴， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴，，，， ∴，，， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，三角形内角和定理，等边对等角，理清各角之间的关系是解题的关键． 10. 若代数式与的差为常数，且常数为正数，则称是的“式数”，这个差值称为与的“值”，设，，，…，是从，，这三个数中任意取值的一列数．下列说法： ①若，则，，可以组成组“式数”； ②若，则和的“值”是； ③若，，则，，…，可以组成组“式数”．其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于①，根据题意可得，设三个数中有个，个，个，进而列出方程组，求解可得三个数为2个，1个2，最后分析即可；对于②，因式分解求解可得，分成两种情况讨论即可；对于③，设这9个数中有个，个，个，根据题意列出方程组求解可得数据有4个，3个，2个，进而计算式数的总组数即可． 【详解】解：首先明确，若与的差为正的常数，则是的式数，该差值为值，所给数只能取，逐个分析如下： ① ∵，且， ∴. 设三个数中有个，个，个， 则， 解得：， 即三个数为2个，1个2， 满足的有序对为，，共组， 故①正确； ② ∵， ∴， ∴， 当时， 若，则，此时两数的值为； 若，则，此时两数的值为； 当时，无符合条件的， 故等式成立时，值可能为1或3，不一定是3， 故②错误； ③设这9个数中有个，个，个， 根据题意得， 化简得， 解得， 即有4个，3个，2个， 计算式数的总组数： 为1，为：组， 为2，为：组， 为2，为：组， 总组数为， 故③正确； 综上，正确的个数有2个． 二、填空题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案填在答题卡中对应的横线上． 11. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】确定多项式的公因式，通过提取公因式完成因式分解． 【详解】解：． 12. 若分式的值为零，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】分式值为零需同时满足分子为零、分母不为零两个条件，先求出分子为零的，再排除使分母为零的解即可． 【详解】解：∵ 分式的值为零， ∴ ，且， 解，得， ∴ 或， 解得或， 又∵ ， ∴ ． 13. 从一个正多边形的一个顶点出发所引出的对角线条数是条，则该正多边形的每一个外角为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据从一个顶点引出对角线的数量关系求出正多边形的边数，再结合多边形外角和定理计算每个外角的度数． 【详解】解：设该正多边形的边数为， 从边形的一个顶点出发，不能向自身和相邻两个顶点引对角线， 引出的对角线条数为， ，解得，即该正多边形是正十边形， 任意多边形的外角和都为，正多边形的每个外角相等， 该正多边形的每一个外角为． 14. 若，是一元二次方程的两个根，则的值为_______． 【答案】 8 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式子降次，再结合根与系数的关系代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴， 整理得． ∴． ∵， 是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系得， ∴原式． 15. 如图，在矩形中，点在边上，连接，过点作，垂足为点F．若，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用矩形性质得到平行线与直角，推出一组等角，结合垂直得到另一组直角相等，证出与相似；再在直角三角形中用勾股定理算出斜边，最后根据相似三角形对应边成比例列等式，代入已知边长求出的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴， ∴． 16. 若关于x的不等式组至少有4个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的值之和为________． 【答案】 【解析】 【分析】先解一元一次不等式组，根据至少有4个整数解确定a的取值范围，再解分式方程，根据分式方程有非负整数解筛选出符合条件的整数a，即可求解． 【详解】解： ， 解不等式，得 ， 解不等式，得 ， 因此不等式组的解集为 ， ∵不等式组至少有4个整数解， ∴，解得 ，  ， 方程两边同乘（），得 ， 整理得， 解得 ， ∵分式方程有非负整数解，且 ， ∴，，且为整数， 解得，，且为奇数， 结合，为整数， 可得符合条件的整数为 ， 因此所有满足条件的整数的值之和为． 17. 对于一个四位数，如果满足各个数位上的数字均不为0，且千位上的数字与十位上的数字之和等于百位上的数字的两倍与个位上的数字之差，则称这样的四位数为“信使数”．例如四位数3792，因为，所以3792是“信使数”．按照这个规定，最小的“信使数”是___________：规定，若、均为整数，则满足条件的“信使数”的最大值是___________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意可得，由正整数的性质可得，，要使“信使数”最小，则优先让、尽可能小，因此取，，此时，满足要求的最小数为．对于的最大值，容易得到，由为整数可得，为完全平方数，结合，则或．当时，由是整数可得是奇数，从而推断出也是奇数，这与为整数矛盾；当时，可计算得，结合可得，从开始，寻找符合要求的“信使数”即可． 【详解】解：根据题意， ， ∴， ∵、、、是正整数， ∴，，， ∴， ∴， 要使 “信使数”最小，则，， 此时， ∴，或，， ∵， ∴最小的“信使数”为； ∵， ∴， ∴， ∵是整数， ∴是完全平方数，且， ∵， ∴或， 当时， ∵是整数， ∴是偶数， ∴个位数也是偶数， 又∵， ∴也是偶数， ∴与的奇偶性相同， ∴是偶数， ∵是整数， ∴是的因数，这与是偶数矛盾，故舍去； 当时， ∵是整数， ∴是的因数， 又∵是偶数， ∴， ∵， 又∵是正偶数，即， ∴， ∵， ∴， 要使取得最大值，则要尽可能地大， ∴从大到小寻找符合要求的数， 当时， ∵， ∴或，都与矛盾； 当时，或（不符题意，舍去）， ∴，此时，为满足要求的最大“信使数”． 18. 如图，在正方形中，，分别为，边上的点，，连接，交于点，作交于点，设，则_______（用含的式子表示）；若，则_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①通过证明得到，结合互余关系和推导，利用三角形外角性质求解；②设，利用面积法求进而得，通过延长构造全等三角形，利用勾股定理建立方程求，最后计算并求比值． 【详解】解：①∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∵是的外角， ∴； ②设，则，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 延长到点，使得，连接， ∵，，， ∴ ， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 在中，， ∴． 三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，其余每题各10分，共78分）．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡对应的位置上． 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 20. 先化简，再求值：，其中满足：，且为整数，选择一个你认为合适的的值代入求值． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，除号后的项根据平方差公式约分得到最简结果，选择合适的x的值代入计算即可求出值，注意x的取值范围． 【详解】解： ； 当，且为整数， ∴ ∵ 时分式无意义， ∴ 带入得：原式. 21. 学习了平行四边形的知识后，同学们进行了拓展性研究．他们发现作平行四边形一组对角的角平分线与另一组对角的顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的封闭图形是一个特殊四边形．他们的解决思路是通过证明对应线段平行且相等得出结论．请根据以上思路完成下列作图和填空： （1）用直尺和圆规，过点B作的角平分线，交于点F，连接、．（只保留作图痕迹） （2）已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，平分，交于点E，平分，交于点F，连接、． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，① ∴． ∵平分，平分， ∴． ∵ ∴② ， ∴ ∴③ ，． ∴， ∴四边形是平行四边形． 同学们再进一步研究发现，过平行四边形任意一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，均具有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所④ ． 【答案】（1） 如图，点即为所作； （2）①；②；③；④形成的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】本题考查了作图﹣复杂作图，平行四边形的性质和全等三角形的判定的知识，三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． （1）作的平分线，其中交于即可； （2）由于，根据全等三角形的性质得到根据等角的补角相等可得，，则，根据平行四边形的判定即可得到结论． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵平分，平分， ∴，． ∵ ∴， ∴． ∴，． ∴， ∴四边形是平行四边形． 命题： 过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则形成的四边形是平行四边形． 故答案为：①；②；③；④形成的四边形是平行四边形． 22. 某校分别从七、八年级学生中各随机调查了名学生，统计他们一周的运动时间．运动时间记为分钟，将所得数据分为个组别（A组：，B组：，C组：，D组：，E组：）；将数据进行分析，得到如下统计： ①八年级B组学生上周运动时间从高到低排列、排在最后的个数据分别是，，，，，，，，， 八年级100名学生一周运动时间频数分布统计表 分组 A B C D E 频数 七、八年级各100名学生一周运动时间的统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 请你根据以上信息，回答下列问题： （1） ， ， ； （2）根据以上数据分析、你认为七、八年级哪个年级学生一周运动情况更好，请说明理由：（写出一条理由即可） （3）该校七年级有名学生，八年级有名学生，请估计该校七、八年级一周运动时间不低于分钟的学生一共有多少人？ 【答案】（1），， （2）解：八年级运动情况更好，理由：七、八年级平均数相同，八年级众数大于七年级众数，八年级中位数大于七年级中位数，所以八年级整体运动时间更高；（答案不唯一） （3）人 【解析】 【小问1详解】 解：扇形统计图圆心角总和为，组圆心角，B组占比：， ∴， ， ∵样本一共 个数据， ∴中位数是从大到小排列后第 、个数据的平均数；、累计个数据，说明第、个数据落在 组； 组从高到低排，第 位：；第 位：， ∴； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：七年级运动不低于分钟的学生人数约为（人） 八年级运动不低于分钟的学生人数约为（人） （人） 答：七、八年级运动不低于分钟的学生人数估计为人． 23. 如图，在中，，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线的方向运动不与点、点重合），设运动时间为秒，记的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定平面直角坐标系中，画出函数图象，并写出函数的一条性质； （3）若直线的图象与的函数图象有1个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 当时，函数值随自变量的增大而增大，当时，函数值随自变量的增大而减小（答案不唯一） （3）或 【解析】 【分析】（1）过点A作于点D，分点P在上两种情况考虑即可； （2）利用描点法画出图象即可，根据图象从增减性质、最值等方面说即可； （3）画出函数的图象，结合的图象即可求解． 【小问1详解】 解：过点A作于点D，如图， 则， 当点P在上时，如图， ∵，其中， ∴； 当点P在上时，如图， ∵，此时， 设点B到的距离为d， ∵， ∴， ∴； 综上，； 【小问2详解】 解：图象略； 当时，函数值随自变量的增大而增大，当时，函数值随自变量的增大而减小（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：如图，当直线过原点时，； 当直线过时，，； 当直线过时，，； ∴当或时，直线与的函数图象有1个交点． 24. 某水果店商家购进了一批哈密瓜和脆桃．商家用1600元购买哈密瓜，800元购买脆桃，每斤哈密瓜比每斤脆桃的进价贵6元，且购进脆桃的数量是哈密瓜的2倍． （1）求商家购买每斤哈密瓜和每斤脆桃的进价； （2）商家在销售过程中发现，当哈密瓜的售价为每斤14元，脆桃的售价为每斤5元时，平均每天可售出20斤哈密瓜，40斤脆桃．调查，哈密瓜的售价每降低0.5元平均每天可多售出5斤，且降价幅度不低于．商家在保证脆桃的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使哈密瓜和胞桃平均每天的总获利为270元，则每斤哈密瓜的售价为多少元？ 【答案】（1）商家购买每斤哈密瓜的进价是8元，购买每斤脆桃进价是2元 （2）每斤哈密瓜的售价为11元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设商家购买每斤哈密瓜的进价是元，则购买每斤脆桃进价是元，利用数量总价单价，结合购进脆桃的数量是哈密瓜的2倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后可得出答案； （2）设每斤哈密瓜的售价为元，则每斤哈密瓜的销售利润为元，每天可售出斤，利用总利润每斤哈密瓜的销售利润日销售量每斤脆桃的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可求出值，再结合降价幅度不低于，即可确定结论． 【小问1详解】 解：设商家购买每斤哈密瓜的进价是元，则购买每斤脆桃进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：商家购买每斤哈密瓜的进价是8元，购买每斤脆桃进价是2元； 【小问2详解】 解：设每斤哈密瓜的售价为元，则每斤哈密瓜的销售利润为元，每天可售出斤， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 答：每斤哈密瓜的售价为11元． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点和点，直线经过点，与轴交于点，点在直线上，且， （1）如图1，求直线和直线的解析式； （2）如图2，直线交轴于点，点是线段上一点，连接，当时，点为直线上一动点，连接、、，求点坐标和周长的最小值； （3）如图3，连接，将直线、沿射线方向平移个单位得到直线，点的对应点为，点是平移后直线上一点，直线交直线于点，且，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的其中一种情况的过程． 【答案】（1）直线：；直线： （2）点坐标为；周长的最小值为 （3）解：或者； 由（2）可知， 设直线为，代入，， ， ∴， ∴直线为； 在上取点，其中点的横坐标为1，作轴于点， 将代入直线：，得， ∴， ∴， ∴， ∵将直线、沿射线方向平移个单位得到直线，点的对应点为， ∴即将直线、向右平移2个单位，再向上平移2个单位， ∴平移后的表达式为， 将代入的表达式，得，将代入，得， ∴在上，即过点，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∵，向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点， ∴， 不妨设直线交于点， 设直线为，代入点，，得 ， 解得， ∴直线为， ∵直线为， ∴， ∴， 联立直线和直线，得， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 不妨设， ∴， ∴或， 当时，， 设直线的表达式为，代入， ， ∴，， ∴直线的表达式为； 联立直线和直线的表达式， ， ∴， ∴； 当时，， 设直线的表达式为，代入，， ， ∴，， ∴直线的表达式为； 联立直线和直线的表达式， ， ∴， ∴； 综上，或者； 【解析】 【分析】（1）先求得点，过点作轴于点，证明，得到，求得，得到点坐标，将其代入，即可得到直线的表达式，继而求出点，点，最后利用点坐标，求出直线的表达式； （2）先求出，从而得到，接着求出直线的表达式为；设点，利用，求得点坐标；连接，在的延长线上取点，令，证明垂直平分线段，连接、，得到当点、、三点共线时，取得最小值，最小值为，过点作轴于点，可证明，进一步证明求得坐标，最后求得答案； （3）先求出直线、的平移方向为向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到直线的表达式以及的坐标，接着证明过点，，下一步证明，得到，证明，即可得到的长度，从而得到点的坐标，进一步求出直线的表达式，联立直线和直线即可求得点． 【小问1详解】 解：将代入直线，得 ∴， ∴． 过点作轴于点，如图所示： ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵在直线， ∴， ∴， ∴直线为． 将代入，得， 解得， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 设直线为，代入点，， ， ∴， ∴直线为； 【小问2详解】 解：由（1）可知，，，，， ∴，， ∴， ∴， 设直线的表达式为，代入点，， ， ∴， ∴直线的表达式为； ∵点是线段上一点，由（1）可知：， ∴不妨设点， 过点作轴交直线于点，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴点坐标为； ∵直线：交轴于点，令，则， ∴， ∴， 如图，连接，在的延长线上取点，令， ∵，， ∴、为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴垂直平分线段， 连接、，则， ∴， 即当点、、三点共线时，取得最小值，最小值为， 过点作轴于点，则， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即的最小值为， ∵周长， ∴周长的最小值为； 【小问3详解】 略 26. 如图，在中，，，点是线段上一点，以为腰在上方作等腰三角形． （1）如图，若点是的中点，，，求的长； （2）如图，连接，当，在线段上取点，连接，使得，求证：； （3）如图，若，为线段上一点，连接，，为线段上一点，，平分，在射线上取一点，使得，为上一点，，连接、，当取得最大值时，求的长． 【答案】（1）； （2） 证明：是的外角， ， ， ， 由（1）可知， ， ， ， ， ， 为等腰三角形，， 为等边三角形， ，， 如图，过点作，并使得，连接，延长交于点， ，， ， ， 为等边三角形， ，， ， 三点共线， 为等腰三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 为的外角， ， ，， ， ， ， ； （3）． 【解析】 【分析】（1）过点作交于点，过点作交于点，先根据题意求出，结合直角三角形的性质和勾股定理求出，，，，最后运用勾股定理求出，以及结合为等腰即可求解； （2）先通过等量代换推出，证明为等边三角形，再过点作，并使得，连接，延长交于点，证明为等边三角形，推出，运用全等性质可得，，推出，证明，即可推出，最后结合题意并运用三角形内角和的性质换角推出，，即可证明； （3）如图，过点作交于点，连接，根据，可得当三点共线时，为最大值，如图，再结合题意和勾股定理及直角三角形的性质求出，，，证明，推出，，，然后设，求出，接着过点作，，分别交的延长线，线段，射线于点，运用角平分线的性质求出，，，，最后过点作，并与的延长线交于点，作的外接圆，连接，根据圆和等腰三角形的性质分别证明，，即可推出为等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作交于点，过点作交于点， 在中，，，， ，， ，， ，， 在中，，，， ， 根据勾股定理，， ，， 为中点， ， 在中，，，， ， 根据勾股定理，， ， 在中，，，， 根据勾股定理，， 为等腰三角形，， ， 根据勾股定理，． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 如图，过点作交于点，连接， ， 当三点共线时，为最大值，如图， 在中，，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， 在中，，，， ， 根据勾股定理，，即，解得， ，，， 在和中，，， ， ，，， ， ，， 设， ，， ， 如图，过点作，，分别交的延长线，线段，射线于点， 平分，，， ， ，，， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， 如图，过点作，并与的延长线交于点，作的外接圆 ，连接， ，， ， ， 四点共圆， 在上， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， 为等腰直角三角形， ， 根据勾股定理，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学定时练习 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列常见的物理单位符号中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某条河流水质污染情况 B. 调查某市居民的消费水平 C. 调查一批手机电池的耐用性 D. 调查全班同学的视力情况 3. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 估计的值应在（ ）． A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 5. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积之比是（ ） A. 9∶1 B. 25∶4 C. 9∶4 D. 25∶9 6. 下列命题中，真命题是（ ） A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点 D. 顺次连接菱形各边中点得到的四边形是菱形 7. 若点P是线段的黄金分割点，且，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 3 8. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出1件．若该商店每天销售利润为1200元，每件商品降价（ ） A. 10元 B. 10元或20元 C. 16元 D. 15元或20元 9. 若菱形中有一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，使得．连接．取分别为的中点，连接，延长交于点，交于点，令为，则的角度为（ ） A. B. C. D. 10. 若代数式与的差为常数，且常数为正数，则称是的“式数”，这个差值称为与的“值”，设，，，…，是从，，这三个数中任意取值的一列数．下列说法： ①若，则，，可以组成组“式数”； ②若，则和的“值”是； ③若，，则，，…，可以组成组“式数”．其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案填在答题卡中对应的横线上． 11. 因式分解：_______． 12. 若分式的值为零，则_______． 13. 从一个正多边形的一个顶点出发所引出的对角线条数是条，则该正多边形的每一个外角为_______． 14. 若，是一元二次方程的两个根，则的值为_______． 15. 如图，在矩形中，点在边上，连接，过点作，垂足为点F．若，，，则________． 16. 若关于x的不等式组至少有4个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的值之和为________． 17. 对于一个四位数，如果满足各个数位上的数字均不为0，且千位上的数字与十位上的数字之和等于百位上的数字的两倍与个位上的数字之差，则称这样的四位数为“信使数”．例如四位数3792，因为，所以3792是“信使数”．按照这个规定，最小的“信使数”是___________：规定，若、均为整数，则满足条件的“信使数”的最大值是___________ 18. 如图，在正方形中，，分别为，边上的点，，连接，交于点，作交于点，设，则_______（用含的式子表示）；若，则_______． 三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，其余每题各10分，共78分）．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡对应的位置上． 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中满足：，且为整数，选择一个你认为合适的的值代入求值． 21. 学习了平行四边形的知识后，同学们进行了拓展性研究．他们发现作平行四边形一组对角的角平分线与另一组对角的顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的封闭图形是一个特殊四边形．他们的解决思路是通过证明对应线段平行且相等得出结论．请根据以上思路完成下列作图和填空： （1）用直尺和圆规，过点B作的角平分线，交于点F，连接、．（只保留作图痕迹） （2）已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，平分，交于点E，平分，交于点F，连接、． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，① ∴． ∵平分，平分， ∴． ∵ ∴② ， ∴ ∴③ ，． ∴， ∴四边形是平行四边形． 同学们再进一步研究发现，过平行四边形任意一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，均具有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所④ ． 22. 某校分别从七、八年级学生中各随机调查了名学生，统计他们一周的运动时间．运动时间记为分钟，将所得数据分为个组别（A组：，B组：，C组：，D组：，E组：）；将数据进行分析，得到如下统计： ①八年级B组学生上周运动时间从高到低排列、排在最后的个数据分别是，，，，，，，，， 八年级100名学生一周运动时间频数分布统计表 分组 A B C D E 频数 七、八年级各100名学生一周运动时间的统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 请你根据以上信息，回答下列问题： （1） ， ， ； （2）根据以上数据分析、你认为七、八年级哪个年级学生一周运动情况更好，请说明理由：（写出一条理由即可） （3）该校七年级有名学生，八年级有名学生，请估计该校七、八年级一周运动时间不低于分钟的学生一共有多少人？ 23. 如图，在中，，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线的方向运动不与点、点重合），设运动时间为秒，记的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定平面直角坐标系中，画出函数图象，并写出函数的一条性质； （3）若直线的图象与的函数图象有1个交点，请直接写出的取值范围． 24. 某水果店商家购进了一批哈密瓜和脆桃．商家用1600元购买哈密瓜，800元购买脆桃，每斤哈密瓜比每斤脆桃的进价贵6元，且购进脆桃的数量是哈密瓜的2倍． （1）求商家购买每斤哈密瓜和每斤脆桃的进价； （2）商家在销售过程中发现，当哈密瓜的售价为每斤14元，脆桃的售价为每斤5元时，平均每天可售出20斤哈密瓜，40斤脆桃．调查，哈密瓜的售价每降低0.5元平均每天可多售出5斤，且降价幅度不低于．商家在保证脆桃的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使哈密瓜和胞桃平均每天的总获利为270元，则每斤哈密瓜的售价为多少元？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点和点，直线经过点，与轴交于点，点在直线上，且， （1）如图1，求直线和直线的解析式； （2）如图2，直线交轴于点，点是线段上一点，连接，当时，点为直线上一动点，连接、、，求点坐标和周长的最小值； （3）如图3，连接，将直线、沿射线方向平移个单位得到直线，点的对应点为，点是平移后直线上一点，直线交直线于点，且，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的其中一种情况的过程． 26. 如图，在中，，，点是线段上一点，以为腰在上方作等腰三角形． （1）如图，若点是的中点，，，求的长； （2）如图，连接，当，在线段上取点，连接，使得，求证：； （3）如图，若，为线段上一点，连接，，为线段上一点，，平分，在射线上取一点，使得，为上一点，，连接、，当取得最大值时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $