精品解析：广东广州市白云区源雅学校2026～2027学年九年级上学期学情自测数学试卷

2026-2027学年第一学期开学调研 九年级数学科 分值：150分 时长：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．） 1. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此可得答案． 【详解】解：A、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、是最简二次根式，故此选项符合题意． 2. 下列四组数中，不是勾股数的是（ ） A. 3，4，5 B. 9，12，15 C. 5，6，7 D. 7，24，25 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股数的定义：在一组（三个正整数）数中，两个数的平方和等于第三个数的平方，根据勾股数定义逐项验证即可得到答案，熟记勾股数的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、由可知，3，4，5是勾股数，不符合题意； B、由可知，9，12，15是勾股数，不符合题意； C、由可知，5，6，7不是勾股数，符合题意； D、由可知，7，24，25是勾股数，不符合题意； 故选：C． 3. 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A. B. C. b D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握其性质是解题的关键． 由数轴易得，则，利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由数轴可得， 则， ， 故选：D． 4. 活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是菱形，以下测量方案正确的是（ ） A. 测量两组对边是否分别相等 B. 测量两条对角线是否相等 C. 测量两条对角线是否互相垂直 D. 测量四条边是否相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的判定定理，四条边相等的四边形是菱形，据此判断即可． 【详解】解：∵四条边都相等的四边形是菱形， ∴现要判断这个四边形是否为菱形，可以测量四条边是否相等． 5. 下列图象中，表示是的函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义：每取一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，对选项进行判断即可． 【详解】解：判断是否是函数关系，确定的值后，都有唯一确定的值与之对应， 选项A、B、C中的图象，确定的值后，与之对应的的值并非唯一对应， 仅选项D满足该要求． 6. 在同一平面直角坐标系中，函数y=kx与的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一次函数的性质判断出k取值，再根据正比例函数的性质判断出k的取值，二者一致的即为正确答案． 【详解】解：A、由函数y=kx的图象，得k＜0，由y=x+k的图象，得k＜0，故符合题意； B、由函数y=kx的图象，得k＜0，由y=x+k的图象，得k＞0，k值相矛盾，故不符合题意； C、由函数y=kx的图象，得k＞0，由y=x+k的图象不正确，故不符合题意； D、由函数y=kx的图象，得k＞0，由y=x+k的图象不正确，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象，要掌握一次函数的性质才能灵活解题． 7. 在统计学中，三个数值把一组数由小到大排列分成四等份，称这三个数值为这组数据的四分位数，张老师绘制了某次数学检测中1班，2班两个班级学生得分的箱线图，则下列说法正确的是（ ） A. 1班中位数班中位数 B. 1班方差班方差 C. 1班得分低于105的人数多于2班得分低于105的人数 D. 若每班都有50个学生，2班的第13名分数高于1班的第13名 【答案】D 【解析】 【分析】根据箱线图读取两个班级的中位数、四分位数及极差等统计量，结合方差的定义及百分位数的概念逐项判断即可． 【详解】解：由箱线图可知：1班的中位数大于120，2班的中位数小于120， ∴1班中位数班中位数，故A错误； 由图可知，2班数据的极差（最大值减最小值）及四分位距（箱体长度）均大于1班，数据分布更分散， ∴1班方差班方差，故B错误； 虽然2班得分低于105分的比例大于，1班得分低于105分的比例小于， 但两个班级的总人数未知，无法比较具体人数，故C错误； 若每班都有50个学生，将成绩从高到低排列， ∵ 由图可知，1班的上四分位数小于2班的上四分位数， ∴2班的第13名分数高于1班的第13名，故D正确． 8. 下列方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：A、，故原方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B、，故原方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C、，故原方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、，故原方程没有实数根，符合题意； 故选：D． 9. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长到点E，使，连接，证明，得，然后在中，根据勾股定理求出CE的长，即可得出结论． 【详解】解：如图，延长到点E，使，连接， 则， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ． 10. 如图，的对角线，交于点，，，，分别为线段，上两点，连接，，，，．下列说法中：①为的角平分线；②；③；④，正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，且．再结合线段的和差可知、；①易得， 如图：过B作交延长线于G，利用平行线等分线段定理以及平行线的性质可得，，进而得到，即，从而得到，即可判断①；②利用等腰三角形三线合一的性质可得，再结合可得，即可判断②；③如图：连接，易证四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可判断③；由、，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可判断④． 【详解】解：∵的对角线，交于点，， ∴，且． ∵， ∴； ∵， ∴， ∴，， ∴， ①∵，，，， ∴， 如图：过B作交延长线于G， ∴，， ∴，即， ∴， ∴，即为的角平分线，故①正确； ②∵， ∴是等腰三角形， ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴，即②正确； ③ 如图：连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，即③正确； ④∵在中，， ∴，即④错误． 综上，正确结论有①、②、③，共3个，即选项 C符合题意． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式性质化简，先判断的正负，再去掉绝对值符号得到结果． 【详解】解：根据二次根式的性质可得． ∵． ∴ ∴ 即原式结果为． 12. 关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于的不等式，解不等式即可，同时还应注意二次项系数不能为0． 【详解】由题意可知：， ∴， ∵， ∴且， 故答案为：且． 【点睛】考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况． 13. 函数的自变量的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数列出不等式，解不等式即可得到自变量的取值范围 【详解】解：由题意得，， 解得， 14. 已知数据，，的平均数是，则，，的平均数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平均数的定义求出原数据的总和，再根据平均数的定义计算新数据的平均数． 【详解】解：数据，，的平均数是 由平均数的定义得 ， ， 则新数据，，的平均数为． 15. 如图所示的一块地，已知，，，，，则这块地的面积为_______． 【答案】96 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，得到是直角三角形是解题的关键．同时考查了直角三角形的面积公式． 连接，先由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，然后由三角形面积即可得出结论．． 【详解】解：如图，连接． ，，， ， 又，， ， 是直角三角形，， 这块地的面积的面积的面积． 故答案为：96． 16. 如图，正方形的边长为2，点分别在上，且，与相交于点，连接，则的最小值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握的圆周角所对的弦是直径是解答本题的关键．通过证明，可证，则点在以为直径的一段弧上运动，当点在与弧的交点处时，最短，然后根据勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解∶四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴， 点在以为直径的一段弧上运动， 设的中点为，则当点在与弧的交点处时，最短， ， ， ∴， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键． （1）先化简二次根式，再计算加减即可； （2）先计算乘法公式，再计算加减即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 已知，如图，在中，，相交于点，点，分别为，的中点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：∵在中，，相交于点， ∴，， ∵点，分别为，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分推出，， 再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可． 【详解】略 19. 已知，求下列各式的值． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得，，再利用平方差公式对所求代数式因式分解，最后整体代入计算求值即可； （2）根据已知条件可得，，再利用完全平方公式对所求代数式变形，最后整体代入计算求值即可； 【小问1详解】 解：， ，， ； 【小问2详解】 解：， ，， ． 20. 如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D均为格点． （1）直接写出下列线段的长度： ， ； （2）连接，判断形状，并证明你的结论． 【答案】（1）；5 （2） 解：是直角三角形； 证明：∵，，， ∴， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和勾服定理的逆定理，解题关键是牢记公式． （1）根据勾股定理计算即可； （2）先计算，再利用勾股定理的逆定理即可证明． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 略 21. 如图，矩形的对角线，相交于点，于，过点作的平行线交的延长线于点，连接，，． （1）求证：； （2）求的长； （3）求的长． 【答案】（1）证明：∵矩形的对角线，相交于点， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质推导出，根据等边对等角可得， 再由平行线的性质得到，等量代换结合等角对等边即可得证； （2）由，，得，再根据三角形中位线定理求得，即可得解； （3）由等腰三角形三线合一可推出，进而得到 的长， 在中，由勾股定理即可求解的长 ． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴； 【小问3详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴在中， ． 22. 学校带领学生去农场体验农耕劳动，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少捆． （1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格． （2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗（两种都需要购买）共捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买总费用（元）与购买A种菜苗捆数之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围． 【答案】（1）元 （2）函数关系式为，自变量的取值范围是，且为正整数 【解析】 【分析】（1）设菜苗基地每捆A种菜苗价格为x元，根据“市场上价格是基地的2倍”以及“120元在市场买比在基地少3捆”列分式方程求解；（2）由A、B的单价及九折优惠求实际单价，设购买A种m捆则B种为捆，根据总费用列函数关系式，再结合“两种都需购买”及“A不超过B”确定m的取值范围． 【小问1详解】 解：设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，则市场上每捆A种菜苗的价格为元． 根据题意列方程： 解得． 经检验，是原方程的根且符合题意． ∴菜苗基地每捆A种菜苗的价格为元； 【小问2详解】 解：设购买A种捆，则购买B种捆， 两种菜苗都需要购买， 且，即； A种捆数不超过B种捆数， ，即． 又为正整数， 的取值范围为(m为整数）． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线过点A，且与直线相交于点，直线与x轴相交于点C． （1）求m的值． （2）求的面积． （3）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1） （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）由点B的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出值， （2）根据待定系数法可求直线的解析式；由点B的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出的值，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、C的值，由点A、B、C的坐标利用三角形的面积可求出的面积； （3）根据两直线的上下位置关系结合点B的横坐标，即可得出不等式的解集． 【小问1详解】 解：∵直线过点， ∴ ， 解得：， ∴ 【小问2详解】 解：∵直线过点， ， 解得：， 直线的解析式为 ； 在函数中， 当时，， 点A的坐标为； 在函数中， 当时，， 点的坐标为， ， ； 【小问3详解】 解：观察函数图象，可知： 直线与直线相交于点， ∴当时，直线在直线的上方， 不等式 的解集为． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）将代入中求出值；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征求出点A、C的坐标；（3）由两直线的上下位置关系找出不等式的解集． 24. 如图，直线：分别与轴，轴交于，两点，直线：分别与轴，轴交于，两点，直线与交于点． （1）求点的坐标及直线的解析式； （2）在直线上确定一点，使，求点的坐标； （3）在平面直角坐标系中，是否存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）点M的坐标为或 （3）存在，点的坐标为和 【解析】 【分析】（1）先求出点E的纵坐标，再把点E的坐标代入解析式即可求出．即可得到一次函数解析式； （2）分点在线段上和点位于线段的延长线上两种情况进行解答即可； （3）设的坐标为，分点位于直线右侧和点位于直线左侧两种情况进行解答即可． 【小问1详解】 解：将点代入，得． 将点代入，得， 解得． ∴直线的解析式为：． 【小问2详解】 解：对于，当时，，解得． 对于，当时，；当时，，解得． ，，． ， ． ． 分情况讨论如下： ①如图，当点在线段上时， ， 即，解得． 将代入，得，解得． 的坐标为． ②如图，当点位于线段的延长线上时， ， 即，解得． 将代入，得，解得． 的坐标为． 综上，点M的坐标为或． 【小问3详解】 设的坐标为，分情况讨论如下： ①如图，当点位于直线右侧时， 过点作轴交于点，过点作于点． ，， ， 又，， ． ，， ，解得． 的坐标为． ②如图，当点位于直线左侧时， 过点作轴交于点，过点作于点． ，， ， 又，， ． ，， ，解得． 的坐标为． 综上，点的坐标为和． 25. 在正方形中，点E在直线上，连接． （1）如图1，当点E在线段上，过点E作交延长线于F时，求证：． （2）如图2，当点E在线段的延长线上，F在延长线上时，过E作交延长线于G，连接、交于点P，若P为中点，求与的数量关系． （3）如图3，若点E在线段上，且，M为线段上一动点，过M作交于N，连接，，求的最小值= ． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）点E作于点H，作于点I，利用证明，从而得证； （2）过点E作于J，点J在的延长线上，利用正方形的性质得到，，再由是等腰直角三角形得到，，再证明是等腰直角三角形，得到，继而得到，，再利用勾股定理得到，再根据得到，再根据P为中点得到； （3）先证明是等腰直角三角形，故， 要求的最小值，只需找到A点关于对称的对称点Q，则的长度就是的最小值，利用勾股定理求出，再乘以2就是的最小值． 【小问1详解】 解：过点E作于点H，作于点I， 在正方形中，平分，， ∴ 又∵，为公共边， ∴与两个全等的等腰直角三角形， ∴四边形是正方形， ∴ ∵，即， ∴， ∴，即 ∵，，， ∴ ∴ 【小问2详解】 与的数量关系是：，理由如下： 过点E作于J，点J在的延长线上． ∵四边形是正方形， ∴°，°， ∴ 又∵， ∴是等腰直角三角形， ， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴ 又∵ ∴ 又∵P为中点，即 ∴ ∴与的数量关系是： 【小问3详解】 依题意连接，，过点E作于点H，作于点I， 由（1）得四边形是正方形， ∴ 又∵，即 ∴，即， ∵，，， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ 在的延长线上截取，垂直平分， ∴， 则，其最小值是的长度， ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ 在中，， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，最短路径问题等知识，掌握正方形的性质和全等三角形的判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期开学调研 九年级数学科 分值：150分 时长：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．） 1. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四组数中，不是勾股数的是（ ） A. 3，4，5 B. 9，12，15 C. 5，6，7 D. 7，24，25 3. 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A. B. C. b D. 4. 活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是菱形，以下测量方案正确的是（ ） A. 测量两组对边是否分别相等 B. 测量两条对角线是否相等 C. 测量两条对角线是否互相垂直 D. 测量四条边是否相等 5. 下列图象中，表示是的函数的是（　　） A. B. C. D. 6. 在同一平面直角坐标系中，函数y=kx与的图象大致是（　　） A. B. C. D. 7. 在统计学中，三个数值把一组数由小到大排列分成四等份，称这三个数值为这组数据的四分位数，张老师绘制了某次数学检测中1班，2班两个班级学生得分的箱线图，则下列说法正确的是（ ） A. 1班中位数班中位数 B. 1班方差班方差 C. 1班得分低于105的人数多于2班得分低于105的人数 D. 若每班都有50个学生，2班的第13名分数高于1班的第13名 8. 下列方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 10. 如图，的对角线，交于点，，，，分别为线段，上两点，连接，，，，．下列说法中：①为的角平分线；②；③；④，正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．） 11. 计算：________． 12. 关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 13. 函数的自变量的取值范围是____________． 14. 已知数据，，的平均数是，则，，的平均数是______． 15. 如图所示的一块地，已知，，，，，则这块地的面积为_______． 16. 如图，正方形的边长为2，点分别在上，且，与相交于点，连接，则的最小值为_____． 三、解答题（本大题9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知，如图，在中，，相交于点，点，分别为，的中点，求证：四边形是平行四边形． 19. 已知，求下列各式的值． （1） （2） 20. 如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D均为格点． （1）直接写出下列线段的长度： ， ； （2）连接，判断形状，并证明你的结论． 21. 如图，矩形的对角线，相交于点，于，过点作的平行线交的延长线于点，连接，，． （1）求证：； （2）求的长； （3）求的长． 22. 学校带领学生去农场体验农耕劳动，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少捆． （1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格． （2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗（两种都需要购买）共捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买总费用（元）与购买A种菜苗捆数之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线过点A，且与直线相交于点，直线与x轴相交于点C． （1）求m的值． （2）求的面积． （3）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 24. 如图，直线：分别与轴，轴交于，两点，直线：分别与轴，轴交于，两点，直线与交于点． （1）求点的坐标及直线的解析式； （2）在直线上确定一点，使，求点的坐标； （3）在平面直角坐标系中，是否存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 在正方形中，点E在直线上，连接． （1）如图1，当点E在线段上，过点E作交延长线于F时，求证：． （2）如图2，当点E在线段的延长线上，F在延长线上时，过E作交延长线于G，连接、交于点P，若P为中点，求与的数量关系． （3）如图3，若点E在线段上，且，M为线段上一动点，过M作交于N，连接，，求的最小值= ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $