第2章 平面解析几何初步 本章复习提升（Word同步练习）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（湘教版）

**基本信息** 高中数学直线与圆单元复习卷，聚焦易混易错点与数学思想方法，通过名校期中真题及分层训练，提升学生数学思维与问题解决能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|14题|直线斜率倾斜角、圆方程、圆与圆位置关系|针对易错点设题，如忽略圆方程隐含条件、直线与线段相交斜率范围| |解答题|3题|轨迹方程、切线问题、最值问题|融合函数与方程、数形结合等思想，如反射光线与圆相切转化为对称问题|

本章复习提升 易混易错练 易错点1　弄不清直线的斜率、倾斜角的变化关系而致错 1.(2024辽宁协作校期中)已知点A(-4,3),B(3,9),若直线l:mx+y-m-2=0与线段AB相交,则m的取值范围是(　　) A.m≥　　　 　　B.m≥或m≤-　　　　　 C.m≥或m≤-　　　　　D.-≤m≤ 2.已知直线l过点P(1,0)且与以A(2,1),B(4,-3)为端点的线段AB有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围为　 .  易错点2　忽略直线与圆的方程中的隐含条件而致错 3.若圆C:x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0过坐标原点,则实数m的值为 (　　) A.2或1　　　B.-2或-1　　　C.2　　　　　 D.1 4.已知圆x2+y2+2k2x+2y+4k=0关于直线y=x对称,则k的值为(　　) A.1　　　　　B.-1　　　　　C.-1或1　　　 D.0 5.已知两直线l1:x+m2y+6=0,l2:(m-2)x+3my+2m=0,若l1∥l2,求实数m的值. 易错点3　应用直线与圆的方程时考虑不全面而致错 6.(多选题)(2025河北邢台临西翰林中学月考)已知直线l经过点(-2,-1),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等,则直线l的方程可能是(　　) A.x-y+1=0　　B.x+y+3=0 C.2x+y+5=0　　D.x-2y=0 7.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是(　　) A.(x-5)2+(y-7)2=25 B.(x-5)2+(y-7)2=17或(x-5)2+(y+7)2=15 C.(x-5)2+(y-7)2=9 D.(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9 8.(2025安徽黄山八校联盟期中)在平面直角坐标系中,圆C为过点A(-2,0),B(-1,3),D(2,2)的圆. (1)求圆C的标准方程; (2)过点G(1,1)的直线l与C交于M,N两点,求弦MN的中点P的轨迹方程; (3)从点Q(-4,2)射出的光线经x轴反射后与圆C相切,求从点Q射出的光线的所在直线l0的方程. 思想方法练 一、函数与方程思想在直线与圆中的应用 1.(2024北京工业大学附属中学期中)若直线l:y=kx-3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是　　　　.  2.已知圆M:x2+(y-6)2=16,点P是直线l:x-2y=0上的一个动点,过点P作圆M的切线PA,PB,切点分别为A,B. (1)当PA的长度为4时,求线段PM的长度; (2)若△PAM的外接圆为圆N,试问:当点P在直线l上运动时,圆N是否过定点?若过定点,求出所有定点的坐标;若不过定点,请说明理由; (3)求线段AB长度的最小值. 二、分类讨论思想在直线与圆中的应用 3.已知圆(x+1)2+(y-a)2=1与圆(x-2)2+(y-4)2=16相切,则实数a的取值个数为(　　) A.1　　　　　B.2　　　　　C.3　　　　　D.4 4.(2025江苏连云港东海期中)已知圆M经过点A(-1,2),B(6,1),C(0,9). (1)求圆M的方程; (2)求过点(-2,2)且与圆M相切的直线方程. 三、转化与化归思想在直线与圆中的应用 5.若圆M:x2+y2-6x+8y=0上至少有3个点到直线l:y-1=k(x-3)的距离为,则k的取值范围是(　　) A.[-,0)∪(0,] B.[-,] C.(-∞,-]∪[,+∞) D.(-∞,-)∪(,+∞) 6.若圆C1:(x-a)2+y2=1和C2:x2+y2-2by+b2-4=0恰好有三条公切线,则的最小值为(　　) A.2　　　　　B.1+　　　　　 C.2-　　　　　D.4 四、数形结合思想在直线与圆中的应用 7.(2024上海师大附中期中)在等腰直角三角形ABC中,|AB|=|AC|=4,点P为边AB上异于A,B的一点,光线从点P出发,经BC,CA边反射后又回到点P.设光线与BC,CA边的交点分别为Q,R,若光线QR经过△ABC的重心,则|AP|等于(　　) A.2　　　　　B.1　　　　　C.　　　　　D. 8.已知点P为直线y=x+1上的一点,M,N分别为圆C1:(x-4)2+(y-1)2=4与圆C2:x2+(y-4)2=1上的点,则|PM|+|PN|的最小值为(　　) A.5　　　　　B.6　　　　　C.2　　　　　D.1 9.已知点P,Q分别在直线l1:x+y+2=0与直线l2:x+y-1=0上,且PQ⊥l1,点A(-3,-3),B,则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为　　　　.   答案与分层梯度式解析 本章复习提升 易混易错练 1.C　直线l:mx+y-m-2=0即m(x-1)+(y-2)=0,过定点(1,2),记M(1,2),而直线AM的斜率kAM==-,直线BM的斜率kBM==,因为直线l与线段AB相交,所以结合图形(图略)可知直线l的斜率kl≥或kl≤-,即-m≥或-m≤-,解得m≤-或m≥. 2.答案　∪ 解析　如图所示. 设直线l过A点时(即图中l1)斜率为k1,直线l过B点时(即图中l2)斜率为k2,则k1==1,k2==-1,结合图形可知直线l与线段AB有公共点时,直线l的斜率的取值范围为[-1,1], 所以l的倾斜角的取值范围为∪. 易错警示　求直线的斜率或倾斜角的取值范围时,要注意下面三个易错点:一是起、止直线的确定,从起始直线到终止直线要按逆时针方向旋转;二是若有斜率不存在的直线也符合题意,则斜率的取值范围分成两个部分;三要注意倾斜角为0的直线,将倾斜角的取值范围分成两个部分. 3.C　∵x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0表示圆,∴[-2(m-1)]2+[2(m-1)]2-4(2m2-6m+4)>0,∴m>1.又∵圆C过坐标原点,∴2m2-6m+4=0,解得m=2或m=1(舍去),∴m=2. 4.B　圆的方程可化为(x+k2)2+(y+1)2=k4-4k+1. 依题意得所以k=-1. 易错警示　关于圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0的问题,解题时应牢记D2+E2-4F>0. 5.解析　依题意得1×3m-m2×(m-2)=0,且1×2m-6×(m-2)≠0,即m(m2-2m-3)=0,且m≠3,所以m=0或m=-1. 故实数m的值为0或-1. 易错警示　解决两直线平行的相关问题时,一要注意不能默认斜率存在,二要注意排除直线重合的情况. 6.ABD　若直线l过原点,则l在两坐标轴上的截距为0,满足题意,此时直线l的方程为y=x,即x-2y=0; 若直线l不过原点,设直线l的方程为+=1(a≠0,b≠0),由题意得+=1,且|a|=|b|. 令a=b,则=1,解得b=-3,则直线l的方程为x+y+3=0, 令a=-b,则=1,解得b=1,则直线l的方程为x-y+1=0. 综上所述,直线l的方程为x-2y=0或x+y+3=0或x-y+1=0. 7.D　设动圆圆心的坐标为(x,y),若动圆与已知圆外切,则=4+1,∴(x-5)2+(y+7)2=25; 若动圆与已知圆内切,则=4-1, ∴(x-5)2+(y+7)2=9. 综上,动圆圆心的轨迹方程为(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9. 易错警示　两圆相切包括内切和外切两种情况,在不确定具体的相切方式时要分情况讨论. 8.解析　(1)设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),因为点A,B,D在圆C上, 所以解得 所以圆C的标准方程为x2+(y-1)2=5. (2)设P(x,y), 当直线l的斜率不存在时,点P与点G(1,1)重合, 当直线l的斜率为0时,点P与点C(0,1)重合, 当直线l的斜率存在且不为0时,连接CP,CG,易知CP⊥PG, 所以点P的轨迹在以CG为直径的圆上, 易得=(x,y-1),=(x-1,y-1), 由CP⊥PG,得·=0,即x(x-1)+(y-1)2=0, 整理得x2+y2-x-2y+1=0, 因为点G(1,1),点C(0,1)也在圆x2+y2-x-2y+1=0上,所以弦MN的中点P的轨迹方程为x2+y2-x-2y+1=0. (3)易得圆C:x2+(y-1)2=5关于x轴对称的圆为圆C':x2+(y+1)2=5, 设l0的方程为y-2=k(x+4),即kx-y+4k+2=0, 因为C'(0,-1)到l0的距离为圆C'的半径, 所以=,解得k=-或k=-2. 当k=-时,反射光线所在直线与圆C相切,但反射光线不与圆C相切,不符合题意,所以k=-2,故l0的方程是2x+y+6=0. 思想方法练 1.答案　 解析　联立两直线方程 两直线的交点坐标可通过联立两直线方程,进而解方程组求得. 解得两直线的交点坐标为, 因为两直线的交点位于第一象限,所以>0,>0,解得k>1,设直线l的倾斜角为θ,θ∈[0,π),则tan θ>1,所以θ∈. 2.解析　(1)由题意知,圆M的半径r=4,即|AM|=4,圆心为M(0,6),∠MAP=90°. ∴|PM|==8. (2)圆N过定点. 设P(2a,a),∵∠MAP=90°,∴经过A,P,M三点的圆N以MP为直径, ∴圆心为N,半径为=, ∴圆N的方程为(x-a)2+=, 即x2+y2-6y+a(-2x-y+6)=0. 分别令x2+y2-6y=0,-2x-y+6=0,联立两方程构成方程组,解方程组得圆N所过的定点坐标. 由解得或 ∴圆N过定点(0,6)和. (3)由(2)知,圆N:x2+y2-2ax-ay-6y+6a=0,① 圆M:x2+(y-6)2=16,即x2+y2-12y+20=0,② ②-①,得2ax+(a-6)y+20-6a=0,即为直线AB的方程. 又圆心M(0,6)到直线AB的距离 d==, ∴|AB|=2=2 =8, 把AB的长度表示为关于a的函数,通过求二次函数的最值可求得AB长度的最小值. ∴当a=时,线段AB的长度有最小值,为. 思想总结　函数与方程思想是分析和解决解析几何问题的一种非常重要的数学思想.圆的方程的求解、直线与圆的交点及个数判断、弦长的求解、圆与圆的交点及个数判断等都需要借助函数与方程思想. 3.C　设圆(x+1)2+(y-a)2=1的圆心为C1,半径为R1,圆(x-2)2+(y-4)2=16的圆心为C2,半径为R2,则C1(-1,a),C2(2,4),R1=1,R2=4. 两个圆相切要分内切和外切两种情况进行讨论并求解. 当两圆外切时,有|C1C2|=R1+R2,即=5,解得a=0或a=8;当两圆内切时,有|C1C2|=R2-R1,即=3,解得a=4. 综上所述,a=0或a=8或a=4,即a的取值个数为3. 4.解析　(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0), 因为点A,B,C都在圆M上,所以 解得满足D2+E2-4F>0,故圆M的方程为x2+y2-6x-10y+9=0. (2)当直线斜率不存在时,直线:x=-2与圆M相切,满足条件; 当直线斜率存在时,可设直线的方程为y-2=k(x+2), 即kx-y+2k+2=0, 根据斜率存在与否进行分类讨论. 易知圆心(3,5)到直线的距离等于圆的半径, 故=5,解得k=-,所以直线的方程为8x+15y-14=0. 综上,所求直线方程是x=-2或8x+15y-14=0. 思想总结　在直线和圆的位置关系的判断中需要对直线斜率是否存在进行分类讨论,在圆与圆的位置关系的判断中需要对两圆心的距离和半径之间的大小关系以及圆心的位置等进行分类讨论. 5.C　圆M的标准方程为(x-3)2+(y+4)2=25,则圆心为M(3,-4),半径为5, 由题意及圆的几何性质,得圆心M(3,-4)到直线l:y-1=k(x-3)的距离不超过, 将圆上满足条件的点的个数问题转化为圆心到直线的距离问题. 则≤,解得k≥或k≤-,即k的取值范围是(-∞,-]∪[,+∞). 6.A　圆C1的圆心为C1(a,0),半径r1=1,圆C2的圆心为C2(0,b),半径r2=2. 由圆C1与圆C2有三条公切线知两圆外切, ∴|C1C2|==r1r2=3,∴a2+b2=9. 设P(a,b),A(3,4),则P在圆x2+y2=9上, 所以|PA|=, 以O为坐标原点,则|OA|==5, ∴|PA|min=|OA|-3=2. 将定点到圆上一动点的距离的最小值问题转化为定点到圆心的距离问题. 思想总结　转化与化归思想在本章中的应用主要体现在圆上的点到直线的距离的最值问题等. 7.D　以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示. 构建平面直角坐标系,借助几何图形解决问题. 则A(0,0),B(4,0),C(0,4).设△ABC的重心为D,则D点的坐标为.设P点坐标为(m,0),m>0,P点关于y轴的对称点为P1,则P1(-m,0),易得直线BC的方程为x+y-4=0,设P点关于直线BC的对称点为P2,则P2(4,4-m),易知P1,P2均在QR所在直线上,所以=, 即=,解得m=或m=0. 当m=0时,P点与A点重合,故舍去.所以|AP|=m=. 8.C　由圆C1:(x-4)2+(y-1)2=4,可得其圆心为C1(4,1),半径r1=2,由圆C2:x2+(y-4)2=1,可得其圆心为C2(0,4),半径r2=1,故两圆的圆心距|C1C2|==5,所以|PM|+|PN|≥5-r1-r2=2, 当且仅当M,N,C1,C2,P五点共线时,等号成立, 利用数形结合思想分析最值与动点、定点之间的关系. 故|PM|+|PN|的最小值为2. 思想总结　与圆有关的最值问题、直线与圆的交点问题、判断圆与圆的位置关系等都可能用到数形结合思想.利用数形结合思想解决问题,比传统的解法更形象、更巧妙,并且计算量较小. 9.答案　+ 解析　如图,由平行线间的距离公式得|PQ|==. 过点A作垂直于l1的直线,并截取|AA'|=|PQ|, 连接A'B,A'Q,则四边形AA'QP是平行四边形,设点A'(x0,y0),则x0=-3+×=-,y0=-3+×=-. 因此点A',则|A'B|=. 故|AP|+|QB|=|A'Q|+|QB|≥|A'B|=,当且仅当A,P,Q,B四点共线时取等号. 作出图形,利用对称性和三角形边长之间的关系求解线段之和(或差)的最值. 因此|AP|+|PQ|+|QB|≥+. 故|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为+. 7 学科网（北京）股份有限公司 $