江苏南通市启东市第一中学2024-2025学年第一学期第二次素质检测高二数学试卷

启东市第一中学2024-2025年度高二年级第一学期第二次质量检测 高二数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分150分，命题人：龚飞 ） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.“直线与平行”是“”的    条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 2.抛物线的焦点坐标是    ． A. B. C. D. 3.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是(    ) A. B. C. D. 4.已知等差数列的前项和为，若，，则(    ) A. B. C. D. 5.已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 6.我国古代著作庄子天下篇引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完．在这个问题中，记第天后剩余木棍的长度为，数列的前项和为，则使得不等式成立的正整数的最小值为(    ) A. B. C. D. 7.已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点为，则． A. B. C. D. 8.已知直线与直线相交于点，若点始终在圆内，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知等差数列的公差为，前项和为，，，，则(    ) A. B. ， C. D. 当时，有最大值 10.以下四个命题表述正确的是(    ) A. 直线恒过定点 B. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点 C. 曲线与曲线恰有三条公切线，则 D. 圆上存在个点到直线的距离都等于 11.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于的说法正确的有(    ) A. 当时，的面积为 B. 的周长为 C. 当时，中 D. 椭圆上有且仅有个点，使得为直角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知等比数列的前项和，则          ． 13.已知点和为直线上的动点，则的最小值为          ． 14.以双曲线的右焦点为圆心，为半径的圆与的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知的顶点为，，． 求边上的高所在直线的方程 直线经过点，且，两点到直线的距离相等，求直线的方程． 16.本小题分 已知为等差数列的前项和，若，． 求数列的通项公式 求数列的前项和． 17.本小题分 已知点，，动点与点的距离是它与点距离的倍． 动点的轨迹为曲线，求的方程； 设直线：，直线与曲线交于，两点，当弦的长度取得最小值时，求弦的长度和直线的方程． 18.本小题分 如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为，底面为直角梯形，，，． 求直线与平面所成角的正弦值 求平面与平面夹角的余弦值． 19.本小题7分 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率，椭圆的短轴长为． 求椭圆的标准方程； 已知直线，过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点，和，． 求的值； 设的中点，的中点为，求面积的最大值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查两条直线平行的判定及应用、充分、必要和充要条件的判断，属于基础题． 根据直线平行的条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可求解． 【解答】 解：因为直线平行， 所以， 即：，解得：， 将代入原方程，此时两直线重合，舍去． 综上可得：， 故“”是“”的充分必要条件． 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查抛物线的焦点，属于基础题． 根据抛物线方程可得，且焦点在轴正半轴上，从而得到答案． 【解答】 解：因为抛物线方程为，即， 可得，即，且焦点在轴正半轴上， 所以抛物线的焦点坐标是． 故选：． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查空间向量的投影向量，空间向量运算的坐标表示，属于基础题． 根据空间向量的投影向量公式计算即可． 【解答】 解：向量，， 设向量与向量的夹角为， 则向量在向量上的投影向量的模长为   ， 所以向量在向量上的投影向量为 ． 故选：． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查等差数列的前项和性质，属于基础题． 利用等差数列的前项和为，可得，，成等差数列，即可得出．  【解答】 解：等差数列的前项和为，，， ，，成等差数列， ， ， 解得． 故选：． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查椭圆的定义，椭圆中的最值问题，属于一般题． 利用椭圆的定义，结合基本不等式，转化求解即可． 【解答】 解：由，是椭圆的两个焦点，点在上，得． 所以． 当且仅当时，取等号，即有最大值． 故选C． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查等比数列的实际应用，等比数列的前项和公式，利用指数函数的单调性解不等式，属于中档题． 依题意可得：数列是首项为、公比为的等比数列，即可得到通项公式及前项和公式，进而得到不等式，解得即可． 【解答】 解：由题设可得：数列是首项为、公比为的等比数列， ，， 由 ，可得：， 解得：， ，， 故选：． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了直线与双曲线的关系，圆锥曲线的中点弦问题，属于基础题． 设，根据点差法求出直线的斜率，解出直线方程，然后与双曲线方程联立解出，点坐标，根据两点间距离公式求出． 【解答】 解：设，直线的方程为． 由题意知，为的中点， 因为 由点差法得， 即直线的斜率为，所以直线的方程为， 与双曲线联立，解得或， 所以． 故选C． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是直线过定点问题，以及两圆的位置关系，属于中档题． 根据题目条件得到两条直线的定点，即可得到所在的位置是在圆上，之后只要考虑两圆的位置关系即可． 【解答】 解：由题意知直线过定点，直线过定点，且， 所以点的轨迹是以线段为直径的圆， 其方程为， 因为点始终在圆内，所以两圆是内含关系， 所以两圆心的距离半径的差， 即，解得， 故选D． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查等差数列的通项公式和性质，等差数列前项和的最值问题，属于基础题． 由题意，结合等差数列通项公式、求和公式和性质逐项判断即可． 【解答】 解：由等差数列的公差为，前项和为，，， 所以，故A错误； ， 又， 所以，即，故B正确；  ，故C错误； 由题可知数列的项前项大于零，从第八项开始小于零， 所以当时，有最大值，故D正确； 故选BD． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查直线和圆的位置关系，两圆的位置关系，两个圆的公切线的条数，以及直线过定点问题． 对于，将方程写成，然后由求解即可． 对于，根据题意设的坐标为，圆心为，由切线的性质得点在以为直径的圆上，求出圆的方程，将两个圆的方程相减求出公共弦所在的直线方程，再求出直线过的定点坐标即可． 对于，把圆的方程化为标准形式，分别求出圆心和半径，求出两圆的圆心距，由圆与圆有三条公切线可得两圆外切，进而得到两圆的圆心距等于两圆的半径和，即可判断． 对于，分析圆的圆心与半径，求出圆心到直线的距离，结合，即可判断． 【解答】 解：对于，直线， 即， 由，解得 所以直线过定点，A错误 对于，因为点为直线上一动点， 所以设， 显然点不能在圆上，即或， 因为、是圆的两条切线，切点分别为、，为圆心， 所以， 所以点在以为直径的圆上， 即弦是圆和圆的公共弦． 因为圆心的坐标是，且半径， 所以圆的方程为 ， 又， 所以，得， 即公共弦所在的直线方程为， 所以由，得 所以直线过定点，B正确； 对于，曲线，即， 则圆心，半径为， 曲线，即， 则圆心，半径为， 两圆的圆心距为， 因为圆：与圆：有三条公切线， 则两圆属于外切的位置关系， 所以，解得，C正确； 对于，圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 又因为， 所以圆上有且仅有个点到直线的距离都等于，D错误； 故选BC． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了椭圆的概念及标准方程，椭圆的性质及几何意义，三角形面积公式的应用，属于中档题． 根据已知及椭圆的概念及标准方程，椭圆的性质及几何意义，三角形面积公式的计算，逐项求解，可知哪几个正确． 【解答】 解：根据椭圆方程可得，，． 对于，当时，设，， 则有，可得， 则的面积，故A正确； 对于，的周长为，故B正确； 对于，当时，的边，故C错误； 对于，设，， 当时，则有解得，此时点为上下顶点， 当时，有两个点，当时，有两个点，故D正确． 故选：． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查等比数列的求和，属于一般题． 由求和公式易得数列的前项，由等比中项易得的方程，解方程可得． 【解析】 解：等比， ，，， 等比数列中， ， 解得． 故答案为． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查点关于直线对称的问题，属于中档题． 根据题意，求出点关于的对称点为，作出图形，数形结合，利用三角形两边之和大于第三边与两点距离公式即可得解． 【解答】 解：因为点和，直线为， 而，所以点与在直线的同侧， 易知点关于，即的对称点为， 所以， 当点为和直线交点时，即三点共线时，等号成立， 所以的最小值为． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】【分析】 根据直线和圆相交时的弦长公式结合双曲线离心率的公式进行转化求解即可． 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据直线和圆相交的弦长公式建立方程关系是解决本题的关键． 【解答】 解：双曲线的一个焦点为， 双曲线的一条渐近线为，即， 焦点到渐近线的距离， ， ， 则， 平方得， 即， 则， 则， 则， 即离心率， 故答案为：． 15.【答案】解：由题意，直线的斜率为， 所以直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的方程为，即； 因为直线经过点，且，两点到直线的距离相等， 所以直线与直线平行，或过线段的中点， 若直线与直线 平行，则直线的方程为 ，即， 由题意知，线段的中点坐标为 ， 若直线过点，则直线的方程为，即， 综上，直线的方程为或．   【解析】本题考查过两点的斜公式、两直线垂直时斜率之间的关系、点斜式、中点坐标公式，属于中档题． 先根据两直线垂直时斜率之间的关系，求得直线的斜率，根据点斜式求得直线的方程． 分直线与直线平行，或直线过的中点进行分类讨论，由点斜式或斜截式求得直线的方程． 16.【答案】解：设的公差为，则：， ， 当， 当时，，， 当时，， ． 综上所述：．  【解析】本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于于中档题． 根据等差数列的通项公式及求和公式，列方程即可求解； 先去掉绝对值，再根据等差数列的求和公式，即可求解． 17.【答案】解：设点的坐标为， ，， 因为， 所以， 化简可得，即； 圆的圆心为， 直线的方程可化为， 联立，可得， 所以直线恒过定点， 当直线时，直线被圆截得的弦长最短， 直线的斜率为，， 由，可得， 此时直线的方程为，即， ，所以．  【解析】本题考查了与圆相关的轨迹问题和直线与圆的位置关系，是中档题． 设点的坐标为，由，计算化简可得的方程； 先得出直线恒过定点，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，计算即可． 18.【答案】解：因为平面，和平面， 所以，，又，所以． 因为平面，所以就是与底面所成的角，所以，故 AB． 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 依题意，，，，， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则即． 取，则，，此时， 所以． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 依题意，平面的一个法向量． 设平面的一个法向量为， 则即 取，则，，此时． 所以． 所以平面与平面所夹角的余弦值为．  【解析】本题主要考查直线与平面所成的角、平面与平面所成的角，线面垂直的性质，属于中档题． 以为原点，建立空间直角坐标系，可求与平面的法向量的坐标，进而可得与平面所成角的正弦值； 由得平面的法向量，再求得平面的法向量，由向量法可得平面与平面所夹角的余弦值． 19.【答案】解：由题设知：解得 故椭圆的标准方程为                 由知， 设的直线方程为，， 联立消元并整理得， 所以，， 于是， 同理，                 于是          由知，，，， 所以，，              所以的中点为， 于是， 当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为．  【解析】本题考查椭圆的焦点弦问题，椭圆中三角形四边形的面积，属于较难题． 根据已知条件建立，，的方程组，解出，即可求出椭圆的标准方程 根据弦长公式求出和，然后求出， 由知，，  ，， 所以，， 所以的中点为，于是，根据基本不等式求出面积的最大值． 第1页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $