精品解析：江苏南通市启东市第一中学2024-2025学年第一学期第二次素质检测高二数学试卷

启东市第一中学2024-2025年度高二年级第一学期第二次质量检测 高二数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分150分，命题人：龚飞 ） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “直线与平行”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 2. 抛物线的焦点坐标是（ ）. A. B. C. D. 3. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 54 B. 63 C. 72 D. 135 5. 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ） A. 13 B. 12 C. 9 D. 6 6. 我国古代著作《庄子天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完．在这个问题中，记第n天后剩余木棍的长度为，数列的前n项和为，则使得不等式成立的正整数n的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线：与直线：相交于点P，若点P始终在圆内，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知等差数列的公差为，前项和为，，，，则 A. B. ， C. D. 当时，有最大值 10. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 已知圆，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点 C. 曲线与曲线恰有三条公切线，则 D. 圆上存在4个点到直线的距离都等于1 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于的说法正确的有（ ） A. 当时，的面积为 B. 的周长为 C. 当时，中 D. 椭圆上有且仅有个点，使得为直角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的前项和，则______. 13. 已知点和为直线上的动点，则的最小值为__________. 14. 以双曲线的右焦点为圆心，为半径的圆与的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点为，，． （1）求边上的高所在直线的方程； （2）直线l经过点A，且B，C两点到直线l的距离相等，求直线l的方程． 16. 已知为等差数列的前项和，若，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 17. 已知点，动点与点的距离是它与点距离的倍． （1）动点的轨迹为曲线，求的方程； （2）设直线，直线与曲线交于两点，当弦的长度取得最小值时，求弦的长度和直线的方程． 18. 如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为，底面为直角梯形，，，． （1）求直线与平面所成角的正弦值 （2）求平面与平面夹角的余弦值． 19. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，离心率，椭圆的短轴长为2. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线，过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点A，B和C，D. ①求的值； ②设的中点M，的中点为N，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 启东市第一中学2024-2025年度高二年级第一学期第二次质量检测 高二数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分150分，命题人：龚飞 ） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “直线与平行”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行求出参数的值，即可判断. 【详解】若直线与平行， 则，解得或， 当时直线与重合，故舍去； 当时直线与平行，符合题意； 所以. 所以“直线与平行”是“”的充分必要条件. 故选：C 2. 抛物线的焦点坐标是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准方程，可得出其焦点坐标. 【详解】抛物线的标准方程为，则，所以，，， 故该抛物线的焦点坐标为. 故选：D. 3. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量定义并根据向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】易知向量在向量上的投影向量为. 故选：A 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 54 B. 63 C. 72 D. 135 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意得到，，为等差数列，再根据等差中项的性质即可得到答案. 【详解】因为是等差数列，所以，，为等差数列， 即成等差数列， 所以，解得. 故选：B 5. 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ） A. 13 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案． 【详解】由题，，则， 所以（当且仅当时，等号成立）． 故选：C． 【点睛】 6. 我国古代著作《庄子天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完．在这个问题中，记第n天后剩余木棍的长度为，数列的前n项和为，则使得不等式成立的正整数n的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得：数列是首项、公比为的等比数列，即可得到通项公式及前项和公式，即可得到不等式，解得即可； 【详解】解：由题设可得：数列是首项、公比为的等比数列， ∴，， 又由可得：，解得：， ∵， ∴， 故选：B． 7. 已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据点差法求出直线的斜率，解出直线方程，然后与双曲线方程联立解出，点坐标，根据两点间距离公式求出． 【详解】设，直线的方程为． 由题意知，为的中点， 因为， 两式相减，得， 所以， 即直线的斜率为，所以直线的方程为， 与双曲线联立， 得，即， 解得或， 所以. 8. 已知直线：与直线：相交于点P，若点P始终在圆内，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线经过定点，且垂直可判断点的轨迹为，进而利用两圆的位置关系为内含，利用圆心距和半径的关系求解. 【详解】由于：恒过定点，直线：恒过， 且两直线互相垂直， 因此在以为直径的圆上运动，故点的轨迹为(去除点)， 由于点P始终在圆内，因此内含于， 故两圆的圆心距， 解得， 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知等差数列的公差为，前项和为，，，，则 A. B. ， C. D. 当时，有最大值 【答案】BD 【解析】 【分析】由等差数列前n项和公式即可判断A；由等差数列的单调性可判断B；由可判断C；由等差数列前n项和的性质可判断D. 【详解】，，故选项A错误； ，，，，故选项B正确； ，且，，故选项C错误； 由，知，当时，有最大值，故选项D正确； 故选：BD． 10. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 已知圆，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点 C. 曲线与曲线恰有三条公切线，则 D. 圆上存在4个点到直线的距离都等于1 【答案】BC 【解析】 【分析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐个判断即可解出．直线恒过定点，判断错误；求出直线方程，判断直线经过定点，正确；根据两圆外切，三条公切线，可得正确；根据圆心到直线的距离等于1，判断错误. 【详解】对于，直线方程可化为，令，则，，，所以直线恒过定点，错误； 对于，设点的坐标为，所以，，以为直径的圆的方程为， 两圆的方程作差得直线的方程为：，消去得，， 令，，解得，，故直线经过定点，正确； 对于，根据两圆有三条公切线，所以两圆外切，曲线化为标准式得， 曲线化为标准式得， 所以，圆心距为5，因为有三条公切线，所以两圆外切，即，解得，正确； 对于，因为圆心到直线的距离等于1，所以直线与圆相交，而圆的半径为2，故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有三个点到直线的距离等于1，错误； 故选：． 【点睛】本题主要考查直线系过定点的求法，以及直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，属于中档题． 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于的说法正确的有（ ） A. 当时，的面积为 B. 的周长为 C. 当时，中 D. 椭圆上有且仅有个点，使得为直角三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知及椭圆的概念及标准方程，椭圆的性质及几何意义，三角形面积公式的计算，逐项判断即可． 【详解】根据椭圆方程可得，，． 对于A，当时，设，， 则有 所以，， 则的面积，故A正确； 对于B，的周长为，故B正确； 对于C，当时， 由，解得， 的边，故C错误； 对于，设，， 当时， 则有，解得，此时点为上下顶点， 当时，有两个点， 当时，有两个点， 所以一共有6个点，使得为直角三角形，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的前项和，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由求得数列的前三项，由前三项成等比数列求得． 【详解】由已知，，， 成等比数列，则，解得， 此时，也适合， 所以，满足题意. 故答案为：， 13. 已知点和为直线上的动点，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，作出图形，数形结合，利用三角形两边之和大于第三边与两点距离公式即可得解. 【详解】因为点和，直线为， 而，所以点A与在直线的同侧， 易知点关于，即的对称点为， 所以， 当点为和直线交点时，即三点共线时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 以双曲线的右焦点为圆心，为半径的圆与的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，化简整理得到，进而可求出结果. 【详解】因为双曲线的一个焦点到其一条渐近线为， 所有由题意可得， 即， 则， 所以离心率, 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点为，，． （1）求边上的高所在直线的方程； （2）直线l经过点A，且B，C两点到直线l的距离相等，求直线l的方程． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）法一、利用两点斜率公式及直线垂直的充要条件，结合点斜式可得，法二、利用两点斜率公式及直线的点法式计算即可； （2）法一、分类讨论直线斜率是否存在结合点到直线的距离公式计算即可；法二、确定直线过中点或与平行，根据平行的充要条件及两点式计算即可. 【小问1详解】 法一：依题意，有，所以AD的斜率为2， 所以AD所在直线的方程为，即． 法二：依题意，有，即直线AD的一个法向量为． 由直线的点法式，可得直线AD所在的直线的方程为：， 即． 【小问2详解】 法一：（i）当直线l的斜率不存在时，直线．B，C两点到直线l的距离分别为2和6， 不符合题意． （ii）当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为， 即． 依题意，有，即， 所以或，解得或． 所以直线的方程为或． 法二：因为直线l经过点A，且B，C两点到直线l的距离相等， 所以直线l与直线BC平行，或过线段BC的中点． （i）当直线l与直线BC平行时，直线BC的斜率为， 所以直线的方程为，即． （ii）当直线l过线段BC的中点时，线段BC的中点为， 所以直线的方程为，即． 综上所述，直线的方程为或． 16. 已知为等差数列的前项和，若，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式列方程，解方程即可； （2）分和两种情况求和. 【小问1详解】 设的公差为，则：， . 【小问2详解】 ， 令， 当时，， ， 当时，， 综上所述：. 17. 已知点，动点与点的距离是它与点距离的倍． （1）动点的轨迹为曲线，求的方程； （2）设直线，直线与曲线交于两点，当弦的长度取得最小值时，求弦的长度和直线的方程． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）设动点的坐标为，根据题意列出方程，化简可得答案； （2）分离参数，求出直线所过定点E，确定当直线l和直线垂直时，的长度取得最小值，结合圆的弦长的求解，即可求得弦的长度，结合直线的垂直关系即可求得直线的方程． 【小问1详解】 设动点的坐标为，则由, 得，即， 即， 即的方程为； 【小问2详解】 直线，即， 由于，故令，解得， 即直线l过定点，设为，由于，故定点在圆内， 即直线l和圆相交， 当直线l和直线垂直时，的长度取得最小值， 由于，故，圆半径为， 故的长度的最小值为. 又的斜率为，故此时直线l的斜率为3， 则直线l的方程为，即. 18. 如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为，底面为直角梯形，，，． （1）求直线与平面所成角的正弦值 （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，可求与平面的法向量的坐标，进而可得与平面所成角的正弦值； （2）由得平面的法向量，再求得平面的法向量，由向量法可得平面与平面所夹角的余弦值． 【小问1详解】 因为平面，、平面， 所以，，又，所以． 因为平面，所以就是与底面所成的角，所以，故 AB． 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 依题意，，，，， 所以 ， ， ． 设平面的一个法向量为， 则即． 取，则，，此时 ， 所以． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【小问2详解】 由题设有平面的一个法向量 ． 设平面的一个法向量为 ， 则即 取，则，，此时 ． 所以． 所以平面与平面所夹角的余弦值为． 19. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，离心率，椭圆的短轴长为2. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线，过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点A，B和C，D. ①求的值； ②设的中点M，的中点为N，求面积的最大值. 【答案】（1）；（2）①；② 【解析】 【分析】（1）由短轴长为，得到，再由离心率结合计算可得椭圆方程； （2）①由直线，过右焦点，设出直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，计算出弦长，再由两直线的斜率乘积为，将弦长中的斜率变为可得弦，相加即可得解； ②由中点坐标公式求出、的坐标，观察坐标知的中点在轴上，所以整理后利用基本不等式即可得到面积的最值； 【详解】解：（1）依题意可得解得，故椭圆的方程为； （2）①设的方程为，， 联立消去并整理得到 ， 于是 同理可得 ②由①知，，，， 所以， 所以的中点 所以 当且仅当即时取等号， 所以面积的最大值为 【点睛】本题考查待定系数法求椭圆的标准方程，直线与椭圆综合应用问题，利用基本不等式求最值，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $