精品解析：广东省广州市白云区华赋学校2025-2026学年九年级上学期开学考试数学试卷

数学试卷 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，熟知最简二次根式的概念是关键； 最简二次根式必须同时满足两个条件：一是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，二是被开方数中不含分母；据此解答即可. 【详解】解：A、是最简二次根式； B、，故不是最简二次根式； C、，故不是最简二次根式； D、，故不是最简二次根式；   故选：A ． 2. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减，二次根式的乘法，化简二次根式． 按照运算法则和二次根式的性质，对各选项进行计算化简即可． 【详解】解：A．，原计算不正确，不符合题意； B．，原计算正确，符合题意； C．，原计算不正确，不符合题意； D．，原计算不正确，不符合题意． 故选：B． 3. 抢微信红包成为节日期间人们最喜欢的活动之一．对某单位50名员工在春节期间所抢的红包金额进行统计，并绘制成了如下统计图．根据如图提供的信息，红包金额的中位数和众数分别是（ ）． A. 30，30 B. 20，30 C. 40，40 D. 40，30 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数的定义，熟练掌握二者的定义是解题的关键； 根据中位数和众数的定义解答即可. 【详解】解：根据条形统计图可得：红包金额为40元的数量最多，为19人次， 故红包金额的众数为40元； 按照从小到大的顺序排列后，排在第25和第26位的数分别为40，40， 故红包金额的中位数是元； 故选：C ． 4. 一次函数（是常数，且），若，则这个一次函数的图象必经的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据2a+b+3=0，可求b=-2a-3，所以y=ax-2a-3，当x=2时，y=2a-2a-3=-3，所以一次函数经过点（2，-3）． 【详解】解：∵2a+b+3=0， ∴b=-2a-3． 即y=ax-2a-3． 当x=2时，y=2a-2a-3=-3． ∴一次函数经过（2，-3）点， ∴B选项正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查一次函数点坐标的特征及性质应用，熟练掌握一次函数性质是解决本题的关键． 5. 关于x的方程根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．通过计算判别式并分析其符号即可确定根的情况． 【详解】解：对于方程，其判别式为： 由于，则，因此． 故判别式恒为负数，方程无实数根， 故选：C． 6. 如图，在中，平分交于点E，若，，则的周长是（　　） A. 28 B. 30 C. 32 D. 34 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等角对等边，角平分线的定义，掌握它们是解题的关键． 先根据平行四边形的性质和角平分线的定义得，再求出平行四边形的一组邻边长，最后求周长即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ，，， ， 平分， ， ， ， ， ， 平行四边形的周长为． 故选：C． 7. 已知，是关于x的函数图象上的两点，当时，，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由“当时，”，可得出随的增大而增大，结合一次函数的性质，可得出，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：当时，， 随的增大而增大， ， 解得：， 的取值范围是． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键． 8. 如图，在4×4的正方形网格中，每一格长度为1，小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F都在格点上，以AB，CD，EF为边能构成一个直角三角形，则点F的位置有（ ） A. 1处 B. 2处 C. 3处 D. 4处 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分当AB，CD为直角边时以及当EF，CD为直角边时，并运用勾股定理进行分析讨论求解. 【详解】解：由题意可得, 当AB，CD为直角边时，有, , 此时F如图: 当EF，CD为直角边时，有, , 此时F如图: 所以综上点F的位置有4处. 故选：D. 【点睛】本题考查勾股定理的网格问题，熟练掌握勾股定理与分类讨论思想进行分析是解题的关键. 9. 氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（ ） 水的质量 氢气的质量 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求函数关系式，由表格数据可得是的正比例函数，进而即可求解，由表格数据判断出函数关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与成正比例，即是的正比例函数， ∴， 故选：． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移以及一次函数与线段的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先求出直线平移后的解析式，再根据直线与线段有交点，分别求出直线经过点A和点B时d的值，进而确定d的取值范围，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，将直线向上平移d个单位长度后得 ∵点，点，且直线向上平移d个单位长度后与线段有交点， ∴把代入得，解得； 把代入得，解得； 则， 故选：D． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 当______时，式子有意义． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件即可． 【详解】解：由题意得：， 解得， 故答案是：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，一元一次不等式的解法，本题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 12. 如图，在直角坐标系中，矩形，点的坐标是，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形、矩形的性质、勾股定理等知识点，能根据勾股定理求出是解本题的关键． 根据勾股定理求出，根据矩形的性质得出即可解答． 【详解】解：∵点B的坐标是， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 故答案为：． 13. 已知一元二次方程有一个根为1，则的值为__． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义，把把代入方程得关于的一次方程，然后解一元一次方程即可． 【详解】解：一元二次方程有一个根为1， 把代入方程得， 解得． 故答案为：2． 14. 如图，直线经过点，当时，的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】直线经过点，直线也经过，根据图象即可求得的取值范围． 【详解】解：∵直线经过点，直线也经过 ∴由图象可得，当时，的取值范围是 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数的性质，解答本题的关键是能够利用数形结合进行解答． 15. 如图，菱形的面积为10，E，F，G，H分别是边的中点，则四边形的面积为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】连接，根据菱形的性质得到，根据三角形中位线定理、矩形的判定得到四边形为矩形，根据矩形面积公式计算即可． 本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的性质、矩形的判定是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 菱形的面积为10， ，， ，F，G，H分别是边的中点， 、、分别为、、的中位线， ，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， ，，， ， 平行四边形为矩形， 四边形的面积为：， 故答案为： 16. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，． 点是边上一动点，点在上，且．有下列结论： ①点的坐标为； ②； ③四边形的面积为定值； ④当为的中点时，的面积和周长最小． 其中正确的有_______．（把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，过点作，垂足为点，由菱形的性质可得，，即得，可得，即可得，进而可得，，即可判断①；证明可得，可得，即可判断②；由全等三角形的性质得，可得，即可判断③；由全等三角形的性质可得为等边三角形，当为的中点时，可得，此时最小，则最小， 进而可得最大，由的周长，可得此时的周长最小，即可判断④；正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：①过点作，垂足为点，则， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为，故①正确； ②连接， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴和是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即，故②正确； ③∵， ∴， ∴，故③正确； ④∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， 当为的中点时， ∵， ∴，此时最小，则最小， 由③知定值，可得最大， ∵，最小， ∴最小， ∵的周长， ∴此时的周长最小，故④不正确； 综上，正确的有①②③， 故答案为：①②③． 三．解答题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的相关运算法则是解题的关键； （1）先化简后两项，再合并同类二次根式即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可. 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 . 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键； （1）原方程利用因式分解法求解即可； （2）原方程利用因式分解法求解即可. 【小问1详解】 解：原方程可变形为：， ∴或， 解得：； 【小问2详解】 原方程可变形为：， ∴或， 解得. 19. 如图．正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． （1）求出三角形的周长． （2）判断三角形形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） 是直角三角形，理由是： ∵ ∴是直角三角形 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，准确应用勾股定理求出三角形的边长是解题的关键． （1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理进行判定即可． 【小问1详解】 解：由勾股定理得， ，，， ∴三角形的周长为． 【小问2详解】 略 20. 已知，求下列式子的值： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值、分式的加法、完全平方公式，正确对所求的式子进行变形是关键． （1）首先把所求的式子利用完全平方公式变形，然后代入数值计算即可求解． （2）首先把已知的式子进行变形，变形成的形式，然后代入数值计算即可求解； 【小问1详解】 解：∵， ∴ ； 【小问2详解】 解： ． 21. 为了弘扬中华优秀传统文化，某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．评委从演讲的内容、能力、效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计．进入决赛的前两名选手需要确定名次（不能并列），他们的单项成绩如下表所示： 选手 内容 能力 效果 甲 乙 （1）分别计算甲、乙两名选手的平均成绩（百分制），能否以此确定两人的名次？ （2）如果评委认为“内容”这一项最重要，内容、能力、效果的成绩按照的比确定，以此计算两名选手的平均成绩（百分制），并确定两人的名次； （3）如果你是评委，请按你认为各项的“重要程度”设计三项成绩的比，并解释设计的理由． 【答案】（1）甲、乙的平均成绩均为90分，不能以此确定两人的名次； （2）甲排名第一，乙排名第二； （3）设计三项成绩的比为，理由内容是演讲的核心，占比最高，效果直接影响观众，次之，能力是基础，占比最低．（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，算术平均数，权重等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用算术平均数即可求解； （）利用加权平均数即可求解； （）改变权重即可． 【小问1详解】 解：不能以此确定两人的名次， 甲的平均成绩：（分）， 乙的平均成绩：（分）， ∴， ∴不能以此确定两人的名次； 【小问2详解】 解：甲的平均成绩：（分）， 乙的平均成绩：（分）， ∴， ∴甲排名第一，乙排名第二； 【小问3详解】 解：设计三项成绩的比为，理由， 内容是演讲的核心，占比最高，效果直接影响观众，次之，能力是基础，占比最低．（答案不唯一） 22. 如图，在平行四边形中，是对角线． （1）尺规作图，作的垂直平分线交于点E，交于点F，交于点O（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）根据尺规作垂直平分线的方法，进行作图即可； （2）证明，即可． 【小问1详解】 解：作图如下： 【小问2详解】 证明：∵平行四边形 ∴ ∴， 又∵是的垂直平分线 ∴， ∴ ∴． 23. 端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元． （1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？ （2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？ 【答案】（1）肉粽得进货单价为10元，蜜枣粽得进货单价为4元；（2）第二批购进肉粽200个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大，最大利润为1000元． 【解析】 【分析】（1）设肉粽和蜜枣粽的进货单价分别为x、y元，根据题意列方程组解答； （2）设第二批购进肉粽t个，第二批粽子得利润为W，列出函数关系式再根据函数的性质解答即可. 【详解】（1）设肉粽和蜜枣粽的进货单价分别为x、y元，则根据题意可得： . 解此方程组得：. 答：肉粽得进货单价为10元，蜜枣粽得进货单价为4元； （2）设第二批购进肉粽t个，第二批粽子得利润为W，则 ， ∵k=2>0， ∴W随t的增大而增大， 由题意，解得， ∴当t=200时，第二批粽子由最大利润，最大利润, 答：第二批购进肉粽200个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大，最大利润为1000元. 【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用，不等式的实际应用，一次函数解决实际问题，一次函数的性质，正确理解题意列出方程组或函数、不等式解决问题是关键. 24. 宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图1，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开． （1）求的长； （2）求证：四边形是黄金矩形； （3）如图2，点G为的中点，连接，折叠纸片，点B落在上的点H处，折痕为，过点P作于点Q．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由． 【答案】（1）2 （2） 证明：∵折叠黄金矩形纸片，点B落在上的点E处， ∴，， 又∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是黄金矩形． （3） 四边形是黄金矩形．证明如下： ∵，四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形； 由（2）可知， ， ∵为的中点， ∴， ∴， 如图，连接，由对折可得：，，， 设，则， ∵ ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴四边形是黄金矩形． 【解析】 【分析】（1）根据黄金矩形的定义可得：，再进一步求解即可； （2）先证明四边形是正方形；可得，，证明四边形是矩形，从而可得答案； （3）先证四边形是矩形，然后求解，由对折可得：，设，则，由面积可得：，可得：，再进一步可得结论． 【小问1详解】 解：∵，矩形是黄金矩形， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，理解黄金矩形的定义是关键． 25. 如图，直线与x轴交于点A，与直线交于点P． （1）求点P的坐标． （2）求的面积． （3）动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向向终点运动，过点作轴，交线段或线段于点，轴于点，设运动时间为（秒），长方形与重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数综合题， （1）根据解方程组，可得两直线的交点坐标； （2）根据自变量与函数值的对应关系，可得点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案； （3）分类讨论：时，根据平行线分线段成比例性质，可得的长，根据三角形的面积公式，可得答案；时，根据梯形面积公式，可得答案． 【小问1详解】 解：联立直线与直线，得 ， 解得． 即； 【小问2详解】 过点P作， 当时，，解得，即 ； 【小问3详解】 当时，如图， ， ∴， ， 即，， 长方形与重叠部分的面积为， ； 当时，如图， 重叠部分是四边形， ， 当时， 当时， 综上所述：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 3. 抢微信红包成为节日期间人们最喜欢的活动之一．对某单位50名员工在春节期间所抢的红包金额进行统计，并绘制成了如下统计图．根据如图提供的信息，红包金额的中位数和众数分别是（ ）． A. 30，30 B. 20，30 C. 40，40 D. 40，30 4. 一次函数（是常数，且），若，则这个一次函数的图象必经的点是（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的方程根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 6. 如图，在中，平分交于点E，若，，则的周长是（　　） A. 28 B. 30 C. 32 D. 34 7. 已知，是关于x的函数图象上的两点，当时，，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在4×4的正方形网格中，每一格长度为1，小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F都在格点上，以AB，CD，EF为边能构成一个直角三角形，则点F的位置有（ ） A. 1处 B. 2处 C. 3处 D. 4处 9. 氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（ ） 水的质量 氢气的质量 A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 当______时，式子有意义． 12. 如图，在直角坐标系中，矩形，点的坐标是，则的长是______． 13. 已知一元二次方程有一个根为1，则的值为__． 14. 如图，直线经过点，当时，的取值范围是______． 15. 如图，菱形的面积为10，E，F，G，H分别是边的中点，则四边形的面积为_____． 16. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，． 点是边上一动点，点在上，且．有下列结论： ①点的坐标为； ②； ③四边形的面积为定值； ④当为的中点时，的面积和周长最小． 其中正确的有_______．（把你认为正确结论的序号都填上） 三．解答题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 如图．正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． （1）求出三角形的周长． （2）判断三角形形状，并说明理由． 20. 已知，求下列式子的值： （1） （2） 21. 为了弘扬中华优秀传统文化，某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．评委从演讲的内容、能力、效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计．进入决赛的前两名选手需要确定名次（不能并列），他们的单项成绩如下表所示： 选手 内容 能力 效果 甲 乙 （1）分别计算甲、乙两名选手的平均成绩（百分制），能否以此确定两人的名次？ （2）如果评委认为“内容”这一项最重要，内容、能力、效果的成绩按照的比确定，以此计算两名选手的平均成绩（百分制），并确定两人的名次； （3）如果你是评委，请按你认为各项的“重要程度”设计三项成绩的比，并解释设计的理由． 22. 如图，在平行四边形中，是对角线． （1）尺规作图，作的垂直平分线交于点E，交于点F，交于点O（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）； （2）求证：． 23. 端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元． （1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？ （2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？ 24. 宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图1，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开． （1）求的长； （2）求证：四边形是黄金矩形； （3）如图2，点G为的中点，连接，折叠纸片，点B落在上的点H处，折痕为，过点P作于点Q．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由． 25. 如图，直线与x轴交于点A，与直线交于点P． （1）求点P的坐标． （2）求的面积． （3）动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向向终点运动，过点作轴，交线段或线段于点，轴于点，设运动时间为（秒），长方形与重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $